Tuyển chọn bài giảng luyện môn toán lớp 11 (khoảng 450 trang)

lê hồng đức v-ơng ngọc lê viết hoà lê hữu trí lê bích ngọc giảng trọng tâm theo ch-ơng trình chuẩn toán 11 Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, thi, sỏch tham kho, file word lời nói đầu Bộ giáo dục Đào tạo công bố H-ờng dẫn ôn tập thi môn Toán THPT Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán, đề thi đại học cao đẳng môn Toán, cụ thể: cấu trúc ®Ị thi tèt nghiƯp THPT I PhÇn chung cho tÊt thí sinh (7 điểm) Câu (3 điểm): Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho tr-ớc, t-ơng giao hai đồ thị (một hai đồ thị đ-ờng thẳng) Câu (3 điểm): Hàm số, ph-ơng trình, bất ph-ơng trình mũ logarit Giá trị lớn nhỏ hàm số Tìm nguyên hàm, tính tích phân Bài toán tổng hợp Câu (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chãp, khèi nãn trßn xoay, khèi trơ trßn xoay; tÝnh diện tích mặt cầu thể tích khối cầu II Phần riêng (3 điểm) Theo ch-ơng trình chuẩn: Câu 4a (2 điểm): Xác định toạ độ điểm, vectơ Mặt cầu Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng, mặt phẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 5a (1 điểm): Số phức: môđun số phức, phép toán số phức Căn bậc hai số thực âm Ph-ơng tr×nh bËc hai hƯ sè thùc cã biƯt thøc  ©m  øng dơng cđa tÝch ph©n: tÝnh diƯn tÝch hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Theo ch-ơng trình nâng cao: Câu 4b (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ không gian Xác định toạ độ điểm, vectơ Mặt cầu Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đ-ờng thẳng, mặt phẳng, khoảng cách hai đ-ờng thẳng Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 5b (1 điểm): Số phức: môđun số phức, phép toán số phức Căn bậc hai số phức Ph-ơng trình bậc hai hệ số phức Dạng l-ợng giác số phức Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai bậc số yếu tố liên quan  Sù tiÕp xóc cđa hai ®-êng cong Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word  HÖ ph-ơng trình mũ logarit ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Cấu trúc đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng I Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu (2 điểm): Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho tr-ớc, t-ơng giao hai đồ thị (một hai đồ thị đ-ờng thẳng) Câu (2 điểm): Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình hệ đại số Công thức l-ợng giác, ph-ơng trình l-ợng giác Câu (1 điểm): Tìm giới hạn Tìm nguyên hàm Tính tích phân ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Câu (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc đ-ờng thẳng, mặt phẳng Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nãn trßn xoay, khèi trơ trßn xoay; tÝnh diƯn tÝch mặt cầu thể tích khối cầu Câu (1 điểm): Toán tổng hợp II Phần riêng (3 điểm) Theo ch-ơng trình chuẩn: Câu 6a (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ mặt phẳng không gian Xác định toạ độ điểm, vectơ Đ-ờng tròn, elíp, mặt cầu Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 