Nghiệm của một số hệ hyperbolic các định luật cân bằng dạng phi bảo toàn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO HUY CƯỜNG NGHIỆM CỦA MỘT SỐ HỆ HYPERBOLIC CÁC ĐỊNH LUẬT CÂN BẰNG DẠNG PHI BẢO TOÀN Ngành Mã số ngành : Tốn Giải tích : 62460102 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC TP Hồ Chí Minh - Năm 2018 Cơng trình hồn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Mai Đức Thành Phản Phản Phản Phản Phản biện biện biện biện biện 1: 2: 3: độc lập 1: độc lập 2: PGS.TS Lê Thị Phương Ngọc TS Đào Nguyên Anh TS Nguyễn Thành Nhân PGS.TS Lê Xuân Trường TS Nguyễn Anh Triết Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp sở đào tạo họp trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tổng hợp Quốc gia TP.HCM Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM Giới thiệu Luận án trình bày kết nghiên cứu liên quan đến số hệ hyperbolic định luật cân dạng phi bảo tồn Nội dung thứ nhất, trình bày Chương 2, liên quan đến hai mơ hình dòng lưu chất chảy ống dẫn có tiết diện biến thiên Mơ hình thứ (ứng với dòng lưu chất đẳng entropy) ∂t (aρ) + ∂x (aρu) = 0, ∂t (aρu) + ∂x (a(ρu2 + p)) = p∂x a, x ∈ R, t > 0, (0.1) mô hình thứ hai (ứng với dòng lưu chất tổng qt) ∂t (aρ) + ∂x (aρu) = 0, ∂t (aρu) + ∂x a(ρu2 + p) = p∂x a, ∂t (aρe) + ∂x au(ρe + p) = 0, (0.2) x ∈ R, t > 0, ρ = ρ(x, t), ε = ε(x, t), p = p(x, t) ký hiệu cho đại lượng nhiệt động lực học: mật độ, nội năng, áp suất lưu chất; u = u(x, t) vận tốc phân tử, e = e(x, t) = ε + u2 /2 lượng toàn phần Hàm số a = a(x) > 0, x ∈ R, tiết diện ống dẫn Những kết chương công bố báo khoa học (P1), (P4), (P6) Nội dung thứ hai, trình bày Chương 3, nghiên cứu hệ phương trình nước nơng với đáy biến thiên (a = a(x)) ∂t h + ∂x (hu) = 0, ∂t (hu) + ∂x h u2 + gh = −gh∂x a, x ∈ R, t > 0, (0.3) h(x, t) chiều cao dòng nước tính từ đáy đến mặt nước, u(x, t) vận tốc dòng nước; g số trọng trường Những kết chương công bố báo khoa học (P3), (P7) Nội dung thứ ba, trình bày Chương 4, nghiện cứu mơ hình dòng chảy hai pha đẳng entropy ∂t (αρ) + ∂x (αρu) = 0, ∂t (αρu) + ∂x (α(ρu2 + p)) = p∂x α, ∂t (βθ) + ∂x (βθv) = 0, ∂t (βθv) + ∂x (β(θv + q)) = −p∂x α, ∂t θ + ∂x (θv) = 0, x ∈ R, t > 0, (0.4) đó, α(x, t), ρ(x, t), u(x, t), p(x, t) tương ứng tỉ số thể tích, mật độ, vận tốc, áp suất pha I; β(x, t), θ(x, t), v(x, t), q(x, t) tương ứng tỉ số thể tích, mật độ, vận tốc, áp suất pha II Những kết chương công bố báo khoa học (P2), (P5) Ngoài phần giới thiệu ba chương chứa nội dung nói trên, luận án bao gồm phần sau: • Kiến thức chuẩn bị: phần trình bày số kiến thức sở ký hiệu có liên quan đến nội dung luận án • Kết luận: phần