Phân tích quá trình lập luận và chứng minh của học sinh khi học hình học không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HỒ VIẾT CƢỜNG PHÂN TÍCH QUÁ TRÌNH LẬP LUẬN VÀ CHỨNG MINH CỦA HỌC SINH KHI HỌC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Chun ngành: Lý luận phƣơng pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN KIÊM MINH Huế, năm 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng Kết nghiên cứu chưa công bố cơng trình khác Tác giả Hồ Viết Cƣờng ii LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy giáo TS Trần Kiêm Minh, người nhiệt tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, Phịng đào tạo sau đại học, Q Thầy giáo, Cơ giáo khoa Tốn, đặc biệt thầy thuộc chuyên ngành Lý luận Phương pháp dạy học mơn Tốn tận tình giảng dạy, truyền thụ cho nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu hai năm học vừa qua Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu em học sinh trường THPT Thuận An, Phú Vang, Thừa Thiên Huế tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình thực nghiệm Sau cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ln ủng hộ, động viên giúp đỡ tơi mặt để tơi hồn thành luận văn Do điều kiện thời gian khả hạn chế, xin chân thành biết ơn lắng nghe ý kiến dẫn, đóng góp để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! iii MỤC LỤC Trang TRANG PHỤ BÌA i LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT LỜI GIỚI THIỆU .5 Chương ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Khái niệm chứng minh lập luận 1.1.1 Khái niệm chứng minh 1.1.2 Khái niệm lập luận .9 1.2 Các dạng lập luận .9 1.2.1 Suy diễn 1.2.2 Quy nạp 10 1.2.3 Ngoại suy 10 1.3 Các dạng ngoại suy 11 1.4 Chứng minh giáo dục toán .13 1.3.1 Ngoại suy chứng minh giáo dục toán 14 1.5 Mối quan hệ lập luận chứng minh 15 1.5.1 Các khía cạnh chung lập luận chứng minh 15 1.5.2 Mối quan hệ lập luận chứng minh nghiên cứu giáo dục toán 15 1.6 Kết luận chương 18 Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 19 2.1 Mơ hình Toulmin 19 2.1.1 Cấu trúc lập luận theo mơ hình Toulmin 19 2.1.2 Mơ hình Toulmin nghiên cứu giáo dục toán lập luận chứng minh 20 2.2 Phân tích q trình lập luận chứng minh dựa mơ hình Toulmin 21 2.2.1 Tính thống nhận thức trình lập luận chứng minh 21 2.2.2 Khoảng cách trình lập luận chứng minh 23 2.2.3 Phân tích cấu trúc lập luận chứng minh dựa mơ hình Toulmin 24 2.2.3.1 Cấu trúc suy diễn, ngoại suy, quy nạp dựa mơ hình Toulmin 24 2.2.3.2 Phân tích mối liên hệ cấu trúc q trình lập luận chứng minh 26 2.3 Mơ hình Toulmin phân tích q trình ngoại suy 27 2.3.1 Đối với ngoại suy mã hoá 27 2.3.2 Đối với ngoại suy chưa mã hoá 28 2.3.3 Đối với ngoại suy sáng tạo 28 2.4 Vai trò giáo viên trình lập luận học sinh 29 2.5 Câu hỏi nghiên cứu 30 2.6 Kết luận chương 30 Chương THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 31 3.1 Ngữ cảnh mục tiêu 31 3.1.1 Ngữ cảnh 31 3.1.2 Mục tiêu 31 3.2 Phương pháp nghiên cứu 31 3.3 Nội dung phiếu học tập 31 3.3.1 Phiếu học tập 31 3.3.2 Phiếu học tập 38 3.3.3 Phiếu học tập 43 3.3.4 Phiếu học tập 46 3.3.5 Phiếu học tập .49 3.4 Kết luận chương Chương KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 52 4.1 Phân tích làm học sinh 52 4.1.1 Mối liên hệ cấu trúc lập luận chứng minh 52 4.1.1.1 Bài toán 53 4.1.1.2 Bài toán 56 4.1.1.3 Bài toán 60 4.1.1.4 Bài toán 