Hình học chọn lọc thi HSG toán lớp 12

TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN HÌNH HỌC THI HỌC SINH GIỎI 12 NĂM 2015 – 2016 (CHÚ Ý HỌC SINH CẦN TỰ VẼ HÌNH VÀ GIẢI TRƯỚC VÀ TÍNH CỤ THỂ KẾT QUẢ, TRÌNH BÀY RÕ RÀNG) a ; BAD  600 Gọi M, N trung điểm cạnh A ' D ', A ' B ' Chứng minh AC’ vuông góc với (BDMN) tìm VA.BDMN Bài 1: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB  AD  a; AA '  Gợi ý * Chứng minh AC '  ( BDNM ) + Do ABCD hình thoi nên BD  AC; BD  AA '  BD  ( AA ' C ' C)  AC '  BD (1) + Giả sử AC  BD  E; MN  A ' C '  F ; AA ' EF  I , từ tìm được: ACC '  IEA  AC '  EF (2) + Từ (1) (2) suy ra: AC '  ( BDMN ) * Tìm thể tích khối chóp A.BDNM + Dễ chứng minh A’ trung điểm đoạn AI (bằng tam giác đồng dạng) + Ta có: VA.BDMN  VI ABD  (VI A' MN  VA A' MN )  VI ABD  2VA A' MN a3 a3 3a3  2  32 16 Chú ý: + Để chứng minh A’C vuông góc với EF ta vẽ hình chữ nhật ACC’A’ từ chứng minh nhờ tính chất hình vuông AEOA ' (O trung điểm A 'C ' ) quen thuộc ; + Có thể tính trực tiếp thể tích Bài 2: Cho chóp S ABC cạnh đáy a ; M, N trung điểm đoạn SB, SC Mặt phẳng (AMN) chia khối chóp thành phần Tính thể tích khối chóp S.AMN tỉ số thể tích hai khối chóp chia mặt phẳng (AMN), biết (AMN) vuông góc với (SBC) Bài giải Tính thể tích khối chóp S.AMN + Trước hết gọi H trọng tâm tam giác ABC H trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác ABC cạnh a, mặt khác S.ABC hình chóp nên SH  ( ABC ) (1) + Để tính thể tích khối chóp S.AMN ta chứng minh SI  ( AMN ) tính diện tích tam giác AMN * Trước hết ta chứng minh SI (AMN ) , thực vậy: + Gọi E trung điểm BC, I  SE  MN MN đường trung bình tam giác SBC nên I trung điểm MN SE + Vì E trung điểm BC tam giác SBC có SB = SC (theo gt) HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN ( AMN )  ( SBC )  SE  BC      SE  MN (2) Mặt khác ( AMN )  ( SBC ) = MN   SE  ( AMN )  SI đường cao MN || BC  SE  ( SBC ); SE  MN   hình chóp S.AMN SI  AI * Tính diện tích tam giác AMN + Vì I trung điểm SE, SI vuông góc với AI nên tam giác SAE tam giác cân A hay AE  AS  a + Từ giả thiết dễ tính đoạn AH  a 3a 3a a 15 AE   SH  SA2  AH    ; 3 15a 3a a SH AE a 15 a a 10 SE  SH  HE    Từ ta AI    36 36 SE a SI  a a SE  ; MN  BC  2 + Dễ thấy S AMN 1 a 10 a a 10 ;  AI MN   2 16 1 a a 10 a3 Vậy thể tích khối chóp S.AMN VS AMN  SI S AMN   3 16 96 * Tìm tỉ số thể tích : phần dễ Từ ta tính VS ABC  SH S ABC , sau tìm V khối đa diện lại VA.MNCB  VS ABC  VS AMN lập tỉ số OK Chú ý: + Ở toán để tính toán lần ta phải phát tính chất sau chứng minh tính toán đối tượng A - Từ toán tính côsin góc tạo hai mặt phẳng (AMN ) (ABC ) sau: + Chiếu tam giác AMN lên mặt phẳng (ABC) tam giác AM’N’ M , N trung điểm đoạn SB, SC nên M ', N ' trung điểm đoạn HB, HC từ suy M ' N ' || BC (3) H M' I' N' C + Gọi I ' M ' N ' AE I ' trung điểm đoạn MN giao E tuyến hai mặt phẳng (AMN ) với mặt phẳng (ABC ) đường thẳng qua A song song với MN , M ' N ' nên (AII ') suy góc tạo hai mặt phẳng (AMN ) (ABC ) B IAI ' HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN + Trong tam giác ABC từ ta AI ' AI ' 3a ;M ' N ' AE SAMN 3a Vậy cos 32 AI '.M ' N ' tích tam giác AM ' N ' SAM ' N ' M 'N ' SAM ' N ' a nên diện 2 30 Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân đỉnh B, cạnh AB = a, ABC   1200 , gọi M trung điểm BC, H trung điểm AM Biết A ' H  ( ABC ) , AA ', ( ABC )  600 Tìm thể tích khối lăng trụ d ( A ' B, B ' C ) Gợi ý * Tính thể tích khối lăng trụ - Trước hết ta thấy AH hình chiếu đường thẳng A ' A lên mặt phẳng đáy (ABC ) nên