lê hồng đức v-ơng ngọc nguyễn tuấn phong lê viết hoà lê bích ngọc giảng trọng tâm theo ch-ơng trình chuẩn toán 12 Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, thi, sỏch tham kho, file word lời nói đầu Bộ giáo dục Đào tạo công bố H-ờng dẫn ôn tập thi môn Toán THPT Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán, đề thi đại học cao đẳng môn Toán, cụ thể: cấu trúc ®Ị thi tèt nghiƯp THPT I PhÇn chung cho tÊt thí sinh (7 điểm) Câu (3 điểm): Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho tr-ớc, t-ơng giao hai đồ thị (một hai đồ thị đ-ờng thẳng) Câu (3 điểm): Hàm số, ph-ơng trình, bất ph-ơng trình mũ logarit Giá trị lớn nhỏ hàm số Tìm nguyên hàm, tính tích phân Bài toán tổng hợp Câu (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chãp, khèi nãn trßn xoay, khèi trơ trßn xoay; tÝnh diện tích mặt cầu thể tích khối cầu II Phần riêng (3 điểm) Theo ch-ơng trình chuẩn: Câu 4a (2 điểm): Xác định toạ độ điểm, vectơ Mặt cầu Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng, mặt phẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 5a (1 điểm): Số phức: môđun số phức, phép toán số phức Căn bậc hai số thực âm Ph-ơng tr×nh bËc hai hƯ sè thùc cã biƯt thøc ©m øng dơng cđa tÝch ph©n: tÝnh diƯn tÝch hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Theo ch-ơng trình nâng cao: Câu 4b (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ không gian Xác định toạ độ điểm, vectơ Mặt cầu Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đ-ờng thẳng, mặt phẳng, khoảng cách hai đ-ờng thẳng Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 5b (1 điểm): Số phức: môđun số phức, phép toán số phức Căn bậc hai số phức Ph-ơng trình bậc hai hệ số phức Dạng l-ợng giác số phức Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai bậc số yếu tố liên quan Sù tiÕp xóc cđa hai ®-êng cong Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word HÖ ph-ơng trình mũ logarit ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Cấu trúc đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng I Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu (2 điểm): Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho tr-ớc, t-ơng giao hai đồ thị (một hai đồ thị đ-ờng thẳng) Câu (2 điểm): Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình hệ đại số Công thức l-ợng giác, ph-ơng trình l-ợng giác Câu (1 điểm): Tìm giới hạn Tìm nguyên hàm Tính tích phân ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Câu (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc đ-ờng thẳng, mặt phẳng Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nãn trßn xoay, khèi trơ trßn xoay; tÝnh diƯn tÝch mặt cầu thể tích khối cầu Câu (1 điểm): Toán tổng hợp II Phần riêng (3 điểm) Theo ch-ơng trình chuẩn: Câu 6a (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ mặt phẳng không gian Xác định toạ độ điểm, vectơ Đ-ờng tròn, elíp, mặt cầu Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 7a (1 điểm): Số phức Tổ hợp, xác suất, thồng kê Bất đẳng thức Cực trị biểu thức đại số Theo ch-ơng trình nâng cao: Câu 6b (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ mặt phẳng không gian Xác định toạ độ điểm, vectơ Đ-ờng tròn, ba đ-ờng cônic, mặt cầu Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đ-ờng thẳng, mặt phẳng Khoảng cách hai đ-ờng thẳng Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 7b (1 điểm): Số phức Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai bậc số yếu tố liªn quan Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Sù tiÕp xóc cđa hai đ-ờng cong Hệ ph-ơng trình mũ logarit Tổ hợp, xác suất, thồng kê Bất đẳng thức Cực trị biểu thức đại số Dựa vào Nhóm Cự Môn xin trân trọng giới thiệu tới bạn đọc sách: Các giảng trọng tâm Môn Toán (gồm tập) miêu tả chi tiết ph-ơng pháp giải cho dạng toán th-ờng gặp đề thi tốt nghiệp THPT, đại học cao đẳng môn Toán Với môn Toán 12 phần kiến thức trọng tâm: Giải tích bao gồm ch-ơng I, phần kiến thức ch-ơng II (ph-ơng trình, bất ph-ơng trình mũ lôgarit), ch-ơng III, ch-ơng IV Hình học có phần kiến thức ch-ơng I (tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp), phần kiến thức ch-ơng II (tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích cđa khèi nãn trßn xoay, khèi trơ trßn xoay; tÝnh diện tích mặt cầu thể tích khối cầu), ch-ơng III Từ đó, Các giảng trọng tâm Môn Toán 12 đ-ợc chia thành phần: Phần I: Giải tích, bao gồm chủ đề: A ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chđ ®Ị Chđ ®Ị Chđ ®Ị - Tính đơn điệu hàm số Cực trị hàm số Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Phép tịnh tiến hệ toạ độ Đ-ờng tiệm cận đồ thị hàm số Đồ thị hàm số toán liên quan B mũ lôgarit Chủ đề Chủ đề Chủ ®Ị Chđ ®Ị 10 - Hµm sè mò vµ lôgarit Ph-ơng trình mũ lôgarit Hệ ph-ơng trình mũ lôgarit Bất ph-ơng trình mũ lôgarit C nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chủ đề 11 - Nguyên hàm Chủ đề 12 - Tích phân Chủ ®Ị 13 - øng dơng tÝch ph©n tÝnh diƯn tÝch hình phẳng, thể tích vật thể D số phức Phần II: Hình học, bao gồm chủ đề: Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Chđ ®Ị Chđ ®Ị Chđ ®Ị Chđ ®Ị Chđ ®Ị Chđ ®Ị - Khèi ®a diƯn thể tích chúng Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón Tọa độ điểm, vectơ yếu tố liên quan Mặt phẳng toán liên quan Đ-ờng thẳng toán liên quan Mặt cầu toán liên quan Mỗi chủ đề đ-ợc chia thành ba phần: A Kiến thức cần nhớ: Nhắc lại nội dung kiến thức mà em học sinh cần nhớ B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan: Đ-ợc trình bày theo phong cách thuật toán d-ới dạng b-ớc thực Và dạng toán có thí dụ minh hoạ nhận xét để giúp em học sinh củng cố kiến thức C Các toán chọn lọc: Bao gồm ví dụ có tính tổng hợp cao đ-ợc trích từ đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Với phong cách trình bày nh- vậy, tài liệu giúp tăng chất l-ợng giảng cho thầy, cô giáo với em học sinh cung cấp giáo trình hoàn chỉnh mặt kiến thức, dễ đọc, dễ hiểu Để tài liệu ngày hoàn hảo Nhóm Cự Môn mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp quý báu bạn đọc gần xa Chủ biên Lê Hồng Đức Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham kho, file word Mục lục lời nói đầu phần I: giải tích ch-ơng ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số A KiÕn thøc cÇn nhí .7 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan 12 § 1: TÝnh đơn điệu hàm số .12 Đ 2: Cực trị hàm số .28 Đ 3: Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 41 Đ 4: Đồ thị hàm số phép tịnh tiến hệ tọa độ 50 § 5: §-êng tiƯm cận đồ thị hàm số 55 Đ 6: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm đa thức 63 Đ 7: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm phân thức hữu tỉ 69 Đ 8: Một số toán th-ờng gặp đồ thị 77 C Các toán chọn lọc .95 ch-ơng hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit A Kiến thức cần nhớ 139 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liªn quan 143 § 1: Hµm sè mò vµ hµm sè logarit Hµm sè lòy thõa 143 Đ 2: Ph-ơng trình mũ lôgarit .149 § 3: Hệ ph-ơng trình mũ lôgarit .163 Đ 4: Bất ph-ơng trình mũ lôgarit 169 Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham kho, file word C Các toán chọn lọc .170 ch-ơng nguyên hàm, tích phân ứng dụng A KiÕn thøc cÇn nhí .201 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan .207 Đ 1: Nguyên hàm 207 Đ 2: Tích phân 229 Đ 3: ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng 245 Đ 4: ứng dụng tích phân để tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ 248 C Các toán chọn lọc .255 ch-ơng số phức A Kiến thức cần nhí .273 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan .278 § 1: Sè phøc .278 Đ 2: Căn bậc hai số phức ph-ơng trình bậc hai .285 Đ 3: Dạng l-ợng giác cđa sè phøc vµ øng dơng 291 Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, thi, sỏch tham kho, file word C Các to¸n chän läc 294 phần II: hình học ch-ơng khối đa diện thể tích chúng A KiÕn thøc cÇn nhí 303 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan .304 C Các toán chọn läc .311 ch-ơng mặt cầu, mặt trụ, mặt nãn A KiÕn thøc cÇn nhí .323 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan 323 C Các toán chän läc .329 ch-ơng ph-ơng pháp tọa độ không gian A Kiến thức cần nhớ .339 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan .345 § 1: HƯ tọa độ không gian 345 § 2: Ph-ơng trình mặt phẳng 363 Đ 3: Ph-ơng trình đ-ờng thẳng .396 C Các toán chọn lọc .480 Môc lôc .487 Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word XIN TRÍCH DẪN MỘT PHẦN TI LIU NY phần I: giải tích ch-ơng ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số A Kiến thức cần nhớ I tính đơn điệu hàm số điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f(x) xác định khoảng I thì: a Hàm số f(x) đồng biến khoảng I víi x tuú ý thuéc I, ta cã: f(x x) f(x) > , víi mäi x vµ x + x I x b Hàm số f(x) nghịch biến khoảng I vµ chØ víi x t ý thc I, ta cã: f(x x) f(x) < , víi mäi x vµ x + x I x Từ đó, ta có kết quả: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng I a Nếu hàm số f(x) đồng biến khoảng I f '(x) 0, x I b NÕu hµm số f(x) nghịch biến khoảng I f '(x) 0, x I ®iỊu kiƯn ®đ ®Ĩ hàm số đơn điệu Định lí (Định lí Lagrange): Nếu hàm số y = f(x) liên tục [a; b] có đạo hàm (a; b) tồn điểm c (a; b) cho: f(b) f(a) f(b) f(a) = f '(c).(b a) hay f '(c) = ba ý nghĩa định lí Lagrăng: Xét cung AB đồ thị hàm số y = f(x) víi A(a; f(a)) vµ B(b; f(b)) HƯ số góc cát tuyến AB là: f(b) f(a) ba Đẳng thức: f(b) f(a) f '(c) = ba Trang 10 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word = X4 + 4(a + m)X3 + 2(3a2 + 6am1)X2 + + 4(a3 + 3ma2a3m)X + a4 + 4ma32a212ma Hµm số (1) hàm số chẵn khi: a m0 4(a m) a m m = 1 4(a 3ma a 3m) 4m 4m VËy, víi m = đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy (1) Đ5 đ-ờng tiệm cận đồ thị Dạng toán 1: Tiệm cận đồ thị hàm phân thức hữu tỉ Ph-ơng pháp Mọi hàm phân thức hữu tỉ bậc bậc y = ax b (a 0, b cx d TS, MS nghiệm chung) có hai tiệm cận là: Tiệm cận đứng x d v× lim y d c x c a a TiƯm cËn ngang y v× lim y x c c Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đ-ờng tiệm cận làm tâm đối xứng Mọi hàm phân thức hữu tØ bËc hai trªn bËc nhÊt y = ax bx c (a 0, d dx e TS, MS nghiệm chung) ®Ịu cã hai tiƯm cËn lµ: TiƯm cËn ®øng x e v× lim y d d x c Tiệm cận xiên đ-ợc xác định cách chia TS cho MS, giả sử: y = y kx m A dx e đ-ờng thẳng y = kx + m tiệm cận xiên vì: lim y (kx m) x Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đ-ờng tiệm cận làm tâm đối xứng Thí dụ a Tìm tiệm cận đứng tiệm cân xiên đồ thị (C) hàm số: y= x2 x x2 b Xác định giao điểm I hai tiệm cận viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vect¬ OI Trang 59 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham kho, file word c Viết ph-ơng trình đ-ờng cong (C) hệ toạ độ IXY Từ đó, suy đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng Giải a Viết lại hàm số d-ới dạng: y=x1 x2 Tập xác định D = \ {3} Từ đó, ta nhận đ-ợc kết luận: Đ-ờng thẳng x = tiệm cận đứng lim y = x Đ-ờng thẳng y = x tiệm cận xiên lim [y(x 1)] = x b Ta lÇn l-ợt có: Giao điểm I(2; 3) Công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI lµ: X x x X Y y y Y c Khi ®ã hƯ tọa độ IXY (C) có ph-ơng trình: 2 (C): Y = (X 2) (H): Y = X (X 2) X NhËn xÐt r»ng, hÖ täa ®é IXY hµm sè Y = X lµ hµm số lẻ dó nhận gốc X tọa độ I làm tâm đối xứng Nhận xét: Qua thí dụ trên, ta thấy với hàm phân thức bậc hai trªn bËc nhÊt (H): y ax bx c víi a 0, d vµ TS, MS kh«ng cã nghiƯm dx e chung, ta có: Đồ thị (H) nhận điểm giao điểm I hai đ-ờng tiệm cận làm tâm đối xứng Không tồn tiếp tuyến đồ thị qua I Ngoài ra, với hàm hữu tỉ khác sử dụng định nghĩa để xác định tiệm cận đứng, tiệm cận xiên (hoặc tiệm cận ngang) cho đồ thị hàm số Thí dụ Tìm đ-ờng tiệm cận đồ thị hàm số y = x3 x 2x Giải Miền xác định D = \ {0, 2} Viết lại hàm số d-ới dạng: Trang 60 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word 4x x 2x Tõ ®ã, ta nhận đ-ợc kết luận: Đ-ờng thẳng x = tiệm cận đứng lim y = y=x+2+ x0 Đ-ờng thẳng x = tiệm cận đứng lim y = Đ-ờng thẳng y = x + tiệm cận xiên lim [y(x + 2)] = x 2 x VËy, đồ thị hàm số có ba đ-ờng tiệm cận Chú ý: Thí dụ minh hoạ yêu cầu th-ờng dc đặt với tiệm cận hàm phân thức hữu tỉ chứa tham số Thí dụ Cho hµm sè y mx x 1 m a Chøng tá r»ng víi mäi m đồ thị hàm số có hai tiệm cận b Tìm m để khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số đến gốc toạ độ c Tìm m để khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số đến gốc toạ độ nhỏ d Tìm m để hai đ-ờng tiệm cận đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ hình chữ nhật có diện tích Giải a Đồ thị hàm số tiệm cận TS vµ MS cã nghiƯm chung, tøc lµ: m m(1 m) m2 m + = 0, v« nghiƯm 1 m Vậy, với m đồ thị hàm số có hai tiệm cận là: Đ-ờng thẳng (d1): x = m tiệm cận đứng lim y x m Đ-ờng thẳng (d2): y = m tiệm cận ngang lim y m x b Với tâm đối xứng I(m 1; m), ta cã: OI = (m 1)2 + m2 = 2m2 2m = m = hc m = VËy, víi m = hc m = thoả mãn điều kiện đầu c Với tâm đối xøng I(m 1; m), ta cã: 1 1 OI2 = (m 1)2 + m2 = 2m2 2m + m 2 2 1 suy MinOI , đạt đ-ợc m 2 VËy, víi m = hc m = thoả mãn điều kiện đầu d Ta cã: Trang 61 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word (d1) cắt Ox điểm A(m 1; 0) (d2) cắt Oy điểm B(0; m) Khi đó, từ giả thiÕt ta cã: OA.OB = m 1.