Đề toán tự luyện ôn thi vào lớp 10 THPT(3408296)

Đề toán tự luyện ôn thi vào lớp 10 THPT; SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠOTHANH HÓAĐề thi chính thứcĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTNĂM HỌC 2012 – 2013Môn: TOÁNThời gian làm bài: 120 phútBài 1: (2.0 điểm) 1 Giải các phương trình sau: a) x – 1 = 0 b) x2 3x + 2 = 0 2 Giải hệ phương trình: Bài 2: (2.0 điểm) Cho biểu thức: A = + 1 Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A 2 Tìm giá trị của a, biết A < Bài 3: (2.0 điểm) 1 Cho đường thẳng (d): y = ax + b. Tìm a, b để đường thẳng (d) đi qua điểm A( 1; 3) và song song với đường thẳng (d’): y = 5x + 3 2 Cho phương trình ax2 + 3(a +1)x + 2a + 4 = 0 ( x là ẩn số ).Tìm a để phươmg trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn + = 4 Bài 4: (3.0 điểm) Cho tam tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ (M không trùng B; C; H) Từ M kẻ MP; MQ lần lượt vuông góc với các cạnh AB; AC ( P thuộc AB; Q thuộc AC) 1 Chứng minh: Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn 2 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ. Chứng minh OH PQ 3 Chứng minh rằng: MP + MQ = AH Bài 5: (1.0 điểm) Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b 1 và a > 0Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức HƯỚNG DẪN CHẤM(Đề tuyển sinh Toán vào lớp 10 THPT–Tỉnh Thanh Hóa, năm học 20122013).BàiNội dungĐiểmBài 11 Giải các phương trình saua x – 1 = 0 x = 0 + 1 = > x = 1. Vậy x = 10.25b x2 – 3x + 2 = 0, Ta có a + b + c = 1 + (3) + 2 = 0Theo viét phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 20.752 Giải hệ phương trình Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất: 0.750.25Bài 2Biểu thức: A = + 1 +) Biểu thức A xác định khi +) Rút gọn biểu thức AA = + 0.251.02 Kết hợp điều kiện: Với thì biết A < 0.50.25Bài 31 Đường thẳng (d): y = ax + b đi qua điểm A ( 1; 3), nên ta có3 = a.(1) + b => a + b = 3 (1) Đường thẳng (d): y = ax + b song song với đườngthẳng (d’): y = 5x + 3, nên ta có a = 5 và b ≠ 3 (2)Thay a = 5 vào (1) => 5 + b = 3 => b = 8 ( thoả mãn b ≠ 3)Vậy a = 5 , b = 8. Hay đườngthẳng (d) là : y = 5x + 80.750.25 2 Phương trình ax2 + 3(a +1)x + 2a + 4 = 0 ( x là ẩn số ) (1). Với a = 0, ta có phương trình 3x + 4 = 0 => x = . Phương trình có một nghiệm x = (Loại) Với a ≠ 0 Phương trình (1) là phương trình bậc haiTa có: Δ = 9(a + 1)2 – 4a(2a + 4) = 9a2 + 18a + 9 – 8a2 – 16a= a2 + 2a + 9 = (a + 1)2 + 8 > 0, với mọi a = >Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a.Theo hệ thức Viét ta có Theo đầu bài: + = 4 => (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 4Thay vào ta có: => => => Có hệ số a – b + c = 1 – 10 + 9 = 0Theo viét Phương trình có hai nghiệm a1 = 1; a2 = 9Các giá trị a1 = 1; a2 = 9 thỏa mãn đk a ≠ 0Kết luận: a1 = 1; a2 = 9 0.250.250.5Bài 4 Hình vẽ 1 Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp đườngtrònTa có: MP ⊥ AB(gt) => góc MPA = 900 MQ ⊥ AC(gt) => góc MQA = 900 => góc MPA + góc MQA = 1800 => Tứ giác APMQ nội tiếp (đl)1.02 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ = > O là trung điểm của AM. Chứng minh OH⊥PQ.OP = OQ => O thuộc đường trung trực của PQ (1)ΔABC đều, có AH ⊥BC => AH đồng thời là đường phân giác của góc A = > APH = AQH (cạnh huyền, góc nhọn) => HP = HQ => H thuộc đườngtrung trực của PQ (2)Từ (1) và (2) => OH là đườngtrung trực của PQ => OH ⊥ PQ.1.03 Chứng minh rằng MP + MQ = AHTa có: (1)Mặt khác (2)Do ΔABC là tam giác đều (gt) => AB = AC = BC (3)Từ (1), (2) và (3) => MP + MQ = AH1.0Bài 5 Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b 1 và a > 0Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài làmTa có Do a + b ≥ 1=> Do a + b ≥ 1 => a ≥ 1 b=> Do a > 0, theo cosi ta có (1) Do => => (2)Từ (1) và (2) => => Giá trị nhỏ nhất của A là : A = . Khi 1.0HếtSỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠOTHANH HÓAĐề thi chính thứcĐỀ BĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTNĂM HỌC 2016 – 2017Môn: TOÁNThời gian làm bài: 120 phútCâu 1 (2,0 điểm)1.Giải phương trình: 2x2 – 5x – 7 = 0.2.Giải hệ phương trình: Câu 2 (2,0 điểm)Cho biểu thức B = (với x > 0; x 1)1. Rút gọn B.2. Tính giá trị của B khi x = .Câu 3 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – b + 1 và parabol (P): y = .1.Tìm b để đường thẳng b đi qua điểm B (2;3)2.Tìm b để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ ( ) và ( ) thỏa mãn điều kiện Câu 4: (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao AD, BE lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là M và N.1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A, E, D, B nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó.2.Chứng minh rằng: MN DE.3.Cho (O) và dây AB cố định. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE luôn không đổi khi điểm C di chuyển trên cung lớn AB.Câu 5: (1,0 điểm).Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ B(Đề B Đề tuyển sinh Toán vào lớp 10 THPT–Tỉnh Thanh Hóa, năm học 2016 2017).CâuNội dungĐiểm1(2,0đ)1) Ta có: a b + c = 0. Vậy phương trình có hai nghiệm 1,02) Hệ đã cho tương đương với hệ :  Vậy hệ phương trình có nghiệm .0,50,52(2,0đ)1) Ta có: B = = = .1,02) Ta có: nên Vậy B = = = .0,50,53(2,0đ)1) Vì (d) đi qua điểm B(2;3) nên thay vào hàm số: ta có: . 1,02) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: (1). Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt . Vì (x1; y1) và (x2; y2) là tọa độ giao điểm của (d) và (P) nên x1; x2 là nghiệm của phương trình (1) và , .Theo hệ thức Viet ta có: .Thay y1,y2 vào ta có: (thỏa mãn ) hoặc (không thỏa mãn )Vậy thỏa mãn đề bài. 0,250,250,250,254(3đ)1Do AD, BE là đường cao của ∆ABC (giả thiết) nên : và Xét tứ giác AEDB có nên bốn điểm A, E, D, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.Tâm I của đường tròn này là trung điểm của AB. 1,02Xét đường tròn (I) ta có: góc D1 = góc B1 (cùng chắn cung AE)Xét đường tròn (O) ta có: góc M1 = góc B1 (cùng chắn cung AN) Suy ra: góc D1 = góc M1 = > MNDE (do có hai góc đồng vị bằng nhau).1,03Cách 1: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.) Xét tứ giác CDHE ta có : (do ) (do )suy ra , do đó CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH.Như vậy đường tròn ngoại tiếp ∆CDE chính là đường tròn đường kính CH, có bán kính bằng .) Kẻ đường kính CK, ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) , mà (giả thiết) nên KA BH (1)chứng minh tương tự cũng có: BK AH (2)Từ (1) và (2), suy ra AKBH là hình bình hành.Vì I là trung điểm của AB từ đó suy ra I cũng là trung điểm của KH, lại có O là trung điểm của CK vậy nên (tc đường trung bình)Do AB cố định, nên I cố định suy ra OI không đổi.Vậy khi điểm C di chuyển trên cung lớn AB thì độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE luôn không đổi.1.0Cách 2 : Gọi H là trực tâm của tam giác ABC (1’)Kẻ đường kính AK suy ra K cố định và (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)). (2’)Từ (1’) và (2’) suy ra: BHKC; CHKB.Suy ra BHCK là hình hình hành. .Mà BK không đổi (do B, K cố định) nên CH không đổi.cm tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH. 5(1đ)Từ . Theo BĐT Côsi ta có: 0,25Suy ra: 0,5Dấu “=” xảy ra Vậy MaxQ = .0,25Chú ý: Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án. Đối với câu 4 (Hình học): Không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm; Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm.HếtSỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠOVĨNH PHÚCĐề thi chính thứcĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTNĂM HỌC 2015 – 2016Môn: TOÁNThời gian làm bài: 120 phútCâu 1 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình: (với x, y là ẩn; m là tham số). a) Giải hệ phương trình đã cho với .b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện .Câu 2 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình (m là tham số). Xác định tất cả các giá trị của tham số m để:a) Đường thẳng đi qua điểm .b) Đường thẳng cắt các trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 9.Câu 3 (2,0 điểm). Cho biểu thức: .a) Rút gọn biểu thức P.b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm.Câu 4 (3,0 điểm). Cho là một dây cung (không phải là đường kính) của đường tròn tâm O, bán kính R > 0. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác đồng qui tại H (D, E, F là các chân đường cao). a) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.b) Gọi là trung điểm BC, A1 là trung điểm EF, K là điểm đối xứng với B qua O. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành và R.AA1 = OA.AAc) Xác định vị trí của A để đạt giá trị lớn nhất.Câu 5 (1,0 điểm). Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2 và kí hiệu (tích của n số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng: với mỗi số nguyên dương lớn hơn 2 và không vượt quá n đều phân tích được thành tổng gồm không quá n số nguyên dương, sao cho hai số bất kỳ đều khác nhau và mỗi số này đều là ước số của n.HƯỚNG DẪN CHẤM(Đề tuyển sinh Toán vào lớp 10 THPT–Tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 20152016).A. LƯU Ý CHUNG Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂMCâuÝNội dung trình bàyĐiểm12,0aThay vào hệ ta có: 0,25 0,75 Vậy, hệ có nghiệm là và .0,5bThay vào hệ có: 0,25 Vậy, hoặc .0,2522,0aĐường thẳng đi qua điểm 0,5 . Vậy, thì đi qua điểm .1,0b cắt các trục toạ độ tại các điểm và 0,25 0,2532,0aĐiều kiện: 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25b 0,25Đối chiếu ĐK có: . Vậy, 0,2543,0 aDo suy ra tứ giác BFEC nội tiếp0,5 (cùng bù với góc ) và Từ đó suy ra (đpcm).0,5bTa có Lại có tứ giác AHCK là hình bình hành0,5Ta có: , trong đó: AA’ là trung tuyến , AA1 là trung tuyến Do 0,25Từ (1) và (2) suy ra: .0,25cGọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AC, AB Ta có: lần lượt là đường cao của các tam giác OBC, OCA, OAB.0,25 (3)0,25Theo phần b suy ra: , mà là tỷ số giữa 2 trung tuyến của 2 tam giác đồng dạng AEF và ABC nên . Tương tự có: , thay vào (3) ta được: 0,25Do , dấu bằng xảy ra khi A là điểm chính giữa cung lớn BCMà R không đổi, nên lớn nhất lớn nhất lớn nhất là điểm chính giữa của cung lớn BC.0,2551,0Với Ta có: khẳng định đúng với .0,25Giả sử khẳng định đúng với . Ta đi chứng minh khẳng định đúng với .Thật vật:Giả sử a là số nguyên dương tuỳ ý và , chia a cho với số dư r và thương d. Khi đó: .Theo giả thiết, do trong đó là các số tự nhiên khác nhau từng đôi một, và là ước của n.0,25Đồng thời . Khi đó: và tổng này có không quá số khác nhau từng đôi một và đều là ước của (đpcm).0,5HếtSỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠOBẠC LIÊUĐề thi chính thứcĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTNĂM HỌC 2016 – 2017Môn: TOÁN (Chuyên)Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi 1662016Câu 1. (2,0 điểm)a. Tính giá trị biểu thức A = b. Rút gọn biểu thức B = (với x > 0)Câu 2. (2,0 điểm)a. Giải hệ phương trình sau b. Cho hàm số y = ax². Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(–2; 8). Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm được.Câu 3. (3,0 điểm)Cho phương trình x² – 2x + 2m – 1 = 0 (1), với m là tham số.a. Giải phương trình (1) khi m = –1b. Tìm m sao cho phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.c. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn Câu 4. (3,0 điểm)Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và C là một điểm thuộc đường tròn khác A, B. Lấy điểm D thuộc dây cung BC và D khác B, C. Tia AD cắt cung nhỏ BC tại E. Tia AC cắt tia BE tại F.a. Chứng minh tứ giác FCDE nội tiếp.b. Chứng minh rằng DA.DE = DB.DC.c. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE. Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.HếtSỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠONINH BÌNHĐề thi chính thứcĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTNĂM HỌC 2013 – 2014Môn: TOÁN (không chuyên)Thời gian làm bài: 120 phút

