sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư duy toán học cho học sinh thông qua các bài toán về dãy số

sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư duy toán học cho học sinh thông qua các bài toán về dãy số sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư duy toán học cho học sinh thông qua các bài toán về dãy số sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư duy toán học cho học sinh thông qua các bài toán về dãy số sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư duy toán học cho học sinh thông qua các bài toán về dãy số sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư duy toán học cho học sinh thông qua các bài toán về dãy số sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư duy toán học cho học sinh thông qua các bài toán về dãy số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên sáng kiến kinh nghiệm: "Phát triển tư tốn học cho học sinh thơng qua toán dãy số" Người thực hiện: Phùng Thị Minh Huệ Tổ chuyên môn: + Năm học: 2011 - 2012 ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài: Trong hệ thống giáo dục quốc dân, bậc Tiểu học bậc học móng Các mơn học nói chung mơn Tốn nói riêng góp phần khơng nhỏ vào việc hình thành phát triển sở ban đầu nhân cách người Những kiến thức, kỹ mơn Tốn có nhiều ứng dụng sống, làm sở cho việc học tập môn học khác học tiếp lớp Mơn Tốn giúp học sinh nhận biết mối quan hệ số lượng hình dạng khơng gian giới thực; rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận, phương pháp giải vấn đề nhằm phát triển trí thơng minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo Nó góp phần vào việc hình thành phẩm chất người lao động cần cù, cẩn thận, có ý thức vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nếp có tác phong khoa học Trong chương trình sách giáo khoa, toán dãy số đề cập hạn chế Các em giải tốn dạng đơn giản Vì vậy, tốn tốn đưa mức độ khó hơn, học sinh nhiều lúng túng, em khơng có kỹ giải dạng tốn Bởi vậy, cần có phương pháp giảng dạy tối ưu, mang tính hệ thống, đầy đủ để khắc phục tình trạng Căn vào lí trên, để đáp ứng nhu cầu nâng cao chất lượng giáo dục học sinh nhà trường, để tự bồi dưỡng lực thân, giúp đỡ Ban giám hiệu nhà trường, năm học 2011 - 2012, nghiên cứu vận dụng thành cơng đề tài: "Phát triển tư tốn học cho học sinh thơng qua tốn dãy số" Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 5A- Trường Tiểu học Tân Đức thời gian năm học GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1/ Cơ sở lý luận vấn đề: Trong nội dung chương trình Tốn Tiểu học, nội dung kiến thức số học trọng tâm, hạt nhân chương trình Các kiến thức phép toán số học hỗ trợ cho việc học tập nội dung khác đại lượng, phép đo đại lượng, yếu tố hình học, đồng thời phát triển lực tư duy, lực thực hành học sinh phẩm chất người lao động giỏi Chương trình Tốn Tiểu học xếp theo cấu trúc đồng tâm, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Thơng qua giải toán nâng cao em phát triển tư lơgic, rèn khả sáng tạo Tốn học Những học sinh có khiếu tốn học bồi dưỡng cách đắn em phát triển tốt trở thành nhà tốn học, khoa học xuất sắc Trong chuyên đề này, không tham vọng giải tất vấn đề dãy số lớp 4, mà tập trung sâu nghiên cứu hệ thống toán dãy