63 4.1.1.5 Bài toán 68 4.1.2 Các dạng ngoại suy 71 4.2 Kết luận chương 76 Chương KẾT LUẬN 78 5.1 Kết luận 78 5.2 Đóng góp nghiên cứu hướng phát triển đề tài 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 PHỤ LỤC P1 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT CM : Chứng minh GV : Giáo viên HS : Học sinh LL : Lập luận LỜI GIỚI THIỆU Nghiên cứu suy luận chứng minh giáo dục toán lĩnh vực nghiên cứu rộng lớn nhiều nhà nghiên cứu quan tâm từ lâu (Chazan, 1993, [10]; De Villiers, 1990, [11]; Hanna 1989, [15], Healy and Hoyles 2000; Lakatos 1976, [17]; Hanna & De Villiers, 2012; Reid & Knipping, 2010, [40]; Pedemonte, 2007, [31]; Nguyễn Thị Ni, 2015, [4]) Trong lĩnh vực nghiên cứu này, hướng phân tích cấu trúc logic khía cạnh nhận thức trình lập luận (argumentation) chứng minh (proof) gần có nhiều kết quan trọng (Pedemonte, 2007; Knipping, 2008; Pedemonte & Buchbinder, 2011; Martinez, M., & Pedemonte 2014; Simpson, 2015) Lập luận tốn học xem q trình thuyết phục giá trị chân lý mệnh đề hay phát biểu (Chazan 1993; De Villiers 1990; Hanna 1989, Healy and Hoyles 2000; Lakatos 1976) Quá trình lập luận suy diễn, ngoại suy quy nạp Chứng minh trường hợp đặc biệt q trình lập luận kết luận đưa lập luận diễn dịch quy tắc suy luận Trong toán học, chứng minh thường trình lập luận suy diễn, q trình lập luận dẫn đến giả thuyết thường trình ngoại suy quy nạp Trong q trình lập luận, phát biểu đưa bị bác bỏ Tuy nhiên, trình chứng minh tốn học khơng thể thiếu lập luận Đặc biệt, lập luận ngoại suy tham gia vào trình phân tích giả thiết tốn mà giúp học sinh đưa ý tưởng hỗ trợ cho việc xây dựng chứng minh toán học Lập luận thường có cấu trúc ngoại suy quy nạp, chứng minh thường có cấu trúc diễn dịch Nếu từ lập luận ngoại suy (quy nạp) hình thành giả thuyết, học sinh chuyển đổi thành lập luận diễn dịch để đến chứng minh (quy nạp toán học) giả thuyết ta nói có tính liên tục cấu trúc (structural continuity) trình lập luận chứng minh Ngược lại, từ lập luận ngoại suy hay quy nạp, học sinh đến chứng minh diễn dịch ta nói có gián đoạn cấu trúc (structural distance/structural discontinuity) trình lập luận chứng minh Mơ hình Toulmin (Toulmin, 1958, [42]) thường đề cập đến sử dụng cơng cụ phương pháp luận để phân tích mối quan hệ trình lập luận đến giả thuyết chứng minh Mơ hình Toulmin đầy đủ nhiều tác giả sử dụng để phân tích tính liên tục/gián đoạn cấu trúc trình lập luận chứng minh (Pedemonte, 2005; Pedemonte, 2007), phân tích vai trị dạng ngoại suy học sinh sử dụng trình chứng minh (Pedemonte & Reid, 2010) Ở Việt Nam, tác giả Nguyễn Thị Ni (2015, [4]) bước đầu vận dụng mô hình Toulmin vào việc phân tích q trình suy luận chứng minh học sinh giải tốn hình học phẳng Trong nghiên cứu này, chúng tơi sử dụng mơ hình Toulmin để phân tích mối quan hệ q trình lập luận chứng minh dạng lập luận ngoại suy học sinh lớp 11 trình chứng minh tốn hình học khơng gian Nghiên cứu góp phần làm rõ cấu trúc dạng lập luận ngoại suy học sinh lớp 11 trình giải tốn hình học khơng gian Vì lí nêu định chọn đề tài luận văn là: “Phân tích q trình lập luận chứng minh học sinh học hình học khơng gian ” với mục tiêu sau:  Phân tích mối liên hệ cấu trúc q trình lập luận chứng minh học sinh lớp 11 giải tốn tốn hình học khơng gian  Phân tích dạng ngoại suy khác học sinh sử dụng trình chứng minh giải tốn