Nghiệm tối tiểu và nghiệm tối đại của hệ vi phân tập

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN Lý thuyết hệ thống đời vào năm 50 kỷ trước ứng dụng nhiều lĩnh vực, ví dụ như: Triết học, Toán học, Sinh thái, Xã hội học, Công nghệ thông tin, v.v Mỗi hệ thống tồn tập với 03 cấu trúc, gồm cấu trúc thực thể, cấu trúc chức cấu trúc toàn đồ [30] Các đại lượng đặc trưng cho cấu trúc chức gọi trạng thái hệ thống Trong hệ thống có chuyển đổi không ngừng đại lượng đặc trưng lượng, thông tin, giá cả, chi phí Sự chyển đổi gọi tiến hóa hệ thống Để biểu diễn biến đổi trạng thái hệ thống dùng mô hình rời rạc, liên tục vi phân Hệ vi phân mô hình toán học hệ tiến hóa phụ thuộc điều kiện đầu vào (tiền định) biến đổi liên tục (dạng đạo hàm - vi phân) có chất lượng đầu theo ý muốn (hàm mục tiêu) Các hệ thống hoạt động có mục đích khác xác định điều kiện đầu vào, đủ độ tin cậy (ổn định), trì chế độ kiểm soát (điều khiển) chất lượng đầu (tối ưu) Do toán liên quan đến hệ thống gồm: nghiên cứu mô hình hệ thống, khảo sát tính ổn định hệ thống, khảo sát tính điều khiển hệ thống giải toán tối ưu hệ thống Đối với hệ thống mà mô hình liên tục có tiến hóa, thông thường xét lớp phương trình (hệ phương trình) vi phân trạng thái khác nhau, vận động đối tượng, trình, tập trình, không gian khác Trong năm gần đây, thay xét trình, nhà toán học xét họ trình, tập trình hàm giá trị khoảng, hàm giá trị hộp hàm giá trị tập Giải tích tập nghiên cứu lần đầu Hukuhara [13] Trong đó, tác giả giới thiệu hiệu Hukuhara hai tập từ xây dựng khái niệm đạo hàm Hukuhara hàm tập mà cần thiết cho việc phát triển lý thuyết phương trình vi phân tập Phương trình vi phân tập dùng để mô hình hóa biến đổi tập khác rỗng lồi, compắc không gian Euclide thực n - chiều với khoảng cách Hausdorff Lý thuyết phương trình vi phân tập De Blasi Iervolino [10] đề xuất công bố vào năm 1969 Một số kết tồn tại, tính ổn định, tính bị chặn nghiệm phương trình vi phân tập Lakshmikantham, Bhaskar, Devi nghiên cứu [16] số tác giả khác [5], [25], [28] Tuy nhiên, kết sử dụng đạo hàm Hukuhara (dạng 1) đường kính nghiệm tăng theo thời gian, đạo hàm Hukuhara dạng có số hạn chế áp dụng vào số mô hình thực tế Vì số tác giả khác đưa khái niệm đạo hàm Hukhara dạng Malinowski [22], [23] vận dụng khái niệm để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình vi phân tập, trường hợp đường kính nghiệm giảm theo thời gian Trong thực tế mô hình hóa hệ thống dạng phương trình vi phân thường, giá trị ban đầu toán bị nhiễu có sai lệch đo đạc, v.v Giá trị đầu vào khoảng đầu hệ thống khoảng Từ dẫn đến phát triển lí thuyết khoảng nghiên cứu phương trình vi phân khoảng Giải tích khoảng trường hợp đặc biệt giải tích tập Do tính chất giải tích tập áp dụng cho giải tích khoảng Tuy nhiên giải tích khoảng có tính chất đặc biệt khác Giải tích khoảng nghiên cứu vào năm năm mươi kỷ 20 trình bày cách có hệ thống Moore [26] vào năm 1966, sau tác giả Markov [24], Alefeld Herzberger [2], Alefeld Mayer [3], Kolev [14] Gần đây, tác giả Stefanini Bede [32] đưa khái niệm hiệu Hukuhara tổng quát khoảng, hiệu hai khoảng tồn xây dựng khái niệm đạo hàm Hukuhara tổng quát, Chalco cộng đưa tính toán giải tích khoảng [9] Từ đó, nhiều hướng mở cho việc khảo sát tính chất nghiệm cho: phương trình vi phân khoảng [19], [21],[33], phương trình vi phân khoảng cấp hai [12], phương trình vi phân khoảng có điều kiện tiêu biến [27], phương trình tích phân Volterra giá trị khoảng [7] Đối với lớp hệ thống có trạng thái trừu tượng khoảng vấn đề khảo sát nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại chưa tác giả nghiên cứu Điều khó khăn cho việc khảo sát nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại dạng xây dựng quan hệ thứ tự không gian metric khoảng chọn phương pháp đánh giá phù hợp với hàm giá trị khoảng Vì lí trên, chọn đề tài luận án tiến sĩ là: "Nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại hệ vi phân tập", mà cụ thể nghiên cứu tồn nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại lớp phương trình vi phân không gian metric khoảng không gian metric hộp Trong lớp phương trình vi phân khoảng, để chứng minh tồn nghiệm thông thường tác giả sử dụng Định lí điểm bất động Banach [32] phương pháp xấp xỉ dãy [21] với giả thiết