7a (1 điểm): Số phức Tổ hợp, xác suất, thồng kê Bất đẳng thức Cực trị biểu thức đại số Theo ch-ơng trình nâng cao: Câu 6b (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ mặt phẳng không gian Xác định toạ độ điểm, vectơ Đ-ờng tròn, ba đ-ờng cônic, mặt cầu Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đ-ờng thẳng, mặt phẳng Khoảng cách hai đ-ờng thẳng Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 7b (1 điểm): Số phức Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai bậc số yếu tố liªn quan Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word     Sù tiÕp xóc cđa hai đ-ờng cong Hệ ph-ơng trình mũ logarit Tổ hợp, xác suất, thồng kê Bất đẳng thức Cực trị biểu thức đại số Dựa vào Nhóm Cự Môn xin trân trọng giới thiệu tới bạn đọc sách: Các giảng trọng tâm Môn Toán (gồm tập) miêu tả chi tiết ph-ơng pháp giải cho dạng toán th-ờng gặp đề thi tốt nghiệp THPT, đại học cao đẳng môn Toán Với môn Toán 11 phần kiến thức trọng tâm: Đại số Giải tích có phần kiến thức ch-ơng I (ph-ơng trình l-ợng giác), ch-ơng II, phần kiến thức ch-ơng III (giới hạn hàm số), ch-ơng IV Hình học gồm kiến thức ch-ơng II, ch-ơng III Từ đó, Các giảng trọng tâm Toán 11 đ-ợc chia thành phần: Phần I: Đại số Giải tích, bao gồm chủ đề: Chủ đề - Ph-ơng trình l-ợng giác Chủ đề - Các dạng ph-ơng trình l-ợng giác th-ờng gặp Chủ đề - Các ph-ơng pháp giải ph-ơng trình l-ợng giác Chủ đề - Tổ hợp, xác suất, thống kê Chủ đề - Giới hạn hàm số Chủ đề - Đạo hàm toán liên quan Phần II: Hình học, bao gồm chủ đề: Chủ đề - Đại c-ơng đ-ờng thẳng mặt phẳng Chủ đề - Hai đ-ờng thẳng song song Chủ đề - Đ-ờng thẳng song song với mặt phẳng Chủ đề - Hai mặt phẳng song song Chủ đề - Vectơ không gian Chủ đề - Hai đ-ờng thẳng vuông góc Chủ đề - Đ-ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng Chủ đề - Hai mặt phẳng vuông góc Chủ đề - Khoảng cách Tr-ớc phần nhỏ có: A Kiến thức cần nhớ: Nhắc lại nội dung kiến thức mà em học sinh cần nhớ Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sỏch tham kho, file word B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan: Chia theo chủ đề dạng toán đ-ợc trình bày theo phong cách thuật toán d-ới dạng b-ớc thực thí dụ minh hoạ sau Cuối thí dụ th-ờng có nhận xét để giúp em học sinh củng cố kiến thức C Các to¸n chän läc: Bao gåm c¸c vÝ dơ cã tÝnh tổng hợp cao đ-ợc trích từ đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Với phong cách trình bày nh- vậy, tài liệu giúp tăng chất l-ợng giảng cho thầy, cô giáo víi c¸c em häc sinh nã sÏ cung cÊp mét giáo trình hoàn chỉnh mặt kiến thức, dễ đọc, dễ hiểu Để tài liệu ngày hoàn hảo Nhóm Cự Môn mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp quý báu bạn đọc gần xa Chủ biên Lê Hồng Đức Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Môc lôc lêi nói đầu phần I: Đại số giải tích Ch-ơng I: hàm số l-ợng giác ph-ơng trình l-ợng giác A KiÕn thøc cÇn nhí B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan ….14 § 1: Đ 2: Đ 3: Đ 4: Các hàm số l-ợng gi¸c 14 