góc đường thẳng A ' A mặt phẳng (ABC ) góc A ' AH 600 - Sử dụng định lý cô – sin cho tam giác BAM , ta được: AM BA2 BM 2BABM cos 1200 - Trong tam giác vuông A ' HA suy A ' H - Diện tích đáy ABC SABC AM a AH tan 600 AB.AC sin 600 Vậy thể tích khối lăng trụ V  A ' H S ABC  AH a a 21 a2 a 21 a 3a3  4 16 * Xác định khoảng cách hai đường thẳng A ' B B ' C (Phương pháp bao hình lăng trụ tam giác hình hộp, « Phương pháp hình hộp ngoại tiếp lăng trụ tam giác ») + Ta dựng hình hộp ABCD.A ' B 'C ' D ' hình vẽ Theo tính chất hình hộp ta ( A ' BD) || ( B ' CD ') (học sinh cần chứng minh điều này)  d ( A ' B, B ' C)  d (( A ' BD),( B ' CD '))  d (C,( A ' BD))  d ( A,( A ' BD)) (vì O trung điểm AC, giao AC với (A’BD)) + Gọi G trọng tâm tam giác ABC AG  d ( A, ( A ' BD))  4d ( H , ( A ' BD))  AM  AH  AG , từ ta có : a 609 (Việc dựng khoảng cách từ H đến (A’BD) học sinh tự 29 tính kết quả) Nhận xét: HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN - Có thể tính diện tích tam giác A’BD thể tích khối chóp S ABD sau tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A ' BD) (Để tính diện tích tam giác A ' BD cách : biết BD; A’B ý tam giác DAH vuông A nên tính đoạn DH suy A’D từ tìm diện tích tam giác A’BD) ; - Có nhiều cách làm khác để tính thể khoảng cách hai đường thẳng chéo liên quan đến lăng trụ tam giác; - Phương pháp hình hộp ngoại tiếp phương pháp « dễ » để tìm khoảng cách ; - Có nhiều cách « ngoại tiếp hình hộp » cho lăng trụ nhiên ta cần « khéo léo » kết nhanh Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân AB = a; BAC  1200 , SA vuông góc với mặt đáy, góc tạo hai mặt phẳng (SAB) (SBC) 600 Tìm thể tích khối chóp S.ABC d(AN,CM) M, N trung điểm SB SC Gợi ý * Tính thể tích khối chóp S ABC + Gọi H hình chiếu vuông góc điểm C AB BAC  1200  H thuộc tia đối tia AB CH  CA.sin 600   BH  a a  AH  CA.cos600  2 3a + Theo cách dựng giả thiết suy CH  (SAB) (1) Gọi K hình chiếu vuông góc H AB suy HK  SB    SB  (CKH ) từ ta có : CH  SB  ( SAB)  SBC )  SB  ( SAB)  (CHK )  HK    ( SAB), ( SBC )   CK , HK   CHK  60 (do tam giác CHK vuông H CH ( SBC )  (CHK )  CK   (CHK )  SB vuông góc với (SAB))   + Từ tam giác CHK vuông H suy HK  CH / tan 600  a / + Do tam giác BHK vuông K nên sin HBK  HK a a    SA  AB.sin HBK  HB 3a 3 Từ ta tìm diện tích tam giác ABC thể tích khối chóp S.ABC * Tính khoảng cách d(AN, CM) Trong mặt phẳng (SBC) dựng hình bình hành NMCP, đó: NP||CM suy CM || ( ANP) từ suy d(CM,AN)=d(CM,(ANP))=d(C, (ANP)) + Gọi E trung điểm AC, d(C,(ANP))=2d(E,(ANP)), mặt khác ta có: NE||SA SA vuông góc với (ABC) nên NE vuông góc với (ABC) NE = 1/2SA = a/6 + Việc dựng tính khoảng cách từ điểm E đến (ANP) đơn giản học sinh tự trình bày OK HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = 2a, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Gọi M trung điểm đoạn SD, (ABM) vuông góc với (SCD) đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD Tính thể tích khối chóp S.BCM khoảng cách từ điểm M đến (SBC) Gợi ý Gọi E, N, H, I, K trung điểm CD, SC, AB, SE, HD, ta có: AD  a (bài dễ) + Chứng minh tam giác SHE vuông cân H nên suy thể tích khối chóp Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, BC = a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB), (ABCD) góc 300 , gọi M trung điểm cạnh CD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SC, BM Gợi ý * Tính thể tích: + Học sinh cần trình bày đầy đủ cách dựng góc SC với hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) (từng bước 1) + Từ việc dựng góc tính đoạn