hàm bên phải phương trình vi phân thỏa điều kiện Lipschitz Trong luận án này, sử dụng công cụ nghiên cứu phương pháp lặp đơn điệu kết hợp phương pháp nghiệm dưới, nghiệm Đây công cụ hữu ích để chứng minh tồn nghiệm cho phương trình (hệ phương trình) vi phân phi tuyến Đặc biệt lớp phương trình phức tạp khó tìm nghiệm xác Phương pháp Ladde, Lakshmikantham, Vatsala giới thiệu lần đầu vào năm 1985 [15] Phương pháp ta tìm nghiệm gọi V nghiệm gọi W cho V ≤ W tồn nghiệm X phương trình vi phân thỏa V ≤ X ≤ W Tiếp theo, với nghiệm dưới, nghiệm ban đầu ta xây dựng hai dãy lặp đơn điệu từ phương trình tuyến tính tương ứng hai dãy hội tụ đơn điệu tới nghiệm tối tiểu (nghiệm nhỏ nhất) Xmin nghiệm tối đại (nghiệm lớn nhất) Xmax phương trình vi phân Cuối cùng, với điều kiện thích hợp ta chứng minh Xmin = Xmax = X nghiệm phương trình vi phân Gần phương pháp mở rộng nghiên cứu tồn nghiệm cho lớp phương trình vi phân phân thứ [8], [17], phương trình vi phân mờ [4],[18] phương trình vi phân tập [1], [11] Trong luận án, áp dụng phương pháp cho việc nghiên cứu lớp phương trình vi phân không gian metric khoảng không gian metric hộp Điểm phương pháp xây dựng quan hệ thứ tự không gian metric khoảng, không gian metric hộp sau vận dụng để chứng minh tồn nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại cho lớp phương trình vi phân Nội dung luận án gồm chương: Chương 1, trình bày số kiến thức giải tích khoảng, giải tích hộp bao gồm phép toán không gian giải tích hộp, giải tích khoảng Chương 2, trình bày số kết tồn nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại không gian metric khoảng cho phương trình vi phân khoảng, phương trình vi - tích phân khoảng, phương trình vi - tích phân khoảng với chậm hay phương trình vi - tích phân phiếm hàm khoảng Kết chương công bố [Q1], [Q3] Chương 3, khảo sát tồn nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại không gian metric hộp mở rộng lớp phương trình vi phân giá trị khoảng Kết chương công bố trong[Q2] Nội dung Luận án tác giả báo cáo buổi Seminar nhóm giáo sư hướng dẫn báo cáo hội nghị nước [Q4], [Q5] Các kết Luận án tác giả giáo sư hướng dẫn đăng tạp chí khoa học chuyên ngành có uy tín lĩnh vực phương trình vi phân ([Q1 - Q3]) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giải tích khoảng 1.1.1 Các phép toán Kí hiệu I họ tất khoảng đóng khác rỗng R Khoảng A ∈ I có dạng A = [ A, A], với A ≤ A Định nghĩa 1.1.1 Cho A, B ∈ I, với A = [ A, A], B = [ B, B], A ≤ A, B ≤ B λ ∈ R Phép cộng hai khoảng phép nhân số thực với khoảng xác định sau A + B = [ A + B, A + B], λ.A =   [λA, λA], λ >   λ = 0,    [λA, λA], λ < Định nghĩa 1.1.2 Cho A, B ∈ I, khoảng cách Hausdorff H khoảng A, B xác định sau H [ A, B] = max{| A − B|, | A − B|} (1.1) Định nghĩa 1.1.3 Độ lớn khoảng A và độ rộng khoảng A tương ứng H [ A, 0] = A = max{| A|, | A|}, len( A) = A − A Định nghĩa 1.1.4 ([13]) Cho A, B ∈ I, tồn khoảng C ∈ I cho A = B + C ta gọi C hiệu Hukuhara A B Ta kí hiệu C = A B Định nghĩa 1.1.5 ([24]) Cho hai khoảng A, B, hiệu Hukuhara tổng quát A, B, kí hiệu A gH B, xác định sau   ( a) A = B + C, A gH B = C ⇔  (b) B = A + (−1)C, len( A) ≥ len( B) len( A) < len( B) (1.2) 1.1.2 Hàm khoảng Định nghĩa 1.1.6 Cho X : [ a, b] → I hàm giá trị khoảng xác định X : [ a, b] → I t → [ X (t), X (t)], X (t) X (t) hàm thực xác định [ a, b] thỏa X (t) ≤ X (t), t ∈ [ a, b] 1.1.3 Phép tính đạo hàm Định nghĩa 1.1.7 ([24]) Cho X : ( a, b) → I t ∈ ( a, b) Ta nói X có đạo hàm Hukuhara tổng quát t tồn DgH X (t) ∈ I cho X (t + h) h h →0 DgH X (t) = lim gH X (t) (1.3) Định nghĩa 1.1.8 Cho X : [ a, b] → I có đạo hàm Hukuhara tổng quát t ∈ [ a, b] Ta nói hàm X có đạo hàm loại t d d X ( t ), X ( t ) dt dt DgH X (t) = X có đạo hàm loại t d d X ( t ), X ( t ) dt dt DgH X (t) = 1.1.4 Phép tính tích phân Định nghĩa 1.1.9 Cho X : [ a, b] → I xác định X (t) = [ X (t), X (t)] với t ∈ [ a, b], X (t), X (t) đo khả tích Lebesgue [ a, b], tích phân hàm khoảng xác định sau b b X (s)ds = a b X (s)ds, a X (s)ds a ta nói X khả tích Lebesgue [ a, b] 1.1.5 Thứ tự không gian metric khoảng Định nghĩa 1.1.10 Cho X, Y ∈ I, với X = [ X, X ], Y = [Y, Y ] Ta nói X ≤ Y Y ≥ X X ≤ Y X ≤ Y Định nghĩa 1.1.11 Cho X, Y : J = [ a, b] → I Khi X ≤ Y X (t) ≤ Y (t) X (t) ≤ Y (t), t ∈ J 