Ph-ơng trình l-ợng giác b¶n 24 Một số ph-ơng trình l-ợng giác đơn giản … 34 Mét sè ph-¬ng pháp giải ph-ơng trình l-ợng giác 45 C Các toán chọn lọc 64 Ch-ơng II: tổ hợp xác suất A Kiến thức cần nhớ 83 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liªn quan 90 § 1: § 2: § 3: § 4: Đ 5: Đ 6: Hai quy tắc đến 90 Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp 95 Công thức nhị thøc Niut¬n 114 Biến cố xác suất cña biÕn cè 121 Các quy tắc tính xác suÊt 123 Biến ngẫu nhiên rời rạc 126 C Các toán chọn lọc 129 Ch-ơng III: dãy số, cấp số cộng cấp số nhân A Kiến thức cần nhớ 147 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan 149 § 1: § 2: § 3: § 4: Ph-ơng pháp quy nạp toán học 149 D·y sè 153 CÊp sè céng 162 CÊp sè nh©n … 168 C Các toán chọn lọc 174 Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham kho, file word Ch-ơng IV: giới hạn A Kiến thức cÇn nhí 183 B Ph-¬ng pháp giải dạng toán liên quan 190 Đ 1: Giới hạn d·y sè 190 Đ 2: Giới hạn hµm sè 200 Đ 3: Hàm số liªn tơc 230 C Các to¸n chän läc 238 Ch-¬ng V: đạo hàm A Kiến thức cần nhớ 251 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liªn quan 256 Đ 1: Đạo hàm 256 § 2: Vi ph©n 287 Đ 3: Đạo hàm cÊp cao 289 C Các toán chän läc 298 phần II: hình học Ch-ơng I: đ-ờng thẳng mặt phẳng không gian Quạn hệ sonh song A Kiến thức cần nhớ 313 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan 321 § 1: § 2: § 3: Đ 4: Đại c-ơng đ-ờng thẳng mặt phẳng 321 Hai đ-ờng thẳng song song 333 Đ-ờng thẳng song song với mặt phẳng 338 Hai mặt phẳng song song 341 C C¸c toán chọn lọc 348 Ch-¬ng II: vectơ không gian quan hệ vuông góc không gian A Kiến thức cần nhớ 359 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liªn quan 364 § 1: § 2: § 3: § 4: § 5: Vectơ không gian Sự đồng phẳng vectơ 364 Hai đ-ờng thẳng vu«ng gãc víi 395 Đ-ờng thẳng vuông góc với mặt ph¼ng 401 Hai mặt phẳng vuông góc .407 Kho¶ng c¸ch 411 C Các to¸n chän läc 421 môc lôc 447 Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word XIN TRÍCH DẪN MỘT PHẦN NỘI DUNG TÀI LIU NY phần I: đại số giải tích ch-ơng hàm số l-ợng giác ph-ơng trình l-ợng giác A Kiến thức cần nhớ I hàm số l-ợng giác Hàm tuần hoàn Hàm số f(x) xác định tập hợp D gọi tuần hoàn tồn số d-ơng T cho với x  D ta cã: xT  D vµ x + T  D (1) f(x + T) = f(x) (2) Sè nhá nhÊt (nÕu cã) c¸c sè T có tính chất gọi chu kì sở hàm tuần hoàn f(x) Chú ý: (Các đấu hiệu để biết hàm số f(x) hàm tuần hoàn): Hàm số f(x) hàm tuần hoàn điều kiện sau bị vi phạm: a Tập xác định hàm số tập hữu hạn b Tồn số a cho hàm số không xác định với x > a x < a c Ph-ơng trình f(x) = k có nghiệm nh-ng số nghiệm hữu hạn d Ph-ơng trình f(x) = k có vô số nghiệm thứ tự: < xn < xn + < mµ |xn  xn + 1|  hay  Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sỏch tham kho, file word hàm số l-ợng giác biến số thực 2.1 Hàm số y = sinx Ta cã:   Hµm sè y = sinx lµ hàm số lẻ Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì Xét hàm số y = sinx [0; ] Chiều biến thiên: Dựa vào đ-ờng