SB, SC, AC, AB theo BC = a góc dựng (hệ thức lượng tam giác vuông) + Từ tìm diện tích đáy, đường cao SA suy thể tích khối chóp S.ABCD * Tính khoảng cách: + Dựng hình bình hành BMCE từ chứng minh khoảng cách cần dựng d(I,(SEC))=1/3d(A, (SCE)) (Học sinh cần trình bày cách dựng khoảng cách rõ ràng, chứng minh tỉ số cách lập luận tam giác đồng dạng) + Gọi K hình chiếu vuông góc với A CE (từ dựng khoảng cách, học sinh cần lập luận đầy đủ khoảng cách d(A, (SCE)) đoạn AH + Để tính khoảng cách AH ta cần tính AK cách vận dụng AK.CE=AE.CB = (2 diện tích tam giác ACE) Từ tìm khoảng cách thui (Bài tập bản) Bài 7: (Tự nghĩ) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' đứng có đáy ABC tam giác vuông B, BA = a, BC = 2a; góc hai mặt phẳng ( BA ' C ) ( B ' A ' C )  với sin   Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng A ' B B ' C Bài giải Bài giải HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN + Ta dễ dàng tính diện tích đáy lăng trụ diện tích tam giác ABC vuông B + Để dựng góc hai mặt phẳng ( A ' B ' C ) ( BA ' C ) , ta dựng đường cao, BH, BK hai tam giác BB ' C( H  B ' C ); BA ' C( K  A ' C ) với ý từ giả thiết ta chứng minh BB ' C; BA ' C tam giác vuông B + Từ cách dựng chứng minh ta có: BH  B ' C BH  A ' C     BH  ( A ' B ' C )    A ' C  ( BHK ) BH  A ' B '( ( AA '  ( BCC ' B ')  BK  A ' C  + Học sinh nêu cách dựng góc hai mặt phẳng trên, ý tam giác BHK vuông H nên  (B ' A ' C), (BA ' C)   HK , BK   BKH   Bây ta tính chiều cao hình lăng trụ, đặt AA '  BB '  CC '  x  , theo hệ thức tam giác vuông ta có: 1    BH  2 BH BB ' BC Tương tự: BA '  x  a BB '.BC BB '2  BC  xa 4a  x (1) 1    BK  2 BK BA ' BC BA '.BC  BA '2  BC 2a x  a x  5a (2) Mặt khác tam giác vuông BHK ta có : BH  BK sin   9BH  BK (3) + Từ (1), (2) (3) ta : x2a2 4a ( x  a ) từ ta tìm x2  2a  x  a Từ  2 2 4a  x x  5a tìm thể tích khối lăng trụ * Tính khoảng cách hai đường thẳng d ( A ' B, B ' C ) (Ta dùng phương pháp « hình hộp ngoại tiếp hình vẽ) + Học sinh chứng minh d ( A ' B, B ' C)  d (( B ' CD '),( BA ' D))  d (C,( A ' BD))  d ( A,( A ' BD)) (học sinh phải chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau) + Việc dựng khoảng cách từ A đến (A’BD) đơn giản tính khoảng cách dễ học sinh tự tính Bài 8: (HSG Bắc Giang 2014 – 2015) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác tâm O Hình chiếu vuông góc C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng D A' với O Biết khoảng cách từ O đến đường thẳng CC’ a, góc B' hai mặt phẳng (ACC’A’) (BCC’B’) 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai C' đường thẳng CC’ AB’ Bài giải + Gọi H hình chiếu vuông góc O CC’ OH = a + Gọi M, D trung điểm AB A’B’ Trong mp(CMDC’) dựng MN / /OH MN CC ' (1); mà AB CM , AB C 'O AB (CMC ') AB CC ' (2) HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC N B A M H O K C TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ + Từ (1) (2) suy CC ' + Nếu ANB TRẦN VĂN TÂN (ABN ) (ACC ' A ');(BCC ' B ') AN ; BN 600 tam giác NAB cân N nên tam giác ABN Suy AN tam giác NAC vuông N) Suy ANB + Tính MN OH 3a ; AB 2MA Vậy thể tích khối lăng trụ cần tìm V AB AC (vô lí 1200 3a 3;CO OC '.SABC CM 3a ; OC ' 3a 2 81a ; 16 * Do CC’ // (ABB’A’) nên d(CC’; AB’) = d(CC’ ; (ABB’A’)) = d(C; (ABB’A’)) Vì AB  (CMC’) nên (ABB’A’)  (C’CM) ; mà (ABB ' A ') (C 'CM ) MD Dựng CK  MD suy CK  (ABB’A’) nên d(C; (ABB’A’)) = CK Ta có CK MD C 'O.CM CK C 'O.CM MD 3a 3a Vậy d(CC’ ; AB’) = 2 Bài 9: (HSG Thanh Hóa 2013 – 2014) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB  a, AD  b , SA vuông góc với đáy SA  2a Gọi M điểm nằm cạnh SA cho AM  x (0  x  2a) Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MBC) Tìm x theo a để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích Bài giải S Thiết diện hình thang vuông MNCB, vuông B M Tính diện tích thiết diện: SMNCB  ( MN  CB) MB ; BM  BA2  AM  a2  x2 SMN đồng dạng SAD  MN  Vậy SMNCB M SM AD (2a  x).b  SA 2a  2ab  bx     b a2  x2  2a  N A D B Gọi V thể tích khối chóp 2a b V S.ABCD  VS ABCD  SA.S ABCD  3 C Gọi V1 thể tích khối SMNCB: V1  VS MBC  VS MNC Ta có VS MBC SM SB.SC SM 2a  x    VS ABC SA.SB.SC SA 2a 1 V 2a  x V 2a  x ab (2a  x) VSABC  SA.S ABC  2a 2b   VSMBC    a.b 2a 2a HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN V SM SN SC SM SN  MN   2a  x  Ta có S MNC       VS ACD SA.SC.SD SA SD  AD   2a   VS ACD  V a 2b   VS MNC  (2a  x)2 a 2b (2a  x)2  b 4a 12 V a 2b (2a  x).ab (2a  x)2 b a 2b Yêu cầu toán  V1      12  x  a(3  5)  2a (loai)  x  6ax  4a     x  a(3  5) (t / m) Vậy với x  a(3  5) mp(MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích Bài 10: (HSG Hà Nam 2015 – 2016) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’, có đáy ABC tam giác vuông với AB  BC  A’ cách đỉnh A, B, C Gọi L, K trung điểm BC , AC Trên đoạn A’B, A’ A lấy M , N cho MA’  2BM , AA’  A’N Tính thể tích khối tứ diện MNKL, biết A’L  10 Cho hình chóp S ABC có độ dài cạnh SA  BC  x, SB  AC  y, SC  AB  z thỏa mãn x  y  z  12 Tính giá trị lớn thể tích khối chóp S.ABC Bài giải 1) Gọi E trung điểm AN, ta có ME//AB//LK  SMLK  SELK  VMNKL  VNELK ta có S EKN  S A ' KA +) Do A ' A  A ' B  A ' C K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên A ' K   ABC   ( A ' AC )   ABC  B ’ C’’ mà BK  AC  BK   A ' AC  BK +) Ta có d  L,  NKE    d  B,  NKE    , L trung điểm 2 1 AC  BC VNELK  d  L,  NKE   S NKE  KB.S A ' KA ; KB  18 A’ ’ N M L B C E K A +) Vì A ' K   ABC   A ' K  KL  A ' K  A ' L2  LK   S A ' AK  A ' K KA  2 Vậy VNELK  1 1 KB.S A 'KC    VMNLK  18 18 6 HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN 2) Qua đỉnh tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng đôi cắt tạo thành tam giác MNP hình vẽ S +) Có SMNP  4S ABC  VS ABC  VS MNP +) Do SB  AC  NP  SNP vuông S C M A Tương tự, tam giác SMN, SMP vuông S P B N Đặt a  SM , b  SN , c  SP , ta có: a   x  z  y  a  b  x    2 2 2 b  c  y  b   x  y  z  c  a  z  2 2  c   y  z  x  1 VS ABC  VS MNP  abc  24 12 x  y  z  y  z  x  z  x  y  Mà theo bđt Côsi:  x  y  z  y  z  x2  z  x  y    x  y  z  y  z  x  z  x  y   12      4    3 3 2  Đẳng thức xảy r x2  y  z   x  y  z  Vậy GTLN thể tích khối 12 2 chóp S.ABC nên VS ABC  Bài 11: (HSG Hải Phòng bảng A 2015 – 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC  1200 , cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi G trọng tâm tam giác ABC, I thuộc cạnh SB cho SI = 2IB Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SC IG theo a Bài giải a2  AB.ADsin 60  SABCD Ta có Dựng SH  BC , H  BC Do SA  BC , suy SHA   BC Suy SHA góc (SCB) (ABCD)  SHA  450  SAH vuông cân  SA  AH VSABCD Vậy ta có b) Ta có IG  AB.sin ABH  a.sin 600  a a3  SA.SABCD  (Đvtt) //(SCD)  d  IG,SC   d  G, SCD    d  O, SCD    d  A, SCD   3 Gọi E hình chiếu vuông góc A CD, gọi K trung điểm SE HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN Chứng minh AK  (SCD)  d  A, SCD    AK a a  d(SC, IG)  Bài 12: (HSG Ninh Bình 2017) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B, AB  2BC Hình chiếu vuông góc A ' mặt phẳng  ABC  trung điểm H cạnh AB ; gọi K Tính AK  