1.2 Giải tích không gian metric hộp 1.2.1 Các phép toán Kí hiệu In = I × I × × I (n lần) (tích Descartes) họ tập Rn Phần tử n A ∈ In gọi hộp A = [ A1 , A1 ] × [ A2 , A2 ] × × [ An , An ] = ∏ Ai , i =1 Ai = [ Ai , Ai ] ∈ I, ∀i = 1, n n n i =1 i =1 Định nghĩa 1.2.1 Cho A, B ∈ In , A := ∏ [ Ai , Ai ], B := ∏ [ Bi , Bi ] Phép cộng hai hộp phép nhân hộp với số xác định sau n A + B = ∏ [ Ai + Bi , Ai + Bi ] λ.A = i =1  n     ∏ [λAi , λAi ], λ >     i =1 0, λ =    n      ∏ [λAi , λAi ], λ < i =1 Định nghĩa 1.2.2 Khoảng cách hai hộp A, B ∈ In xác định sau n HB [ A, B] = ∑ H2 [ Ai , Bi ] 1/2 n = i =1 n n i =1 i =1 ∑ max{| Ai − Bi |, | Ai − Bi |} 1/2 , i =1 A = ∏ [ Ai , Ai ], B = ∏ [ Bi , Bi ] Định nghĩa 1.2.3 Cho A, B ∈ In , tồn hộp C ∈ In cho A = B + C ta gọi C hiệu Hukuhara A B Ta kí hiệu C = A B n n i =1 i =1 Định nghĩa 1.2.4 Hiệu Hukuhara tổng quát A = ∏ Ai , B = ∏ Bi thuộc In kí hiệu A gH A B   ( a) A = B + C, len( Ai ) ≥ len( Bi ), ∀i = 1, n gH B = C ⇔  (b) B = A + (−1)C, len( Ai ) < len( Bi ), ∀i = 1, n (1.4) 1.2.2 Phép tính đạo hàm Định nghĩa 1.2.5 Cho X : ( a, b) → In t ∈ ( a, b) Ta nói X có đạo hàm Hukuhara tổng quát t tồn DgH X (t) ∈ In cho X (t + h) h →0 h DgH X (t) = lim gH X (t) (1.5) n n i =1 i =1 Định nghĩa 1.2.6 Cho X : [ a, b] → In thỏa X (t) = ∏ Xi (t) = ∏ [ X i (t), X i (t)] có đạo hàm Hukuhara tổng quát t ∈ [ a, b] Ta nói X có đạo hàm Hukuhara tổng quát loại t n DgH X (t) = d d X i ( t ), X i ( t ) dt dt ∏ i =1 (1.6) có đạo hàm Hukuhara tổng quát loại t n DgH X (t) = d d X i ( t ), X i ( t ) dt dt ∏ i =1 (1.7) 1.2.3 Phép tính tích phân n n i =1 i =1 Định nghĩa 1.2.7 Cho X : [ a, b] → In với X (t) = ∏ Xi (t) = ∏ [ X i (t), X i (t)] X i (t), X i (t), ∀i = 1, n đo khả tích Lebesgue [ a, b] Khi đó, tích phân hàm X xác định sau b b n X (t)dt = ∏ i =1 a b X i (t)dt X i (t)dt, a a 1.2.4 Thứ tự không gian metric hộp n n i =1 i =1 Định nghĩa 1.2.8 Cho A = ∏ [ Ai , Ai ], B = ∏ [ Bi , Bi ] Ta nói A ≤ B hay B ≥ A Ai ≤ Bi Ai ≤ Bi , ∀i = 1, n Chương NGHIỆM TỐI TIỂU VÀ NGHIỆM TỐI ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN METRIC KHOẢNG 2.1 Nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại phương trình vi phân khoảng 2.1.1 Sự tồn nghiệm Trong [21], tác giả nghiên cứu tồn nghiệm toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân khoảng   DgH X (t) = F (t, X (t)),  X ( ) = X0 , t ∈ J, (2.1) J = [0, T ], T > 0, X0 ∈ I, F : J × I → I DgH X (t) đạo hàm Hukuhara tổng quát X J 2.1.2 Nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại Định nghĩa 2.1.1 Cho X ∈ C1 ( J, I) Nếu X có đạo hàm loại (đạo hàm loại 2) thỏa (2.1) ta nói X nghiệm loại (nghiệm loại 2) (2.1) Định nghĩa 2.1.2 Hàm V (1) ∈ C1 ( J, I) nghiệm loại (2.1) V (1) có đạo hàm loại   DgH V (1) (t) ≤ F (t, V (1) (t)),  V ( ) ( ) ≤ X0 t ∈ J, Hàm W (1) ∈ C1 ( J, I) nghiệm loại (2.1) W (1) có đạo hàm loại   DgH W (1) (t) ≥ F (t, W (1) (t)), t ∈ J,  W ( ) ( ) ≥ X0 Định nghĩa 2.1.3 Cho V (1) , W (1) nghiệm loại nghiệm loại phương trình (2.1) cho [V (1) , W (1) ] = { X ∈ C ( J, I) : V (1) ≤ X ≤ W (1) } Ta nói Xmin ∈ [V (1) , W (1) ] nghiệm tối tiểu loại (2.1) Xmin nghiệm loại Xmin (t) ≤ X (t), ∀t ∈ J, với X ∈ [V (1) , W (1) ] nghiệm loại (2.1) Ta nói Xmax ∈ [V (1) , W (1) ] nghiệm tối Xmax nghiệm loại thỏa bất đẳng thức ngược lại Định lí 2.1.1 Cho V (1) , W (1) ∈ C1 ( J, I) nghiệm loại nghiệm loại (2.1) thỏa V (1) ≤ W (1) J Giả sử điều kiện sau thỏa (i) F liên tục bị chặn tập {(t, X ) : t ∈ J, X ∈ I, X (t) ∈ [V (1) (t), W (1) (t)]}, (ii) tồn M > cho len( F (t, Y (t)) + MY (t)) t ≥ Me − Mt len([ F (s, Y (s)) + MY (s)])e Ms ds , len( X0 ) + (2.2) với Y ∈ C ( J, I), Y ∈ [V (1) , W (1) ], t ∈ J, (iii) F (t, X ) liên tục, với t ∈ J, X ∈ I tồn L > cho F (t, X ) + LX ≤ F (t, Y ) + LY, với t ∈ J, X, Y ∈ I, V (1) (t) ≤ X (t) ≤ Y (t) ≤ W (1) (t) Khi đó, tồn dãy đơn điệu {Vn } → Xmin , {Wn } → Xmax C ( J, I) Xmin , Xmax nghiệm tối tiểu loại nghiệm tối (2.1) [ V (1) , W (1) ] 2.2 Nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại phương trình vi-tích phân khoảng 2.2.1 Sự tồn nghiệm Trong [6], tác giả nghiên cứu tồn nghiệm toán giá trị ban đầu phương trình vi - tích phân khoảng dạng      DgH X (t) = F (t, X (t)) +     t G (t, s, X (s))ds, t ∈ J, (2.3) t0 X ( t ) = X0 , J = [t0 , +∞), X0 ∈ I, F ∈ C ( J × I, I) , G ∈ C (D × I, I) , D = {(t, s) ∈ J × J : to ≤ s ≤ t < +∞}, DgH X (t) đạo hàm Hukuhara tổng quát X J 2.2.2 Nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại Xét toán giá trị ban đầu phương trình vi - tích phân khoảng dạng:   DgH X (t) = F (t, X, TX ), t ∈ J,  X ( t ) = X0 , (2.4) J = [t0 , t0 + p], p > 0, X0 ∈ I, F ∈ C ( J × I2 , I) t (TX )(t) = k (t, s) X (s)ds t0 với k ∈ C (D , R+ ), D = {(t, s) ∈ J × J : t ≥ s} Định nghĩa 2.2.1 Cho X ∈ C1 ( J, I) Nếu X có đạo hàm loại (tương ứng, đạo hàm loại 2) thỏa (2.4) ta nói X nghiệm loại (tương ứng, nghiệm loại 2) (2.4) Định nghĩa 2.2.2 Cho V (1) , V (2) , W (1) , W (2) ∈ C ( J, I) Ta nói (i) V (1) , W (1) tương ứng nghiệm loại nghiệm loại (2.4) t V (1) F s, V (1) (s), (TV (1) )(s) ds, ≤ X0 + t∈J t0 t W (1) F s, W (1) (s), (TW (1) )(s) ds, ( t ) ≥ X0 + t0 10 t∈J (ii) V (2) , W (2) tương ứng nghiệm loại nghiệm loại (2.4) t V ( ) ( t ) ≤ X0 F s, V (2) (s), (TV (2) )(s) ds, (−1) t ∈ J, t0 t W (2) ( t ) ≥ X0 F s, W (2) (s), (TW (2) )(s) ds, (−1) t ∈ J, t0 với giả sử tồn hiệu Hukuhara t F s, V (2) (s), (TV (2) )(s) ds, (−1) X0 t0 t X0 F s, W (2) (s), (TW (2) )(s) ds (−1) t0 Định nghĩa 2.2.3 (i) Cho V (1) , W (1) nghiệm loại nghiệm loại phương trình (2.4) cho [V (1) , W (1) ] = { X ∈ C ( J, I) : V (1) ≤ X ≤ W (1) } Ta nói Xmin ∈ [V (1) , W (1) ] nghiệm tối tiểu loại (2.4) Xmin nghiệm loại Xmin (t) ≤ X (t), t ∈ J, với X ∈ [V (1) , W (1) ] nghiệm loại (2.4) Ta định nghĩa Xmax ∈ [V (1) , W (1) ] nghiệm tối Xmax nghiệm loại thỏa bất đẳng thức ngược lại (ii) Cho V (2) , W (2) nghiệm loại nghiệm loại (2.4) cho [V (2) , W (2) ] = {Y ∈ C ( J, I) : V (2) ≤ Y ≤ W (2) } Ta nói Ymin ∈ [V (2) , W (2) ] nghiệm tối tiểu loại phương trình (2.4) Ymin nghiệm loại Ymin (t) ≤ Y (t), t ∈ J, với Y ∈ [V (2) , W (2) ] nghiệm loại (2.4) Ta định nghĩa Ymax ∈ [V (2) , W (2) ] nghiệm tối Ymax nghiệm loại thỏa bất đẳng thức ngược lại Bổ đề 2.2.1 Cho B( X0 , ρ) = { A : Hσ [ A, X0 ] ≤ ρ}, F ∈ C ( J × B( X0 , ρ) × B(TX0 , ρ), I) Xét dãy {Vn } {Wn } sau t V0 = V, F s, Vn (s), (TVn )(s) ds, Vn+1 = X0 + t0 11 t W0 = W, Wn+1 = X0 F s, Wn (s), (TWn )(s) ds (−1) t0 Khi đó, Vn có đạo hàm loại J = [t0 , t0 + p] Wn có đạo hàm loại [t0 , t0 + d], d ≤ p, với n ∈ N Định lí 2.2.1 Cho F ∈ C ( J × I2 , I), k ∈ C (D , R+ ), F ánh xạ từ tập bị chặn J × I2 vào tập bị chặn I giả sử hai điều kiện sau thỏa (H1) tồn nghiệm loại V (1) nghiệm loại W (1) (2.4) cho V (1) ≤ W (1) , t∈J F (t, X, Y ) không giảm theo X ∈ [V (1) , W (1) ] Y ∈ [TV (1) , TW (1) ] (H2) tồn nghiệm loại V (2) nghiệm loại W (2) (2.4) cho V (2) ≤ W (2) , t∈J hàm F (t, X, Y ) không giảm theo X ∈ [V (2) , W (2) ], Y ∈ [TV (2) , TW (2) ] Khi đó, tồn nghiệm tối tiểu loại 1, nghiệm tối Xmin , Xmax ∈ [V (1) , W (1) ], trường hợp ( H1) ( nghiệm tối tiểu loại 2, nghiệm tối Xmin , Xmax ∈ [V (2) , W (2) ] trường hợp ( H2)) toán (2.4) 2.3 Phương trình vi - tích phân khoảng với chậm 2.3.1 Sự tồn nghiệm địa phương Cho σ > 0, kí hiệu Cσ = C ([−σ, 0], I) Khoảng cách Hσ Cσ định nghĩa Hσ [ X, Y ] = sup H [ X (t), Y (t)] t∈[−σ,0] Cho p > 0, kí hiệu I = [t0 , t0 + p], J = [t0 − σ, t0 ] ∪ I = [t0 − σ, t0 + p] Với t ∈ I, kí hiệu Xt phần tử thuộc Cσ xác định Xt (s) = X (t + s), s ∈ [−σ, 0] Xét toán giá trị ban đầu phương trình vi tích phân khoảng với chậm dạng  t     DgH X (t) = F (t, Xt ) + G (t, s, Xs )ds, t ∈ I,     t0 (2.5) X (t) = ϕ(t − t0 ) = ϕ0 , t ∈ [t0 − σ, t0 ], F : I × Cσ → I, G : D × Cσ → I, ϕ ∈ Cσ DgH X đạo hàm Hukuhara tổng quát hàm X Chúng nghiên cứu tồn nghiệm địa phương nghiệm 12 toàn cục toán (2.5) (Xem [Q1]) 2.3.2 Nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại Định nghĩa 2.3.1 (i) Hàm V (1) : J → I gọi nghiệm loại (2.5)  t   ( 1)  ( )  DgH V (t) ≤ F (t, Vt ) + G (t, s, Vs(1) )ds, t ∈ I     t0 (2.6) V (1) (t) = ξ (t − t0 ) ≤ ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ], V (1) có đạo hàm loại I ξ (t − t0 ) ∈ Cσ Tương tự, hàm W (1) ∈ C1 ([t0 − σ, t0 + p], I) gọi nghiệm loại (2.5) W (1) có đạo hàm loại thỏa bất đẳng thức ngược lại (ii) Hàm W (2) : J → I gọi nghiệm loại (2.5)  t    D W (2) (t) ≥ F (t, W (2) ) + G (t, s, W (2) )ds, t ∈ I,  gH s t     t0 (2.7) W (2) (t) = ψ(t − t0 ) ≥ ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ], W (2) có đạo hàm loại I ξ (t − t0 ) ∈ Cσ Tương tự, hàm V (2) ∈ C1 ([t0 − σ, t0 + p], I) gọi nghiệm loại (2.5) nếu V (2) có đạo hàm loại thỏa bất đẳng thức ngược lại Bổ đề 2.3.1 Cho ϕ(t − t0 ) ∈ Cσ , B( ϕ(0), ρ) = { A : Hσ [ A, ϕ(0)] ≤ ρ} F ∈ C ( I × B( ϕ(0), ρ), I), G ∈ C ( I × I × B( ϕ(0), ρ), I) Xét dãy { Xn } { Xn }   ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ], X0 ( t ) =  ϕ(0), t ∈ I, X n +1 ( t ) =   ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ] ,    t  ϕ (0) +    s F (s, Xs,n ) + t0 G (s, τ, Xτ,n )dτ ds, t0   ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ] X0 ( t ) =  ϕ (0), t ∈ [ t0 , t0 + d ] 13 t ∈ I, X n +1 ( t ) =   ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ] ,    s t  ϕ (0)    G (s, τ, Xτ,n )dτ ds, F (s, Xs,n ) + (−1) t0 t0 Khi đó, Xn có đạo hàm loại J = [t0 , t0 + p] dãy Xn có đạo hàm loại [t0 , t0 + d], d ≤ p, với n ∈ N Định lí 2.3.1 Cho F ∈ C ( I × Cσ , I), G ∈ C (D × Cσ , I) Giả sử F, G ánh xạ từ tập bị chặn I × Cσ tới tập bị chặn I Hơn nữa, giả sử hai điều kiện sau thỏa (H1) tồn V (1) ∈ C1 ([t0 − σ, t0 + p], I) nghiệm loại W (1) ∈ C1 ([t0 − σ, t0 + p], I) nghiệm loại (2.5) thỏa V (1) (t) ≤ W (1) (t), t ∈ [t0 − σ, t0 + p]; (H2) tồn V (2) ∈ C1 ([t0 − σ, t0 + p], I) nghiệm loại W (2) ∈ C1 ([t0 − σ, t0 + p], I) nghiệm loại (2.5) thỏa V (2) (t) ≤ W (2) (t), t ∈ [t0 − σ, t0 + p] Khi đó, tồn nghiệm X ∈ [V (1) , W (1) ] (2.5) trường hợp (H1) Y ∈ [V (2) , W (2) ] (2.5) trường hợp (H2) [t0 , t0 + α], với α ≤ p Định nghĩa 2.3.2 (i) Cho V (1) , W (1) nghiệm loại nghiệm loại (2.5) cho [V (1) , W (1) ] = { X ∈ C ([t0 − σ, t0 + p], I) : V (1) ≤ X ≤ W (1) } Ta nói X ∈ [V (1) , W (1) ] nghiệm tối tiểu loại (2.5) X nghiệm loại X (t) ≤ X (t), t ∈ [t0 − σ, t0 + p], với X ∈ [V (1) , W (1) ] nghiệm loại (2.5) Ta định nghĩa X max ∈ [V (1) , W (1) ] nghiệm tối X max nghiệm loại thỏa bất đẳng thức ngược lại (ii) Cho V (2) , W (2) nghiệm loại nghiệm loại (2.5) cho [V (2) , W (2) ] = {Y ∈ C ([t0 − σ, t0 + p], I) : V (2) ≤ Y ≤ W (2) } Ta nói Ymin ∈ [V (2) , W (2) ] nghiệm tối tiểu loại (2.5) Y nghiệm loại Y (t) ≤ Y (t), t ∈ [t0 − σ, t0 + p], với Y ∈ [V (2) , W (2) ] nghiệm loại (2.5) Ta định nghĩa Y max ∈ [V (2) , W (2) ] nghiệm tối Y max nghiệm loại thỏa bất đẳng thức ngược lại Định lí 2.3.2 Giả sử tất điều kiện Định lí 2.3.1 thỏa Hơn nữa, giả sử Y, Z ∈ C ([t0 − σ, t0 + p], I) cho Y ≤ Z [t0 − σ, t0 + p] thỏa F (t, Yt ) ≤ F (t, Zt ) G (t, s, Yt ) ≤ G (t, s, Zt ) [t0 , t0 + p], Yt = Y (t + τ ), Zt = Z (t + τ ), τ ∈ [−σ, 0] Khi đó, 14 (1) (1) (a) với giả thiết (H1) thỏa, tồn dãy đơn điệu {Vn (t)}, {Wn (t)} ∈ C ([t0 − σ, t0 + p], I) (1) (1) cho {Vn (t)} → X (t), {Wn (t)} → X max (t) X , X max ∈ [V (1) , W (1) ] nghiệm tối tiểu loại nghiệm tối tương ứng (2.5), (2) (2) (b) với giả thiết (H2) thỏa, tồn dãy đơn điệu {Vn (t)}, {Wn (t)} ∈ C ([t0 − σ, t0 + p], I) (2) (2) cho {Vn (t)} → Y (t), {Wn (t)} → Y max (t) Y , Y max ∈ [V (2) , W (2) ] nghiệm tối tiểu loại nghiệm tối tương ứng (2.5) 2.4 Kết luận chương Trong chương trình bày kết tồn nghiệm, nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại, suy nghiệm số mô hình phương trình vi phân không gian mêtric khoảng Cụ thể là: Chứng minh tồn nghiệm địa phương phương pháp xấp xĩ dãy (Mục 2.3.1), chứng minh tồn nghiệm toàn cục Định lí điểm bất động Banach (Mục 2.3.2) phương trình vi - tích phân khoảng với chậm [Xem Q1] Chứng minh tồn nghiệm tối tiểu, nghiệm tối đại phương trình vi phân khoảng (Mục 2.1.2), phương trình vi - tích phân khoảng (Mục 2.2.2) phương trình vi - tích phân khoảng với chậm (Mục 2.3.4, Xem [Q3]) Ở đây, xây dựng thứ tự không gian mêtric khoảng (Mục 1.1.5) sử dụng phương pháp lặp đơn điệu kết hợp phương pháp nghiệm trên, nghiệm tồn nghiệm tối tiểu, nghiệm tối đại Nghiệm tối tiểu tối đại vấn đề mới, sử dụng để chứng minh tồn nghiệm toán giá trị ban đầu dùng để ước lượng khoảng lý thuyết tối ưu Trong phương pháp chứng minh dãy đơn điệu khả vi Hukuhara xếp thứ tự không gian metric khoảng 15 Chương NGHIỆM TỐI TIỂU VÀ NGHIỆM TỐI ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN METRIC HỘP 3.1 Sự tồn nghiệm Xét toán giá trị ban đầu hệ vi phân khoảng   DgH X1 (t) = F1 (t, X1 (t), , Xn (t))        DgH Xn (t) = Fn (t, X1 (t), , Xn (t))     X1 (t0 ) = X1,0 , , Xn (t0 ) = Xn,0 , (3.1) t ∈ J, J = [t0 , t0 + p], p > 0, Xi,0 ∈ I, Fi : R × In → In , DgH Xi đạo hàm Hukuhara tổng quát hàm Xi , ∀i = 1, n Bài toán viết dạng vectơ sau X ( t ) = X0 ∈ I n , DgH X (t) = F (t, X (t)), (3.2) F : J × In → In liên tục X0 ∈ In khác rỗng Định nghĩa 3.1.1 Cho X ∈ C1 ( J, In ), X có đạo hàm loại (tương ứng, đạo hàm loại 2) Nếu X thỏa (3.2) ta nói X nghiệm loại (tương ứng, nghiệm loại 2) (3.2) Cho ρ > B( X0 , ρ) = { X ∈ In : HB [ X, X0 ] ≤ ρ} Xét F : J × B( X0 , ρ) → In g : J × [0, 2ρ] → R+ , ta có kết tồn nghiệm sau Bổ đề 3.1.1 Cho F : J × B( X0 , ρ) → In liên tục Xét dãy { Xn } { Xn } t X0 ( t ) = X0 , F (s, Xn (s))ds, t ∈ [t0 , t0 + p] X n + ( t ) = X0 + t0 16 t X0 ( t ) = X0 , X n + ( t ) = X0 F (s, Xn (s))ds, t ∈ [t0 , t0 + d] (−1) t0 Khi đó, Xn có đạo hàm loại J = [t0 , t0 + p] dãy Xn có đạo hàm loại [t0 , t0 + d], d ≤ p, với n ∈ N Định lí 3.1.1 Giả sử điều kiện sau thỏa (i) F : J × B( X0 , ρ) → In liên tục, (ii) cho g ∈ C ( J × [0, 2ρ], R+ ), g(t, 0) ≡ 0, g(t, u) ≤ M, g(t, u) không giảm theo biến u với ≤ u ≤ ρ du = g(t, u(t)), dt u ( t0 ) = (3.3) có nghiệm u(t) ≡ J, (iii) HB [ F (t, X ), F (t, Y )] ≤ g(t, HB [ X, Y ]), ∀(t, X ), (t, Y ) ∈ J × B( X0 , ρ) Khi đó, dãy t X0 ( t ) = X0 , F (s, Xn (s))ds, t ∈ [t0 , t0 + p] X n + ( t ) = X0 + (3.4) t0 cho trường hợp nghiệm loại t X0 ( t ) = X0 , X n + ( t ) = X0 F (s, Xn (s))ds, t ∈ [t0 , t0 + d] (−1) (3.5) t0 cho trường hợp nghiệm loại (trong d > cho dãy (3.5) xác định, nghĩa Hiệu Hukuhara tồn tại), hội tụ tới nghiệm X (t) (có đạo hàm loại 1) X (t) (có đạo hàm loại 2) (3.2) [t0 , t0 + r ], với r ≤ d 3.2 Nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại Trong phần này, nghiên cứu tồn nghiệm tối đại nghiệm tối tiểu phương trình tích phân dạng t X ( t ) = X0 + F (s, X (s))ds, t0 17 t∈J (3.6) t Y (t) = Y0 F (s, Y (s))ds, (−1) t ∈ J, (3.7) t0 F ∈ C ( J × In , In ) tích phân F tích phân Định nghĩa 1.2.7 Định nghĩa 3.2.1 Cho V (1) , W (1) , V (2) , W (2) ∈ C ( J, In ) F (t, V (1) (t)), F (t, W (1) (t)), F (t, V (2) (t)), F (t, W (2) (t)) khả tích J Ta nói (i) V (1) , W (1) nghiệm loại nghiệm loại tương ứng (3.6) t V (1) ( t ) ≤ X0 + F (s, V (1) (s))ds, t∈J F (s, W (1) (s))ds, t ∈ J, t0 t W (1) ( t ) ≥ X0 + t0 (ii) V (2) , W (2) nghiệm loại nghiệm loại tương ứng (3.7) t V (2) (t) ≤ Y0 (−1) F (s, V (2) (s))ds, t∈J F (s, W (2) (s))ds, t ∈ J, t0 t W (2) (t) ≥ Y0 (−1) t0 Định nghĩa 3.2.2 (i) Cho V (1) , W (1) nghiệm loại nghiệm loại (3.6) cho [V (1) , W (1) ] = { X ∈ C ( J, In ) : V (1) ≤ X ≤ W (1) } Ta nói Xmax ∈ [V (1) , W (1) ] nghiệm tối (3.6) Xmax nghiệm loại Xmax (t) ≥ X (t), t ∈ J, với X ∈ [V (1) , W (1) ] nghiệm loại phương trình (3.6) Tương tự, Xmin ∈ [V (1) , W (1) ] nghiệm tối tiểu loại phương trình (3.6) Xmin nghiệm loại thỏa bất đẳng thức ngược lại (ii) Cho V (2) , W (2) nghiệm loại nghiệm loại (3.7) cho [V (2) , W (2) ] = {Y ∈ C ( J, In ) : V (2) ≤ Y ≤ W (2) } Ta nói Ymax ∈ [V (2) , W (2) ] nghiệm tối 18 (3.7) Ymax nghiệm loại Ymax (t) ≥ Y (t), t ∈ J, với Y ∈ [V (2) , W (2) ] nghiệm loại phương trình (3.7) Tương tự, Ymin ∈ [V (2) , W (2) ] nghiệm tối tiểu loại phương trình (3.7) Ymin nghiệm loại thỏa bất đẳng thức ngược lại Định lí 3.2.1 Giả sử (i) V (1) , W (1) ∈ C ( J, In ) nghiệm loại nghiệm loại phương trình tích phân hộp (3.6) cho V (1) ≤ W (1) , t ∈ J, (ii) F ∈ C ( J × In , In ), F (t, X ) không giảm theo X ∈ [V (1) , W (1) ] với t ∈ J Khi đó, tồn nghiệm tối tiểu loại nghiệm tối Xmin , Xmax ∈ [V (1) , W (1) ] (3.6) Định lí 3.2.2 Giả sử (i) W (2) , V (2) ∈ C ( J, In ) cặp nghiệm loại nghiệm loại phương trình tích phân hộp (3.7) cho V (2) ≤ W (2) , t ∈ J, (ii) F ∈ C ( J × In , In ), F (t, Y ) không giảm theo biến Y ∈ [V (2) , W (2) ] với t ∈ J, (iii) tồn hai dãy t V0 = V (2) , Vn+1 (t) = X0 F (s, Vn (s))ds, t ∈ J (−1) t0 t W0 = W (2) , Wn+1 (t) = X0 F (s, Wn (s))ds, t ∈ J (−1) t0 Khi đó, tồn nghiệm tối nghiệm tối tiểu loại Ymax , Ymin ∈ [V (2) , W (2) ] (3.7) 3.3 Kết luận chương Không gian metric hộp mở rộng không gian metric khoảng mà xây dựng chương (Mục 1.2) Trong không gian chứng minh tồn nghiệm địa phương phương pháp xấp xỉ dãy với điều kiện Lipschitz (Mục 3.1) nghiên cứu tồn nghiệm tối tiểu, nghiệm tối đại phương pháp nghiệm nghiệm kết hợp