Tổng hợp đề thi KSTN môn toán từ năm 19992015 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 on th ik st n co m Tổng hợp đề thi KSTN lời giải mơn Tốn ĐH Bách Khoa Hà Nội (1999-2017) Website: onthikstn.com Trang Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 Tài liệu tham khảo on th ik st n co m Lời giải 1999-2007 anh Vũ Hữu Tiệp K52 KSTN ĐTVT email vuhuutiep@gmail.com https://goo.gl/bo6X1w Lời giải 2010-2013 anh Lương Văn Thiện K55 KSTN ĐTVT , Trần Vũ Trung K55 KSTN ĐKTĐ, Nguyễn Văn Hưởng K58 KSTN ĐKTĐ email thienctnb@gmail.com https://goo.gl/tX7A5t Lời giải năm 2014-2015 từ tungbk.me, anh Nguyễn Văn Sơn KSTN CNTT K59 email sonnguyen0707pbc@gmail.com https://goo.gl/JJMr4c https://goo.gl/vZHsYH Website: onthikstn.com Trang Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ôn thi fb.com/onthikisutainangk60 Lời Dẫn co m Kĩ sư Tài chương trình đào tạo đặc biệt ĐH Bách Khoa Hà Nội Để thi vào chương trình em tân sinh viên cần có đủ điều kiện ( điểm xét điểm mơn Tốn Lý) Sau phải thi thi Tốn Lý tự luận Nội dung nửa ôn thi đại học nửa ôn thi HSG Do nhiều em cịn bỡ ngỡ nên chúng tơi mở lớp ơn thi Kĩ sư Tài với team dạy có trình độ (Thủ khoa, Olympic sinh viên, HSG, ) có kinh nghiệm : đào tạo nhiều em đỗ Kĩ sư Tài ( 80%) Khóa học Khai giảng vào 9/7 trước có buổi học FREE để giải đáp thắc mắc bổ túc kiến thức Tốn ngày 8/7 Chúng tơi có lời mời đến tất bạn học sinh, anh chị sinh viên quý phụ huynh tham gia Xem thêm: goo.gl/jXPbQi on th ik st n Liên hệ: Fanpage : https://www.fb.com/onthikisutainangk60/ Fb admin : https://www.fb.com/vuvandung.bkhn Hotline : 0162 978 0443 Gmail : luyenthikstn@gmail.com Website: onthikstn.com Trang Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 on th ik st n co m ĐỀ THI Website: onthikstn.com Trang Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 1999 Bài 1: Khảo sát biến thiên hàm số xác đinh R cho: f (x) = x + x 1 + ex với x = f (0) = co m Bài 2:Tìm số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện a − 2b + 3c = 16 cho biểu thức F = 2a2 + 2b2 + 2c2 − 4(a + b + c) + 15 đạt giá trị nhỏ Bài 3:Chứng minh phương trình a cos(x) + b sin(2x) + c cos(3x) = x ln có nghiệm đoạn [ − π; π] với số thực a, b, c on th ik st n Bài 4:Tìm hàm số f (x) xác đinh đoạn [0; 1] biết ≤ f (x) ≤ với x ∈ [0; 1] |f (x1 ) − f (x2 ) | ≥ |x1 − x2 | với x1 , x2 ∈ [0; 1] Website: onthikstn.com Trang Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2000 Bài 1: Cho dãy số {xn }∞ n=1 xác định : x1 > = ln(xn + 1) xn+1 Chứng minh dãy hội tụ đến giá trị hữu hạn a tìm a .co m Bài 2: Chứng minh hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện |f (x1 ) − f (x2 ) | ≤ |x1 − x2 |3 ∀x1 , x2 ∈ f (x) hàm Bài 3: Cho hàm số f (x) xác