số phương pháp giải toán 10 dạng sau: + Điền thêm số hạng vào sau, trước dãy số + Xác định số a có thuộc dãy cho hay khơng? + Tìm số số hạng dãy + Tìm số hạng thứ n dãy số + Tìm số chữ số dãy biết số số hạng + Tìm số số hạng dãy biết số chữ số + Tìm chữ số thứ n dãy + Tìm số hạng thứ n biết tổng dãy số + Tìm tổng số hạng dãy số + Dãy chữ Phần số học Tiểu học xét tập hợp số: số tự nhiên, phân số, số thập phân Nội dung kiến thức trọng tâm tập hợp số gồm có: Khái niệm ban đầu số - Các phép tính - Quan hệ thứ tự Đối với học sinh giỏi yêu cầu em nắm kiến thức cách tổng hợp Các toán bồi dưỡng học sinh giỏi thường tổng hợp tất nội dung kiến thức kể Các toán “Dãy số” liên quan đến tốn tính chất phép tính 2/ Thực trạng vấn đề: Qua thực tế dạy học, thấy thực trạng việc dạy - học toán nâng cao giáo viên học sinh nhiều vấn đề phải quan tâm Đó là: Nội dung dạy bồi dưỡng học sinh giỏi chưa đảm bảo lôgic, chưa phân dạng, loại mạch kiến thức Có phương pháp giải chưa phù hợp với đặc điểm tâm lý khả tiếp thu học sinh Về phía chun mơn chưa có tài liệu đạo cụ thể nội dung phương pháp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn để giáo viên lấy làm sở Học sinh chưa có phương pháp tư lơgic để giải dạng tập dạng nâng cao Vì vậy, chất lượng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi chưa cao Trước áp dụng đề tài, khảo sát học sinh lớp 5A (đã học xong chương trình lớp chưa áp dụng đề tài) thu kết sau: Lớp Số 5A 18 Điểm 9, 10 Điểm 7, Điểm 5, Điểm SL % SL % SL % SL % 5,5 16,7 11 61,1 16,7 Điều đáng quan tâm qua trao đổi với học sinh, nhận thấy em không tự tin với dạng tốn này, gây ảnh hưởng đến tâm lí học tốn em Căn thực trạng trên, nhiệm vụ đề tài cung cấp cho học sinh phương pháp giải tốn dãy số có hệ thống, giúp em tự tin, u thích mơn Tốn hơn, góp phần phát triển tư cho học sinh 3/ Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề: 3.1/ Những vấn đề chung dạy số tự nhiên Dạy học số tự nhiên bậc Tiểu học nhằm giới thiệu cho học sinh khái niệm số tự nhiên 10 ký hiệu (tức chữ số) để viết số, đơn vị đếm hệ thập phân, thứ tự số so sánh số tự nhiên Dạy học số tự nhiên giúp học sinh Tiểu học nhận biết quy tắc thực phép tính cộng, trừ, nhân, chia quan hệ phép tính đó, biết vận dụng bảng tính tính chất phép tính để tính nhẩm, tính nhanh tính đúng, biết thử lại phép tính cần thiết, biết giải tốn có lời văn trình bày giải Đồng thời dạy học số tự nhiên nhằm củng cố kiến thức có liên quan mơn tốn đại lượng phép đo đại lượng, yếu tố hình học đồng thời phát triển lực tư duy, lực thực hành học sinh phẩm chất thiếu người lao động 3.2/ Dạy học hình thành khái niệm số tự nhiên: - Số tự nhiên: Là khái niệm trừu tượng, thuộc tính chung tập hợp tương đương nghĩa tập hợp thiết lập tương ứng đối Do để nhận thức khái niệm số tự nhiên đòi hỏi học sinh phải có khả trìu tượng hoá, khái quát hoá cao Tuy nhiên, học sinh Tiểu học trí nhớ trực quan hình tượng phát triển mạnh trí nhớ câu chữ, trí tưởng tượng phụ thuộc vào hình mẫu có thực, tư cụ thể chủ yếu, tư trừu tượng hình thành Vì thế, để học sinh Tiểu học hiểu chất số tự nhiên cần phải qua trình với mức độ khác nhiều cách khác kết hợp với chế lơgic hình thành khái niệm kinh nghiệm sống học sinh Sau học sinh nắm chữ số, cách đọc cách viết số, xếp tập hợp thành dãy theo quan hệ “nhiều hơn”, “ít hơn” giáo viên giúp học sinh viết “chữ số” tương ứng với “số phần tử” tập hợp thành hàng, học sinh nhận dãy số Giáo viên cần nhấn mạnh tính chất quan trọng dãy số quan hệ “liền trước”; “liền sau” để củng cố khái niệm dãy số, giáo viên yêu cầu học sinh tập đếm xuôi, đếm ngược, đếm liên tục, đếm nhảy định vị số dãy 3.3/ Các dạng toán số tự nhiên phương pháp giải: a/ Các kiến thức cần nhớ: Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số chẵn lại đến số lẻ lại đến số chẵn… Vì vậy, nếu: - Dãy số số lẻ kết thúc số chẵn số lượng số lẻ số lượng số chẵn - Dãy số số chẵn kết thúc số lẻ số lượng số chẵn số lượng số lẻ - Nếu dãy số số lẻ kết thúc số lẻ số lượng số lẻ nhiều số chẵn số - Nếu dãy số số chẵn kết thúc số chẵn số lượng số chẵn nhiều số lẻ số + Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số số lượng số dãy số giá trị số cuối số + Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số khác số số lượng số dãy số hiệu số cuối dãy số với số liền trước số b/ Các loại dãy số: + Dãy số cách - Dãy số tự nhiên - Dãy số chẵn, lẻ - Dãy số chia hết không chia hết cho số tự nhiên + Dãy số khơng cách - Dãy có tổng (hiệu) hai số liên tiếp dãy số + Dãy số thập phân, phân số: c/ Cách giải dạng toán dãy số: Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, trước dãy số Trước hết ta cần xác định lại quy luật dãy số: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trước cộng (hoặc trừ) với số tự nhiên a + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trước nhân (hoặc chia) với số tự nhiên q khác + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) tổng số hạng đứng liền trước + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng số hạng đứng trước cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự số hạng + Số hạng đứng sau số hạng đứng trước nhân với số thứ tự + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở a lần số liền trước + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, số liền sau a lần số liền trước cộng (trừ ) n (n khác 0) Bài 1: Điền thêm số hạng vào dãy số sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…… Trước hết phải xác định quy luật dãy số sau: Ta thấy: + = 2+3=5 3+5=8 + = 13 Dãy số lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ trở đi, số hạng tổng hai số hạng đứng liền trước Ba số hạng là: 21 + 34 = 55; 34 + 55 = 89; 55 + 89 = 144 Vậy dãy số viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144 Bài 2: Viết tiếp số hạng vào dãy số sau: Ta nhận thấy: 8=1+3+4 15 = + + 1, 3, 4, 8, 15, 27 27 = 4+ + 15 Quy luật dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng ba số hạng đứng liền trước Viết tiếp ba số hạng, ta dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169 Bài 3: Tìm số hạng dãy số sau biết dãy số có 10 số hạng a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 b) , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 Giải a) Ta thấy : Số hạng thứ 10 : 1024 = 512 x Số hạng thứ : 512 = 256 x Số hạng thứ là: 256 = 128 x Số hạng thứ : 128 = 64 x …………………………… Quy luật: số hạng dãy số gấp đôi số hạng đứng liền trước Vậy số hạng dãy là: x = b) Ta thấy : Số hạng thứ 10 : 110 = 11 x 10 Số