tròn l-ợng giác ta đ-ợc: x x /2   /2  y 0 y Đồ thị: y /2 3 2  /2 O /2  2 x với x Từ đây, ta cã nhËn xÐt quan träng lµ sinx 2.2 Hµm sè y = cosx Ta cã:  Hµm sè y = cosx hàm số chẵn Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì Xét hàm số y = cosx [0; ] Chiều biến thiên: Dựa vào đ-ờng tròn l-ợng giác ta đ-ợc: x x /2   /2 y y 1 Đồ thị: y /2    1 3 2  /2 O /2 x Từ ta cã nhËn xÐt quan träng lµ cosx  víi mäi x 2.3 Hµm sè y = tanx y Ta cã: Trang 10 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham /2 khảo, file word 3/2 x O /2 3/2 đặt 13 = cos2 th× 13 = sin2, ®ã ta ®-ỵc: cos2.sin2x  sin2.cos2x = cos2  sin(2x  2) = sin(   2)      2x  2   2  2k  x   k     ,k  2x  2      2  2k  x    2  k   VËy, ph-¬ng trình có hai họ nghiệm Cách 2: Xét hai tr-ờng hỵp:  Tr-êng hỵp 1: Víi cosx =  x = + k, k  Khi đó, ph-ơng trình có dạng = , mâu thuẫn Vậy, ph-ơng trình không nhận x = + k làm nghiệm Tr-ờng hợp 2: Với cosx   x  + k, k  Chia hai vế ph-ơng trình cho cos2x 0, ta đ-ợc: tan2x + 2tanx = (1 + tan2x)  tan2x + 4tanx  = Đặt t = tanx, ta biến đổi ph-ơng trình dạng: tan x  tan x   k t    t + 4t  =    ,k 4     t  5  tan x  5  tan x k Vậy, ph-ơng trình có hai họ nghiệm Ví dụ 8: Giải ph-ơng trình sau: a sin24x + sin23x = sin22x + sin2x b cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = Giải a Biến đổi ph-ơng trình dạng: 1 1 (1  cos8x) + (1  cos6x) = (1  cos4x) + (1  cos2x) 2 2  cos8x + cos6x = cos4x + cos2x  2cos7x.cosx = 2cos3x.cosx cos x   (cos7x  cos3x).cosx =   cos7x  cos3x Trang 74 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word   x   k    k   x   k  x   k  7x  3x  2k   x    ,k  k   7x  3x  2k x   k   x   VËy, ph-¬ng trình có hai họ nghiệm b Biến đổi ph-ơng trình vỊ d¹ng: 1 1 (1 + cos2x) + (1 + cos4x) + (1 + cos6x) + (1 + cos8x) = 2 2  cos2x + cos4x + cos6x + cos8x =  2cos3x.cosx + 2cos7x.cosx = cos x   (cos7x + cos3x).cosx =   cos7x   cos3x  cos(  3x)      x   k x   k      k  7x    3x  2k   x   ,k  10 7x    3x  2k    x     k   Vậy, ph-ơng trình có hai họ nghiệm Ví dụ 9: Giải ph-ơng trình tan2x sin2x + cos2x = Giải Điều kiện: k   + k  x  + ,k Biến đổi ph-ơng trình dạng: sin x  sin2x + cos2x  =  (  1)sin2x + cos2x  = cos x cos x  (1  cos2x)sin2x + (cos2x  1)cos2x = cos 2x    (1  cos2x)(sin2x  cos2x) =   sin 2x  cos 2x  x  k 2 x  k cos 2x        ,k  x    k  tan x  x   k    Vậy, ph-ơng trình có hai họ nghiƯm cos2x   2x  VÝ dơ 10: Giải ph-ơng trình 4tan2x (*) + = cos x Trang 75 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Giải Điều kiện: + k, k Viết lại ph-ơng trình d-ới dạng: 4 4( 1)  +5=0  +1=0 2 cos x cos x cos x cos x Đặt t = , điều kiện t 2, ph-ơng trình có dạng: cos x t22t + = t = (loại) Vậy, ph-ơng trình vô nghiƯm cosx   x  VÝ dơ 11: (Đề thi ĐH khối D B 2009): Giải ph-ơng trình sau: a cos5x 2sin3x.cos 2x  sin x  b sin x  cos x.sin 2x  cos3x  2(cos 4x  sin x) Giải a Biến đổi ph-ơng trình vỊ d¹ng: cos5x   sin 5x  sin x   sin x   cos5x  sin 5x  2sin x   cos5x  sin 5x  sin x  cos cos5x  sin sin 5x  sin x 6 2      cos  5x    cos   x       k      x  18  5x    x  2k   ,k  x     k 5x       x  2k   6 Vậy, ph-ơng trình có hai họ nghiệm b Biến đổi ph-ơng trình dạng: (1 2sin x)sin x  cos x.sin 2x  cos3x  2cos 4x   cos 2x.sin x  cos x.sin 2x  cos3x  2cos 4x sin 3x  cos3x  cos 4x 2      sin sin 3x  cos cos3x  cos 4x  cos  3x    cos 4x 6 6   sin 3x  cos3x  2cos 4x  Trang 76 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word      4x  3x   2k  x    2k ,k    4x    3x  2k     2k   42 Vậy, ph-ơng trình có hai họ nghiệm Nhận xét: Nh- vậy, với ph-ơng trình thực giải theo b-ớc sau: B-ớc 1: Sử dụng công thức biến đổi để chuyển ph-ơng trình dạng mở rộng bậc sin cos Và dễ thấy ph-ơng trình b) cần có đánh giá tốt để định h-ởng đắn phép biến đổi B-ớc 2: Giải tiếp ph-ơng trình ph-ơng pháp đẫ biết Ví dụ 12: (ĐHKTCN TPHCM 98): Cho ph-ơng trình: sin2x + 2(m1)sinx.cosx(m + 1)cos2x = m a Giải ph-ơng trình với m = b Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm (1) Giải Ta lựa chọn cách giải sau: Cách 1: Xét hai tr-ờng hợp: Tr-êng hỵp 1: Víi cosx =  x = + k, k Khi đó, ph-ơng trình cã d¹ng: = m  a NÕu m = 1, ph-ơng trình nhận x = + k làm nghiệm b Nếu m 1, ph-ơng trình không nhËn x = + k lµm nghiƯm  Tr-êng hỵp 2: Víi cosx   x  + k, k  Chia hai vÕ cđa ph-¬ng trình cho cos2x 0, ta đ-ợc tan2x + 2(m  1)tanx(m + 1) = m(1 + tan2x)  (m  1)tan2x  2(m  1)tanx + 2m + = Đặt t = tanx, ph-ơng trình có dạng: (m  1)t2  2(m  1)t + 2m + = a Với m = 2, ta đ-ợc:  3t2 + 6t  =  t =  tanx =  x = + k, k VËy, víi m = 2 ph-¬ng tr×nh cã mét hä nghiƯm (*) (2) Trang 77 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sỏch tham kho, file word b Ph-ơng trình (1) cã nghiÖm  (2) cã nghiÖm  ’   (m  1)2  (m  1)(2m + 1)   (m  1)(m + 2)   2  m  VËy, víi 2  m ph-ơng trình có nghiệm Cách 2: Biến đổi ph-ơng trình dạng: cos 2x  cos 2x + (m1)sin2x(m + 1) =m 2  2(m1)sin2x(m + 2)cos2x = 3m a Víi m = 2, ta đ-ợc: sin2x = 2x = + 2k  x = + k, k Vậy, với m = ph-ơng trình có họ nghiệm b Ph-ơng trình (1) có nghiệm (3) cã nghiÖm  a2 + b2  c2  4(m1)2 + (m + 2)2  9m2  m2 + m2   2  m  VËy, với m ph-ơng trình có nghiệm (3) Ví dụ 13: Giải ph-ơng trình cos3x + sin3x = 2sin4x (1)  Gi¶i Ta cã nhËn xÐt: sin4x   VP = 2sin4x   cos x  cos x  VT = cos3x + sin3xcos2x + sin2x =   sin x  sin x ®ã: sin x   VP   (1)    cos3 x  cos x  sinx = 1 x = + k, k VT    sin x  sin x Vậy, ph-ơng trình có họ nghiệm Ví dụ 14: (ĐHD 2000): Giải ph-ơng trình: cos2x + cos4x + cos6x = cosx.cos2x.cos3x + Giải Biến đổi ph-ơng trình dạng: (cos3x + cosx).cos3x + 2  2cos2x + 2cos4x + 2cos6x = cos23x + cosx.cos3x + cos2x + cos4x + cos6x = Trang 78 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word  2cos2x + 2cos4x + 2cos6x = 1 (1 + cos6x) + (cos4x + cos2x) + 2  cos2x + cos4x + cos6x = Ta cã nhËn xÐt: cos 2x   cos 4x   VT = cos2x + cos4x + cos6x  cos 6x ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với: cos 2x  cos 2x     cos2x =  x = k, k cos 4x   2cos 2x   cos 6x    4cos 2x 3cos 2x (*) Vậy, ph-ơng trình có mét