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

Bài 1 : (2.0 điểm)

1- Giải các phương trình sau: a) x – 1 = 0

b) x2 - 3x + 2 = 0 2- Giải hệ phương trình: 

y x

y x

1- Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

2- Tìm giá trị của a, biết A < 13

Bài 3 : (2.0 điểm)

1 Cho đường thẳng (d): y = ax + b Tìm a, b để đường thẳng (d) đi qua điểm A(

-1; 3) và song song với đường thẳng (d’): y = 5x + 3

2- Cho phương trình ax2 + 3(a +1)x + 2a + 4 = 0 ( x là ẩn số )

Tìm a để phươmg trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn 2

1

x +2

2

x = 4

Bài 4 : (3.0 điểm)

Cho tam tam giác đều ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M bất

kỳ (M không trùng B; C; H) Từ M kẻ MP; MQ lần lượt vuông góc với các cạnh AB;

AC ( P thuộc AB; Q thuộc AC)

1- Chứng minh: Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn

2- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ Chứng minh OH  PQ 3- Chứng minh rằng: MP + MQ = AH

Bài 5 : (1.0 điểm) Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b  1 và a >0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 b 2

a 4

b 8a

A   

-HƯỚNG DẪN CHẤM

(Đề tuyển sinh Toán vào lớp 10 THPT–Tỉnh Thanh Hóa, năm học 2012-2013)

Bài 1

1/ Giải các phương trình sau

a/ x – 1 = 0 <= > x = 0 + 1 = > x = 1 Vậy x = 1 0.25b/ x2 – 3x + 2 = 0, Ta có a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0

Theo viét phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 2 0.752/ Giải hệ phương trình 

y x

y x

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất: 







 1 y

3 x

0.75

0.25 Bài 2 Biểu thức: A =

a

2 2

Kết hợp điều kiện: Với 0  a 12 thì biết A < 31

Thay a = 5 vào (1) => -5 + b = 3 => b = 8 ( thoả mãn b ≠ 3)

Vậy a = 5 , b = 8 Hay đườngthẳng (d) là : y = 5x + 8

0.75

0.25

2- Phương trình ax2 + 3(a +1)x + 2a + 4 = 0 ( x là ẩn số ) (1)

- Với a = 0, ta có phương trình 3x + 4 = 0 => x = 34

Phương trình có một nghiệm x = 34 (Loại)

- Với a ≠ 0 Phương trình (1) là phương trình bậc hai

Ta có: Δ = 9(a + 1)2 – 4a(2a + 4) = 9a2 + 18a + 9 – 8a2 – 16a

= a2 + 2a + 9 = (a + 1)2 + 8 > 0, với mọi a = >Phương trình luôn có hai

nghiệm phân biệt với mọi a

1/ Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp đườngtròn

2/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ = > O là trung

điểm của AM Chứng minh OH⊥PQ

OP = OQ => O thuộc đường trung trực của PQ (1)

ΔABC đều, có AH ⊥BC

=> AH đồng thời là đường phân giác của góc A

= > APH = AQH (cạnh huyền, góc nhọn)

=> HP = HQ => H thuộc đườngtrung trực của PQ (2)

Từ (1) và (2) => OH là đườngtrung trực của PQ => OH ⊥ PQ

1.0

3/ Chứng minh rằng MP + MQ = AH

Ta có: SABC AH2.BC (1)

Mặt khác SABC SMAB SMAC MP2.ABMQ2.AC (2)

Do ΔABC là tam giác đều (gt) => AB = AC = BC (3)

Từ (1), (2) và (3) => MP + MQ = AH

1.0

Bài 5 Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b  1 và a > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 b 2

a 4

b 8a

A   

1.0

Bài làm

4

1 a 4

b 4

1 a 2 b a 4

b a 2 b a 4

b 8a

A           

2

b a 4

b a 4

1 a

1 a b a 4

1 4

1 a 2

1 a 4

3 b b a 4

1 a 4

1 b 1 b a 4

1 a A

2 2

1 a 2 a 4

2 ) 1 b 2

2 Tính giá trị của B khi x = 7 4 3

Câu 3 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – b +

1 và parabol (P): y = 1 2

2x 1.Tìm b để đường thẳng b đi qua điểm B (-2;3)

2.Tìm b để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x y1 ; 1) và (x y2 ; 2) thỏa mãnđiều kiện x x y1 2 ( 1 y2 ) 84 0  

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường

cao AD, BE D BC; E AC   lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là M

(Đề B -Đề tuyển sinh Toán vào lớp 10 THPT–Tỉnh Thanh Hóa, năm học 2016 -2017).

  (thỏa mãn b 3) hoặc b 8(không thỏa mãn b 3)

Vậy b 2 thỏa mãn đề bài

0,25 0,25

Do AD, BE là đường cao của

∆ABC (giả thiết) nên :

Tâm I của đường tròn này là

1 1

I K

D M H

N

E O A

1,0

2

Xét đường tròn (I) ta có: góc D 1 = góc B 1 (cùng chắn cung AE)

Xét đường tròn (O) ta có: góc M 1 = góc B 1 (cùng chắn cung AN)

Suy ra: góc D 1 = góc M 1 = > MN//DE (do có hai góc đồng vị bằng nhau).

1,0

3 Cách 1: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

*) Xét tứ giác CDHE ta có : CEH  90 0 (do ADBC)

mà BE AC (giả thiết) nên KA // BH (1)

chứng minh tương tự cũng có: BK // AH (2)

Từ (1) và (2), suy ra AKBH là hình bình hành

Vì I là trung điểm của AB từ đó suy ra I cũng là trung điểm của KH, lại có

O là trung điểm của CK vậy nên

Vậy khi điểm C di chuyển trên cung lớn AB thì độ dài bán kính đường trònngoại tiếp tam giác CDE luôn không đổi.

Cách 2 : Gọi H là trực tâm của tam

Mà BK không đổi (do B, K cố định)

nên CH không đổi

c/m tứ giác CDHE nội tiếp đường

N

E

O A

-Hết -SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

Câu 1 (2,0 điểm)

Cho hệ phương trình: 2

1 1 2 2

a) Giải hệ phương trình đã cho với m 1

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình đã cho có nghiệm

x y;  thỏa mãn điều kiện 3x y   1 0

Câu 2 (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng  d có phương trình

3

y x m (m là tham số) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để:

a) Đường thẳng  d đi qua điểm 1; 1

Cho BC là một dây cung (không phải là đường kính) của đường tròn tâm O,

bán kính R > 0 Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng qui tại H (D, E, F là các

chân đường cao)

a) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.

b) Gọi A' là trung điểm BC, A1 là trung điểm EF, K là điểm đối xứng với B qua

O Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành và R.AA1 = OA/.AA/

c) Xác định vị trí của A để DE EF FD  đạt giá trị lớn nhất

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2 và kí hiệu n! 1.2.3  n (tích của n số

nguyên dương đầu tiên) Chứng minh rằng: với mỗi số nguyên dương lớn hơn 2 và

không vượt quá n! đều phân tích được thành tổng gồm không quá n số nguyên dương, sao cho hai số bất kỳ đều khác nhau và mỗi số này đều là ước số của n!.

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tươngứng với phần đó

19 5

5 2

m x

m x

m x

5 2

A 1

A' F

E

D

H

C B

A

a Do BEC BFC    90o suy ra tứ giác BFEC nội tiếp 0,5

AEF ABC

  (cùng bù với góc CEF) và BAC FAE 

b Ta có BCK  90 ,o AH BC AH/ /KC

Lại có BAK  90 ,o CH AB CH / /AK

 tứ giác AHCK là hình bình hành

0,5

Ta có: 1 (1)

'

AA AE AEF ABC

c Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AC, AB

Ta có: OB' AC OC, ' AB OA OB OC', ', ' lần lượt là đường cao của

các tam giác OBC, OCA, OAB.

AA là tỷ số giữa 2 trung tuyến

của 2 tam giác đồng dạng AEF và ABC nên 1

'

AA EF

AA BC Tương tự có: OB' R.FD;OC' R.ED

Mà R không đổi, nên EF FD DE  lớn nhất  SABC lớn nhất  AD

lớn nhất  A là điểm chính giữa của cung lớn BC.

Giả sử a là số nguyên dương tuỳ ý và an 1 ! , chia a cho n 1 với

số dư r và thương d Khi đó: a d n   1r, 0   r n 1

Theo giả thiết, do

Đồng thời m n Khi đó: a d n 1  1 d n m  1r và tổng này có

không quá n 1 số khác nhau từng đôi một và đều là ước của n 1 !

Cho phương trình x² – 2x + 2m – 1 = 0 (1), với m là tham số.

a Giải phương trình (1) khi m = –1

b Tìm m sao cho phương trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

c Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

a Chứng minh tứ giác FCDE nội tiếp

Cho biểu thức A =

2 3

Cho phương trình bậc hai x² – 2(m + 1)x + 2m = 0 (1), với m là tham số

a Giải phương trình (1) với m = 0

b Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 sao 2 2

a Chứng minh tứ giác BCFM là tứ giác nội tiếp

b Chứng minh EM = EF

c Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM Chứng minh ba điểm D, I,

B thẳng hàng, từ đó suy ra góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cungBD

Câu 5 (1,5 điểm)

a Chứng minh rằng phương trình (n + 1)x² + 2x – n(n + 2)(n + 3) = 0 (n làtham số) luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số nguyên n

b Giải phương trình 5 1 x  3 = 2(x² + 2)

-Hết -SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

Cho phương trình bậc hai x² – 2(m + 2)x + 2(m – 3) = 0 (1), với m là tham số

a Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x = 1 – 3

b Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi sốthực m Tìm m để biểu thức B = |x1 – x2| có giá trị nhỏ nhất

a Chứng minh rằng tứ giác AHEK nội tiếp

b Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F Chứng minh tamgiác NKF cân

c Giả sử KE = KC Chứng minh rằng KM² + KN² là không đổi khi H di chuyểntrên đoạn thẳng OB