định liên tục x = f (x) ≥ 0∀x ∈ x f (t)dt với x ≥ tồn số k > cho: f (x) ≤ k st n Chứng minh f (x) = 0∀x ≥ Bài 4: Cho hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện f (x) ≥ 0∀x Chứng minh ik f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)∀x, y ∈, t ∈ [0; 1] on th Bài 5: Cho số thực k1 , k2 , , kn phân biệt Chứng minh rằng: a1 ek1 x + a2 ek2 x + + an ekn x = 0∀x ∈ R ⇔ a1 = a2 = = an = Website: onthikstn.com Trang Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2001 Bài 1: Cho hàm số f (x) = ex (x+1)2 dãy số {un } xác định bởi: u0 = 1, un+1 = f (un ), ∀n = 0, 1, 2, Chứng minh un ∈ [ 21 ; 1]∀n .co m Chứng minh phương trình f (x) = x có nghiệm θ ∈ ( 21 ; 1) Chứng minh f (x) tăng đoạn [ 12 ; 1], từ suy tồn k cho : |un+1 − θ| = k |un − θ| với n nguyên dương Chứng minh lim un = θ n→∞ Bài 2: Với hai số thực x, y, ta đặt d(x, y) = |x−y| 1+|x−y| Chứng minh tằng với ba số thực x, y, z tùy ý, ta có d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) st n Bài 3: Cho hàm số f (x) có f (x) a < b số thực Chứng minh rằng: f (tx + (1 − t)y) > tf (x) + (1 − t)f (y)∀x, y ∈ [a, b], t ∈ (0; 1) b a ) f (x)dx ≤ (a − b)f ( a+b Bài 4: Cho a < b số thực f (x) hàm số có đạo hàm liên tục R thỏa mãn: b |f (x)| dx = m ik f (a) = f (b) = m ∀x ∈ [a, b] on th Chứng minh rằng: f (x) ≤ a Website: onthikstn.com Trang Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2002 Bài 1: Cho bất phương trình: x ≥ mx2 + x(1) + |x| Giải bất phương trình (1) với m = Bài 2: Cho dãy số xác định sau: co m Tìm số thực m lớn cho (1) nghiệm với x ∈ R x1 = − 13 xn+1 = xn2 − 1∀n ≥ Chứng minh dãy số {xn } có giới hạn n → ∞ tìm giới hạn Bài 3: Cho số thực a1 , a2 , , a2002 thỏa mãn: a0 = a0 + a1 + a2 + + a2002 2003 =0 st n Chứng minh phương trình: a0 + a1 x + a2 x2 + + a2002 x2002 = có nghiệm [0; 1] on th ik Bài 4: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai f (x) ≥ R a số thực cố định Tìm giá trị lớn hàm số: g(x) = f (x) + (a − x)f (x) R Website: onthikstn.com Trang Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2003 Bài 1: Tìm đa thức P (x) có bậc bé nhất, đạt cực đại x = với P (1) = đạt cực tiểu x = với P (3) = Bài 2: Có tồn hay khơng đa thức P (x) thỏa mãn hai điều kiện sau: co m i P (x) ≥ P (x) ii P (x) ≥ P (x) với giá trị x Bài 3: Cho hàm số f (x) xác định f (x) > 0∀x ∈ R Biết tồn x0 ∈ R cho: f (f (f (f (x0 )))) = x0 st n Chứng minh f (x0 ) = x0  x = y + 2y −    y = z + 2z − 2 Giải hệ phương trình: z = t3 + 2t −    t = x3 + 2x − Bài 4: Cho dãy số {xn } thỏa mãn: x1 = x1 + x2 + + xn = n2 xn Tìm giới hạn lim (n2 xn ) on th ik n→∞ Website: onthikstn.com Trang Team KSTN K60 Tham khảo từ anh Thiện, Trung , Hưởng Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2011 Bài 1: π Đặt I = cos2 (cos x) + sin2 (sin x) dx π − t suy π π sin2 (cos t) + cos2 (sin t) dt = I= sin2 (cos x) + cos2 (sin x) dx π ⇒ 2I = 2dx ⇒ I = Theo bunhiacopxki dạng tích phân:  2 1 g(x)dx ≤  2 √ − x2 = 1 − f (x) dx + f (x)dx ≤ f (x)dx = ik Bài 2: g (x)dx(∗) 2 Suy đpcm  − f (x)dx +   1dx st n  π 0 Áp dụng (*) ta có: co m Đổi biến x = √ − x (1) on th ĐKXĐ: ≥ x ≥ √ √ Đặt x = a > 0; − x = b Ta có hệ a4 + b = a+b= Dễ dàng tìm ab từ giải a, b tốn tổng tích ⇒ tìm x Xét TH: * sin2 x > cos2 x ⇒ cos 2x < Suy ra: Website: onthikstn.com   + √2 √  2− sin2 x cos 2x > 2+ √ cos2 x √ >1> 1+ Trang 46 2 cos 2x Team KSTN K60 Tham khảo từ anh Thiện, Trung , Hưởng Đăng kí ôn thi fb.com/onthikisutainangk60 Dẫn đến PT vô nghiệm * sin2 x < cos2 x PT vô nghiệm * sin2 x = cos2 x giải nghiệm x = π kπ + , (k ∈ Z) Bài 3: co m √ Đặt − x = y ≥ Ta có BPT có nghiệm 2(1−y )+1 a ≤ y+1 ⇔Hệ BPT: y≥0 2(1−y )+1 với y ≥ ta tìm kết bài toán Khảo sát hàm số : y+1 f (x) = + a cos x + b cos 2x + cos 3x *f (π) ≥ ⇒ b ≥ a *f ( π3 ) ≥ ⇒ a ≥ b ⇒ a = b st n Với điều kiện f (x) ≥ 0∀x ∈ R ta có: Đặt cos x = t ∈ [−1; 1] biến đổi: f (x) = g(t) = 4t3 + 2at2 + (a − 3)t + − a = (2t − 1)(2t + 1)(2t + a − 1) + − t + ≥ ⇒ (2t − 1)(2t + a − 1) ≥ 0∀t ∈ [−1; 1] Cho t tiến đến 21 ; 12 theo ngun lí kẹp a=0 Suy đpcm ik Bài 4: S diện tích tam giác ABC on th a − b > − hb ⇔ (a − b) − 2S ab ≥0 Theo giả thiết a > b, S = 12 ab sin C ≤ 12 ab BĐT chứng minh Bài 5: Đề xuất cách cắt tiết kiệm nhất: - Cách 1: đoạn 2,5m - Cách 2: đoạn 2,5m; đoạn 1,6m - Cách 3: đoạn 1,6m Sử dụng x lần cách 1, y lần cách 2, z lần cách 3, ta có hệ: 2x + y ≥ 40(1) 2y + 3z ≥ 60(2) Cần tìm x,y,z tự nhiên thỏa M=x+y+z nhỏ (1),(2)⇒ 3M ≥ 100 + x ⇒ M ≥ 34 M=34 x ≤ dẫn đến y ≥ 36 vượt M nên loại M=35 dễ có nghiệm x=5;y=30;z=0 thỏa mãn Kết quả: cắt 35 với cắt theo cách 1, 30 cắt theo cách Website: onthikstn.com Trang 47 Team KSTN K60 Tham khảo từ anh Thiện, Trung , Hưởng Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2012 Bài 1: n2012 +2012n n2012 n→+∞ =1 lim √ n n→+∞ = e n2012 = lim n→+∞ √ n 2012 n = e lim n→+∞ ln n n 2012 2012 lim l n→+∞ n (L’Hopital) =1 co m Ta có: lim Ta có: a1 = b = m > ak = m + (k − 1)d, d công sai >0 ak > 0∀k a1 = a2012 bk = mq k−1 , q > công bội(do d > nên ak dãy tăng⇒ a2012 > a1 ⇒ mq 2011 > m ⇒ q > 1) 2011 từ giả thiết có m + 2011d = m.q 2011 ⇒ d = mq 2011−m Cần chứng minh ak > bk ⇔ m + (k − 1)d > mq k−1 (k − 1)(mq 2011 − m > mq 2011 2011 st n Hay m + ⇔ [2011 − (k − 1)] + (k − 1)q 2011 > 2011q k−1 BĐT cuối theo Cô-si, dẫn đến đpcm Bài 2: √ ik √ ĐKXĐ: x ≥ 2x2 + 10x + 12 − √ x2 + 2x − = x + 2(1) on th √ √ √ (1) ⇒ 2x2 + 10x + 12 = x2 + 2x − + x + ⇔ (x2 + 5x + 6) − (x − 1) = (x − 1) (x2 + 5x + 6) Đặt t = x−1 x2 +5x+6 ≥ 0(mẫu lớn ĐKXĐ) PT đưa về: − t = 4t ⇔ Giải x = √ √ t = −2 − √5(loại) t = −2 + 5(chọn) √ x = + Hàm số khơng tuần hồn Ta chứng minh phản chứng cho hàm tương tự sin(x2 ) Phản chứng: Tồn T khác thỏa: sin((x + T )2 ) = sin(x2 ) Cho x = sin(T ) = Đạo hàm vế, tiếp tục cho x=0 được: 2T cos(T ) = ⇒ cos(T ) = Ta suy điều vô lí Website: onthikstn.com Trang 48 Team KSTN K60 Tham khảo từ anh Thiện, Trung , Hưởng Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 Từ có đpcm Bài 3: Có: sin2 A2 + sin2 B2 + sin2 C2 + sin + sin ≥ sin 2 4B 4A 4C = − cos A+cos B+cos C 2 Dễ chứng minh: Từ có đpcm Câu 4: Ta tính xác xuất thí sinh làm k câu: k * Chọn k câu trả lời đúng: C10 cách * 10-k lại chọn câu trả lời sai⇒ 210−k cách Đánh giá a = k 10−k C10 310 Uk+1 Uk = 10−k 2(k+1) Ta có: st n Xác suất Uk = a>1⇔k< a 8 ⇒ U0 < U1 < U2 < U3 ⇒ U3 > U4 > > U10 on th ik Xác suất đạt cao co m cos A + cos B + cos C ≤ Website: onthikstn.com Trang 49 Team KSTN K60 Tham khảo từ anh Thiện, Trung , Hưởng Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2013 Bài 1: √ t = sin x + cos x = sin x + sin x + cos x = t 2−1 √ √ ⇒ t ∈ − 2; π Thế vào P thì: Bài 2: = a1 + (i − 1) d, ∀i ≥ 1; bi = b1 q i−1 ≥ n n bi = Q= i=1 n (i − 1)q i−1 = Ta tính P = i=1 n −1 a1 b1 qq−1 i=1 i=1 n + db1 (i − 1)q i−1 n−1 i=1 i.q i n−1 n−1 i i.xi−1 ⇒ q.f (q) = P x ⇒ f (x) = f (x) = i=1 i=1 ik f (x) = db1 (i − 1) q i−1 i=1 Xét: Mà: n st n = a1 b1 q i−1 + co m t3 t2 5t P = − − + + = f (t) 2 √ √ Khảo sát hàm số f (t) − 2; được: M axP = ⇔√t = √ ⇔ t = − M inP = −1−3 x (xn−1 − 1) (n − 1) xn − nxn−1 + q n ((n − 1)q − n) + q ⇒ f (x) = ⇒ P = x−1 (x − 1)2 (q − 1)2 on th Thay vào tính Q Bài 3: Hình vẽ xin nhường bạn đọc Gọi M, N trung điểm AB, CD O trung điểm M N Ta chứng minh O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD M C = M D dễ thấy ∆ABC = ∆BAD ⇒ M N ⊥CD trung điểm,tương tự M N ⊥AB trung điểm 2 Từ có OA2 = OB = OC = OD2 = M4N + c4 Tính bán kính: OA2 = MN2 + c2 = BN −BM + c2 = BC +BD − CD −BM 2 4 + c2 = a2 +b2 +c2 Bài 4: Ta phép chọn x = max{x, y, z} Viết lại hệ:   5x = 2(y − 1) + 5y = 2(z − 1)2 +  5z = 2(x − 1)2 + Website: onthikstn.com Trang 50 Team KSTN K60 Tham khảo từ anh Thiện, Trung , Hưởng Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 Dẫn đến ⇒ x, y, z ≥ Hàm số f (t) = 2(t − 1)2 + đồng biến với t ≥ Ta có: x ≥ y ⇒ f (y) ≥ f (z) ⇒ f (z) ≥ f (x) ⇒ z ≥ x Suy x = z dẫn tới y = z f (x) = f (z), từ đó: x = y = z Thay vào hệ tao tìm nghiệm (x; y; z) = (1; 1; 1)hoặc( 72 ; 72 ; 72 ) Bài 5: Tương tự năm 2000 on th ik st n co m Bài 6: Các bạn tìm hiểu tốn chia kẹo Ơ-le tiếng, đáp án: C24 cách Website: onthikstn.com Trang 51 Team KSTN K60 Tham khảo từ tungbk.me Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2014 