SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN; CẤP THPT ĐỀ Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian Câu (3,0 điểm) x − y = a) Giải hệ phương trình: 2 x + xy − y = b) Tìm a để biểu thức ( x; y ) (a + 1) x2 − 2(a − 1) x + 3a − có nghĩa với x c) Giải phương trình: + sin x + cos x + sin x + cos x = ( x ) Câu (2,0 điểm) n a) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức x + ( x , x ) , biết x n * thỏa mãn điều kiện Cn0 + Cn1+1 + Cnn+2 = 10n + 30 b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm M ( 5;4;3) cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C phân biệt cho OA = OB = OC Câu (3,0 điểm) a) Tính tích phân tan xdx cos x b) Cho hai đường cong có phương trình y = x − x + y = x + 3x − 10 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong c) Tìm giới hạn: lim x →2 x + − 3x + − x2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + 1 + + a b c Câu (1,0 điểm) Cho tam giác không cân ABC có AB = c, BC = a, CA = b Gọi điểm I , G tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm tam giác ABC , biết đường thẳng IG vng góc với đường thẳng IC Chứng minh rằng: a + b + c 2ab = a+b Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………….Số báo danh:………………… http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN ⎯⎯⎯⎯⎯ NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN – CẤP THPT ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Câu (3,0 điểm) Nội dung trình bày a) Điểm 1,00 x2 x − y = −1 y = 2 x + xy − y = 2 x + xy − y = 0,25 x2 x2 y = −1 y = −1 2 x + x x − 1 − x − 1 = x3 + x − x − 16 = 2 0,25 x2 y = −1 x y = − ( x − ) ( x + x + ) = ( x − ) x + + = 0,25 x2 y = −1 x = Hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) y = x − = 0,25 b) 1,00 2 Đặt f ( x ) = ( a + 1) x − 2(a − 1) x + 3a − u cầu tốn tương đương với tìm a để f ( x ) 0, x 0,25 TH1: a + = a = −1 ta f ( x) = 4x − , khơng thỏa mãn u cầu tốn TH2: a + a −1 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khi f ( x) 0, x a + ' = ( a − 1) − ( a + 1) ( a − 1) a −1 a −1 a ( a − 1)( −2a − ) a −2 0,25 a Vậy a giá trị cần tìm 0,25 c) 1,00 + sin x + cos x + sin x + cos x = 0,25 + sin x + cos x + 2sin x cos x + 2cos x −1 = sin x + cos x + 2sin x cos x + 2cos2 x = sin x + cos x + 2cos x ( sin x + cos x ) = 0,25 ( sin x + cos x )(1 + 2cos x ) = sin x + cos x = 1 + 2cos x = 2 x= + k 2 +) + 2cos x = cos x = − (k x = − + k 2 +) sin x + cos x = ) sin x + = x = − + k ( k 4 Vậy phương trình cho có nghiệm: x= 0,25 ) 0,25 2 2 + k 2 , x = − + k , k + k 2 , x = − 3 Câu (2,0 điểm) Nội dung trình bày a) Điểm 1,00 Theo giả thiết ta có: Cn0 + Cn1+1 + Cnn+2 = 10n + 30 (n + 1)(n + 2) + (n + 1) + = 10n + 30 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word n = 18 n − 15n − 54 = , kết hợp với điều kiện n ta n = 18 n = −3 18− k −1 Số hạng tổng quát khai triển nhị thức là: C ( x ) x k k 18 Số hạng không chứa x tương ứng với k thỏa mãn = C18k 2k x k −18 6k − 18 = k = 0,25 0,25 0,25 3 Vậy số hạng không chứa x C18 = 6528 b) 1,00 Do A, B, C ba điểm phân biệt nên A, B, C khơng có điểm trùng O Giả sử A( a;0;0) , B ( 0; b;0) , C ( 0;0; c ) ( a, b, c 0) Khi mặt phẳng ( P ) có phương trình 0,25 x y z + + = Do ( P ) qua M ( 5;4;3) nên ta có: + + = (1) dạng a b c a b c Do OA = OB = OC a = b = c Ta có trường hợp: TH1: a = b = c , thay vào (1) có: a = b = c = 12 ( P) : x + y + z − 12 = TH2: a = b = −c , thay vào (1) có: + − = a = ( P) : x + y − z − = a a a TH3: a = −b = c , thay vào (1) có: − + = a = ( P) : x − y + z − = a a a TH4: a = −b = −c , thay vào (1) có: − − = a = −2 ( P) : x − y − z + = a a a 0,25 0,25 0,25 Vậy … Câu (3,0 điểm) Nội dung trình bày a) 1,00 Đặt t = tan x , đó: x = t = 0; x = t = tan xdx tan xdx (1 + tan x) tan xdx = 0 cos x = 0 − tan x = 0 − tan x + tan x Điểm 6 ; dt = (1 + tan x)dx 0,25 t dt 0 − t 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word t dt 1− t = −t −1− 10 t − =− − ln 27 t +1 t dt = − − t − t −1 0 3 =− 1 t − − t + dt 0,25 10 3 +1 + ln 27 −1 b) 0,25 1,00 Ta có hai đường cong y = x − x + 6, y = x + 3x − 10 tiếp tuyến dạng x = a , a số Do tiếp tuyến có phải có hệ số góc Giả sử đường thẳng ( d ) tiếp tuyến chung cần tìm, ( d ) tiếp xúc với đồ thị hàm số ( ) y = x − x + điểm t; t − 5t + Khi ( d ) có phương trình dạng: 2 0,25 y = ( 2t − 5)( x − t ) + t − 5t + = ( 2t − 5) x − t + (d ) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x + 3x − 10 hệ phương trình sau có nghiệm: x3 + 3x − 10 = ( 2t − ) x − t + x + x − 10 = t − x − t + ( ) 3x + t = 3x + = 2t − 3x + 3x + − 5 x − x + 3x − 10 = +6 2 3x + t = x ( x − x + 48) = 9 x − x3 + 48 x = x = 3x + 3x + t = t = t = 0,25 0,25 0,25 Vậy PT tiếp tuyến chung là: y = x − 10 c) 1,00 Ta có lim x →2 x + − 2 − 3x + x + − 3x + = lim + x →2 − x2 − x − x2 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word − ( 3x + ) x−2 = lim + x →2 (4 − x ) x + + − x ) + 3 x + + ( ( ) = lim − + x →2 ( x + 2) x + + ( x + ) + 3x + + ( =− ) ( ( 3 x + 0,25 3 x + 0,25 ) ) 1 x + − 3x + + = Vậy lim = x →2 16 16 − x2 0,25 Câu (1,0 điểm) Điểm Nội dung trình bày Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho ba số dương ta được: = a + b + c 3 abc abc Ta có P = + 0,25 1 + + a b c 0,25 1 1 1 = 2 + 2 + + + + + + a b c ab bc ca abc 2 + 2.3 + 2.3 + abc abc abc 0,25 = 2 + ( ) 1 + 2.3 + = 2+ abc abc abc abc 3 1 2+ = 3 ( ) + Dấu xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P ( 0,25 ) +3 Câu (1,0 điểm) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Điểm Nội dung trình bày Cách A P Q I G 0,25 C N MD B Đường thẳng GI cắt BC , CA N , P Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC , từ M kẻ đường thẳng song song với GI , cắt AC Q Đường tròn ( I ) tiếp xúc với BC điểm D CI vừa đường cao phân giác tam giác CNP tam giác CNP cân C CN = CP , kết hợp với MQ || NP PQ = NM Theo định lí Talet ta có: GA AP = = AP = 2.PQ = 2.NM GM PQ 0,25 a a+b b − CP = ( CN − CM ) b − CN = CN − CN = (1) 2 Ta có CN = = 2( p − c) 2ab ( a + b − c ) IC CD a+b−c = = = = 2 2 C C + cos C a +b −c a + b − c2 ( ) cos cos 1+ 2 2ab 0,25 2ab 2ab CN = (2) a+b+c a+b+c Từ (1) (2) ta 2ab a+b a + b + c 2ab = = a+b+c 3 a+b 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Cách Ta có: CG = ( ( ) CA + CB , a.IA + b.IB + c.IC = ) ( ) a IC + CA + b IC + CB + c.IC = CI = GI = CI − CG = ( ) ( ( a.CA + b.CB a+b+c ) 0,25 ) 1 1 1 a b a.CA + b.CB − CA + CB = − CA + − CB a+b+c a +b +c 3 a +b +c 3 ( ) Khi đó: GI ⊥ IC GI CI = ( 2a − b − c ) CA + ( 2b − c − a ) CB a.CA + b.CB = ( ) ab + CACB b(2a − b − c) + a(2b − a − c) = b(2a − b − c) + a(2b − a − c) = 0,25 (do ab + CACB = ab + ab.cosC = ab(1 + cos C) ) b(2a − b − c) + a(2b − a − c) = a(3b − a − b − c) + b(3a − a − b − c) = 6ab = (a + b)(a + b + c) a + b + c 2ab = (đpcm) a+b 0,25 0,25 u cầu: + Điểm tồn tính đến 0,25; + Với ý từ 0,5 điểm trở lên, tổ chấm thống để chia nhỏ đến 0,25; + Với ý, Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với bước kết bắt buộc phải có Nếu thí sinh giải theo cách khác trình bày đủ kết cho điểm tối đa ý + Trong ý, thí sinh sai từ đâu khơng cho điểm từ + Bài hình học khơng bắt buộc phải vẽ hình http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word t dt 1 t = −t 1 10 t − =− − ln 27 t +1 t dt = − − t − t 1 0 3 =− 1 t − − t + dt 0,25 10 3 +1. .. + (n + 1) + = 10 n + 30 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word n = 18 n − 15 n − 54 = , kết hợp với điều kiện n ta n = 18 n = −3 18 − k 1 Số hạng... tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………….Số báo danh:………………… http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM