Bài tập nâng cao hình học môn toán lớp 12

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn BÀI TẬP HÌNH HỌC NÂNG CAO MƠN TỐN LỚP 12 Hệ thức lượng tam giác vuông : cho ABC vuông A ta có : 2 a) Định lý Pitago : BC  AB  AC A b) BA  BH BC; CA  CH CB c) AB AC = BC AH ; AH2 = BH.HC d) b c 1   2 AH AB AC BC = 2AM f) b c b c sin B  , cosB  , tan B  , cot B  a a c b g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = M H B e) C a b b  , b = c tanB = c.cot C sin B cos C Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c    2R sin A sin B sin C * Định lý hàm số Sin: Các cơng thức tính diện tích a/ Cơng thức tính diện tích tam giác: S a.b.c  p.r  a.ha = a.b sin C  4R p.( p  a )( p  b)( p  c) với p  abc a2 S Đặc biệt :* ABC vuông A : S  AB AC * ABC cạnh a: b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh * Đường chéo hình vng = cạnh x * Đường cao tam giác = cạnh x d/ Diện tích hình thoi : S = c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng (chiều dài x chiều ngắn) e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình thang : S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao g Diện tích hình tròn : S   R Cơng thức thể tích THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c  với B : diệ n tích đá y; với a, b, c ba kích thước Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V= Bh h : chiề u cao B : diệ n tích đá y với  u cao  h : chiề TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSA 'B'C' SA ' SB' SC'  VSABC SA SB SC THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRANG Gia sư Tài Năng Việt THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN https://giasudaykem.com.vn V   B, B' : diệ n tích hai đá y h B  B' BB' với  u cao  h : chieà TRANG Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn * Một số dạng hình thường gặp: S S S A A D A C B B Hình chóp đáy tam giác S A B C Hình chóp đáy tứ giác C Hình chóp đáy hình thang S D A B C Hình chóp có đáy hbh, ht, hcn, hv C B Hình chóp đáy tam giác có SA  đáy S S A A D B C Hình chóp đáy hình thang có SA  đáy S D B C Hình chóp đáy hbh, ht, hcn, hv có SA  đáy S A A D C H H I B C Hình chóp đáy tứ giác B Hình chóp đáy tam giác A D THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN C A’ B’ C’ Lăng trụ đứng tam giác B A B C A’ D D’ C’ Hình hộp chữ nhật B A D C A’ B’ D’ B’ C’ Hình lập phương TRANG Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn BÀI TẬP Bài 1: Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Các cạnh bên tạo với đáy góc 60 a3 12 Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy 2a Góc tạo cạnh bên đáy góc 30 Tính Tính thể tích khối chóp S.ABC Đs: VS ABC  a3 Bài 3: Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy 2a, cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp thể tích khối chóp S.ABC Đs: VS ABC  a3 2 S.ABC Đs: VS ABC  Bài 4: Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy a Góc tạo mặt bên đáy góc 600 Tính thể a3 24 Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, cạnh SB  ( ABCD) Biết AB = 3a, tích khối chóp S.ABC Đs: VS ABC  AC = 4a, SC = 29a Tính thể tích khối chóp S.ABC Đs: VS ABC  4a3 a3 12 Bài 7: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy tam giác vuông cân, AB = BC = a B’ trung điểm SB C’ chân đường cao hạ từ A tam giác SAC a3 a Tính thể tích khối chóp S.ABC Đs: VS ABC  b Chứng minh: SC  ( AB ' C ') a3 c Tính thể tích khối chóp S.AB’C’ Đs: VS AB'C '  36 Bài 8: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC tam giác cạnh a, SA  ( ABCD) SA = 2a Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm A cạnh SB, SC Bài 6: Tính thể tích khối tứ diện ABCD có cạnh a Đs: VD ABC  8a3 a3 b Tính thể tích khối chóp S.AEF Đs: VS AEF  75 16 c Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.AEF ABCEF Đs: Bài 9: Cho khối chóp tam giác S.ABC, có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên 2a Gọi I, J trung điểm cạnh SA, SB a Tính thể tích khối chóp S.ABC Đs: VS.ABC  a3 11 a3 11 b Tính thể tích khối chóp S.IJC Đs: VS.IJC  48 12 Bài 10: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh SA vng góc với đáy ABC cạnh SC tạo với đáy góc 300 Gọi I, J trung điểm cạnh SB, SC a3 a3 a Tính thể tích khối chóp S.ABC Đs: VS.ABC  b Tính thể tích khối chóp S.AIJ Đs: VS AIJ  48 12 Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có ạnh đáy a Góc SAC  45 Tính thể tích hình chóp a Tính thể tích khối chóp S.ABC Đs: VS.ABC  a3 Bài 12: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh SA vng với đáy S.ABCD Đs: VS ABCD  a3 Bài 13: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Cạnh SB vng với đáy SC = 2a Tính thể tích hình chóp S.ABCD Đs: VS ABCD  SC = 3a Tính thể tích hình chóp S.ABCD Đs: VS ABCD  THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 4a3 TRANG Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 14: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Cạnh SB  ( ABCD) SD = 3a a Chứng minh Các mặt bên hình chóp tam giác vng 4a3 b Tính thể tích khối chóp S.ABCD Đs: VS ABCD  Bài 15: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh AC = 2a, BD = a Cạnh SA  ( ABCD) SA = 2a a Tính thể tích khối chóp S.ABC Đs: VS ABC  a3 b Chứng minh: (SBD)  (SAC) Bài 29: Trong không gian Oxyz cho M(1;-1;2), N(2;0;1) a) Tìm tọa độ giao điểm I đường thẳng MN với mp(Oxy) b) Điểm I chia đoạn MN theo tỉ số nào? c) Tìm tọa độ điểm P đối xứng với M qua N Bài 30: Trong không gian Oxyz cho A(1;2;3), B(0;4;-1), C(3;-2;-5), D(5;-6;3) a) Chứng minh: ABCD hình thang b) Gọi M,N,P,Q trung điểm đoạn AB, AD, CB CD Chứng minh: tam giác APQ CMN có trọng tâm Bài 31: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có điểm C(-2;2;2) trọng tâm G(-1;1;2) a) Tìm tọa dộ đỉnh A, B tam giác ABC biết A thuộc mp(Oxy), B thuộc Oz b) Gọi H trung điểm BC, E điểm đối xứng H qua A Tìm tọa độ điểm K đường thẳng AC để B, E, K thẳng hàng Bài 32:Cho tam giác ABC có A(2;3;1), B(0;-1;2), C(1;0;3) a) Tìm tọa độ chân đường cao H hạ từ đỉnh A tam giác ABC b) Tìm tọa độ giao điểm D đường thẳng AH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Hướng dẫn: sd tích vơ hướng HA.HD=HC.HB) Bài 33: Trong không gian Oxyz cho A(1;1;2), B(2;4;-1) a) Tìm tọa độ điểm A1 A2 hình chiếu A mp(Oxy) trục Oz b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mp(Oxy) để MA+MB có giá trị nhỏ Bài 34: Trong khơng gian Oxyz cho hình chữ nhật OABC có A(0;0;3), B(3;4;0) Gọi M trung điểm BC a) Tìm tọa độ điểm B M b) Tìm tọa độ điểm N cạnh AB để ON  AM Bài 35:Cho tam giác ABC có A(-2;0;1), B(0;-1;1), C(0;0;-1) a) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tính bán kính đường tròn b) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Bài 36: Cho tam giác ABC có A(0;0;2), B(0;1;0), C(1;2;3) a) Tìm tọa độ S thuộc Oy để tứ diện SABC tích b) Tìm tọa độ hình chiếu H O mp(ABC) Bài 37: Cho A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(0;1;3) Lập phương trình mặt cầu trường hợp sau a) Có tâm I(3;2;-1) tiếp xúc với đường thẳng AB b) Có tâm K thuộc mp(Oyz) tiếp xúc với mp(ABC) A Bài 38: Cho mc (S) có phương trình x  y  z  x  y  z   điểm A(1;-1;2), B(2;0;1), C(-1;2;2) a) Tìm tâm I bán kính R mặt cầu (S) b) Chứng minh đường thẳng AB cắt mặt cầu (S) c) Chứng minh: mp(OAC) cắt mặt cầu (S), tìm bán kính đường tròn thiết diện Bài 39: Cho điểm A(2;5;-4), B(1;6;3), C(-4;-1;12), D(-2;-3;-2) a) Chứng minh: ABCD hình thang b) Tính diện tích hình thang ABCD Bài 40: Cho tam giác ABC có A(0;4;1), B(1;0;1), C(3;1;-2) a) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRANG Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 41: Cho điểm A(-1;2;0), B(0;0;1), C(0;3;0), D(2;1;0) a) Chứng minh: A,B,C,D đỉnh tứ diện Tính VABCD b) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu D mp(ABC) c) Tìm tọa độ điểm E đối xứng D qua (ABC) Bài 42: Cho tứ diện OABC có A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;4) Viết phương trình mc ngoại tiếp tứ diện Tìm tọa độ tâm bán kính mc Bài 43: Cho điểm A(0;-2;1), B(-1;0;1), C(0;0;-1) Lập phương trình mc có đường tròn lớn đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 44: Xét phương trình x  y  z  2(sin t ) x  4(cos t ) y  m  (*) a) Tìm m để (*) phương trình mặt cầu với t thuộc R Tìm tâm bán kính mc b) Tìm tập hợp tam mc t thay đổi Bài 45: Cho điểm A(3; 2;0), B(1;3; 2), C(1;0;1), D(0; 1;3) Tìm tập hợp điểm M khơng gian thỏa mãn điều kiện: a) MA2  MB2  23 b) MA  MB  MC  MD  MA  MB  2MC Bài 46: Trong không gian Oxyz cho A(-1;3;2), B(0;-4;3), C(4;1;-6) mp (P): 2x+y-z-3=0 (Q): x+y+z=0 Viết phương trình mp(Q) trường hợp sau: a) Qua điểm A, B, C b) Song song A, B chứa giao tuyến (P) (Q) Bài 47: Viết phương trình mp ( ) trường hợp sau: a) ( ) qua hai điểm P(3;0;-1), Q(0;-1;4) vng góc với mp: 2x-3y+5z+7=0 b) ( ) qua điểm M(2;1;3), song song với trục Oz vng góc với mp: x+2y+5z-3=0 Bài 48: Cho hai điểm A(4;2;3), B(0;-2;1) a) Tìm trục Ox điểm M cách điểm A mp(P): x-y-3z-17=0 b) Viết phương trình (Q) biết (Q)//(P) cách hai điểm A,B Bài 49: Cho hai điểm A(1;0;0), B(0;1;2) Tìm (C) thuộc Oz để mp(ABC) hợp với mp: 2x-2y-z+5=0 góc 60 Bài 50: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB với A(0;0;1), B(2;2;3) tiếp xúc với mc: x  y  z  x  y  z  15  Bài 52: Cho mp (P) mc (S) có phương trình: (P): 2x-3y+4z-5=0 (S): x  y  z  3x  y  z   CMR: (P) cắt mặt cầu (S) Tính bán kính r xác định tọa độ tâm H đường tròn thiết diện Bài 52: Cho mặt cầu (S): x  y  z  x  y  z   Lập phương trình mp(P) thỏa mãn điều kiện: a) (P) tiếp xúc với mc (S) M(4;3;0) b) (P) tiếp xúc với mc(S) biết (P)//(Q): x+3y-z+2=0 Bài 53: Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc Oy tiếp xúc với hai mp: x+2y-2z-3=0 x+2y-2z-5=0 x y 1 z   , ( P) : x  y  z  10  Bài 54: Cho đường thẳng d mp(P): d :  1 a) Chứng minh: d cắt (P) Tìm tọa độ giao điểm b) Tìm phương trình hình chiếu vng góc d lên (P) x 1 y  z    Bài 55:Cho d : mp(P): 2x+y-2z+9=0 1 a) Tìm tọa độ I thuộc d cho d(I,(P))=2 b) Tìm tọa độ giao điểm A d (P) Viết phương trình tham số đường thẳng  nằm mặt phẳng (P), biết  qua A vng góc với d x  y  z 1   Bài 66: Cho d: điểm A(1;1;1), B(1;-5;-2) 3 1 a) Chứng minh: đường thẳng AB d nằm mặt phẳng b) TÌm tọa độ điểm M thuộc d cho MA  MB có giá trị lớn Bài 57: Cho A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(0;1;3) Lập phương trình mặt cầu trường hợp sau THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRANG Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn a) Có tâm I(3;2;-1) tiếp xúc với đường thẳng AB b) Có tâm K thuộc mp(Oyz) tiếp xúc với mp(ABC) A Bài 58: Cho tứ diện OABC có A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;4) Viết phương trình mc ngoại tiếp tứ diện Tìm tọa độ tâm bán kính mc Bài 59: Cho điểm A(0;-2;1), B(-1;0;1), C(0;0;-1) Lập phương trình mc có đường tròn lớn đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRANG ... AIJ  48 12 Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có ạnh đáy a Góc SAC  45 Tính thể tích hình chóp a Tính thể tích khối chóp S.ABC Đs: VS.ABC  a3 Bài 12: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh... cao  h : chieà TRANG Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn * Một số dạng hình thường gặp: S S S A A D A C B B Hình chóp đáy tam giác S A B C Hình chóp đáy tứ giác C Hình chóp đáy hình. .. Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn BÀI TẬP Bài 1: Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Các cạnh bên tạo với đáy góc 60 a3 12 Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy 2a Góc tạo