tóm tắt nội dung luận án, đồng thời nêu số vấn đề tồn đề xuất số hướng nghiên cứu Chương Mơ hình dòng lưu chất chảy ống với tiết diện biến thiên Chương trình bày kết nghiên cứu hai mơ hình dòng lưu chất chảy ống có tiết diện biến thiên: • Mơ hình dòng lưu chất đẳng entropy: ∂t (aρ) + ∂x (aρu) = 0, ∂t (aρu) + ∂x (a(ρu2 + p)) = p∂x a, x ∈ R, t > (2.1) • Mơ hình dòng lưu chất tổng quát: ∂t (aρ) + ∂x (aρu) = 0, ∂t (aρu) + ∂x a(ρu2 + p) = p∂x a, ∂t (aρe) + ∂x au(ρe + p) = 0, x ∈ R, (2.2) t > Trong ρ = ρ(x, t), ε = ε(x, t), p = p(x, t) ký hiệu cho đại lượng nhiệt động lực học: mật độ, nội năng, áp suất lưu chất; u = u(x, t) vận tốc phân tử, e = e(x, t) = ε + u2 /2 lượng toàn phần Hàm số a = a(x) > 0, x ∈ R, tiết diện ống dẫn 2.1 2.1.3 Mơ hình dòng lưu chất đẳng entropy Xây dựng lược đồ số kiểu Godunov kiểu van Leer Đặt   ρ U := ρu , a   ρu F (U ) := ρu2 + p ,   ρu  2 ρu (2.36) H(U ) := − a Khi đó, hệ (2.1) viết lại thành ∂t U + ∂x F (U ) = H(U )∂x a, x ∈ R, t > (2.37) Xây dựng lược đồ số kiểu Godunov ∆t n n F (URie (0−; Ujn , Uj+1 )) − F (URie (0+; Uj−1 , Ujn )) , ∆x (2.42) ký hiệu URie ( xt , UL , UR ) nghiệm xác tốn Riemann hệ (2.1) ứng với liệu UL , UR Để cho sóng thu từ việc giải tốn Riemann địa phương điểm xj−1/2 xj+1/2 không ảnh hưởng đến nhau, giả thiết ∆t phải thỏa mãn điều kiện ổn định C.F.L ∆t max{|λk (Ujn )| : j ∈ Z, k = 1, 2, 3} ≤ (2.43) ∆x Ujn+1 = Ujn − Xây dựng lược đồ số kiểu van Leer Ujn+1 = Ujn − ∆t n+1/2 n+1/2 F URie (0−; Uj+1/2,− , Uj+1/2,+ ) ∆x n+1/2 n+1/2 − F URie (0+; Uj−1/2,− , Uj−1/2,+ ) , với điều kiện ổn định C.F.L (2.43) thỏa mãn Trong n+1/2 ∆t n n F (Uj+1/2,− ) − F (Uj−1/2,+ ) , 2∆x ∆t n n n = Uj+1/2,+ − F (Uj+3/2,− ) − F (Uj+1/2,+ ) , 2∆x n Uj+1/2,− = Uj+1/2,− − n+1/2 Uj+1/2,+ (2.52) n = Ujn + Sjn , Uj+1/2,− n n n , Uj+1/2,+ = Uj+1 − Sj+1 hệ số Sjn = (snj,1 , snj,2 , snj,3 ) định n Sjn = (Uj+1 − Ujn )Φ(θjn ), n Ujn − Uj−1 θjn = n , Uj+1 − Ujn |θ| + θ , + |θ| = Φ(θ) = snj,3 hàm hạn chế van Leer, Tính cân hai lược đồ số kiểu Godunov (2.42) kiểu van Leer (2.52) Nếu UL , UR hai trạng thái cân hệ (2.1) nghiệm xấp xỉ cho lược đồ số (2.42), (2.52) Ujn = Uj0 , j ∈ Z, n ∈ N∗ Do đó, lược đồ số kiểu Godunov (2.42) kiểu van Leer (2.52) lược đồ số cân 2.2 2.2.3 Đặt  Mơ hình dòng lưu chất tổng qt Xây dựng lược đồ kiểu Godunov ρ    ρu   U :=   ,  ρe  a  ρu    ρu + p   , F (U ) :=    u(ρe + p)  ρu    ρu + p − ρ 1   S(U ) := −   a  ρu + p  0 (2.77) Khi đó, hệ (2.2) viết lại dạng ∂t U + ∂x F (U ) = S(U )∂x a, t > 0, x ∈ R Lược đồ số kiểu Godunov cho mơ hình (2.2) sau ∆t n n F URie (0−; Ujn , Uj+1 ) − F URie (0+; Uj−1 , Ujn ) , ∆x (2.78) với điều kiện ổn