hä nghiƯm  NhËn xÐt: Trong vÝ dơ trªn ph-ơng pháp biến đổi tích thành tổng chuyển ph-ơng trình ban đầu dạng để đánh giá, điều khẳng định hầu hết ph-ơng trình l-ợng giác dạng ban đầu ch-a thể khẳng định đ-ợc có thuộc loại đánh giá hay không Tất đ-ợc khẳng định sau biến đổi l-ợng giác mà biết Ngoài ra, sử dụng cách đánh giá cách biến đổi tiếp ph-ơng trình (*) vỊ d¹ng: (1  cos2x) + (1  cos4x) + (1  cos6x) =  sin2x + sin22x + sin23x = sin x    sin 2x   sinx =  x = k, k sin 3x   VËy, ph-¬ng trình có họ nghiệm Ví dụ 15: (ĐHNT Hà Nội 95): Giải ph-ơng trình: 4cosx2cos2xcos4x = Giải Biến đổi ph-ơng trình dạng: 4cosx2cos2x(2cos22x1) =  2cosx(1 + cos2x)cos2x =  2cosx2cos2x.cos2x =  (1cosx.cos2x)cosx = (1) cos x   (2cos3xcosx)cosx =   cos3x  cos x  (2) Giải (1): Ta đ-ợc x = + k , k Trang 79 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Gi¶i (2): Ta cã nhËn xÐt: cos3x   VT = cos3x + cosx   cos x  ®ã: 4cos3 x  3cos x  cos3x  (2)      cosx =  x = 2k , k cos x  cos x  Vậy, ph-ơng trình có hai họ nghiệm Ví dụ 16: (HVCNBCVT 98): Giải ph-ơng trình: sin4xcos4x = + 4(sinxcosx) Giải Biến đổi ph-ơng trình dạng: sin4x(1 + cos4x) = 4(sinxcosx)  2sin2x.cos2x2cos22x = 4(sinxcosx)  2(sin2xcos2x)(cos2xsin2x) = 4(sinxcosx)  (cosxsinx)[(sin2xcos2x)(cosx + sinx) + 2] = (1) cos x  sin x    (sin 2x  cos 2x)(cos x  sin x)  (2) Giải (1): Ta đ-ợc: sinx = cosx  tanx =  x = + k , k Gi¶i (2): Ta cã:    2sin(2x ).cos(x + ) = 2  sin3x + sin(x ) =2 4  sin3xcosx = 2 Ta cã nhËn xÐt: sin 3x  1  VT = sin3xcosx    cos x  1 ®ã: sin 3x  1 sin 3x  1 (2)     v« nghiƯm  cos x sin x Vậy, ph-ơng trình cã mét hä nghiƯm  Chó ý Cã thĨ gi¶i (2) b»ng c¸ch:  | sin x  cos x |   (sinx + cosx)(cos2xsin2x)    | cos 2x  sin 2x |  Do đó, ph-ơng trình có nghiệm khi: Trang 80 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word  sin x  cos x    cos 2x  sin 2x   , v« nghiƯm  sin x  cos x     cos 2x  sin 2x   VÝ dô 17: (HVKTQS98): Giải ph-ơng trình: cos2x sin2x sinxcosx + = (1)  Gi¶i Ta cã:  cos 2x  sin 2x  2  VT(1)    sin x  cos x   Do đó, ph-ơng trình có nghiệm vµ chØ khi: 1 sin 2x  1  cos 2x   cos 2x  sin 2x     VT(1) =    2   sin x  cos x   sin x  cos x  2  2 2       cos(  4k  )  1 cos(2x  )  1 cos(2x  )  1        x    2k cos(x   )   x    2k    3  x= + 2k, k Vậy, ph-ơng trình có họ nghiệm Ví dụ 18: Giải ph-ơng trình: cot3x + cot2x + Giải = sin 3x.sin 2x.sin x (1) §iỊu kiƯn: k  sin 3x  x  3x  k  sin 3x          , k sin 2x    2x  k  sin 2x  k   x   sin x Biến đổi ph-ơng trình d¹ng: sin 5x + =  sin5x.sinx + = sin 3x.sin 2x.sin x sin 3x.sin 2x (I) (2) Trang 81 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Ta cã: | sin 5x |  sin5x.sinx  1 sin5x.sinx 1  sin5x.sinx +  | sin x | Do đó, ph-ơng trình cã nghiƯm vµ chØ khi: sin 5x  & sin x  1 sin5x.sinx = 1    cosx = vi ph¹m (I) sin 5x  & sin x Vậy, ph-ơng trình vô nghiệm Ví dụ 19: (ĐHNT Hà Nội 2000): Giải ph-ơng trình: sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) + Giải cos2x Biến đổi ph-ơng trình d¹ng: (12sin2x)sin8x(2cos2x1)cos8x = cos2x cos2x (1) cos 2x  8   (sin xcos x)cos2x = cos2x  sin x  cos8 x  (2) 4  k   Giải (1): Ta đ-ợc 2x = + k x = + , k Gi¶i (2): Ta cã nhËn xÐt: VT = sin8xcos8x  sin8x  (2) vô nghiệm Vậy, ph-ơng trình có hä nghiƯm  cos2x.sin8xcos2x.cos8x = VÝ dơ 20: T×m m để ph-ơng trình sinx + m.cosx = có hai nghiÖm x1, x2  [0; 2) cho x1 + x2 = Giải Điều kiện cần: Giả sử ph-ơng trình có nghiệm x =  [0; 2 2 ], ®ã x =  còng 3 lµ nghiƯm, nh- vËy:  sin   m cos     2 2  sin(  )  m cos(  )  3  Trang 82 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word mcos    sin     3 sin )   3( cos   sin ) m( cos   2 2  cos   sin   =  3cos   sin   cos   sin   (23cos sin)cos = (cos +  3cos2 + sin)(1 sin) sin2 = 3cos sin 1 3 cos2 + sin2 = cos sin 2 2      cos2.cos + sin2.sin = cos.cos sin.cos 6 6    cos(2 ) = cos( + ) 6         /  2      2k    2k         2k    2      2k     2 /   6 Với = , thay vào ph-ơng trình ta đ-ợc: sin + mcos =  m = 1 3  Víi = 0, thay vào ph-ơng trình ta đ-ợc: sin0 + mcos0 =  m = 2 Với = , thay vào ph-ơng trình ta ®-ỵc: 2 2 sin + mcos =  m = 3 VËy, víi m = điều kiện cần Điều kiện đủ: Ta lần l-ợt xét: Với m = 1, thay vào ph-ơng trình ta đ-ợc: 1 3 sinx + cosx =  sinx + cosx = 2     x    2k    sin(x + ) = sin   6  x        2k  6  Trang 83 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word  x  2k x[0,2  )     x   2k   x1    x  2  2 , ®ã m = tho¶ m·n Víi m = 1 Đề nghị bạn đọc tự làm Nhận xét ®ã x1 + x2 =  VÝ dơ 21: (§HY Hà Nội 2000): Giải ph-ơng trình sin4x = tanx  Gi¶i  + k, k  Ta cã thĨ lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Sử dụng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ Đặt t = tanx, suy ph-ơng trình có dạng: 2t  t 2sin2x.cos2x = tanx  = t  4t(1t2) = t(1 + t3)2  t2  t2 t   tan x   t(t4 + 6t23) =      t  3  12  tan x  12  §iỊu kiƯn x   tan x   x  k     ,k  x    k  tan x   12   tan Vậy, ph-ơng trình có ba họ nghiệm Cách 2: Sử dụng ph-ơng pháp phân tích Biến đổi ph-ơng trình dạng: sin x sin4x = 2sin2x.cos2x.cosx = sinx cos x  4sinx.cosx.cos2x.cosx = sinx  (4cos2x.cos2x1)sinx =  [2(1 + cos2x).cos2x1]sinx =  (2cos22x + 2cos2x1)sinx = sin x  sin x      cos 2x  1  cos 2x    cos 2   2  x  k  x  k     ,k  2x  2  2k  x    k Vậy, ph-ơng trình có ba họ nghiệm Ví dụ 22: Giải ph-ơng trình cotx = tanx + sin x Trang 84 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Giải Điều kiện: sin x k x ,k  cos x  Ta lựa chọn hai cách biến đổi sau: Cách 1: Ta biến đổi ph-ơng trình dạng: (1)  tan x  sin x   cot x  (tan x  ) (2)  sin x  Gi¶i (2): 2 1 1 cot2x = tan2x + +  1 = 1 + + 2 sin x cos x cos x sin x cos x sin 2x 1  + =0 + =  cosx =  2 cos x cosx cos x 2   x   2k   x   2  2k   KiĨm tra ®iỊu kiƯn (1) 2 - Víi x = + 2k , ta đ-ợc: 1 1 2 tanx + = tan( + 2k) + =  + =  0  sin x 3 sin(  2k) họ nghiệm thoả mãn (1) Vậy, ph-ơng tr×nh cã mét hä nghiƯm x =  + 2k, k  C¸ch 2: Ta xÐt hai tr-êng hợp: Tr-ờng hợp 1: Nếu cotx > (3) Ph-ơng trình đ-ợc biến đổi dạng: Trang 85 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word 