trung điểm AC Biết khoảng cách hai đường thẳng A ' A HK a ; góc hai mặt phẳng  AA ' B   AA ' C  300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Bài giải Bài 13: (HSG Vĩnh Phúc 2017) Cho tứ diện ABCD có BAC  CAD  DAB  600 , AB  8(cm), AC  9(cm), AD  10(cm) Gọi A1 ,B1 ,C1 ,D1 trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC a) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  ACD  b) Tính thể tích khối tứ diện A1B1C1 D1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB  8, BC  Biết SA  SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Tìm bán kính mặt cầu có tâm thuộc phần không gian bên hình chóp tiếp xúc với tất mặt hình chóp S ABC Bài 14: (HSG Hải Dương 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông tâm O cạnh a Hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm OC Góc mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  2, góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABCD)  Tìm giá trị cos  để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Lấy điểm M thuộc đoạn AD’, điểm N thuộc đoạn  a 2   BD cho AM  DN  x,   x   Tìm x theo a để đoạn MN ngắn Bài giải S 1) Kẻ HK  AB (K  AB)  AB  (SHK)  SKH  60 HK AH 3 HK // BC     HK  a BC AC 4 3 Tam giác SHK vuông H  SH  HK tan 600  a 3 3 S ABCD  a  VS ABCD  a a a 4 2) Gọi M, N trung điểm BC, AD, gọi H hình chiếu vuông góc từ N xuống SM Ta có: SMN  ,d  A; SBC    d  N; SBC    NH   MN  H K O S NH   SABCD  MN  sin  sin  sin  tan   sin  cos 4     sin  cos 3.sin .cos HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC D A H C D SI  MI tan    VSABCD C B N M I A B 10 TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN sin   sin   2cos 2 sin .sin .2cos     sin .cos  3 2 VSABCD  sin .cos max  sin   2cos2   cos  3) Gọi M’, N’ hình chiếu M, N lên AD Ta có MN  M ' M  M ' N  M ' M  M ' N '  N ' N Tam giác M’AM vuông cân M’ nên có 2 2 2 x ; Tam giác N’DN vuông cân N’ x nên có N ' D  N ' N  M ' N '  AD  M ' A  N ' D  a  x 2 x2 x2 MN   a  x   3x  2a.x  a 2 Khi M ' A  M 'M      a2 a2 a MN  3 x  a     MN   3  a a Vậy MN ngắn đạt x  3 Bài 15: (HSG Thanh Hóa 2015) Cho tứ diện SABC có SA  a, SB  b, SC  c SA  SB, SA  SC, SB  SC Gọi R , V theo thứ tự bán kính mặt cầu ngoại tiếp thể tích tứ diện SABC Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c chứng minh rằng: R  972V 2 Bài giải abc (1); Gọi h độ dài đường cao kẻ từ S hình chóp SABC ta 1 1 có:    (2) h a b c 3V Gọi diện tích tam giác ABC dt(ABC) ta có: dt ( ABC )  (3) h Ta có V  a 2b  b c  c a Từ (1), (2), (3) ta có dt ( ABC )  Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC M , N trung điểm BC, SA Khi 1 R  IS  SN  SM  SA   SB  SC   a  b2  c 4 A a N I c S C b M B 6 27a 2b c 972V Theo Côsi ta có: R  (4)Từ (4) (1) suy R  2 HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 11 TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 16: (HSG Nam Định 2015 – 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B; AB  BC  4a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H trung điểm AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) a 10 Tính S thể tích khối chóp S.HBCD cosin góc hai đường thẳng SC HD Bài giải +) Tam giác SAB cân nên  SH  AB +) SAB)  ( ABCD)   ( SAB)  ( ABCD)  AB   SH  ( ABCD)  SH  AB  +) Kẻ CK  HD, K  HD mà SH  ( ABCD)  SH  CK A D K M H E B Do C N CK  (SHD)  d (C,(SHD))  CK  a 10 + Tính CH  a 20  HK  a 10  CK Do tam giác CHK vuông cân K Nên KHC  45  DHC  45  tan DHC  +) Tam giác ABH vuông B nên tan BHC  +) tan BHD  tan( BHC  CHD)  tan BHC  tan CHD  