Lý thuyết bậc brouwer luận văn toán học

p TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN           ĐÀO THỊ TĨNH   LÝ THUYẾT BẬC BROUWER     KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích   Người hướng dẫn khoa học TS BÙI KIÊN CƯỜNG HÀ NỘI - 2014 Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội LỜI CẢM ƠN   Trước  khi  trình  bày  nội  dung  chính  của  khóa  luận,  em  xin  bày  tỏ  lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người đã tận tình hướng  dẫn để em có thể hồn thành khóa luận này.  Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ  giáo trong khoa Tốn, trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em  tận tình trong suốt q trình học tập tại khoa.  Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia  đình,  bạn bè đã  ln  bên em,  cổ  vũ,  động  viên,  giúp đỡ  em  trong  suốt  q trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.  Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Đào Thị Tĩnh GV: TS Bùi Kiên Cường    Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan rằng đây là cơng trình nghiên cứu của tơi với sự  hỗ trợ từ Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Các nội dung trong đề tài này khơng  trùng với đề tài nào trước đây.  Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào, tơi xin hồn tồn chịu trách  nhiệm trước Hội đồng cũng như kết quả khóa luận của mình   Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Đào Thị Tĩnh   GV: TS Bùi Kiên Cường    Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội MỤC LỤC   MỞ ĐẦU  . 1  Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ   2  1.1. Hàm số liên tục và khả vi nhiều biến số  . 2  1.2. Tích phân Cauchy   5  1.3.  Hàm có dao động trung bình triệt tiêu VMO  . 8  1.4.  Không gian Sobolev W m, p      . 8  Chương 2. LÝ THUYẾT BẬC BROUWER   10  2.1.  Đặt vấn đề  . 10  2.2.  Sự xây dựng bậc Brouwer  . 12  2.3.  Định lý bậc với hàm trong VMO  . 29  2.4.  Ứng dụng vào phương trình vi phân thường (ODE)   35  KẾT LUẬN   40  TÀI LIỆU THAM KHẢO   41    GV: TS Bùi Kiên Cường    Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bậc Brouwer là một khái niệm mới đề cập đến bậc của ánh xạ trong  không  gian  hữu  hạn  chiều  cùng  định  lý  Brouwer  về  điểm  bất  động  và  định lý Borsuk. Khái niệm bậc Brouwer cùng các kết quả kèm theo dùng  để nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của phương trình phi tuyến.  Với  mong  muốn tìm hiểu sâu về  bậc  Brouwer  cùng  các  ứng  dụng  của nó và được sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tơi lựa chọn  đề tài “Lý thuyết bậc Brouwer” để làm khóa luận tốt nghiệp.  Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bậc của các hàm nhiều biến, định lý điểm bất động, bậc  của ánh xạ, bậc của các hàm VMO.  Nghiên cứu một vài ứng dụng của bậc Brouwer.  Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên  cứu  bậc  của  hàm  nhiều  biến,  bậc  của  ánh  xạ,  bậc  của các  hàm BMO,VMO và ứng dụng của nó.  Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu vào các hàm xác định trên tập     n   Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết.  Phân tích, đánh giá, tổng hợp kết quả.  Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo đề tài gồm 2 chương:  Chương 1:  Một số kiến thức chuẩn bị.  Chương 2:  Lý thuyết bậc Brouwer.  Dự kiến đóng góp Khóa luận là bài viết tổng quan về lĩnh vực lý thuyết bậc Brouwer.  GV: TS Bùi Kiên Cường  1  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm số liên tục khả vi nhiều biến số Chúng  ta  bắt  đầu  với  định  lý  giá trị trung  gian  phụ của  Bolzano  sau đây:  Định lý 1.1.1. Cho f :  a, b   hàm liên tục, với m nằm f  a  f  b  , tồn x0   a, b  để f  x0   m   f :  a, b    hàm liên tục thỏa mãn Hệ 1.1.2.  Cho f  a  f  b      0 Khi đó, tồn x0   a, b  để f  x0   Hệ 1.1.3.  Cho f :  a, b    a, b  hàm liên tục Khi đó, tồn x0   a, b  để f  x0   x0 Cho     n  là  một  tập  con  mở.  Chúng  ta  nhớ  lại  rằng  một  hàm  f :    n  là khả vi tại  x0    nếu có một ma trận  f   x0   để:  f  x0  h      f  x0      f   x0  h     o  h  ,  trong đó  x0  h    và  o h h  tiến đến   khi  h    Chúng  ta  kí  hiệu  C k     là khơng gian  các  hàm  liên  tục khả  vi  k   lần.  Nếu  f  khả  vi  tại  x0  thì  ta  gọi  J f  x0   det f   x0   là  định  thức  Jacôbi  của  f  tại  x0   Nếu  J f  x0    thì  x0  được  gọi  là  điểm  tới  hạn  của  f  và kí hiệu  S f        { x   :  J f  x      0}  là tập những điểm tới  hạn của  f  trong     Nếu  f 1  y      S f         thì  y  được gọi là giá  trị chính quy của  f  Trái lại,  y  được gọi là giá trị kỳ dị của  f   GV: TS Bùi Kiên Cường  2  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Bổ đề 1.1.4. (Bổ đề Sard’s) Cho    n tập mở f  C1    Khi    đó, n f S f     , n độ đo Lebesgue.   Chứng minh:   Do    mở  nên     Qi ,  trong  đó  Qi  là  các  hình  i 1 lập  phương  với  i     1, 2,  Chúng  ta  chỉ  cần  chỉ  ra  rằng    n f  S f       với một hình lập phương  Q     Thật vậy, gọi  l  là diện tích xung quanh của  Q  Do  f   liên tục đều  trên  Q  nên  với     bất  kì  cho  trước,  tồn  tại  số  nguyên  m   để  f   x    –  f   y     với  x, y  Q với  x  y  n l  Do đó, chúng ta có:  m f  x   f  y   f   y   x  y    f   y  t  x  y    f  y  x  y dt   x  y   với  x, y  Q ,  x  y  phương,  Qi ,  cạnh  n l   Chúng  ta  phân  tích  Q  thành  r  hình  lập  m n l l ,  i     1,2,, r   Do   là  diện  tích  xung  quanh  m m của  Qi  nên  chúng  ta  có  r     mn   Bây  giờ,  giả  sử  rằng  Qi  S f         Chọn  y  Qi  S f    , chúng ta có:  f  x  y   f  y   f   y  x  R ( y , x )   với mọi  x  Qi –  y , trong đó  R  y, x  y    n l   m Do đó, chúng ta có:        f Qi     f  y      f   y  Qi –  y     R y, Qi   GV: TS Bùi Kiên Cường  3  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội   Mặt  khác,  f   y      0  nên  f   y  Qi –  y  được  chứa  trong  một    không gian con   n    1  chiều của   n  Do đó,  n f   y  Qi –  y    n f Q Vì vậy, chúng ta có:     i n n n  2   l  m     0   n   r Hiển nhiên,  f S f  Q    f (Qi )  vì vậy, ta có:  i 1   n f  S f Q   n n n n   r.2   l   n n  m   nl  n   Bằng cách cho       0 , ta thu được  n f S f  Q      0  Do đó,       n f  S f         0  Ta có điều phải chứng minh.  