1  cotx tanx = sin x sin x 2 cos 2x cos x  sin x  =  =1 sin x cos x sin x.cos x  cos2x = cosx  2cos2x1 = cosx  2cos2xcosx1 = 2  cos x  (lo¹i)  x   2k     ,k cos    x   2  2k    KiĨm tra ®iỊu kiƯn (3)  Gièng cách sử dụng đ-ờng tròn đơn vị Tr-ờng hợp 2: Nếu cotx < (4) Ph-ơng trình đ-ợc biến đổi dạng: 1 cotx = tanx +  cotx + tanx + =0 sin x sin x 1 cos x  sin x  + =0 + =  cosx = 1 vi ph¹m sin x cos x sin x.cos x Vậy, ph-ơng trình có họ nghiệm x = + 2k, k  cotx = tanx + Ví dụ 23: Giải ph-ơng trình sinx + cosx + sinxcosx = Giải Biến đổi ph-ơng trình d¹ng:   sin(x + ) + cos(x + ) = 4      (sin(x + ) + cos(x + )) =  + 2sin(x + ).cos(x + ) = 4 4   sin(2x + ) =  cos2x = k  sin2x =  2x = k  x = ,k Vậy, ph-ơng trình có họ nghiệm Chú ý: Nhiều ph-ơng trình l-ợng giác chứa dấu trị tuyệt đối đ-ợc minh hoạ d-ới dạng thức chóng ta ®Ịu biÕt A = xem xÐt vÝ dơ sau: A Chóng ta ®i VÝ dơ 24: (ĐHTM 2000): Giải ph-ơng trình: sin2x2cos2x = 2  2cos 2x Trang 86 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham kho, file word Giải Biến đổi ph-ơng trình vỊ d¹ng: sinx.cosx2cos2x = 4cos2 x  2( sinxcosx)cosx = 4cosx 1 sinx cosx)cosx = 4cosx  sin(x )cosx = cosx 2  cos x   cos x      x  2  2k    sin(x  )          cos x    x   k x= + k , k  2   cos x   cos x       sin(x  )  1       x    2k Vậy, ph-ơng trình có họ nghiệm 4( Ví dụ 25: (HVQY 97): Giải ph-ơng trình: sin82x + cos82x =  Gi¶i (1) Ta trình bày theo cách: Cách 1: Sử dụng ph-ơng pháp giải ph-ơng trình l-ợng giác hỗn hợp chứa biểu thức đối xứng với sin2nx cos2nx, ta cã: sin82x + cos82x = (sin42x + cos42x)22sin42x.cos42x = [(sin22x + cos22x)22sin22x.cos22x]22sin42x.cos42x 1 = (1 sin24x)2 sin44x = sin44xsin24x + 8 Do ph-ơng trình đ-ợc biến đổi dạng: sin 4xsin24x + =  sin44x8sin24x + = 8 sin 4x  k      cos4x =  4x = + k  x = + , k sin 4x loại Vậy ph-ơng trình có họ nghiệm Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thøc C«si): Ta cã nhËn xÐt: Trang 87 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word 4        C«si cos 2x           cos 2x  2 2 2  4       C«si  sin 2x           sin 2x         1  sin82x + cos82x +    (sin22x + cos22x)  sin82x + cos82x  2 ®ã:  1 cos 2x     2 (1)    sin22x = cos22x =  cos4x = 1  sin 2x     2  k    4x = + k  x = + , k Vậy, ph-ơng trình có mét hä nghiÖm Trang 88 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word ... đầu Bộ giáo dục Đào tạo công bố H-ờng dẫn ôn tập thi môn Toán THPT Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán, đề thi đại học cao đẳng môn Toán, cụ thể: cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT I Phần chung... Cự Môn xin trân trọng giới thiệu tới bạn đọc sách: Các giảng trọng tâm Môn Toán (gồm tập) miêu tả chi tiết ph-ơng pháp giải cho dạng toán th-ờng gặp đề thi tốt nghiệp THPT, đại học cao đẳng môn. .. ph-ơng pháp giải cho dạng toán th-ờng gặp đề thi tốt nghiệp THPT, đại học cao đẳng môn Toán Với môn Toán 11 phần kiến thức trọng tâm: Đại số Giải tích có phần kiến thức ch-ơng I (ph-ơng trình