hạng thứ : 99 = 11 x Số hạng thứ : 88 = 11 x Quy luật: Mỗi số hạng số thứ tự số hạng nhân với 11 Vậy số hạng dãy : x 11 = 11 Bài 4: Tìm số thiếu dãy số sau : a 3, 9, 27, , , 729 b 3, 8, 23, , , 608 Giải Muốn tìm số thiếu dãy số, cần tìm quy luật dãy số a Ta nhận xét : 3x3=9 x = 27 Quy luật: Kể từ số hạng thứ trở đi, số hạng gấp lần số liền trước Vậy số thiếu dãy số là: 27 x = 81 ; 81 x = 243 ; 243 x = 729 (đúng) Vậy dãy số thiếu hai số : 81 243 b Ta nhận xét: 3x3–1=8; x – = 23 Quy luật dãy số là: Kể từ số hạng thứ trở đi, số hạng lần số liền trước trừ Vì vậy, số thiếu dãy số là: 23 x - = 68 ; 68 x – = 203 ; 203 x – = 608 (đúng) Dãy số thiếu hai số là: 68 203 Bài 5: Lúc 7h sáng, người từ A đến B người từ B đến A ; hai đến đích lúc 2h chiều Vì đường khó dần từ A đến B ; nên người từ A, đầu 15km, sau lại giảm 1km Người từ B cuối 15km, trước lại giảm 1km Tính quãng đường AB Giải chiều 14giờ ngày người đến đích số là: 14 – = Vận tốc người từ A đến B lập thành dãy số: 15, 14, 13, 12, 11, 10, Vận tốc người từ B đến A lập thành dãy số: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 Nhìn vào dãy số ta nhận thấy có số hạng giống quãng đường AB là: + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 Đáp số: 84km Bài 6: Điền số thích hợp vào trống cho tổng số ô liên tiếp 2010 783 998 Giải Ta đánh số thứ tự ô sau: 783 Ô2 Ô3 Ô4 Ô5 Ô6 Theo điều kiện đề ta có: Ơ1 Ơ7 Ơ8 Ơ9 998 Ơ10 783 + Ô7 + Ô8 = 2010 Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2010 Vậy Ô9 = 783; từ ta tính được: Ơ8 = Ơ5 = Ơ2 = 2010 - (783 + 998) = 229 Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998 Ô3 = Ô6 = 783 Điền số vào ta dãy số: 998 229 783 998 229 783 998 229 783 998 Một số lưu ý giảng dạy Toán dạng là: Trước hết phải xác định quy luật dãy dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ Từ mà học sinh điền số vào dãy cho * Bài tập tự luyện: Bài 1: 13, 19, 25, 31,……, Dãy số vừa viết Ba số viết tiếp ba số nào? Số suy nghĩ thấp cao? Đố em, đố bạn kể liền? Bài 2: Tìm viết số hạng thiếu dãy số sau: a 7, 10, 13,…, …, 22, 25 b 103, 95, 87,…, …, , 55, 47 Bài 3: Điền số thích hợp vào trống, cho tổng số ô liền 14,5 2,7 Bài 4: Cho dãy phân số sau: 2001 2002 2003 2004 ; ; ; 2002 2003 2004 2005 8,5 Do đó: (1 + n ) × n = 136 × = 17 × × = 16 × 17 Vậy n = 16 Bài 2: Cho dãy số: 21, 22, 23, , n Tìm n biết: 21 + 22 + 23 + + n = 4840 Giải Nếu cộng thêm vào tổng tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 20 ta có tổng sau: + + + + 21 + 22 + 23 + + n Áp dụng cơng thức tính tổng ta có (1 + n) × n : = + + + 20 + 4840 = ( + 20) × 20 : + 4840 = 210 + 4840 = 5050 ( 1+ n) × n = 5050 × = 10100 = 101 × 100 Vậy n = 100 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho biết: + + + + n = 345 Hãy tìm số n Bài 2: Tìm số n biết rằng: 98 + 102 + + n = 15050 Bài 3: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, …, x Tìm x để tổng dãy số 5106 Dạng 9: Tính tổng dãy số Các tốn trình bày đề tài phân hai dạng chính, là: Dạng thứ nhất: Dãy số mà số hạng cách Xuất phát từ Tốn sau: Tính: A = + + + + 98 + 99 + 100 Ta thấy tổng A có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, nhóm có tổng 101 sau: A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 + 101 + + 