-Hết -SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

a Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ

b Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho

Câu 3 (2,0 điểm)

Cho phương trình: x² + (1 – y)x + 4 – y = 0 (*)

a Tìm y sao cho phương trình (*) theo ẩn x có một nghiệm kép

b Tìm cặp số (x; y) dương thỏa phương trình (*) sao cho y nhỏ nhất

Câu 4 (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, D là trung điểm của AC, vẽ đường tròn(O) đường kính CD cắt BC tại E, BD cắt đường tròn (O) tại F

a Chứng minh rằng: Tứ giác ABCF là tứ giác nội tiếp

b Chứng minh rằng: góc AFB = góc ACB và tam giác DEC cân

c Kéo dài AF cắt đường tròn (O) tại H Chứng minh tứ giác CEDH là hìnhvuông

b Chứng minh nếu a + b + 5c = 0 thì phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, (a

≠ 0) luôn có hai nghiệm phân biệt

c Giải phương trình sau: x³ + 10x x + 16 = 0

Câu 2 (2,0 điểm)

Cho hàm số y = 2|x| – 1

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Tính diện tích tam giác tạo bởi đồ thị hàm số và trục hoành.

a Chứng minh rằng góc ODM và góc BEC bù nhau

b Chứng minh rằng hai tam giác MAB và MEC đồng dạng Từ đó suy raMC.AB = MB.EC

Cho biểu thức P = (x x y y xy) : x y

Cho đường tròn tâm (O), đường kính AB Gọi H là điểm nằm giữa A và O, từ

H vẽ dây CD vuông góc với AB Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M Gọi N làhình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB

a Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp

b Chứng minh rằng NC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng NC tại E Chứng minhđường EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH

Câu 5 (1,0 điểm)

Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 học sinhđến từ 16 địa phương khác nhau tham dự Giả sử điểm bài thi môn Toán của mỗi họcsinh đều là số nguyên lớn hơn 4 và bé hơn hoặc bằng 10 Chứng minh rằng luôn tìmđược 6 học sinh có điểm môn Toán giống nhau và cùng đến từ một địa phương

Câu 6 (1,0 điểm)

Cho các số thực a, b, c, d sao cho 1 ≤ a, b, c, d ≤ 2 và a + b + c + d = 6 Tìm giátrị lớn nhất của biểu thức P = a² + b² + c² + d²

Câu 7 (1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD với AB = a, AD = b Trên các cạnh AD, AB, BC,

CD lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho luôn tạo thành tứ giác EFGH Gọi P làchu vi tứ giác EFGH Chứng minh rằng: P ≥ 2 a 2  b 2

i) Tìm điều kiện a, b để biểu thức B xác định và rút gọn B

ii) Tính giá trị biểu thức B khi a = 1 + 3 2; b = 10 + 11 8

3

Câu 2 (6,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai x² – 2(m – 1)x +2m² – 3m + 1 = 0 (1), với m là tham

số thực

a Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi 0 ≤ m ≤ 1

b Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (1)

Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D Từ điểm M tùy

ý trên d nằm ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O), trong đó A và B là hai tiếpđiểm Gọi I là trung điểm của CD

a Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp

b Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H Chứng minh H thuộc đường trònngoại tiếp ΔCOD.

c Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi

a Giả hệ phương trình với m = 3

b Giải và biện luận hệ phương trình theo m

c Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Câu 3 (2,0 điểm)

a Cho phương trình bậc hai x² – mx + m – 1 = 0 (1), với m là tham số

i) Giải phương trình (1) khi m = 4

ii) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

a Chứng minh rằng MD là phân giác của góc BMC

b Cho AD = 2R Tính diện tích của tứ giác ABDC

c Tính diện tích của hình viên phân giới hạn bởi cung AMB và dây AB theo R

d Gọi K là giao điểm của AB và MD, H là giao điểm của AD và MC Chứngminh ba đường thẳng AM, DB, HK đồng quy