hình học khơng gian Luận văn bao gồm chương: Trong chương 1, giới thiệu khái niệm lập luận chứng minh toán học giáo dục toán; dạng lập luận thường gặp; dạng suy luận ngoại suy chứng minh hình học khơng gian; mối quan hệ trình lập luận chứng minh Tốn Từ chúng tơi đặt số vấn đề khởi đầu cho nghiên cứu Trong chương 2, chúng tơi trình bày mơ hình Toulmin bản, công cụ phương pháp luận quan trọng cho phép nghiên cứu mối quan hệ cấu trúc lập luận chứng minh Sau đó, dựa vào mơ hình Toulmin, chúng tơi phân tích mối liên hệ cấu trúc lập luận chứng minh toán học cấu trúc dạng ngoại suy mà học sinh sử dụng chứng minh tốn Chương cung cấp khung lý thuyết cho phép thiết kế thực nghiệm phân tích liệu thực nghiệm chương sau Cuối cùng, đặt số câu hỏi nghiên cứu cho đề tài Trong chương 3, chúng tơi trình bày ngữ cảnh mục tiêu thực nghiệm Sau đó, chúng tơi trình bày nội dung phiếu học tập Cuối cùng, chúng tơi tiến hành phân tích tiên nghiệm tốn phiếu học tập Các phân tích cung cấp nhìn tổng quan tốn đưa cho học sinh, làm sở để đối chiếu phân tích sau thực nghiệm chương Trong chương 4, trước tiên mô tả lại liệu thực nghiệm thu thập số cặp học sinh điển hình Sau đó, chúng tơi tiến hành phân tích kết chủ yếu từ liệu thu thập Dựa lý thuyết trình bày Chương 2, chúng tơi phân tích theo hướng: mối liên hệ cấu trúc lập luận chứng minh, dạng ngoại suy học sinh sử dụng lập luận Từ phát khó khăn học sinh việc chuyển đổi cấu trúc lập luận sang chứng minh xem xét dạng ngoại suy hỗ trợ cho học sinh việc chuyển đổi cấu trúc lập luận sang chứng minh Cuối cùng, chương 5, đưa kết luận cho nghiên cứu cách phân tích yếu tố cho phép trả lời câu hỏi nghiên cứu đặt Bên cạnh việc trả lời câu hỏi nghiên cứu, chúng tơi bàn luận đóng góp nghiên cứu vấn đề lớn có tính khái quát việc dạy học chứng minh Tốn học Kết nghiên cứu góp phần khẳng định vai trò chủ đạo giáo viên việc thúc đẩy trình lập luận chứng minh Toán học sinh Mathematics Education Research Centre 27 Boero, P Douek, N Morselli, F & Pedemonte, B (2010).Argumentation and proof : a contribution to theoretical perspectives and their classroom implementation In Printo, M M F & Kawasaki, T F (Eds.) Proceedings of the 34th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol 1, pp 179-209 Belo Horizonte, Brazil: PME 28 Pedemonte, B (2001) Some cognitive aspects of the relationship between argumentation and proof in mathematics In M van den Heuvel-Panhuizen (Ed.), Proceedings of the 25th conference of the international group for the psychology of mathematics education PME-25, vol 4, (pp 33–40) Utrecht (Olanda) 29 Pedemonte, B (2002) Etude didactique et cognitive des rapports de l’argumentation et de la démonstration dans l’apprentissage des mathématiques Thèse de doctorat Grenoble I: Université Joseph Fourier 30 Pedemonte, B (2005) Quelques outils pour l’analyse cognitive du rapport entre argumentation et démonstration Recherche en didactique des mathématiques, 25(3), 313–348 31 Pedemonte, B (2007) How can the relationship between argumentation and proof be analysed ? Educational Studies in Mathematics, 66, 23–41 32 Pedemonte, B (2008) Argumentation and algebraic proof ZDM—The International Journal on Mathematics Education, 40(3), 385–400 33 Pedemonte, B., & Reid, D (2010) The role of abduction in proving processes Educational Studies in