3  tan BHC.tan CHD AD   AD  6a Mà BHD  AHD  180 Do tan AHD   AH ( AD  BC ) AB  20a Ta có S ABCD  SHBCD  S ABCD  S AHD  20a  6a  14a Vậy VS HBCD  28a3 SH S HBCD  3 b) Tính cosin góc hai đường thắng SC HD Tam giác SHC vuông H nên SC  a 32 +) Gọi M  AC  HD; E  BC  HD +) Khi AEBD hình bình hành nên EB  AD  4a  EC  10a AD AM 6a 3 3 3a     AM  MC  AC  a 32  8 +) AD//EC nên EC MC 10a +) Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ CN//HD với N thuộc đường AB Do góc SC HD góc CN SC 10 Ta có: AH  HN  HN  a  BN  a 3 208 10 a; CN  BN  BC  a Ta có: SN  SH  HN  3 +) Áp dụng định lý Côsin tam giác SCN , ta có cos SCN  HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC SC  CN  SN  2SC.CN 12 TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN +) cos( SC , HD)  cos(CN , SC )  cos SCN Vậy cos( SC , HD)  cos SCN  Bài 17: (HSG Hà Nam 2012) Cho tứ diện SABC có AB  AC  a, BC  a , SA  a (a  0) Biết góc SAB  300 góc SAC  300 Tính thể tích khối tứ diện theo a Chứng minh tứ diện có độ dài cạnh lớn 1, độ dài cạnh lại không lớn thể tích khối tứ diện không lớn Bài giải 1) Theo định lý cosin tam giác SAB ta có S SB  SA2  AB  2SA AB.cos300  3a  a  2a 3.a  a2 M Vậy SB = a Tương tự ta có SC = a Gọi M trung điểm SA, hai tam giác SAB cân B SAC cân C nên MB  SA, MC  SA  SA   MBC  Ta có VSABC  VSBMC  VABMC  C SA.SMBC A Hai tam giác SAB SAC (c.c.c) nên MB = MC suy tam giác MBC cân M, MN  BC , ta có MN  SA (Ở N trung điểm BC) N B 2  a   a  3a MN  AN  AM  AB  BN  AM  a        16 4   2 2 2 2 a Vậy 1 a3  SA MN BC  16 A Suy MN  VSABC D 2) Giả sử tứ diện ABCD có AB>1, cạnh lại x   0;1 không lớn Đặt CD = x, Gọi M trung điểm BC, K hình chiếu B lên CD H hình chiếu A lên mp( BCD) Khi B H C K M 1 VABCD  SBCD AH  x.BK.AH (1) 2 BC  BD CD2 x2     BM   x2 Có BM  4  x2 Tương tự, có AM  HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 13 TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN 1  x (2), AH  AM  AH   x (3) 2 Từ (1), (2) (3) suy VABCD  x(4  x ) 24 1 Mặt khác hàm số f (x)  x(4  x ); x   0;1 đồng biến nên f(x)  f (1)  Nên VABCD  (đpcm) 24 8 Mà BK  BM  BK  (Dấu xảy hai tam giác ACD BCD hai tam giác có cạnh H,K trùng với M Khi AB  /  1) Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, biết AB = BC = a , khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a SAB  SCB  900 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCvà khoảng cách hai đường thẳng SB, AC Bài giải S Gọi H hình chiếu vuông góc S mp(ABC) Ta có: SH  ( ABC )    HA  AB SA  AB (gt)  Tương tự HC  BC Suy tứ giác HABC hình vuông +Ta có: AH / / BC  (SBC)  AH / / (SBC)  d[ A,(SBC )]  d[ H ,(SBC )]  a Dựng HK  SC K (1) Do BC  HC    BC  ( SHC )  BC  HK BC  SH  K I H C O A B (2) Từ (1) (2) suy HK  (SBC ) , nên d[ H ,( SBC )]  HK  a 1 1 Ta có:     HS  a 2 HS HK HC 6a 1 a3 Thể tích Khối chóp S.ABC tính bởi: V  S ABC SH  AB.BC.SH  a 3.a 3.a  6 Gọi I hình chiếu O lên SB d ( AC; SB)  OI a a  2 a Vậy khoảng cách AC SB d  AC; SB   A' Bài 19: Thái Bình 2016 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác vuông C, với BC = a, BB' = 2a, AB' = 3a Gọi M trung điểm A'B', I giao điểm BM AB' Tính thể tích tứ diện IABC khoảng cách từ B đến mặt phẳng (IAC) Bài giải + Gọi H, K hình chiếu I lên AB, A' B' Do ( ABC )  ( ABB' A' ) nên IH  ( ABC ),VIABC  IH SABC (1) Trong tam giác vuông OIB ta có: OI  OB.sin 450  HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC M K B' C' I A H C B 14 TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN + Do ABB' A' hcn nên AB  a BC AC  a (2) IH AB