Chủ đề 6 GIẢI CHI TIẾT tương giao giữa 2 đồ thị

Bảng biến thiên: Do đó, đồ thị cắt đường thẳng y=m tại ba điểm phân biệt khi − 4... Phương pháp trắc nghiệm Ch

Trang 1

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS

CHỦ ĐỀ 6 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA 2 ĐỒ THỊ

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2

2 1 0

− + − = ⇔ 2

1

x = ⇔x= ∨ = −1 x 1

Vậy số giao điểm là 2

Câu 2 Chọn B

Giải phương trình ( ) ( 2 )

1

3

x

= −





 = −

 Vậy số giao điểm là 3

Câu 3 Chọn B

Lập phương trình hoành độ giao điểm: 3 2

2 12 0

x − x + −x = ⇔ =x 3 Vậy có một giao điểm duy nhất

Câu 4 Chọn C

Lập phương trình hoành độ giao điểm 2 1 2

1

x

−

= − ⇔ − = ⇔ = ∨ =

Thế vào phương trình y= −x 1 được tung độ tương ứng 1

1

y y

= −



 =

Vậy chọn (0; 1 , 2;1 − ) ( )

Câu 5 Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 2 3

1

x

x − = −

1

x

≠ −



2 1 2

x x

=





 = −



Thế vào phương trình 2x−3 được tung độ tương ứng: 1

4

y y

=



 = −

Vậy chọn ( ) ( 1 )

2

Câu 6 Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm

2

0

2 1 0( )

x

=

 + + = ⇔ + + = ⇔  + + =

 Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm

VIP

Trang 2

Câu 7 Chọn D

1

1 17

4

1 17 4

x



 =



−



 +

 =



Câu 8 Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm 2 4 3 0 1

3 2

x

x x

=



= ⇔  =

Câu 9 Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( 2 ) 1

2

x

=



Câu 10 Chọn D

Lập phương trình hoành độ giao điểm 2 2 3 1 1 0

1

x

− − = + ⇔ = − ⇒ =

Vậy chọn (−1; 0)

Câu 11 Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm:

2

0 2

x



Câu 12 Chọn A

2

2 1

2

x x

x

=



≠ −



Lập phương trình hoành độ giao điểm 2 1 2 3 1

2

x x

x

= ⇒ =



−

= − ⇔  = − ⇒ = −

Vậy chọn A(− −1; 3 , 3;1 ) ( )B

Trang 3

Câu 14 Chọn C

2

1

2

I

x

=





≠ −



1

x

= ⇒ =



 = − ⇒ =

Vậy chọn I( )1; 2

Lập phương trình hoành độ giao điểm

1 6

2 4

x x

 = + +

= + ⇔ ⇒ =

−  = −

Lập phương trình hoành độ giao điểm:

2

1 33

1 33 1 33 4

1 33 4

x

 +

=



 −

=



Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( )C' là y=1 Phương trình hoành độ giao điểm

1

x

=



− = ⇔ = ⇔ = − ⇒ = Vậy chọn ( ) (1;1 , 1;1 − )

3 1

x − x + =m

Ta có: y' 3= x2−6x ; y' 0= ⇔ = ∨ =x 0 x 2

Bảng biến thiên:

Do đó, đồ thị cắt đường thẳng y=m tại ba điểm phân biệt khi − < <3 m 1

Vậy chọn − < <3 m 1

y

−∞

1

3

−

+∞

Trang 4

2x 4x 2 m

Ta có: y'= −8x3+8x ; ' 0y = ⇔ = ∨ = ∨ = − x 0 x 1 x 1

Do đó, đường thẳng y=m không cắt đồ thị hàm số khi m>4

Vậy chọn m>4

Ta khảo sát hàm số ( ) 4 2

C y=x − x tìm được y CT = −1, yC§ =0 Yêu cầu bài toán⇔ − < + < ⇔ − < < −1 m 3 0 4 m 3

Vậy chọn m∈ − − ( 4; 3)

Phương pháp tự luận:

Ta khảo sát hàm số ( ) 3

C y=x − x+ tìm được yC§ =3, y CT = −1

Yêu cầu bài toán ⇔ − < <1 m 3 Vậy chọn 1− < < m 3

Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra trực tiếp đáp án

+Với m=2, giải phương trình 3

3 1 0

x − x− = ta bấm máy được ba nghiệm ⇒ loại C, D +Với m= −1, giải phương trình 3

3 2 0

x − x+ = ta bấm máy được hai nghiệm ⇒ loại B Vậy chọn 1− < < m 3

Đường thẳng d y: =m cắt ( )C tại ba điểm phân biệt khi: − < <2 m 2

Vậy chọn − < <2 m 2

Bảng biến thiên

y

+∞

4

−

3

−

4

−

+∞

y

−∞

4

2

4

−∞

y

−∞

2

−

+∞

Trang 5

Đường thẳng d y: =m cắt ( )C tại bốn điểm phân biệt khi − < < −4 m 3

Vậy chọn − < < −4 m 3

Xét hàm số 4 2

y=x − x −

= ⇒ = −





 = − ⇒ = −



Dựa vào bảng biến thiên suy ra − < < −6 m 2

Vậy chọn − < < −6 m 2

Phương trình ⇔ 4 2

3

m= − +x x Đặt ( ) 4 2

C y= − +x x và d y: =m

Xét hàm số 4 2

3

y= − +x x Ta có 3

y = ⇔ = ∨ =x x ∨ = −x Bảng biến thiên:

Phương trình có bốn nghiệm phân biệt ⇔ d cắt ( )C tại bốn điểm phân biệt ⇔0 9

4

m

< <

Vậy chọn 0 9

4

m

< <

Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2

− + + = ⇔ 4 2

2

m=x − x

C y=x − x và d y: =m Xét hàm số 4 2

2

y=x − x

Ta có y'=4x3−4x ; y' 0= ⇔ = ∨ = − ∨ =x 0 x 1 x 1

x

'

y y

6

−

+∞

2

−

0 − 2

−

6

− +∞

y

−∞

9

4

0

9 4

−∞

Trang 6

Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ít nhất ba điểm phân biệt khi − < ≤1 m 0

Vậy chọn − < ≤1 m 0

Phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( 2 2 )

2 3 0 (1)

x− x +mx+m − =

⇔ 2 2 2

3 0 (2)

x

=



 + + − =



Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ⇔ Phương trình ( ) 1 có ba nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình ( )2 có hai nghiệm phân biệt khác 2

∆ >





2 2

m

− + >





1

m m

− < <



 ≠ −

1

m m

− < <



 ≠ −

Tương tự ta khảo sát hàm số ( ) 4 2

C y=x − x + ta tìm được y CT =2,y CD = 3 Yêu cầu bài toán ⇔ < <2 m 3 Vậy chọn 2< < m 3

Tương tự ta khảo sát hàm số ( ) 4 2

C y=x − x + ta tìm được y CT =2,y CD =3 Yêu cầu bài toán ⇔ = ∨ >m 2 m 3 Vậy chọn m= ∨ > 2 m 3

Phương pháp trắc nghiệm:

+Với m=3, ta giải phương trình 4 2

x − x = ⇔ = ∨ =x x ∨ = −x ⇒loại B, D +Với m=2, ta giải phương trình 4 2

x − x + = ⇔ = ∨ = − ⇒x x loại A

Khảo sát hàm số ( ) 4 2

C y= − x + x + tìm được 1, 3

2

CT

y = yC§ =

Yêu cầu bài toán 3 1 1

3

⇔ = ⇔ = Vậy chọn 1

3

m=

+ Với 1

2

+ Với m=0, ta giải phương trình

y

+∞

1

−

0

1

−

+∞

Trang 7

2

1 3

2

2 2 1 0

1 3 2

x

 +

=



− + + = ⇔ ⇔ = ∨ = −

 −

=





⇒ loại C

Vậy chọn 1

3

m=

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và trục

Ox: 3 2

2x 3x 2m 1 0

− + + − = Ta khảo sát hàm số

C y= x − x + và cũng chỉ là tìm y CD,y CT Cụ thểy CD =1,y CT =0 Do đó yêu cầu

2

⇔ < < ⇔ < < Vậy chọn 0 1

2

m

< <

+ Với m=0, ta có phương trình 3 2

1

2 3 1 0 2

1

x

−

 =



− + − = ⇔



=



⇒ loại B, D

+ Với m=0.1, ta có phương trình 3 2

2x 3x 0.8 0

− + − = có 3 nghiệm ⇒ loại C

x − x + + =m Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ( )C :y= − +x3 3x2−4 và đường thẳng d:y=m Số giao điểm của ( )C và

d là số nghiệm của (*) Dựa vào đồ thị hàm số, yêu cầu bài toán ⇔ m< − 4 Vậy chọn 4

m< −

Ta có đồ thị của hàm số 3

3 1

y=x − x+ như hình bên

Dựa vào đồ thị ta tìm được kết quả để đồ thị cắt hàm số tại ba điểm phân biệt là 1− < < m 3 Với x= ⇒ =0 y 1 nên yêu cầu bài toán ⇔ − < <1 m 1 Vậy chọn 1− < < m 1

Phương pháp trắc nghiệm: Xét m=1, ta được phương trình 3 0

3

x

=



= ±

 không đủ hai nghiệm dương ⇒ loại A, B, C Vậy chọn 1− < < m 1

Phương trình ( )1 ⇔ 3 2

2x 3x 1 2m 1

− + − = − là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C và d y: =2m−1 (là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox)

Phương trình có ba nghiệm phân biệt ⇔ ( )C cắt dtại ba điểm phân biệt ⇔− <1 2m− <1 0

2

m

< < Vậy chọn 0 1

2

m

< <

Trang 8

Phương pháp tự luận

Ta có x3−3x2+ − =1 m 0 là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số

y=x − x + và y=m (là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox)

Xét y=x3−3x2+1 Tập xác định: D= 

' 3 6

Ta có y'= ⇔0 3x2−6x=0 0 1

= ⇒ =



⇔  = ⇒ = −

Ta có x= ⇒ = − 1 y 1

Dựa vào đồ thị, số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị

y=x − x + và đường thẳng y=m

Do đó, yêu cầu bài toán ⇔ − < < −3 m 1

Phương pháp trắc nghiệm

Chọn m=2thay vào (1) tìm nghiệm bằng máy tính Ta nhận thấy (1) chỉ có một nghiệm Suy ra loại được đáp án B

Tiếp tục thử m= −1 thay vào (1) tìm nghiệm bằng máy tính Ta nhận thấy (1) có ba nghiệm nhưng có một nghiệm bằng 1 Suy ra loại A

Tiếp tục thử m= −2 thay vào (1) tìm nghiệm bằng máy tính Ta nhận thấy (1) có ba nghiệm thỏa yêu cầu bài toán Suy ra loại D

Vậy C là đáp án cần tìm

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C và

đường thẳng d

2x −3x + = − ⇔1 x 1 2x −3x − + =x 2 0

2

1

x

=



 Khi đó ta có A(1; 0), ( ;B x x1 1− và 1) C x x( ;2 2− (1) x x1, 2là nghiệm của (1))

Ta có BC=(x2−x x1; 2−x1)

, suy ra

1 34

BC= x −x + x −x = x −x = x +x − x x =  +  =

 

  Vậy chọn B

2x −3x + = − ⇔1 x 1 2x −3x − + =x 2 0

- Nhập máy tính tìm nghiệm phương trình bậc ba

Trang 9

- Gán hai nghiệm khác 1 vào Bvà C

- Nhập máy X −1 Dùng lệnh CALC tìm tung độ của điểm B và C gán vào hai biến D và

( ) ( )