Mathematics, Volume 76, Issue 3, pp 281303 34 Pedemonte, B & Buchbinder, O (2011) Examining the role of examples in proving processes through a cognitive lens: the case of triangular numbers ZDM - Mathematics Education, 43, 257–267 35 Pedemonte, B (2013) The role of conceptions in argumentation and proof EnP Perry (Ed.), Memorias del 21º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones (pp 37-48) Bogotá, Colombia: Universidad Pedagógica 82 Nacional 36 Peirce, C S (1867) On the natural classification of arguments Presented April 1867 to the American academy of arts and sciences Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences, 7, 261–287 37 Peirce, C S (1878) Deduction, induction, and hypothesis Popular science monthly, 13(August), 470–82 38 Peirce, C S (1960) Collected papers Cambridge, MA: Harvard University Press 39 Plantin, C (1990) Essais sur l’argumentation, Kimé (Ed.), Paris 40 Reid, D.A & Knipping, C (2010) Proof in mathematics education Rotterdam: Sense Publishers 41 Thurston, W P (1994) On proof and progress in mathematics Bulletin of the American Mathematical Society, 30(2), 161–177 42 Toulmin, S E (1958) The uses of argument Cambridge: Cambridge University Press 43 Wolfram, S (2002) A new kind of science Wolfram Media Retrieved October 20, 2003, from http://wolframscience.com/reference/notes/1149b 44 Wood, T (1999) Creating a Context for Argument in Mathematics Class Young Children’s Concepts of Shape Journal for Research in Mathematics Education, 30(2), 171–191 83 PHỤ LỤC 84 Họ tên: …………………………………… Lớp: …………………………………… PHIẾU HỌC TẬP Bài tốn 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc với mặt đáy Hỏi mặt bên hình chóp tam giác gì? Tại sao? Bài làm: P1 Họ tên: …………………………………… Lớp: …………………………………… PHIẾU HỌC TẬP Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, SA vng góc với mặt đáy Gọi H, K hình chiếu A lên SB, SD Hỏi SC có vng góc với HK hay khơng? Tại sao? Bài làm: P2 Họ tên: …………………………………… Lớp: ………………………………………… PHIẾU HỌC TẬP Bài toán 3: Cho hai hình vng ABCD ABEF nằm hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M, N cho AM = BN Qua M, N dựng đường thẳng song song với AB cắt AD AF M’ N’ Xét vị trí tương đối hai mặt phẳng (DEF) (MM’N’N) Bài làm: P3 Họ tên: …………………………………… Lớp: …………………………………… PHIẾU HỌC TẬP Bài tốn 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a SA vng góc với đáy (ABCD) Gọi M trung điểm AD Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SBM) Bài làm: P4 Họ tên: …………………………………… Lớp: …………………………………… PHIẾU HỌC TẬP Bài tốn 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm cạnh SC Gọi M, N trung điểm AE, BC Có nhận xét quan hệ MN BD Bài làm: P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 ... là: ? ?Phân tích q trình lập luận chứng minh học sinh học hình học khơng gian ” với mục tiêu sau:  Phân tích mối liên hệ cấu trúc trình lập luận chứng minh học sinh lớp 11 giải tốn tốn hình học. .. cách lập luận chứng minh 2.2.2 Khoảng cách trình lập luận chứng minh Khoảng cách trình lập luận chứng minh khoảng cách việc tạo lập luận hợp lý cho giả thuyết lập luận xây dựng trình chứng minh. .. tố khác trình lập luận học sinh Như phân tích trên, ta thấy trình lập luận học sinh chứa cấu trúc lập luận suy diễn việc xây dựng cấu trúc suy diễn chứng minh dễ dàng, trình lập luận học sinh ngoại