phương pháp lặp đơn điệu phương trình vi phân hộp (Mục 3.2, [Q2]) 19 KẾT LUẬN Luận án trình bày hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết tối ưu hệ thống khảo sát tồn nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại hệ vi phân mà đối tượng hàm khoảng, hàm hộp a/ Về phương pháp luận: Chúng sử dụng công cụ giải tích cho không gian metric khoảng, metric hộp b/ Về lý thuyết: Chúng tập trung giới thiệu kết liên quan tới luận án: - Sắp xếp thứ tự không gian metric khoảng (Mục 1.2) Xây dựng phép toán giải tích không gian hộp (Mục 1.2) - Đối với lớp phương trình vi phân khoảng: Chúng chứng minh tồn nghiệm phương trình vi - tích phân khoảng với chậm (Mục 2.3.1, [Q1]) Chứng minh tồn nghiệm tối tiểu, nghiệm tối đại cho phương trình vi phân khoảng (Mục 2.1.2), phương trình vi - tích phân khoảng (Mục 2.2.2), phương trình vi - tích phân khoảng với chậm (Mục 2.3.4, [Q3]) - Đối với phương trình vi phân hộp: Chúng chứng minh tồn nghiệm, (Mục 3.1) Chứng minh tồn nghiệm tối tiểu, nghiệm tối đại (Mục 3.2, [Q2]) Hướng phát triển vấn đề cần nghiên cứu - Có thể mở rộng việc khảo sát nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại cho hệ có điều khiển mà tác giả quan tâm (xem [28], [29], [31]) - Khảo sát nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại cho trường hợp tổng quát phương trình vi phân hộp - Khảo sát nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại cho trường hợp tổng quát phương trình vi phân tập (xem [31]) - Ứng dụng phương pháp số để giải nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại 20 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [Q1] Interval valued functional integro differential equations, Advance in Difference Equations 2014, 2014/1/177 [Q2] On the solutions for box differential equations under generalized Hukuhara derivative, Advance in Difference Equations 2014, 2014/1/223 [Q3] Existence of extremal solutions for interval valued functional integro - differential equations, Journal of Intelligent and Fuzzy Systems, 30 (2016), 3495 – 3512 Các báo cáo Hội nghị khoa học [Q4] On the existence of extremal solutions for set differential equation, The Vietnam - Korea workshop Mathematical Optimization Theory and Applications, Dalat City, 8-10-2011 [Q5] The second type Hukuhara differentiable solutions of set differential equations with causal operators Proceedings of 3th conference on Mathematical Analysis and Applications, Thanh Hoa City, May 23-25 th, 2014, pp 260 - 272 21 Tài liệu tham khảo [1] B Ahmad, S Sivasundaram, The monotone iterative technique for impulsive hybrid set valued integro-differential equations, Nonlinear Analysis 65 (2006), 2260 – 2276 [2] G Alefeld, J Herzberger, Introduction to Interval Computation, Academic press, New York, 1983 [3] G Alefeld, G Mayer, Interval analysis: theory and applications, Journal of Computational and Applied Mathematics 121 (2000), 421 - 464 [4] R Alikhani , F Bahrami, Global solutions for nonlinear fuzzy fractional integral and integrodifferential equations, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 18 (2013), 2007 – 2017 [5] Z Artstein, A calculus for set-valued maps and set-valued evolution equations, SetValued Analysis (1995), 213 - 261 [6] T V An, N V Hoa, N D Phu, Global existence of solutions for interval-valued integro - differential equations under generalized H-differentiability, Advances in Difference Equations 2013:217 [7] T V An, N D Phu, N V Hoa, A note on solutions of interval-valued Volterra integral equations, Journal of Integral Equations and Applications 26 (2014), - 14 [8] M Benchohra, S Hamani, The method of upper and lower solutions and impulsive fractional differential inclusions, Nonlinear Analysis: Hybrid Systems (2009), 433–440 [9] Y Chalco-Cano, A Rufián-Lizana, H Román-Flores, M D Jiménez-Gamero, Calculus for interval-valued functions using generalized Hukuhara derivative and applications, Fuzzy Sets and Systems 219 (2013), 49 - 67 [10] F S De Blasi, F Iervolino, Equazioni differenziali soluzioni a valore compatto convesso, Journal of integral equations and applications, Boll Unione Mat Ital (1969), 194 - 501 22 [11] J V Devi, Generalized monotone iterative technique for set differential equations