|m = m2 m = m2 m m2 m m 1 m m 0, v« nghiƯm m m 2 m VËy, với m = m = thoả mãn điều kiện đầu Thí dụ Cho hµm sè: (Cm): y = x mx x Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo với trục toạ ®é mét tam gi¸c cã diƯn tÝch b»ng 18 Giải Viết lại hàm số d-ới dạng: m x Tr-ớc tiên, để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên điều kiện m (*) Khi đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên (d): y = x + m + Gäi A, B theo thứ tự giao điểm (d) với trục Ox, Oy, ta đ-ợc: A(m 1; 0) B(0; m + 1) Để tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích 18 điều kiện lµ: 1 SOAB = 18 18 = OA.OB = m 1.m + 1 = (m + 1)2 2 m (m + 1)2 = 36 , thoả mãn điều kiện (*) m 7 y=x+m+1+ VËy, víi m = m = thoả mãn điều kiện đầu Nhận xét: Qua thí dụ trên, em học hinh cần ghi nhận việc xác định điều kiện để đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai bậc có tiệm cận xiên Dạng toán 2: Tiệm cận đồ thị hàm vô tỉ Ph-ơng pháp Sử dụng định nghĩa quy tắc tìm tiệm cận hai phÝa Víi hµm sè: (C): y = Ax2 Bx C , víi A > vµ B24AC để tìm đ-ờng tiệm cận (C) ta thùc hiƯn theo c¸c b-íc: Trang 62 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word B-íc 1: Gi¶ sư (d): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có: B-ớc 2: Ax Bx C = A x x b lim Ax Bx C x A x B Bx C = lim = x A Ax Bx C x A Khi đó, ta đ-ợc tiệm cận xiên bên phải đồ thị (C) là: B (d1): y = A x A Gi¶ sư (d): y = ax + b tiệm cận xiên bên trái đồ thị hµm sè, ta cã: a = lim Ax Bx C = x a = lim x A b lim Ax Bx C x A x B Bx C = lim = x A Ax Bx C x A Khi đó, ta đ-ợc tiệm cận xiên bên trái đồ thị (C) là: B (d2): y = A x + A Ph-ơng pháp đ-ợc mở rộng cho líp hµm sè: y = cx + d Ax Bx C ; y n An x n An 1x n 1 A0 Thí dụ Tìm đ-ờng tiệm cận đồ thị hàm số b y x2 4x a y x2 x Giải a Miền xác định D = Gi¶ sư (d1): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hµm sè, ta cã: 1 y x2 x a1 = lim = lim = lim = 1, x x x x x x x b1 = lim [yax] = lim [ x2 x + x] x = lim x x x 1 = x2 x x lµ tiệm cận xiên bên phải (C) Giả sử (d2): y = a2x + b2 tiệm cận xiên bên trái đồ thị hàm số, ta có: Vậy, ®-êng th¼ng (d1): y = x Trang 63 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word x2 x 1 = lim = 1, x x x x x x 1 b2 = lim [yax] = lim x2 x x = lim = x x x x2 x x Vậy, đ-ờng thẳng (d2): y = x + tiệm cận xiên bên trái (C) b Miền xác định D = (; 1] [3; +) Gi¶ sư (d1): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có: y x 4x a1 = lim = lim = lim = 1, x x x x x x x 4x b1 = lim [ya1x] = lim [ x2 4x + x] = lim = x x x x 4x x a2 = lim y = lim x x Vậy, đ-ờng thẳng (d1): y = x + tiệm cận xiên bên phải (C) Giả sử (d2): y = a2x + b2 tiệm cận xiên bên trái đồ thị hàm số, ta có: x 4x = lim = 1, x x x x x 4x b2 = lim [ya2x] = lim x2 4x x = lim = 2 x x x x2 4x x a2 = lim y = lim x x VËy, ®-êng thẳng (d2): y = x tiệm cận xiên bên trái (C) Hoạt động: Qua thí dụ trên, em học giải thích cần có điều kiện A > hàm số y Ax2 Bx C ThÝ dô Tìm đ-ờng tiệm cận đồ thị hàm sè a y x x2 b y x x2 Gi¶i a Miền xác định D = Giả sử (d1): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có: y x2 = lim = a1 = lim = lim x x x x x x 1 b1 = lim (yax) = lim x x2 = lim =0 x x x x x2 Vậy, đ-ờng thẳng (d1): y = tiệm cận ngang bên phải cđa (C) Gi¶ sư (d2): y = a2x + b2 tiệm cận xiên bên trái đồ thị hµm sè, ta cã: Trang 64 