101 = 50 x 101 = 5050 Cách giải: Nếu số hạng dãy số cách tổng hai số hạng cách đầu số hạng cuối dãy số Vì vậy: Tổng số hạng dãy tổng cặp hai số hạng cách đầu số hạng đầu cuối nhân với số hạng dãy chia cho Tổng dãy số cách = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2) Từ sơ đồ ta suy ra: Số đầu dãy = tổng x : số số hạng – số hạng cuối Số cuối dãy = tổng x : số số hạng – số đầu Bài 1: Tính tổng 19 số lẻ liên tiếp Giải * Cách 1: 19 số lẻ liên tiếp là: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37 Ta thấy: + 37 = 38 ; + 33 = 38 + 35 = 38 ; + 31 = 38 Nếu ta xếp cặp số từ hai đầu số vào, ta cặp số có tổng số 38 Số cặp số là: 19 : = (cặp số) dư số hạng Số hạng dư số hạng dãy số số 19 Vậy tổng 19 số lẻ liên tiếp là: 39 x + 19 = 361 Đáp số: 361 Nhận xét: Khi số số hạng dãy số lẻ (19) cặp số dư lại số hạng gữa số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng việc tìm số hạng lại khó khăn Vậy ta làm cách sau: Ta bỏ lại số hạng số dãy số có: 19 - = 18 (số hạng) Ta thấy: + 37 = 40 ; + 33 = 40 + 35 = 40 ; + 31 = 40 ……… ……… Khi đó, ta xếp cặp số từ đầu dãy số gồm 18 số hạng vào cặp số có tổng 40 Số cặp số là: 18 : = (cặp số) Tổng 19 số lẻ liên tiếp là: + 40 x = 361 Chú ý: Khi số hạng số lẻ, ta để lại số hạng đầu dãy số (số đầu, số cuối) để lại số chẵn số hạng cặp; lấy tổng cặp nhân với số cặp cộng với số hạng để lại tổng dãy số Bài 2: Tính tổng số tự nhiên từ đến n Giải Ghép số: 1, 2, ……, n – 1, n thành cặp (không thứ tự) : với n, với (n – 1), với (n – 2), …… Khi n chẵn, ta có S = n x (n + 1) : Khi n lẻ, n – chẵn ta có: + + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : Từ ta có: S = (n – 1) x n : + n = (n - 1) x n : + x n : = [(n – 1) x n + x n] : = (n – + 2) x n : = n x (n + 1) : Khi học sinh thực thành thạo hướng dẫn học sinh áp dụng cơng thức ln mà khơng cần nhóm thành cặp số có tổng Tổng dãy số cách = (số đầu + số cuối) x số số hạng : Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 100 Giải Ta đưa số hạng tổng dạng số tự nhiên cách nhân hai vế với 100, ta có: 100 x E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 1000 Áp dụng cơng thức tính tổng ta tính tổng E = 4954,95 Hoặc giải sau: Ta thấy: 11,12 - 10,11 = 12,13 - 11,12 = = 1,01 Vậy dãy số cách 1,01 đơn vị Dãy số có số số hạng : (100 - 10,11) : 1,01 + = 90 số hạng Tổng dãy số : (10,11 + 100) x 90 : = 4954,95 Bài 4: Cho dãy số: 1, 2, 3, …… 195 Tính tổng chữ số dãy? Giải: Ta viết lại dãy số bổ sung thêm số: 0, 196, 197, 198, 199 vào dãy: 0, 1, 2, 3, ……, 10, 11, 12, 13, ……, 19 90, 91, 92, 93, ……, 99 100, 101, 102, 103, ……, 109 Vì có 200 số dòng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng) Tổng chữ số hàng đơn vị dòng là: + + + …… + = x 10 : = 45 Vậy tổng chữ số hàng đơn vị là: 45 x 20 = 900 Tổng chữ số hàng chục 10 dòng đầu tổng chữ số hàng chục 10 dòng sau bằng: x 10 + x 10 + … + x 10 = (1 + + …+ 9) x 10 = 45 x 10 = 450 Vậy tổng chữ số hàng chục là: 450 x = 900 Ngoài dễ thấy tổng chữ số hàng trăm là: 10 x 10 = 100 Vậy tổng chữ số dãy số là: 900 + 900 + 100 = 1900 Từ suy tổng chữ số dãy ban đầu là: 1900 – (1 + + + + + + + + + + + 9) = 1830 Trong Toán học, thường nhờ vào suy luận quy nạp không hoàn toàn mà phát kết luận (gọi giả thuyết) Sau sử dụng