định C.F.L sau thỏa mãn Ujn+1 = Ujn − ∆t max{|λk (Ujn )| : j ∈ Z, k = 0, 1, 2, 3} ≤ ∆x Lược đồ số kiểu Godunov (2.78) lược đồ số cân Chương Hệ phương trình nước nơng với đáy biến thiên Mơ hình hệ phương trình nước nơng với đáy biến thiên (a = a(x)) cho ∂t h + ∂x (hu) = 0, ∂t (hu) + ∂x h u2 + gh = −gh∂x a, x ∈ R, t > 0, (3.1) chiều cao dòng nước tính từ đáy đến mặt nước h(x, t) vận tốc dòng nước u(x, t) ẩn hàm; g số trọng trường 3.1 Sóng Thêm vào hệ (3.1) phương trình hiển nhiên ∂t a = 0, ta viết hệ (3.1) dạng dạng ma trận ∂t U + A(U )∂x U = 0, x ∈ R, t > 0,   h U = u , a   u h A(U ) = g u g  0 Ma trận A(U ) có ba giá trị riêng thực λ1 = u − gh, λ2 = u + gh, λ3 = Hai trường đặc trưng ứng với λ1 , λ2 có tính phi tuyến thực Trường đặc trưng ứng với λ3 có tính suy biến tuyến tính λ1 trùng với λ3 mặt C + := (h, u, a) : u = gh (3.2) λ2 trùng với λ3 mặt C − := (h, u, a) : u = − gh (3.3) Hệ (3.1) có tính hyperbolic thực miền sau: G1 := (h, u, a) : u> G2 := (h, u, a) : |u| < gh , gh , G+ := {(h, u, a) ∈ G2 : u > 0}, G− u < 0}, := {(h, u, a) ∈ G2 : G3 := (h, u, a) : u < − gh Cho trước trạng thái bên trái U0 = (h0 , u0 , a0 ) a = a0 Trạng thái U = (h, u, a) nối với trạng thái U0 sóng 3−tiếp xúc u = h0 u0 /h h nghiệm phương trình F (U0 , a; h) := 2gh3 + 2g(a − a0 − h0 ) − u20 h2 + h20 u20 = (3.13) Các đường cong sóng ứng với trường phi tuyến thực có phương trình W1 (U0 ) := R1 (U0 ) ∪ S1 (U0 ) = {U (h, u, a) : W2B (U0 ) := RB (U0 ) ∪ S2B (U0 ) = U (h, u, a) : a = a0 , a = a0 , u = w1 (U0 ; h)} , u = w2B (U0 ; h) , (3.16) w1 (U0 ; h) :=  √ √  h−  u0 − g h0 , h ≤ h0 , g 1 (h − h0 ) + , h > h0 , h h0  √ √  h − h0 , h ≤ h0 ,  u0 + g (3.17)   u0 − w2B (U0 ; h) :=   u0 + g (h − h0 ) 1 + , h > h0 h h0 (3.18) u(h) = w1 (UL ; h)h , ϕ2 (U (h), aR ) w1 (UL ; h ) = 0, với đường cong C ± , W1 (U0 ) hàm w1 (U0 ; h) có phương trình biểu thức cho (3.3), (3.2), (3.16), (3.17); ϕ2 (U0 , a) ký hiệu nghiệm lớn hàm F (U0 , a; h) cho (3.13) 3.3 Miền tồn nghiệm 3.3.1 Trường hợp 1: UL ∈ G1 ∪ C + Định lý 3.1 Cho trước trạng thái bên trái UL ∈ G1 ∪ C + Giả sử trạng thái bên phải UR thỏa mãn điều kiện aR < aL , w2B (UR ; 0) < uup , w2B (UR ; h−b ) (3.37) −b >u , hsL := ϕ1 (UL , aR ), uup := usL + usL := hL uL , hsL ghsL , U − (h− , u− , aL ) := W1 (UL ) ∩ C − , h−b := ϕ2 (U − , aR ), u−b := h− u− , h−b với đường cong C − , W1 (U0 ), hàm w1 (U0 , h), w2B (U0 , h) có phương trình biểu thức cho (3.3), (3.16), (3.17), (3.18); ϕ1 (U0 , a), ϕ2 (U0 , a) ký hiệu nghiệm nhỏ nghiệm lớn hàm F (U0 , a; h) cho (3.13) Khi đó, tốn Riemann cho hệ (3.1) có nghiệm ba dạng sau: W3 (UL , ULs ) ⊕ W1 (ULs , U ) ⊕ W2 (U, UR ), (3.38) W3 (UL , ULs ) ⊕ S1 (ULs , ULs# ) ⊕ W3 (ULs# , ULs#b ) ⊕ W2 (ULs#b , UR ), (3.39) 11 S1 (UL , U ) ⊕ W3 (U, U b ) ⊕ W2 (U b , UR ) (3.40) Hơn nữa, (3.37) kết hợp thêm giả thiết #b hs# L < hL , −hsL + (hsL )2 + hs# L := 8hsL (usL )2 g , −hL + # UL# = (h# L , uL , aL ), h# L := h2L + 8hL u2L g , u# L := hL uL h# L , # h#b L := ϕ2 (UL , aR ), tốn Riemann cho hệ (3.1) có nghiệm 3.3.2 Trường hợp 2: UL ∈ G2 Định lý 3.2 Cho trước trạng thái bên trái UL ∈ G2 Giả sử trạng thái bên phải UR thỏa mãn điều kiện aR < aL , w2B (UR ; 0) < u+up , w2B (UR ; h−b ) (3.41) −b >u , U ± = (h± , u± , aL ) = W1 (UL ) ∩ C ± , h+s := ϕ1 (U + , aR ), u+up := u+s + u+s := h+ u+ , h+s gh+s , h−b := ϕ2 (U − , aR ), u−b := h− u− , h−b với đường cong C ± , W1 (U0 ), hàm w1 (U0 , h), w2B (U0 , h) có phương trình biểu thức cho (3.3), (3.2), (3.16), (3.17), 12 (3.18); ϕ1 (U0 , a), ϕ2 (U0 , a) ký hiệu nghiệm nhỏ nghiệm lớn hàm F (U0 , a; h) cho (3.13) Khi đó, tốn Riemann cho hệ (3.1) có nghiệm ba dạng sau: R1 (UL , U + ) ⊕ W3 (U + , U +s ) ⊕ W1 (U +s , U ) ⊕ W2 (U, UR ), (3.42) R1 (UL , U + ) ⊕ W3 (U + , U +s ) ⊕ S1 (U +s , U s# ) ⊕ W3 (U s# , U +s#b ) ⊕ W2 (U +s#b , UR ), (3.43) W1 (UL , U ) ⊕ W3 (U, U b ) ⊕ W2 (U b , UR ) (3.44) Hơn nữa, (3.41) kết hợp thêm giả thiết h+s# < h+b , −h+s + (h+s )2 + h+s# := 8h+s (u+s )2 g , h+b := ϕ2 (U + , aR ), tốn Riemann cho hệ (3.1) có nghiệm 3.4 Lược đồ số kiểu van Leer Đặt  h U := hu , a    hu  F (U ) := h u2 + gh   ,  H(U ) := −gh (3.45) Khi đó, hệ (3.1) viết lại dạng ∂t U + ∂x F (U ) = H(U )∂x a, x ∈ R, t > Lược đồ số kiểu van Leer cho hệ (3.1) Ujn+1 = Ujn − ∆t n+1/2 n+1/2 F URie (0−; Uj+1/2,− , Uj+1/2,+ ) ∆x n+1/2 n+1/2 − F URie (0+; Uj−1/2,− , Uj−1/2,+ ) 13 , (3.46) ∆t max{|λk (Ujn )| : j ∈ Z, k = 1, 2, 3} ≤ , ∆x ∆t n+1/2 n n n F (Uj+1/2,− ) − F (Uj−1/2,+ ) , Uj+1/2,− = Uj+1/2,− − 2∆x ∆t n+1/2 n n n Uj+1/2,+ = Uj+1/2,+ − F (Uj+3/2,− ) − F (Uj+1/2,+ ) , 2∆x n Uj+1/2,− = Ujn + Sjn , n n n Uj+1/2,+ = Uj+1 − Sj+1 , hệ số Sjn = (snj,1 , snj,2 , snj,3 ) định n Sjn = (Uj+1 − Ujn )Φ(θjn ), n Ujn − Uj−1 n θj = n , Uj+1 − Ujn |θ| + θ , + |θ| = Φ(θ) = snj,3 hàm hạn chế van Leer, 14 Chương Mơ hình dòng chảy hai pha Mơ hình dòng chảy hai pha trường hợp đẳng entropy gồm phương trình ∂t (αρ) + ∂x (αρu) = 0, ∂t (αρu) + ∂x α(ρu2 + p) = p∂x α, ∂t (βθ) + ∂x (βθv) = 0, (4.1) ∂t (βθv) + ∂x β(θv + q) = −p∂x α, x ∈ R, ∂t θ + ∂x (θv) = 0, t > 0, α(x, t), ρ(x, t), u(x, t), p(x, t) kí hiệu cho tỉ số thể tích, mật độ, vận tốc áp suất dòng lưu chất Pha I ; β(x, t), θ(x, t), v(x, t), q(x, t) kí hiệu cho tỉ số thể tích, mật độ, vận tốc áp suất dòng lưu chất Pha II Các tỉ số thể tích phải thỏa mãn phương trình α + β = 4.1 4.1.1 Bài tốn Riemann Sóng Giả sử lưu chất pha đẳng entropy lí tưởng, có phương trình trạng thái p = p(ρ) = κργ , δ q = q(θ) = ιθ , κ > 0, ι > 0, 15 γ > 1, δ > Hệ (4.1) viết lại dạng ma trận x ∈ R, ∂t U + A(U)∂x U = 0, t > 0,   U  U = V , α ρ , u U= V =  u  p (ρ)  ρ  A(U) =    0 ρ u 0 0 v q (θ) θ 0 θ v θ v ρ(u−v)  α 0 p−q βθ       v Ma trận A(U) có năm giá trị riêng thực λ1 = u − p (ρ), λ2 = u + λ4 = v + q (θ), λ5 = v p (ρ), λ3 = v − q (θ), Bốn trường đặc trưng ứng với λ1 , λ2 , λ3 , λ4 có tính phi tuyến thực Trường đặc trưng ứng với λ5 có tính suy biến tuyến tính λ5 trùng với λ1 λ2 mặt âm C + := {u − v = c}, C − := {u − v = −c}, c := p (ρ) Hệ (4.1) có tính hyperbolic thực miền G1 := {u − v > c}, G2 := {|u − v| < c}, G3 := {u − v < −c} 16 Các đường cong sóng ứng với trường phi tuyến thực qua điểm U0 = (U0 , V0 , α0 ) := (ρ0 , u0 , θ0 , v0 , α0 ) W1 (U0 ) := R1 (U0 ) ∪ S1 (U0 ) = {U(ρ, u, θ0 , v0 , α0 ) : B W2B (U0 ) := RB (U0 ) ∪ S2 (U0 ) = U(ρ, u, θ0 , v0 , α0 ) : W3 (U0 ) := R3 (U0 ) ∪ S3 (U0 ) = {U(ρ0 , u0 , θ, v, α0 ) : W4B (U0 ) := RB (U0 ) ∪ S4B (U0 ) = U(ρ0 , u0 , θ, v, α0 ) : u = w1 (U0 ; ρ)} , u = w2B (U0 ; ρ) , v = w3 (V0 ; θ)} , v = w4B (V0 ; θ) , (4.15)  √ γ−1 κγ γ−1   u − − ρ ρ , ρ ≤ ρ0 ,  0  γ−1 w1 (U0 ; ρ) :=  1 1/2   , ρ > ρ0 , −  u0 − (p − p0 ) ρ0 ρ  √ γ−1   u0 + κγ ρ γ−1 − ρ0 , ρ ≤ ρ0 ,   γ−1 w2B (U0 ; ρ) :=  1 1/2   u + (p − p ) − , ρ > ρ0 ,  0 ρ0 ρ  √ δ−1  ιδ δ−1   , θ ≤ θ0 ,  v − δ − θ − θ0 w3 (V0 ; θ) :=  1 1/2   , θ > θ0 , −  v0 − (q − q0 ) θ0 θ  √ δ−1  ιδ δ−1   v0 + θ − θ0 , θ ≤ θ0 ,  δ−1 w4B (V0 ; θ) :=  1 1/2   , θ > θ0 −  v0 + (q − q0 ) θ0 θ (4.16) (4.17) (4.18) (4.19) Hệ thức bước nhảy cho sóng 5−tiếp xúc [v − σ] = 0, [αρ(u − σ)] = 0, [(u − σ)2 + 2h] = 0, [αρu(u − σ) + αp + βq] = 17 (4.30) 4.1.2 Sự tồn nghiệm toán Riemann Nghiệm Riemann pha Nghiệm Riemann pha II: luôn W3 (VL , V− ) ⊕ W5 (V− , V+ ) ⊕ W4 (V+ , VR ) (4.31) Nghiệm Riemann pha I: W5 (UL = U− , U+ ) ⊕ W1 (U+ , U1 ) ⊕ W2 (U1 , UR ), (4.32) W1 (UL , U− ) ⊕ W5 (U− , U+ ) ⊕ W2 (U+ , UR ), (4.33) W1 (UL , U1 ) ⊕ W2 (U1 , U− ) ⊕ W5 (U− , U+ = UR ), (4.34) hoặc tương ứng với trường hợp λ5 < λ1 < λ2 , λ1 < λ5 < λ2 , λ1 < λ2 < λ5 Trường hợp 1: λ5 < λ1 < λ2 Hai trạng thái hai bên sóng 5−tiếp xúc U− = (UL , V− , αL ) = (ρL , uL , θ− , v− , αL ), U+ = (U+ , V+ , αR ) = (ρ+ , u+ , θ+ , v+ , αR ) Hai trạng thái phải thỏa mãn hệ thức (4.30), ta có hệ phương trình v− = v+ =: σ, αL ρL (uL − σ) = αR ρ+ (u+ − σ), (uL − σ)2 + 2h(ρL ) = (u+ − σ)2 + 2h(ρ+ ), αL ρL uL (uL − σ) + αL p(ρL ) + βL q(θ− ) = αR ρ+ u+ (u+ − σ) + αR p(ρ+ ) + βR q(θ+ ) 