Mệnh đề 1.1.5.  Cho K   n tập đóng bị chặn f   :  K      n liên tục Khi đó, tồn hàm liên tục f :   n  convf ( K ) để f  x      f  x  với x  K , convf  K  bao lồi f  K    Chứng minh: Vì  K  là tập con đóng bị chặn nên tồn tại đếm được  các giá trị  ki :  i     1,2,  K  để  ki : i  1,2,   K   x  ki   ,0   với  x  K   Đặt  d  x, K   inf x  y , i  x   max 2  yK d  x, K    bất kì và:  f ( x), x  K    2i. i  x  f  ki    f  x    i 1 , x  K  2i. i  x   i 1 Khi đó  f  là hàm cần tìm.  GV: TS Bùi Kiên Cường  4  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Mệnh đề 1.1.6.  Cho K   n tập đóng bị chặn   f   :  K      n liên tục Khi đó, tồn hàm g  C   n để f  x  g  x   Chứng minh:  Theo  Mệnh  đề  1.1.5,  tồn  tại  hàm  số  f  liên  tục mở  rộng của  f  tới   n  Định nghĩa hàm số sau đây:  1   1 x   x   c.e , x  1   0, x   (1.1.1)  x trong đó,  c  thỏa  mãn     x dx    Đặt     x     n     với  mọi    n x   n  và  f   x    f  y .   y  x  dx  với mọi  x   n ,      n   Hiển  nhiên,  sup f   x   n : f   x     x : x     với      Do  đó,  ta  có  f   C   và  f   x   hội  tụ  đều  đến  f  x   trên  K  khi    0   Lấy  g  và  f   khi    đủ  nhỏ  thì  g  là  hàm  cần  tìm.  Mệnh  đề  được chứng minh.  1.2 Tích phân Cauchy Định lí 1.2.1.  Giả sử f hàm chỉnh hình  z0   Khi với chu tuyến γ  Ω γ  Ω ta có cơng thức tích phân Cauchy:  f  z0   f   d     2 i    z0 (1.2.1)  Tích phân bên vế phải được gọi là tích phân Cauchy của hàm  f   Ý nghĩa: Cơng thức này cho phép ta tính được giá trị của hàm  f  trong  miền    khi biết giá trị của nó trên biên.  GV: TS Bùi Kiên Cường  5  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Nếu  thêm  f  liên  tục  trên    và  Ω  là  một  chu  tuyến,  thì  với  mọi  z    ta có:  f   d     2 i    z f z  (1.2.2)  Giả  sử    là  đường  cong  Jordan  trơn  từng  khúc,  f    là  hàm  liên  tục trên    Với mọi  z   \  , hàm:  f     z     liên tục trên    Do đó, nếu đặt:  F z  f   d    2 i    z  (1.2.3)   Ta nhận được hàm  F  xác định trên   \    Hàm  F  z  được gọi là tích phân loại Cauchy.  Định lí 1.2.2. Giả sử f   hàm liên tục đường cong Jordan trơn khúc  Khi đó, tích phân (1.2.3) hàm chỉnh hình  \  Hơn nữa,  \  hàm F  z  có đạo hàm cấp, chúng cho công thức:  f   n! n F  z  d , n  0,1, ,   2 i    z n 1 (1.2.4)   Ở định nghĩa quy nạp n n 1  F   z  F   z     Với F    z   F  z    Định lí sau đây là  hệ  quả trực tiếp của Định lí  1.2.2  và cơng thức  tích phân Cauchy.  GV: TS Bùi Kiên Cường  6  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội t x x  do f  là  ánh  xạ  một  đối  một    và  x  ,  đây  là  một  sự  1 t 1 t mâu thuẫn. Do đó, ta có:  deg  f , Br   ,0   deg  h 1,. , Br   ,0       Do  h 1,.   là lẻ. Chọn  t   0  để t  inf f  x  : x Br   Khi đó: deg  f , Br   , y   deg  f , Br   ,0    Bây giờ, ta có  Bt  f  Br     và   f  là mở. Định lí đã được chứng  minh.  