suy luận diễn dịch quy nạp hoàn toàn để kiểm tra đắn kết luận Khi dạy học tiểu học, giáo viên cần lưu ý Bài 5: Tính tổng tất số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số: Giải Các số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số là: 9,000; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tức có 1000 số Tổng tất số dãy số là: (9,000 + 9,999) x 1000 : = 9499,5 Đáp số: 9499,5 Bài 6: Phải thêm vào tổng số hạng dãy số: 2, 4, 6, 8, , 246 đơn vị để số chia hết cho 100 ? Giải Đây dãy số chẵn liên tiếp hay dãy số cách đơn vị Dãy số có số số hạng là: (246 - 2) : + = 123 số hạng Tổng dãy số là: (246 + 2) x 123 : = 12252 Vì 100 - 52 = 48 nên phải thêm vào tổng dãy số 48 đơn vị Dạng thứ hai: Dãy số mà số hạng không cách Bài 1: Tổng nhiều phân số có tử số mẫu số phân số liền sau gấp mẫu số phân số liền trước lần Ví dụ: 1 1 1 + + + + + 16 32 64 Giải Cách 1: Đặt A = Ta thấy: 1 =1− 2 1 1 1 + + + + + 16 32 64 1 = − 4 1 = − 8 1 1 1 1 1    Vậy A = 1 −  +  −  +  −  + +  −   A= 1− A= A= 2 2 4 4 8 64  1 1 1 + − + − + + − 2 4 32 64 64 64 63 − = 64 64 64 Đáp số: Cách 2: Đặt A = Ta thấy:  32 63 64 1 1 1 + + + + + 16 32 64 1 =1− 2 1 + = =1− 4 1 + + = =1− 8 …………… Vậy A = 1 1 1 64 63 + + + + + − = =1= 16 32 64 64 64 64 64 Bài 2: Tính tổng nhiều phân số có tử số mẫu số phân số liền sau gấp mẫu số phân số liền trước n lần (n > 1) Ví dụ: B = 5 5 5 + + + + + 18 54 162 486 Giải Tính B x n (n = 3)  Bx3=3x  + 2 = 5 5  + + + +  18 54 162 486  15 5 5 + + + + + 2 18 54 162 Tính B x n - B 5  5 5   15 5 5 + + + + + + + +  -  + +  18 54 162  2  18 54 162 486  B x - B=  B x (3 - 1) = Bx2= B= 15 5 5 5 5 5 + + + + + − − - − − − 2 18 54 162 18 54 162 486 3645 − 15 3640 − = = 486 486 486 3640 1820 910 :2 = = 243 486 486 Bài 3: Tính tổng nhiều phân số có tử số n (n > 0); mẫu số tích thừa số có hiệu n thừa số thứ mẫu phân số liền trước thừa 1 1 số thứ mẫu phân số liền sau: A = x + x + x + x Giải 3− 4−3 5−4 6−5 A = x + 3x4 + x5 + x6 = x − x3 + 3x4 − 3x4 + x5 − x5 + x6 − x6 = 1 1 1 1 − + − + − + − 3 4 5 = 1 − = − = = 6 6 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính tổng: a) Của tất số lẻ bé 100 b) + + + 16 + …… + 169 Bài 2: Tính nhanh tổng tất số có chữ số Bài 3: Tính nhanh: 4 4 4 a) x + x 11 + 11 x 15 + 15 x 19 + 19 x 23 + 23 x 27 b) 1 1 1 + + + + + + + 12 20 30 42 110 c) 1 1 1 + + + + + 10 40 88 154 138 340 Bài 4: Tính: 1 1 1 + + + …… + + + =? 1024 2048 4096 Bài 5: Hãy tính tổng dãy số sau: a) 1, 5, 9, 13, 17, …Biết dãy số có 80 số hạng b) , 17, 27, 44, 71, 115 Biết dãy số có số hạng Bài 6: Tính nhanh: a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + … + 13,27 + 14,77 b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + … + 0,19 Bài 7: Cho dãy số: 1 1 1 , , , , , Hãy tính tổng 10 số hạng 12 20 30 42 dãy số Dạng 10: Dãy chữ Khác với dạng toán trên, toán dãy chữ khơng đòi hỏi học sinh phải tính toán phức tạp Để giải toán này, học sinh cần biết vận dụng sáng tạo kiến thức toán học đơn giản, hiểu biết xã hội Từ vận dụng vào đời sống hàng ngày môn học khác Bài 1: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH thành dãy chữ liên tiếp: HOCSINHGIOITINHHOCSINHGIOI…… hỏi chữ thứ 2009 dãy chữ nào? Giải Ta thấy nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH gồm 15 chữ Giả sử dãy chữ có 2009 chữ có: 2009 : 15 = 133 (nhóm) dư 14 chữ Vậy chữ thứ 2009 dãy chữ HOCSINHGIOITINH chữ N tiếng TINH đứng vị trí thứ 14 nhóm chữ thứ 134 Bài 2: Một người viết liên tiếp nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM thành dãy CHAMHOCCHAMLAMCHAMHOCCHAMLAM …… Hỏi: a Chữ thứ 1000 dãy chữ gì? b Nếu người ta đếm dãy chữ có 1200 chữ H dãy có chữ A? c Một người đếm dãy có 1996 chữ C Hỏi người đếm hay sai? Tại sao? Giải a) Nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM có 14 chữ 1000 : 14 = 71 dư Như vậy, kể từ chữ đến chữ thứ 1000 dãy, người viết 71 lần nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM chữ CHAMHO Vậy chữ thứ 1000 dãy chữ O b) Mỗi nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM có chữ H, chữ A Vì vậy, người ta đếm dãy 1200 chữ H tức người đếm 400 lần nhóm chữ Vì dãy phải có 1200 chữ A c) Bạn đếm sai, chữ số C dãy phải số chia hết cho mà 1996 : dư Bài 3: Bạn Hải cho viên bi vào hộp theo thứ tự là: bi xanh, bi đỏ, bi vàng lại đến bi xanh, bi đỏ, bi vàng Hỏi: a) Viên bi thứ 100 có màu gì? b) Muốn có 10 viên bi đỏ phải bỏ vào hộp viên bi? Giải a) Ta thấy, viên bi lập thành nhóm màu: xanh, đỏ, vàng 100 viên bi có số nhóm là: 100 : = 33 nhóm (dư viên bi) Như vậy, bạn Hải cho vào hộp 33 nhóm, dư viên nhóm thứ 34 viên bi nhóm Vậy viên bi thứ 100 có màu xanh b) Một nhóm có viên bi, muốn có 10 viên bi đỏ cần bỏ vào hộp: x 10 = 30 viên bi Nhưng viên bi màu đỏ viên bi thứ nhóm Vậy cần bỏ vào hộp số viên bi là: 30 - 1= 29 viên * Bài tập tự luyện: Bài 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TOANNAM thành dãy: TOANNAMTOANNAMTOAN…… Hỏi: a Chữ thứ 2010 dãy chữ gì? b Nếu người ta đếm dãy có 50 chữ N dãy có chữ A? Bao nhiêu chữ O? c Một người đếm dãy có 2009 chữ A, hỏi người đếm hay sai? Giải thích sao? d Người ta tô màu chữ dãy theo thứ tự XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM… Hỏi chữ thứ 2009 dãy tơ màu gì? Bài 2: Người ta viết chữ D, A, Y, T, O, T, H, O, C, T, O, T,…… thành dãy: DAYTOTHOCTOTDAYTOT… màu xanh, đỏ, tím, tiếng màu Hỏi chữ thứ 2010 chữ gì? Màu gì? Bài 3: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM … Hỏi: a) Chữ thứ 1975 dãy chữ gì? b) Người ta đếm dãy có 50 chữ T dãy có chữ O? Bao nhiêu chữ I? c) Người ta tô màu vào chữ dãy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng, …Hỏi chữ thứ 2010 tơ màu gì? * Một số lưu ý giải toán “dãy số”: Trong toán dãy số thường người ta khơng cho biết dãy Vì vậy, phải tìm quy luật dãy tìm số mà dãy số khơng cho biết Đó dựa vào quy luật dãy số cách đều, dãy số không cách dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm quy luật Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số A có thoả mãn quy luật dãy cho hay không ta cần xem dãy số cho trước số cần xác định có tính chất hay khơng số thuộc dãy cho Ở dạng 4: Học sinh phải tự tìm cơng thức tổng qt, vận dụng cách thành thạo biết biến đổi công thức để làm toán khác Ở dạng 9: Sau tìm quy luật dãy, ta xếp số theo cặp cho có tổng nhau, sau tìm số cặp tìm tổng số hạng dãy Khi tìm số cặp số mà dư số hạng tìm tổng ta phải cộng số dư vào Nếu tính nhanh tổng phân số phải dựa vào tính chất phân số Ở dạng 10: Đó dãy chữ giải