2

BC= C−B + E−D = Vậy chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng d

2

2 1 (2;1)

x x

x







≠ −

2

AB= − − 



Suy ra 5 5

2

AB= Vậy chọn 5 5

2

AB=

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 2 3 ( 1)

1

x

−

= − ≠ −

Dùng lệnh CALC của máy tính, ta tìm được hai nghiệm của phương trình lần lượt là x=2

2

x= − Suy ra A(2;1) và 1; 4

2

B− − 

  Dùng máy tính thu được 5 5

2

Vậy chọn 5 5

2

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng d:

2

2 1

2 ( 1) 2 1 0 (1) 1

x

− = − ≠ − ⇔ − + − = +

Yêu cầu bài toán ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1

2

8(1 ) 0

∆ = − − >

+ + − ≠

Vậy chọn m< − −4 2 6 hoặc m> − +4 2 6

2

2 1

2 ( 1) 2 1 0 (1) 1

x

− = − ≠ − ⇔ − + − = +

Chọn m=0 thay vào (1) tìm nghiệm bằng máy tính, ta nhận thấy (1)vô nghiệm Suy ra loại được A và C

Tiếp tục chọn m= − +4 2 6 thay vào (1) tìm nghiệm bằng máy tính, ta nhận thấy (1) có nghiệm kép Suy ra loại B

Vậy chọn m< − −4 2 6 hoặc m> − +4 2 6

Trang 10

2

1

x

x = + ⇔ + − − =

−

( )C cắt d tại hai điểm phân biệt⇔( )1 có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆ > ⇔0 m2+ >4 0 (đúng với mọi m)

Vậy chọn 

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị

( )C và đường thẳng

− + = + ⇔ − + =

Ta khảo sát hàm số ( ) 3

C y= − +x x có đồ thị

sau như hình bên

Tìm được y CT = −2, yC§ =2 nên yêu cầu bài toán

2

2 m 2 2 m 2

⇔ − < < ⇔ − < <

Vậy chọn − 2< <m 2

+ Với m= −3, ta có phương trình 3

3 9 0

− + − = , bấm máy tính ta chỉ tìm được một nghiệm ⇒ loại B, C

+ Với m=1.4, ta có phương trình 3 2

3 1, 4 0

− + − = , bấm máy tính ta ra được ba nghiệm

⇒ loại A

Vậy chọn − 2< <m 2

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và ( )P là:

( )

3 4

x = m+ x −m ⇔ 4 ( ) 2 2

x − m+ x +m = (1) ( )C cắt ( )P tại bốn điểm phân biệt ⇔ Phương trình ( )1 có bốn nghiệm phân biệt

⇔

0 0 0

P S

∆ >



 >



 >

 ⇔

2 2

0

m m



>



 + >



⇔

4 4

5 0

4 3

m m

 < − ∨ > −



 ≠





 > −



⇔

4 5 0

m m

 > −





 ≠



Vậy chọn 45

0

m m

 > −





 ≠



Phương trình đường thẳng d y: =kx−1

Trang 11

3 2

2x −3x − =1 kx−1 ⇔ ( 2 )

x

=



 ( )C cắt d tại ba điểm phân biệt ⇔ Phương trình ( )2 có hai nghiệm phân biệt khác 0

0 k 0

∆ >



 − ≠

9 8 0

k k

 > −





 ≠



Vậy chọn 98

0

k k

 > −





 ≠



Phương trình d y: =k x( − + 1) 2

2 ( )

1

g x

x

=







d cắt ( )C tại ba điểm phân biệt ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x khác 1; 2 1

( )

'

3

k k

g

∆ >  + >



⇔ ≠ ⇔− − ≠ ⇔ > − Hơn nữa theo Viet ta có 11 22 ( 1 2)

2 2

I



Vậy chọn k > − , hay 3 (− +∞3; )

Ta tính toán đến phương trình ( )1

+ Với k = −2, ta giải phương trình 3 2

3 2 0

x − x + x= thu được x1=2,x2 =0,x I = 1 + Hơn nữa 1 2

2 2

4 2

I

+ = =



 + = =

 nên I là trung điểm AB ⇒ loại A, C từ đó ta loại được B Vậy chọn k > − 3

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C và trục Ox:

3 1 2 4 1 4 1 0

x − m+ x + m + m+ x− m m+ =

⇔ − − + + + =

2 0

x

− =





2 2 1

x

=





⇔ =

 = +



Trang 12

Yêu cầu bài toán

1

1 2 2 2

1

2

m m

 < ≠



< ≠





⇔ < + ≠ ⇔ < ≠ ⇔ < ≠

 ≠ +  ≠



Vậy chọn 1 1

2< ≠m

Phương trình hoành độ giao điểm ( )C và d là 3 ( )

4x −3x+ =1 m x− + 1 2

4x − m+3 x+ − =m 1 0 ⇔ 21

x

=



 ( )C cắt d tại một điểm ⇔ Phương trình ( )1 vô nghiệm hay phương trình ( )1 có nghiệm kép bằng 1

⇔

0 0

′

∆ <



 ′∆ =



 + − + =



⇔

9

m m m

<



 =



 =



⇔m<0

Vậy chọn m<0

2

1

x x

 +

= + ⇔ 

≠ −

 Khi đó d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A,B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1

2 2

( 1) 4( 1) 0

1 5 (*) ( 1) ( 1) 1 0

 − − − >



⇔ ⇔ < ∨ >

− − − + − ≠



Khi đó ta lại có

2

,

và 1 2

1 2

1 1



2

6

m

=



 (thỏa (*)) Vậy chọn m= ∨ =0 m 6

Chọn m=0 thay vào d Ta được 2 1 ( 1)

1

x

Dùng lệnh SHIFT CALC tìm được 1 5

2

x= + hoặc 1 5

2

x= −

Trang 13

Suy ra 1 5 1; 5 , 1 5 1; 5 ( 5, 5) 10

⇒ − − ⇒ =



Nhận thấy m=0 thỏa yêu cầu

Tượng tự chọn m=6 kiểm tra tương tự m=0 nhận thấy m=6 thỏa yêu cầu bài toán Vậy chọn m= ∨ =0 m 6

2

2 1

( 1) ( 1) 1 0 (1) 1

x

+ = + ≠ − ⇔ + − + − = +

Khi đó d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A, B khi và chi khi phương trình (1) có hai

nghiệm phân biệt khác −1

2 2

( 1) 4( 1) 0 1 5

1 5 1

1 ( 1) 1 0 0

 − − − >  < ∨ >



⇔ ⇔ ⇔ < ∨ >

− − + − ≠  ≠



Ta có '( ) 1 2

( 1)

f x

x

= + Gọi A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2)trong đó x x 1, 2 là nghiệm của (1) (nên ta có

x +x = − ) Suy ra hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm m A và B lần lượt là

2 1

1 ( 1)

A

k

x

= + và 2

2

1 ( 1)

B k x

= +

Vì tiếp tuyến tại A và B song song, đồng thời x1 ≠ nên phải có x2 2 2

(x 1) =(x 1)

ra

x + = − − ⇔ + + = ⇔ − + = ⇔ =x x x m m l Vậy chọn không tồn tại

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )P và đường thẳng d:

x − x−m = x+ ⇔ 2 2

4 1 0

x − x−m − = ( )1 ( )P cắt d tại hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt

⇔∆ >′ 0 ⇔ 2

5 0

m + > (đúng với mọi m )

Hoành độ của điểm A B, là nghiệm x x1, 2 của phương trình ( )1 và tung độ trung điểm I

thỏa phương trình d, nên tọa độ trung điểm I là

2

2 1 5

I

x x x

+

 = =





 = + =



Vậy chọn I( )2; 5

Phương pháp tự luận: Xét m=1, phương trình 2

1 0

x − = có hai nghiệm (loại)

Khi m≠ 1 ta thấy đồ thị hàm luôn có có hai điểm cực trị Vậy ta tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số như sau:

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	491,39 KB