-Hết -SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

Cho phương trình x² – 2(m + 1)x + m² – 2m + 5 = 0 (1), với m là tham số

a Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 đều khác 1 Tìm giá trịnhỏ nhất của biểu thức sau: P =

4 (x  1)(x  1) + (x1 + x2 – 6)²

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC, với góc ABC = 60°, BC = 2a, AB < AC Gọi (O) làđường tròn đường kính BC Đường tròn (O) cắt cạnh AB, AC tại điểm thứ hai lầnlượt là D và E Đoạn BE và CD cắt nhau tại H

a Chứng minh rằng tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn (I) Xác định tâm I

b Chứng minh rằng HD.BC = HB.DE

c Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt đường thẳng DI tại M Tính OB/OM

d Gọi F là giao điểm AH và BC Cho BF = 3a/4 Tính bán kính đường tròn nộitiếp tam giác DEF theo a

Giải các phương trình và hệ phương trình sau

a x² – 8x + 15 = 0 b 2x² – 2x – 2 = 0

c x4 – 5x² – 6 = 0 d 2x 5y3x y 4 3



a Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

b Định m để hai nghiệm x1, x2 của (1) thỏa mãn:

Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn Đường tròn tâm O đường kính

BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại điểm thứ hai là F, E Gọi H là giao điểm của BE

và CF; D là giao điểm điểm của AH và BC

a Chứng minh: AD vuông góc với BC và AH.AD = AE.AC

b Chứng minh tứ giác EFDO nội tiếp

c Trên tia đối của tia DE lấy điểm M sao cho DM = DF Tính số đo góc BMC

d Gọi R, S lần lượt là hình chiếu của B, C lên EF Chứng minh DE + DF = RS

Câu 1 (1,5 điểm)

a Đưa thừa số ra ngoài dấu căn của biểu thức 28a 4

b Tính giá trị của biểu thức: A ( 21 7 10 5) : 1

b Cho các hàm số y = x + 2 và y = –x + m ( với m là tham số) lần lượt có đồ thị

là (d) và (dm) Tìm tất cả các giá trị của m để trên một mặt phẳng tọa độ các đồ thị của(P), (d) và (dm) cùng đi qua một điểm

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho phương trình x² – 2(m – 1)x – 2m = 0, với m là tham số

a Giải phương trình khi m = 1

b Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Gọix1 và x2 là hai nghiệm của phương trình, tìm tất cả các giá trị của m sao cho x1² + x1 –x2 = 5 – 2m

Câu 5 (3,5 điểm)

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC vớiđường tròn (B, C là các tiếp điểm)

a Chứng minh rằng ABOC là tứ giác nội tiếp

b Cho bán kính đường tròn (O) bằng 3cm, độ dài đoạn thẳng OA bằng 5cm.Tính độ dài đoạn BC

c Gọi (K) là đường tròn qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC tại C Đườngtròn (K) và đường tròn (O) cắt nhau tại điểm thứ hai là M Chứng minh rằng đườngthẳng BM đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1/4

Câu 2 (1,5 điểm)

Số tiền mua 1 quả dừa và một quả thanh long là 25 nghìn đồng Số tiền mua 5quả dừa và 4 quả thanh long là 120 nghìn đồng Hỏi giá mỗi quả dừa và giá mỗi quảthanh long là bao nhiêu? Biết rằng mỗi quả dừa có giá như nhau và mỗi quả thanhlong có giá như nhau

Câu 3 (1,5 điểm)

Cho phương trình: x² + 2(m + 1)x + m² – 3 = 0 (1), m là tham số

a) Giải phương trình (1) với m = 2

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 sao cho 2 2

CF của tam giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB) Chứng minh rằng

a) BCEF là tứ giác nội tiếp