phải dựa vào quy luật dãy, sau xem nhóm chữ có tất chữ tìm có tất nhóm phần trả lời toán 4/ Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Sau nghiên cứu, đề tài tổ chức dạy thực nghiệm lớp Trường Tiểu học Tân Đức, theo giai đoạn: Giai đoạn 1: Trang bị kiến thức tập hợp lực lượng, khái niệm dãy số cho học sinh Giai đoạn 2: Xây dựng phương pháp giải dạng toán Giai đoạn 3: Củng cố, rèn kỹ giải toán dãy số nhằm phát triển tư tốn học cho học sinh Sau q trình áp dụng đề tài, tiến hành khảo sát học sinh, kết sau: Lớp Số 18 Điểm 9, 10 Điểm 7, Điểm 5, Điểm SL % SL % SL % SL 27,8 38,9 33,3 % Căn kết khảo, số học sinh đạt điểm khá, giỏi lớp áp dụng đề tài cao nhiều Điều đáng mừng qua tiếp xúc, trao đổi với học sinh tâm lý em khong e ngại dạng tốn nữa, khơng khí học tập lớp sôi nổi, hào hứng hơn, phong trào học tập lớp tiến trước KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Qua thực tiễn giảng dạy, nhận thấy người giáo viên phải ln tìm tòi, học hỏi, trau dồi kinh nghiệm để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ Dạy học không hướng dẫn, giúp học sinh có kỹ giải Tốn mà giúp em phát triển tư trí tuệ, phân tích tổng hợp, khái qt hố, trừu tượng hố, rèn phương pháp suy lụân lôgic để giải vấn đề Việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn nói chung "Dãy số" nói riêng có 10 dạng Tốn nói giúp em trở thành người linh hoạt, sáng tạo, vận dụng tốt kiến thức vào thực tế hàng ngày Để dạy tốt 10 dạng toán này, giáo viên phải ý điểm sau: - Lựa chọn, xếp hệ thống tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, vận dụng kiến thức học để giải toán liên quan - Với dạng bài, giáo viên cần phải hướng dẫn học sinh phân tích xác định dạng tốn Sau tìm mối liên quan kiện câu hỏi để tìm phương pháp giải ngắn gọn, dễ hiểu Kiến nghị: Nhà trường nên có hình thức khuyến khích giáo viên trao đổi sáng kiến kinh nghiệm, học tập để vận dụng vào giảng dạy giáo dục tốt Sau áp dụng đề tài, thu kết khả quan Song chắn đề tài nhiều hạn chế định Vì vậy, tơi mong cấp trên, đồng nghiệp bạn đọc góp ý, bổ sung để đề tài hồn thiện hơn, góp phần nhỏ bé dạy học mơn Tốn cho học sinh Tiểu học Tôi xin trân trọng cảm ơn! Việt Trì, ngày 26 tháng năm 2012 Phùng Thị Minh Huệ TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Áng, Toán bồi dưỡng học sinh lớp 4, NXB Giáo dục, năm 2009 Nguyễn Áng, Toán bồi dưỡng học sinh lớp 5, NXB Giáo dục, năm 2009 Đỗ Trung Hiệu, Toán nâng cao lớp 5, NXB Giáo dục, năm 2004 Phạm Đình Thực, Phương pháp dạy - học Toán tiểu học, NXB Giáo dục, năm 2001 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRÊN ... số chẵn số lượng số lẻ số lượng số chẵn - Dãy số số chẵn kết thúc số lẻ số lượng số chẵn số lượng số lẻ - Nếu dãy số số lẻ kết thúc số lẻ số lượng số lẻ nhiều số chẵn số - Nếu dãy số số chẵn... thúc số chẵn số lượng số chẵn nhiều số lẻ số + Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số số lượng số dãy số giá trị số cuối số + Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số khác số số lượng số dãy số hiệu số cuối... Trong dãy số này, số lớn 1996 số bé 49 Do đó, số 2009 số hạng dẫy số cho lớn 1996 Các số hạng dãy số cho số chia cho dư Do đó, số 100 số 1900 số hạng dãy số Các số 123, 456, 789 chia hết số khơng