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word y x2 = lim = = lim x x x x x x 1 b2 = lim (yax) = lim ( x2 x = lim = x x x x x Vậy, đ-ờng thẳng (d2): y = 2x tiệm cận xiên bên trái (C) a2 = lim b §iỊu kiƯn: x2 x D = (; 1] [1; +) Miền xác định D = (; 1] [1; +) Gi¶ sư (d1): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có: y x2 = lim = a1 = lim = lim x x x x x x b1 = lim (yax) = lim x x2 = lim =0 x x x x x2 Vậy, đ-ờng thẳng (d1): y = tiệm cận ngang bên phải cđa (C) Gi¶ sư (d2): y = a2x + b2 tiệm cận xiên bên trái đồ thị hµm sè, ta cã: y x2 = lim = a2 = lim = lim x x x x x x 1 b2 = lim (yax) = lim ( x2 x = lim = x x x x x Vậy, đ-ờng thẳng (d2): y = 2x tiệm cận xiên bên trái (C) Hoạt động: Qua thí dụ trên, em học giải thích hai hàm số lại có tiệm cận Chú ý: Với đồ thị hàm số vô tỉ dạng khác, để xác định đ-ờng tiệm cận ta thực theo b-ớc: B-ớc 1: Tìm miền xác định D miền giá trị I (nếu có thể) hàm số, D I có chứa thực b-ớc trái lại kết luận đồ thị hàm số tiệm cận B-ớc 2: Dựa vào D I tìm tiệm cận đồ thị hàm số Nếu hàm số chứa bậc chẵn, nói chung ta th-ờng phải tìm tiệm cận bên trái bên phải Thí dụ Tìm đ-ờng tiệm cận đồ thị hàm số: a y x2 b y x2 x x Gi¶i a §iỊu kiƯn: x2 x D = [ ; ] D kh«ng chøa Trang 65 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham kho, file word Miền giá trị I hàm số đ-ợc xác định nh- sau: x2 x2 I = [0; Vậy, đồ thị hàm số tiệm cËn b Ta cã ®iỊu kiƯn: ] I kh«ng chøa x2 x x x2 x x x x x x D = (∞; 1] x 1 x0 x x x Ta cã: lim y lim x x x2 x x Vậy, đồ thị hàm số tiệm cận Chú ý: Với đồ thị hàm số vô tỉ dạng phân thức hữu tỉ, đánh giá đ-ợc tồn tiệm cận xiên tiệm cận ngang dựa việc đánh giá bậc tử số mẫu số Thí dụ Tìm đ-ờng tiệm cận đồ thị hµm sè: a (C) : y x x 1 b (C) : y x x x Giải a Điều kiện: x2 > x > D = (; 1) (1; +) Ta lần l-ợt: Vì lim y nên đồ thị (C) có tiệm cận đứng bên phải x = x Vì lim y nên đồ thị (C) có tiệm cận đứng bên trái x = Tiệm cận ngang bên phải, ta có: x x x lim y = lim = lim = lim = 1 x x x x x x x x2 x Vậy, đồ thị (C) có tiệm cận ngang bên phải y = Tiệm cận ngang bên trái, ta có: x x x lim y = lim = lim = lim = x x x x x x x 1 x2 x VËy, đồ thị (C) có tiệm cận ngang bên trái y = x 1 Trang 66 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word b §iỊu kiƯn x x D = (; 1) [0; +) 0 x 1 x 1 Ta lần l-ợt: Vì lim y nên đồ thị (C) có tiệm cận đứng bên phải x = x 1 TiƯm cËn xiªn (d): y = ax + b, ta cã: y x = a lim = lim x x x x 1 x x b lim(y x) = lim x x = lim x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x = lim x = lim = lim x x x 11 x x x 1 1 1 x 1 x x 1 Vậy, đồ thị (C) có tiệm cận xiên (d) : y x Đ6 khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm đa thức Dạng toán 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm đa thức bậc ba Ph-ơng pháp Với hàm số: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a ta lần l-ợt có: a Tập xác định D = b Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cùc: b c d lim y = lim x3 a a()3 a() x x x x x Bảng biến thiên: Trang 67 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word y' = 3ax2 + 2bx + c = y' = 3ax2 + 2bx + c, LËp b¶ng biÕn thiên: x + y' y Dựa vào bảng biến thiên đ-a kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến cực trị hàm số c Đồ thị: Điểm uốn: b y'' = 6ax + 2b, y'' = 6ax + 2b = x = 3a b Vì y" đổi dấu x qua điểm nên đồ thị hàm số có mét ®iĨm n 3a b b U ; f( ) 3a 3a Giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong tr-ờng hợp đồ thị không cắt trục tọa độ việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp bỏ qua phần này) Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng Do có bốn tr-ờng hợp khác chiều biến thiên nên đồ thị hàm bậc ba có bốn dạng sau đây: Với a > Có hai cực trị Không có cực trị Với a < Có hai cực trị Không có cực trị y y y y U O b/3a U U U x x O b/3a x O b/3a O b/3a x ThÝ dô Cho hµm sè: y = x3 + 3x2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tuỳ theo giá trị m biện luận số nghiệm ph-ơng trình: x3 3x2 + + m = c ViÕt ph-¬ng trình tiếp tuyến đồ thị điểm uốn d Chứng minh điểm uốn tâm đối xứng đồ thị Giải a Ta lần l-ợt có: y 2 1 Trang 68 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham O x kho, file word I Hàm số xác định D = Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực: lim y y = lim [x3(1 + )] x x x x x = x Bảng biến thiên: y' = 3x2 + 6x, x y' y + 2 C§ x y' = 3x2 + 6x = x 2 + + 4 CT Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến khoảng (; 2) (0; +) Hàm số đồng biến khoảng (2; 0) Hàm số đạt cực đại điểm (2; 0) cực tiêu điểm (0; 4) Đồ thị hàm số: Điểm uốn: y'' = 6x + 6, y'' = 6x + = x = Vì y" đổi dấu x qua điểm nên đồ thị hàm số có điểm uốn I(1; 2) Giao đồ thị hàm sè víi trơc tung lµ A(0; 4) Giao cđa đồ thị hàm số với trục hoành: x x3 + 3x2 = (x 1)(x2 + 4x + 4) = B(1; 0) x b Viết lại ph-ơng trình d-ới dạng: x3 + 3x2 = m Khi đó, số nghiệm ph-ơng trình số giao điểm đồ thị hàm số với đ-ờng thẳng y = m, ®ã ta cã kÕt luËn: Với m < m > ph-ơng trình cã nghiƯm nhÊt Víi m = 4 hc m = ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt Với < m < ph-ơng trình có ba nghiệm phân biệt c Ph-ơng trình tiếp tuyến đồ thị điểm uốn I có dạng: (dI): y + = y'(1)(x + 1) (dI): y = 3x d Công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI là: Trang 69 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word X x x X Y y y Y hệ tọa độ IXY (C) có ph-ơng trình: (C): Y = (X 1)3 + 3(X 1)2 (H): Y = X3 3X NhËn xÐt r»ng, hƯ täa ®é IXY hµm sè Y = X3 3X lµ hµm số lẻ dó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng Vậy, điểm uốn tâm đối xứng đồ thị Thí dụ Cho hàm số: y = (x + 1)(x2 + 2mx + m + 2) a Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt b Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = Giải a Ph-ơng trình hoành độ giao điểm: x (x + 1)(x2 + 2mx + m + 2) = g(x) x 2mx m (1) Để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt điều kiện là: Ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 'g m2 m m 1 (*) g(1) 2 m 3 m VËy, víi m thỏa mãn (*) đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt b Bạn đọc tự giải Dạng toán 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm trùng ph-ơng Ph-ơng pháp Víi hµm sè: y = f(x) = ax4 + bx2 + c, với a ta lần l-ợt có: a Tập xác định D = b Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực: b c lim y = lim ax4(1 + + ) = x x ax ax Bảng biến thiên: y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b), Lập bảng biến thiên: x y' a a y' = 2x(2ax2 + b) = + Trang 70 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sỏch tham kho, file word y Dựa vào bảng biến thiên đ-a kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến cực trị hàm số c Đồ thị: Điểm uốn: y'' = 12ax2 + 2b (1) Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt đồ thị hàm số có hai điểm uốn: U1(x1; f(x1)) U2(x2; f(x2)) Giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong tr-ờng hợp đồ thị không cắt trục tọa độ việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp bỏ qua phần này) Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng Do có bốn tr-ờng hợp khác chiều biến thiên nên đồ thị hàm bậc ba có bốn dạng sau đây: Với a > Với a < Cã mét cùc trÞ Cã ba cùc trÞ Cã mét cùc trÞ Cã ba cùc trÞ y y O x x O hµm sè: ThÝ dơ Cho y = x4 2mx2 + 2m y y O x x O a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m Viết ph-ơng trình tiếp tuyến đồ thị haiđiểm uốn b Tìm giá trị m cho hàm số có ba cực trị Giải hàm số có dạng: y = x4 x2 + Ta lần l-ợt có: Hàm số xác định D = Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cùc: 1 lim y = lim x 1 x x x x Bảng biến thiên: a Víi m y' = 4x3 x, y' = 4x3 2x = x = hc x Trang 71 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word 1/ 0 CT C§ + 3/4 Bạn đọc tự kết luận dựa theo bảng biến thiên Đồ thị hàm số: §iÓm uèn: x y' y y'' = 12x2 2, y'' = 12x2 = x = Vì y" đổi dấu x qua điểm + 1/ CT 3/4 nên đồ thị hàm số có hai điểm uốn 31 31 U1 ; ; vµ U 36 36 Ta tìm thêm vài điểm đồ thị A(; 1), B(1; 1) Bạn đọc tự vẽ hình Ta lần l-ợt nhận đ-ợc hai tiếp tuyến là: 4 13 13 x x (d1): y = vµ (d2): y = 12 12 6 b Miền xác định D = Đạo hàm: y' = 4x34mx, y' = 4x34mx = 4x(x2m) = Để hàm số có ba cực trị điều kiện là: Ph-ơng trình (1) có ba nghiệm ph©n biƯt m > VËy, víi m > thỏa mãn điều kiện đầu (1) Thí dụ Cho hµm sè y = x4 (m + 1)x2 + m a Khảo sát vẽ đồ thị cđa hµm sè víi m = 1 b Chøng minh đồ thị hàm số cho qua hai điểm cố định với giá trị m Giải a Bạn đọc tự giải b Giả sử M(x0; y0) điểm cố định họ (Cm) Khi ®ã: y0 = x 40 (m + 1) x 20 + m, m (1 x 20 )m + x 40 x 20 y0 = 0, m 1 x 20 x0 y0 x x y x 1 y VËy, họ (Cm) qua hai điểm cố định M1(1; 0) vµ M2(1; 0) ThÝ dơ Cho hµm sè: Trang 72 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word f(x) = x4 x2 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho b Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy cách vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Giải y a Ta lần l-ợt có: Hàm số xác định D = Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực: lim y = lim [x4(1 )] = + x x x Bảng biến thiên: 1 y=f(x) /2 /2 O 1/4 x y' = 4x32x, y' = 4x32x = x / x /2 / y' + 0 + y + CT CĐ CT 1/4 1/4 Bạn đọc tự kết luận dựa theo bảng biến thiên x y=f(x) + + Trang 73 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word ... đầu Bộ giáo dục Đào tạo công bố H-ờng dẫn ôn tập thi môn Toán THPT Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán, đề thi đại học cao đẳng môn Toán, cụ thể: cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT I Phần chung... Cự Môn xin trân trọng giới thiệu tới bạn đọc sách: Các giảng trọng tâm Môn Toán (gồm tập) miêu tả chi tiết ph-ơng pháp giải cho dạng toán th-ờng gặp đề thi tốt nghiệp THPT, đại học cao đẳng môn. .. ph-ơng pháp giải cho dạng toán th-ờng gặp đề thi tốt nghiệp THPT, đại học cao đẳng môn Toán Với môn Toán 12 phần kiến thức trọng tâm: Giải tích bao gồm ch-ơng I, phần kiến thức ch-ơng II (ph-ơng