IH 4a + Theo Talet:  ' 2   IH  (3) IK B M KH 3 4a Từ (1), (2), (3) suy ra: VIABC  2 + Có IA  AB'  2a  SIAC  SAB'C 3 ' ' Do BCC B hình chữ nhật nên B'C  a ABC vuông C nên AC = 2a  SABC  + Mặt khác AC  ( BCC ' B' )  AC  CB'  S IAC  2a SAB'C  3 3 4a 3VIABC 2a + VIABC  VBIAC  d ( B, ( IAC ))    SIAC 2a 5 Bài 19: (HSG Đắc Lắc 2011) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cân có AB = AC = a (a số thực dương) mặt bên ACC’A’ hình chữ nhật có AA’=2a Hình chiếu vuông góc H đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm đoạn thẳng A’C 1/ Chứng minh thể tích khối chóp A’.BCC’B’ lần thể tích khối chóp B.ACA’ 2/ Khi B thay đổi, xác định vị trí H A’C cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ tích lớn 3/ Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ lớn nhất, tìm khoảng cách AB A’C Bài giải B B’ J C C’ H A A’ Gọi V thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, VB.ACA’ thể tích khối chóp B.ACA’, - Ta có V = h.SABC (h chiều cao khối lăng trụ ABC.A’B’C’) - Ta có VB.ACA’ = h.SABC - Vậy V= 3.VB.ACA’ hay VA’.BCC’B’ = 2.VB.ACA’ - Ta có V= 3.VB.ACA’ Vậy V lớn VB.ACA’ lớn nhất, a2 - Ta có: VB ACA'  S ACA ' BH hay VB ACA'  BH , mà BH2 = AB2 – AH2 = a2 – AH2 – BH lớn 3 a AH nhỏ tức AH  A’C  CH  - Trong mp(AHB) kẻ HJ  AB, suy HJ đường vuông góc chung AB A’C HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 15 TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ - Trong ta giác vuông AHB ta H ta có: TRẦN VĂN TÂN 4a 1 , ta có: ; HA    HJ HA2 HB a2 2a ; suy ra: HJ  HB  5 Bài 20: (HSG Vĩnh Phúc 2012) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M trung điểm SD, mặt phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (SCD) đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD Tính thể tích khối chóp S.BCM khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Bài giải S Gọi H, N, L, E trung điểm AB, CD, SC, HD Gọi I  AN  BD, K  LM  SN ; Dễ thấy tứ giác AHND hình AN chữ nhật IN  Từ giả thiết ta có SH   ABCD  , ME / / SH  ME  BD 1 M K Lại AM  BD   Từ 1 &    BD   AMN   BD  AN Trong tam giác AND ta có NA2 ND  NI NA   NA  ND  a  AD  NA2  ND2  a Dễ thấy CD   SHN  , ML / /CD  ML   SHN   ML  SN  3 L A D E I H N B C Do  ABLM    SCD  ,  ABLM    SCD   ML (4), nên từ  3 &    SN   ABLM   SN  HK Lại K trung điểm SN nên tam giác SHN vuông cân H suy SH  HN  a 4a 11  a Ta có VS ABCD  SH AB AD  ; VS BCM  VS BCD   VS ABCD   ( đvtt) 3 2  Ta có BC  SH , BC  AB  BC   SAB   BC  SB  SSBC  SB.BC 2 1 a  HB  SH BC  a  2a a  2 3V a Mặt khác ta có d  M ;  SBC    MSBC  SSBC Bài 22: (HSG Nghệ An 2013) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA' BC a Tính theo a thể B' tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' A' Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng    qua trung điểm I đoạn C' thẳng AG cắt cạnh AB, AC, AD điểm D HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC B E A 16 G C TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN (khác A ) Gọi h A , h B , h C , h D khoảng cách từ điểm A, B, C, D đến mặt phẳng    h 2B  h C2  h D2 Chứng minh rằng:  h 2A Bài giải 1) Diện tích đáy SABC  a2 Gọi G trọng tâm tam giác ABC BC  AE Gọi E trung điểm BC Ta có   BC   AA'E  BC  A'G Gọi D hình chiếu vuông góc E lên đường thẳng AA' Do BC  DE, AA'  DE Suy DE khoảng cách hai đường thẳng AA' BC DE   DAE  300 Tam giác ADE vuông D suy sin DAE  AE a Xét tam giác A'AG vuông G ta có A'G  AG.tan 300  3 a Vậy VABC.A 'B'C'  A'G.SABC  12 A 2) Gọi B', C', D' giao điểm mp    với cạnh D' AB, AC, AD