Bài 1: ĐKXĐ: −9 √ ≤ x ≤√ Đặt t = 9√− x + + x Dễ thấy : ≤ m ≤ ⇒m=t+ t2 − 18 = f (t) co m √ √ Từ khảo sát f (t) [3 2; 6] tìm −3 ≤ m ≤ Bài 2: Ta có : (sin 4x + sin 2x − sin 6x) y = sin x sin 2x sin 3x = Từ dễ dàng đạo hàm tìm y (2014) = * Có thể sử dụng bổ đề hàm chẵn lẻ lúc trước: Đạo hàm hàm lẻ hàm chẵn ngược lại, dẫn đến đạo hàm cấp 2014 hàm lẻ đạt giá trị x = st n Bài 3: Bạn đọc tự giải Bài 4: Tiệm cận xiên có dạng y = ax + b Tìm a: √ √ f (x) = + 2; lim = −1 − x→−∞ x→+∞ x ik lim a nhận √ hai giá trị * a = + 2, ta có: on th √ b = lim (f (x) − ax) = −1 + 2 x→+∞ √ √ Ta tìm được√tiệm cận xiên đầu tiên: y = (1 + 2)x − + 2 * a = −1 − √ √ Tương tự ta tìm tiệm cận xiên thứ hai: y = (−1 − 2)x + − 2 Bài 5: Tổng qt hóa tốn ta xét k chẵn kπ −kπ sink x dx 1+kx kπ VT = < kπ sink x dx 1+kx kπ −kπ sink x dx 1+kx kπ = sink x dx 1+kx kπ + sink x.kx dx 1+kx kπ sink x < = + sin2 xdx = kπ ∀x ∈ [0; kπ] Ta suy đpcm Bài 6: Tô màu mảnh đất thành bàn cờ caro 10 × 10 Website: onthikstn.com Trang 52 Team KSTN K60 Tham khảo từ tungbk.me Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 on th ik st n co m Viên gạch chữ T lấp bàn cờ theo cách: lấp ô trắng ô đen lấp ô đen ô trắng, số viên gạch lấp theo cách phải nhau, lại có 25 viên gạch số lẻ Dẫn đến không lấp bàn cờ Website: onthikstn.com Trang 53 Team KSTN K60 Tham khảo từ tungbk.me Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2015 co m Bài 1: Giả sử m thỏa phương trình cho có nghiệm dương phân biệt Đặt f (x) VT phương trình cho Theo Vi-ét :   a + b + c = (m + 1) > ab + bc + ca = 6m + >  abc = 3m − 4m3 > √ ⇒0 có bậc x lớn Chỉ cần xét hạng tử có k = 0, 1, Dễ dàng tính a5 Bài 5: 2015 (1 − x2 ) (1 + x) dx 1 2015 (1 − x ) = Website: onthikstn.com 2015 (1 − x2 ) = dx + dx + (1 − x2 ) 2015 d (1 − x2 ) 1 4032 Trang 54 Team KSTN K60 Tham khảo từ tungbk.me Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 n (1 − x2 ) dx In = = x(1 − x2 ) n 1 x.n.(1 − x2 ) − d (1 − x2 ) n−1 (1 − x ) = 2n n−1 (1 − (1 − x2 )) dx Đáp án cần tìm: 4030!! 4031!! + 4032 co m = 2n (In−1 − In ) , ∀n > 2n In−1 ⇒ In = 2n+1 2n.(2n−2) 2n!! = (2n+1)(2n−1) I0 = (2n+1)!! on th ik st n Bài 6: Nhìn nhận theo lí thuyết tập hợp, u cầu tìm lực lượng hợp ba tập hợp học sinh đăng kí Tốn, Lí Văn Ta cần tính thêm số học sinh học Tốn, Lí Văn Số học sinh học Toán bao gồm loại học sinh: học Tốn, học mơn Tốn Văn, học hai mơn Tốn Lí, học mơn Suy số học sinh học môn: 23 + 37 + 36 − 79 = 17 Số học sinh khối: 76 + 76 + 79 − 35 − 36 − 37 + 17 = 140 học sinh Website: onthikstn.com Trang 55 Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2016 co m Bài 1: Gọi M trung điểm BC HA qua H, A nên có PT x + y − = BC vng góc với HA qua A nên có x − y = Biết I pt BC suy M (3; 3) HA = 2M I nên A(−1; 5) Suy R tìm độ dài BC, đáp số 12 Bài 3: Khai triển Taylor ta có: st n Bài 2: Số cách xếp 10 người nam nữ vào bàn tròn đánh số: 10! Làm theo bước để xếp theo yêu cầu toán: * Chọn bạn nữ ngồi cạnh nhau, chọn thứ tự trước sau, có cách * Chọn cặp vị trí cho bạn nữ, có 10 cách * Chọn vị trí cho bạn nữ cịn lại, có cách * Chọn vị trí cho bạn nam cịn lại, có 7! cách 7!.10.6.4 = Xác suất cần tìm: 10! F (x) = F (m) + (x − m)F (m) + (x − m)2 Suy đpcm Bài 4: F (c) với c nằm x m AC + BD Do gọi u, v vector đơn vị AC, BD thì: u+v OM = AC ik Chỉ : OM = Suy quỹ tích cần tìm đường thẳng, dễ đường on th Bài 5: Xét : * y = Dẫn đến z = 0, VT chia dư 0, VP chia dư 0, VT chia hết cho dẫn đến x = 0, từ suy vơ nghiệm *y=0 Dẫn đến z = theo tính chẵn lẻ, pt cho trở thành : 3x − 2y = Xét y = 1, 2, Với y > 2y chia hết cho 16 nên 3x − chia hết cho 16, suy x = 4k ⇒ (9k − 1)(9k + 1) = 2y Duy có hai số và lũy thừa 2, đến gặp mâu thuẫn Đáp số: (x, y, z)=(1,1,0),(2,3,0) Bài 6: Website: onthikstn.com Trang 56 Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 n (ak cos(kx) + bk sin(kx)) = x(1) k=1 n (ak cos(kx) + bk sin(kx)) − x, cho x tiến tới +∞ f (x) tiến tới −∞, Xét f (x) = k=1 on th ik st n co m đại lượng lượng giác hệ số chúng bị chặn Tương tự cho x → −∞ f (x) → +∞ Theo định lí giá trị trung gian pt f (x) = có nghiệm, suy đpcm Website: onthikstn.com Trang 57 Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2017 Bài 1: Ta thấy hàm số khơng có tiệm cận đứng, có tiệm cận ngang y=0 tiệm cận xiên y=2x Bài 2: Nhân phương trình ban đầu với z+1 thu z = −1 Do co m A = (z )672 (z − z) = (−1)672 (−1) = −1 Bài 3: Ta thấy (x2 + y )5 − (x5 + y )2 = 5x2 y (x6 + y ) + 9x4 y (x2 + y ) + x4 y (x − y)2 ≥ 0∀x, y Do −32 ≤ P ≤ 32 st n Đẳng thức vế trái xảy ra, chẳng hạn (x,y)=(-2,0) Đẳng thức vế trái xảy ra, chẳng hạn (x,y)=(2,0) Bài 4: Khơng khó để nhận thấy thiết diện hình chữ nhật có đỉnh M,N,P,Q trung diểm CA,AB,BD,DC Do diện tích thiết diện S = MN ∗ NP = (BC + AD)2 l2 BC ∗ AD ≤ = 16 16 on th ik Đẳng thức xảy BC=AD=l/2 Bài 5: Bạn đọc tự vẽ hình Gọi I(4,1) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BED Chú ý IE AH vng góc ( chứng minh) ta có phương trình IE 4x+3y-19=0 Kết hợp với IE=5 suy E(7,-1) Do phương trình AE x=7 Từ phương trình AE phương trình AH tìm A(7,1) Từ phương trình AE ID=5 tìm D(7,5) Từ phương trình AH Eh vng góc với DH suy tọa độ H ( có điểm H) Từ tọa độ H, viết phương trình EH AB suy tọa độ B Bài tốn có nghiệm Bài 6: Gọi f(x) =Vế trái= Vế phải Nhận thấy f(x) vừa hàm chẵn , vừa hàm lẻ nên đồng Nhận thấy cos(nx) đa thức bậc n theo cos(x) Thật vậy, ta chứng minh quy nạp, giả sử cos(kx) đa thức bậc k cos(x) với k