18 (4.35) Định lý 4.1 Giả sử W3 (VL ) ∩ W4B (VR ) = (θ∗ , v∗ ) cho UL ∈ G1 (v∗ ), tức uL − v∗ > p (ρL ) Khi đó, tồn khoảng I chứa αL cho αR thuộc vào I hệ phương trình (4.35) có nghiệm σ, ρ+ , u+ , θ± , ta xác định ba trạng thái V± , U+ Từ đó, có thêm giao W1 (U+ ) ∩ W2B (UR ) = U1 , cho σ1 (U+ , U1 ) ≥ v+ W1 (U+ , U1 ) sóng 1−sốc, tốn Riemann hệ (4.1) có nghiệm viết theo pha (4.32), (4.31), đường cong W1 (U0 ), W2B (U0 ), W3 (V0 ), W4B (V0 ) có phương trình cho (4.15), (4.16), (4.17), (4.18), (4.19) Trường hợp 2: λ1 < λ5 < λ2 Hai trạng thái hai bên sóng 5−tiếp xúc U− = (U− , V− , αL ) = (ρ− , u− , θ− , v− , αL ), U+ = (U+ , V+ , αR ) = (ρ+ , u+ , θ+ , v+ , αR ) Hai trạng thái phải thỏa mãn hệ phương trình v− = v+ =: σ, αL ρ− (u− − σ) = αR ρ+ (u+ − σ), (u− − σ)2 + 2h(ρ− ) = (u+ − σ)2 + 2h(ρ+ ), αL ρ− u− (u− − σ) + αL p(ρ− ) + βL q(θ− ) = αR ρ+ u+ (u+ − σ) + αR p(ρ+ ) + βR q(θ+ ) Định lý 4.2 Giả sử W1 (UL ) ∩ W2B (UR ) = (ρ∗ , u∗ ), W3 (VL ) ∩ W4B (VR ) = (θ∗ , v∗ ), 19 (4.43) cho (ρ∗ , u∗ ) ∈ G2 (v∗ ), tức |u∗ − v∗ | < p (ρ∗ ) Khi đó, tồn khoảng I chứa αL cho αR thuộc vào I hệ phương trình (4.43) có nghiệm σ, ρ± , u± , θ± nhất, bốn trạng thái V± , U± xác định Từ đó, tốn Riemann hệ (4.1) có nghiệm viết dạng tách pha (4.33), (4.31), đường cong W1 (U0 ), W2B (U0 ), W3 (V0 ), W4B (V0 ) có phương trình cho (4.15), (4.16), (4.17), (4.18), (4.19) Trường hợp 3: λ1 < λ2 < λ5 Hai trạng thái hai bên sóng 5−tiếp xúc U− = (U− , V− , αL ) = (ρ− , u− , θ− , v− , αL ), U+ = (UR , V+ , αR ) = (ρR , uR , θ+ , v+ , αR ) Hai trạng thái phải thỏa mãn hệ thức (4.30), tức v− = v+ = σ, αL ρ− (u− − σ) = αR ρR (uR − σ), (u− − σ)2 + 2h(ρ− ) = (uR − σ)2 + 2h(ρR ), (4.51) αL ρ− u− (u− − σ) + αL p(ρ− ) + βL q(θ− ) = αR ρR uR (uR − σ) + αR p(ρR ) + βR q(θ+ ) Định lý 4.3 Giả sử W3 (VL ) ∩ W4B (VR ) = (θ∗ , v∗ ) cho UR ∈ G3 (v∗ ), tức uR − v∗ < − p (ρR ) Khi đó, tồn khoảng I chứa αR cho αL thuộc vào I hệ phương trình (4.51) có nghiệm σ, ρ− , u− , θ± , ta xác định ba trạng thái trung gian V± , U− Từ đó, có giao W1 (UL ) ∩ W2B (U− ) = U1 20 cho σ2 (U1 , U− ) ≤ v− W2 (U1 , U− ) sóng 2−sốc, tốn Riemann hệ (4.1) có nghiệm viết dạng tách pha (4.34), (4.31), đường cong W1 (U0 ), W2B (U0 ), W3 (V0 ), W4B (V0 ) có phương trình cho (4.15), (4.16), (4.17), (4.18), (4.19) 4.2 Xây dựng lược đồ số kiểu Godunov Đặt   ρ ρu  U :=   θ , θv  ρu ρu2 + p  F (U) :=   θv  , θv + q   H(U) :=  ρ(v−u) α  ρu(v−u)   α     (4.52)  q−p β Khi đó, hệ (4.1) viết dạng ∂t U + ∂x F (U) = H(U)∂x α, ∂t α + v∂x α = 0, t > 0, (4.53) x ∈ R Lược đồ số kiểu Godunov để xấp xỉ nghiệm yếu cho toán Cauchy hệ (4.1) ∆t ∆t n n n n − Fj−1/2,+ − αj−1/2,+ + , H(Unj ) αj+1/2,− Fj+1/2,− ∆x ∆x ∆t n n (vjn )+ (αjn − αj−1 ) + (vjn )− (αj+1 − αjn ) , αjn+1 = αjn − ∆x (4.62) Un+1 = Unj − j n n Fj+1/2,− := F URie 0−; Unj , αjn , Unj+1 , αj+1 , n n Fj−1/2,+ := F URie 0+; Unj−1 , αj−1 , Unj , αjn n n αj+1/2,− := αRie 0−; Unj , αjn , Unj+1 , αj+1 , n n n n n αj−1/2,+ := αRie 0+; Uj−1 , αj−1 , Uj , αj , (vjn )+ = max{vjn , 0}, (vjn )− = min{vjn , 0}, , x ; UL , αL , UR , αR ký hiệu nghiệm Riemann hệ t (4.53) ứng với liệu Riemann UL , αL , UR , αR Để cho URie , αRie 21 sóng thu từ việc giải tốn Riemann địa phương điểm xj−1/2 xj+1/2 không ảnh hưởng đến nhau, ta giả thiết điều kiện ổn định C.F.L sau thỏa mãn ∆t max{|λk (Unj )| : j ∈ Z, k = 1, 2, 3, 4, 5} ≤ ∆x Lược đồ số kiểu Godunov (4.62) chụp sóng tĩnh cách xác, tức có tính cân 22 Kết luận Trong luận án này, chúng tơi trình bày kết thu nghiên cứu nghiệm số hệ định luật cân dạng phi bảo toàn (2.1), (2.2), (3.1), (4.1) Các kết đăng báo khoa học (P1)-(P7) Đối với mơ hình dòng lưu chất chảy ống có tiết diện biến thiên Chương 2, xây dựng lược đồ số kiểu Godunov kiểu van Leer (2.42), (2.78), (2.52) Để hoàn thiện lược đồ số này, chúng tơi thiết lập thuật tốn xác định trạng thái trung gian cấu trúc nghiệm Riemann Các thuật tốn chúng tơi xây dựng dựa giao đường cong kết hợp sóng đường cong sóng Đối với hệ phương trình nước nông (3.1) Chương 3, cách khảo sát dấu đạo hàm, chúng tơi đạt tính đơn điệu đường cong kết hợp sóng nêu Bổ đề 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, từ dẫn đến miền tồn nghiệm Riemann nêu hai Định lý 3.1, 3.2 Sau đó, kết đạt toán Riemann cho hệ (3.1) chúng tơi tích hợp để xây dựng lược đồ số kiểu van Leer (2.52) Đối với mơ hình dòng chảy hai pha (4.1) Chương 4, để nghiên cứu nghiệm Riemann, tiếp cận phương pháp tách pha Với cách tiếp cận này, đạt ba cấu trúc nghiệm tương ứng với vị trí sóng 5−tiếp xúc Trong cấu trúc nghiệm vậy, hai trạng thái quan trọng nằm hai bên sóng 5−tiếp xúc xác định hệ phương trình phi tuyến Bằng cách áp dụng Định lý hàm ẩn, đạt kết tồn nghiệm Riemann nêu ba Định lý 4.1, 4.2, 4.3 Các kết chúng tơi tích hợp để xây dựng lược đồ số kiểu Godunov (4.62) 23 Các lược đồ số mà xây dựng luận án chứng minh có tính cân bằng, tức chụp sóng tĩnh cách xác Ngồi ra, thí dụ số chứng tỏ lược đồ số cho nghiệm xấp xỉ tốt khơng tốn có nghiệm Riemann sóng bản, trường hợp kiện Riemann thuộc miền âm tốc, siêu âm, mà trường hợp miền liệu Riemann thuộc hai miền khác chúng tỏ hiệu Đặc biệt, trường hợp cộng hưởng, lược đồ số cho nghiệm xấp xỉ với độ xác tốt Hơn nữa, lược đồ số kiểu van Leer cho thấy chúng có độ xác tốt lược đồ số kiểu Godunov