Ta có VAGBC  VAGCD  VAGDB  VABCD (*) Vì VAB'C'D'  VAIB'C'  VAIC'D'  VAID'B' (*) nên VAB'C'D' VAIB'C' V V   AIC'D'  AID'B' VABCD 3VAGBC 3VAGCD 3VAGDB  B' B I C' D G C AB'.AC'.AD' AI.AB'.AC' AI.AC'.AD' AI.AD'.AB'    AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB AB AC AD AG BB' CC' DD'    6   3 AB' AC' AD' AI AB' AC' AD' BB' h B CC' h C DD' h D  ,  ,  Mặt khác ta có AB' h A AC' h A AD' h A h h h Suy B  C  D   h B  h C  h D  3h A (**) hA hA hA  HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 17 TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN Ta có:  h B  h C  h D   3 h B2  h C2  h D2    h B  h C    h C  h D    h D  h B   ( ) 2 Kết hợp với (**) ta  3h A   3 h B2  h C2  h D2  h 2B  h C2  h D2 Hay  h 2A Bài 23: (HSG Huế 2015) Bài giải Bài 24: (HSG Huế 2014) HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 18 TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN Bài giải Bài 25: (HSG Huế 2013) Bài giải HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 19 TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN Bài 26: (HSG Huế 2016) HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 20 TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN Bài 27: Bài 1: (HSG Thái Bình 2013 – 2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết AB = a, SA = 2a; SAD  SAB  BAD  600 1) Chứng minh BD vuông góc với (SAC); 2) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 2: (HSG Ninh Bình 2013) Cho khối tứ diện ABCD có AB > Các cạnh lại có độ dài không lớn Gọi V thể tích khối tứ diện ABCD Tìm giá trị lớn V Gợi ý Theo tam giác ACD BCD có cạnh không lớn Đặt CD = a ( a2  a  ) Các đường cao AF, BE tam giác tương ứng không lớn  HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 21 TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ + Do tam giác ASF vuông S nên chiều cao tứ diện SA  AF   TRẦN VĂN TÂN a2 1 + Thể tích khối tứ diện ABCD V  SA.S BCD  BE.CD.SA  a(4  a ) 24 Khảo sát hàm số f(a) OK?? Vậy max V   a  Bài 3: (Tuyên Quang 2015) Cho hình chóp S.ABC có SAC  SCA  ABC  900 ; SA  25 / 4(cm); AB  4(cm); BC  3(cm) Tìm thể tích khối chóp S.ABC Bài 4: (An Giang 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, (SAB) vuông góc với mặt đáy SA = 1/2AD= a; SB  a Gọi M, N trung điểm đoạn AB, BC a) Tính thể tích khối chóp S.BMDN ; b) Tính cô – sin góc tạo hai đường thẳng SM DN; c) Tính khoảng cách hai đường thẳng SM, DN Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A, B; AB = 2a; AD = 2BC Mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy SC  a , với H trung điểm đoạn AB Tính d(D, (SCH)) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a , gọi (P) mặt phẳng chứa cạnh AB, cắt cạnh SC, SD M, N Biết khoảng cách từ CD đến mặt phẳng (P) a a) Tính góc (P) (ABCD); b) Xác định thiết diện tạo (P) hình chóp Tính diện tích thiết diện Bài 7: HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 22 ... bao hình lăng trụ tam giác hình hộp, « Phương pháp hình hộp ngoại tiếp lăng trụ tam giác ») + Ta dựng hình hộp ABCD.A ' B 'C ' D ' hình vẽ Theo tính chất hình hộp ta ( A ' BD) || ( B ' CD ') (học. .. y  z  Vậy GTLN thể tích khối 12 2 chóp S.ABC nên VS ABC  Bài 11: (HSG Hải Phòng bảng A 2015 – 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC  120 0 , cạnh bên SA vuông góc với... h 2A Bài 23: (HSG Huế 2015) Bài giải Bài 24: (HSG Huế 2014) HỌC TRỞ THÀNH NHÂN TÀI CỦA ĐẤT NƯỚC 18 TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ TRẦN VĂN TÂN Bài giải Bài 25: (HSG Huế 2013) Bài giải HỌC TRỞ THÀNH