involving causal operators with memory, International Journal of Advances in Engineering Sciences and Applied Mathematics (2011), 74 - 83 [12] N V Hoa, The initial value problem for interval-valued second-order differential equations under generalized H-differentiability, Information Sciences 311 (2015), 119 – 148 [13] M Hukuhara, Inte´gration des applications mesurables dont la valeur est un compact convex, Funkcial Ekvac 10 (1967), 205 - 229 [14] L V Kolev, Interval methods for circuit analysis, World Sciences, Singapore, 1993 [15] G S Ladde, V Lakshmikantham, A.S Vatsala, Monotone iterative techniques for nonlinear differential equation, Pitman 1985 [16] V Lakshmikantham, T G Bhaskar, J V Devi, Theory of set differential equations in metric spaces Cambridge Scientific Publisher, UK, 2006 [17] V Lakshmikantham, , A S Vatsala, General uniqueness and monotone iterative technique for fractional differential equations, Applied Mathematics Letters 21 (2008), 828 – 834 [18] R R Lopez, Monotone method for fuzzy differential equations, Fuzzy Sets and Systems 159 (2008), 2047 – 2076 [19] V Lupulescu, Hukuhara differentiability of interval-valued functions and interval differential equations on time scales, Information sciences 248 (2013), 50 - 67 [20] V Lupulescu, Fractional calculus for interval-valued functions, Fuzzy Sets and Systems 265 (2015), 63 - 85 [21] M T Malinowski Interval differential equations with a second type Hukuhara derivative, Applied Mathematics Letters 24 (2011), 2118 - 2123 [22] M T Malinowski, Second type Hukuhara differentiable solutions to the delay set-valued differential equations, Applied Mathematics and Computation 218 (2012), 9427 9437 [23] M T Malinowski, On set differential equations in Banach spaces- a second type Hukuhara differentiable approach, Applied Mathematics and Computation 219 (2012), 289 - 305 23 [24] S Markov, Calculus for interval functions of a real variable, Computing 22 (1979), 325 - 337 [25] F A McRae, J V Devi, Impulsive set differential equations with delay, Applicable Analysis 84 (2005), 329 - 341 [26] R E Moore, Interval Analysis Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1966 [27] N D Phu, T.V An, N V Hoa, N T Hien, Interval-valued functional differential equations under dissipative conditions, Advances in Difference Equations (2014), 2014:198 [28] N D Phu, L.T Quang, T T Tung, Stability criteria for set control differential equation, Nonlinear Analysis 69 (2008), 3715 – 3721 [29] N D Phu, L.T Quang, T T Tung, Criteria for Boundeness of set solutions for set control differential equations, J Evolution Equations, (2009), 1309 - 1315 In lại trong: Chapter in Book " Evolution Equations - Theories, Solutions and Functions " 2012 Nova Science Publisher, Inc ISBN 978-1- 61234-090-8 [30] Nguyễn Đình Phư, Tổng quan Lý thuyết Hệ thống, NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh, 2003, 216 trang [31] L T Quang, N D Phu, N V Hoa, H Vu, On maximal and minimal solutions for set integro - differential equations with feedback control, Nonlinear Studies 20 (2013), - 18 [32] L Stefanini, B Bede, Generalized Hukuhara differentiability of interval-valued functions and interval differential equations, Nonlinear Analysis 71 (2009), 1311 - 1328 [33] L Stefanini, B Bede, Some notes on generalized Hukuhara differentiability of interval - valued functions and interval differential equations, Working Paper Series in Economics, Mathematics and Statistics, WP-EMS 2012/8, Univ Urbino ”Carlo Bo” 24 ... tối tiểu nghiệm tối đại hệ vi phân tập" , mà cụ thể nghiên cứu tồn nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại lớp phương trình vi phân không gian metric khoảng không gian metric hộp Trong lớp phương trình vi. .. Chương NGHIỆM TỐI TIỂU VÀ NGHIỆM TỐI ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN METRIC KHOẢNG 2.1 Nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại phương trình vi phân khoảng 2.1.1 Sự tồn nghiệm Trong [21], tác giả nghiên cứu tồn nghiệm. .. trình vi phân hộp - Khảo sát nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại cho trường hợp tổng quát phương trình vi phân tập (xem [31]) - Ứng dụng phương pháp số để giải nghiệm tối tiểu nghiệm tối đại 20 DANH