Dựa kết đạt được, xin đề xuất số công việc nghiên cứu sau: • Nghiên cứu xây dựng nghiệm Riemann cho mơ hình dòng hai pha (4.1) trường hợp cộng hưởng • Nghiên cứu tính đơn điệu cho đường cong kết hợp sóng mơ hình dòng lưu chất chảy ống có tiết diện biến thiên (2.1), (2.2) • Chứng minh số tính chất lược đồ số mà xây dựng luận án này, chẳng hạn: bảo tồn tính dương hàm mật độ ρ lược đồ số (2.42), (2.78), (2.52), (4.62); bảo tồn tính dương hàm chiều cao h lược đồ (3.46); bảo tồn tính khơng giảm entropy lược đồ (2.78) • Nghiên cứu xây dựng lược đồ số kiểu van Leer cho mơ hình dòng hai pha (4.1) 24 Danh mục cơng trình tác giả (P1) Dao Huy Cuong, Mai Duc Thanh, A Godunov-type scheme for the isentropic model of a fluid flow in a nozzle with variable cross-section, Applied Mathematics and Computation, 256 (2015) 602–629 (P2) Mai Duc Thanh, Dao Huy Cuong, Existence of solutions to the Riemann problem for a model of two-phase flows, Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2015 (2015), No 32, pp 1-18 (P3) Mai Duc Thanh, Dao Huy Cuong, Properties of the wave curves in the shallow water equations with discontinuous topography, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, (2016) 39: 305-337 (P4) Dao Huy Cuong, Mai Duc Thanh, A high-resolution van Leertype scheme for a model of fluid flows in a nozzle with variable cross-section, Journal of the Korean Mathematical Society, Vol 54 (2017), No 1, pp 141-175 (P5) Dao Huy Cuong, Mai Duc Thanh, Building a Godunov-type numerical scheme for a model of two-phase flows, Computers and Fluids 148 (2017), 69-81 (P6) Dao Huy Cuong, Mai Duc Thanh, Constructing a Godunov-type scheme for the model of a general fluid flow in a nozzle with variable cross-section, Applied Mathematics and Computation 305 (2017), 136-160 (P7) Dao Huy Cuong, Mai Duc Thanh, A well-balanced van Leertype numerical scheme for shallow water equations with variable topography, Advances in Computational Mathematics (2017) 43 : 1197-1225, DOI: 10.1007/s10444-017-9521-4 25 ... luận Trong luận án này, chúng tơi trình bày kết thu nghiên cứu nghiệm số hệ định luật cân dạng phi bảo toàn (2.1), (2.2), (3.1), (4.1) Các kết đăng báo khoa học (P1)-(P7) Đối với mơ hình dòng lưu... Tự nhiên TP.HCM Giới thiệu Luận án trình bày kết nghiên cứu liên quan đến số hệ hyperbolic định luật cân dạng phi bảo toàn Nội dung thứ nhất, trình bày Chương 2, liên quan đến hai mơ hình dòng... phi tuyến Bằng cách áp dụng Định lý hàm ẩn, đạt kết tồn nghiệm Riemann nêu ba Định lý 4.1, 4.2, 4.3 Các kết chúng tơi tích hợp để xây dựng lược đồ số kiểu Godunov (4.62) 23 Các lược đồ số mà xây