Hình học không gian chứng minh đồng quy dạng 4

- Ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt.. khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng.. Trong không gian để chứng minh ba đường thẳng a,

HÌNH KHÔNG GIAN

DẠNG 4: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

1 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:

Phương pháp

- Ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng

2 Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp

- Ba đường thẳng a, b, c đồng quy Nghĩa là, ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm O nào đó

Trong không gian để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta có thể làm như sau:

 Tìm giao điểm O của 2 đường thẳng a và b đã cho

 Giả sử c là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nào đó

 Chứng minh rằng O là điểm chung của (P) và (Q)

 Kết luận: a, b, c đồng quy tại O

Ví dụ 1 Cho hai hinh bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Trên đoạn EC lấy điểm M, trên đoạn DF lấy điểm N sao cho các đường thẳng

AM và BN cắt nhau Gọi I, K là giao điểm các đường chéo của hai hình bình hành Chứng minh rằng các đường thẳng IK, AM, BN đồng quy

 Tìm giao điểm O của 2 đường

thẳng a và b đã cho

 Chứng minh rằng O là điểm

chung của (P) và (Q)

 Giả sử c là giao tuyến của hai

mặt phẳng (P) và (Q) nào đó

 Kết luận: a, b, c đồng quy tại O

 Tìm giao điểm O của 2 đường thẳng AM và BN đã cho

 Chứng minh rằng O là điểm chung của (AEC) và (BFD)

 Ta chứng minh IK là giao tuyến của hai mặt phẳng (AEC) và (BFD)

 Kết luận: AM, BN, IK đồng quy tại O

Chứng minh rằng O là điểm chung của (AEC) và (BFD)

Ta có:

 

AM AEC

BN BFD O AEC BFD

AM BN O











Chứng minh IK là giao tuyến của hai mặt phẳng (AEC) và (BFD) ( chính là dạng tìm giao tuyến của 2 mặt đã học ở dạng 1)

Ta có:

 

 

   

;

;







Ví dụ 2

Cho tứ giác lồi ABCD và tam giác ABM nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Trên các cạnh MA, MB của tam giác MAB ta lấy các điểm tương ứng A’, B’ sao cho các đường thẳng CA’ và DB’ cắt nhau Gọi H là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD Chứng minh rằng các đường thẳng MH, CA’, DB’ đồng quy

Ví dụ 3

Cho hai hinh bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Trên đoạn EC lấy điểm M, trên đoạn DF lấy điểm N sao cho các đường thẳng AM và BN cắt nhau Gọi I, K là giao điểm các đường chéo của hai hình bình hành Chứng minh rằng các đường thẳng IK, AM, BN đồng quy

Ví dụ 4

Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình chữ nhật M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA Chứng minh rằng ba đường thẳng

ME, NF và SO đồng quy (O là giao điểm của AC và BD)

Ví dụ 5

Cho tứ giác S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi Gọi M, N, E, F làn lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC và SD Chứng minh rằng ba đường thẳng ME, NF và

SO đồng quy ( O là giao điểm của AC và BD)