Định lí 2.2.17  Cho   tập mở, bị chặn đối xứng Nếu Ai   k đóng, Ai    Ai    với i  1,2, , k  Ai   k  n    i 1 Chứng minh:  Giả  sử  ngược  lại,  k  n   Đặt  fi  x    trên  Ai ,  fi  x   1  trên   Ai  với  i  1,2, , k  , fi  x    trên    với  i  k , , n   và  f  f1, f , , f n   Giả  sử  f  liên  tục  trên   , khi  đó  f   x    f  x    trên    với  mọi      Trái  lại,  f   x0    f  x0   với     và  x0    Bây  giờ,  với     thì  f  x    trên     Cũng  có  x0  Ai    Ai   với  i  k   do  fi   x    fi  x      Vì  vậy,  x0  Ak ,  cũng có  x0   Ak  vì vậy   x0  Ai  với  i  k   vì vậy  x0   Ai , điều này  mâu  thuẫn.  Do  đó,  f   x    f  x   trên    với  mọi      Vì  vậy,  ta  có:  deg  f , ,0   ,  f  x    với một số  x  ,  điều này mâu thuẫn với  f n  x   1 trên    Định lí được chứng minh.  GV: TS Bùi Kiên Cường  27  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Tiếp theo, ta chứng minh một số biến thiên là một trường hợp đặc  biệt của bậc Brouwer.  Định lí 2.2.18 Cho B  0,1   hình cầu đơn vị,   B  0,1   f : B 0,1   C1 hàm Giả sử a  f    Khi đó: deg  f , B  0,1 , a   1 dz    2 i f    z  a (2.2.5)  Chứng minh:  Chỉ  cần  chứng  minh  (2.2.5)  trong  trường  hợp  a  f S f  Cho   f 1  a    z1, z2 , , zk   Khi đó, ta cần chỉ ra:    k 1 dz  sgnJ f  zi        2 i f    z  a i 1 Lấy     đủ  nhỏ  để  các  Vi (2.2.6)   rời  nhau,  trong  đó  Vi  B  zi ,   , sgnJ f  zi   với  z Vi ,  Vi  B  0,1  và hạn chế của  f  trên  Vi  là một phép đồng phôi với  i  1,2,, k  Đặt  Si  Vi , khi đó  f  Si   là  một  đường  cong  Jordan  để  a  nằm  trong  phần  trong  của  nó,  f  Si   có  cùng sự định hướng với  Si  nếu  J f  zi    và ngược hướng với  Si  nếu  J f  zi     k Bây  giờ,  đặt  u  B  0,1 \  Vi   Khi  đó  f  z   a    trong  đó  u   i 1 với      Ta  có  thể  chia  u thành  những  hình  chữ  nhật  nhỏ  R j  để   f  z   f      trên  mỗi  R j   Do  ảnh  f  R j  V      không  quay   quanh  a ,  chúng  ta  có     f  R j  V , a   và  lấy  tổng  trên  tất  cả  các  R j  thu được :  GV: TS Bùi Kiên Cường  28  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội k 1 dz    dz   i 1 f  Si  z  a f   z  a  Do  sự  định  hướng  của  f  Si   được  quyết  định  bởi  J f  zi  ,  nên  f  Si   xác định quanh  a  Do đó, ta có:  dz  sgn J f  zi    f  Si  z  a  Vì vậy (2.2.5) đúng . Định lí này được chứng minh.  Chú ý: Cơng thức (2.2.5) cũng đúng nếu  f   liên tục trên  B  0,1   Định lí 2.2.19.  Cho B  0,1   hình cầu đơn vị,   B  0,1  f  z    an zn : B  0,1   với  nan an   Giả sử f      Khi n 1 n 0  đó,  nan an số nguyên khơng âm.  n 1 Chứng minh:  Do  0   theo Định lí 2.2.18, ta có:  deg  f , B  0,1 ,0   1 dz    2 i f    z Và:   f  z  1 1  dz  dz  f z f z dz  nan an           2 i f    z 2 i  f  z  2 i  n 1 Do đó, kết luận trên là đúng. Định lí được chứng minh.  2.3 Định lý bậc với hàm VMO Cho     n  là một tập con mở bị chặn và  f :    n  là một hàm  đo được để   f  x  dx    Với mọi hình cầu  Br  x    , ta định nghĩa   Ar f  x   là giá trị trung bình của  f  như sau:  GV: TS Bùi Kiên Cường  29  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Ar f  x    f  y  dy   m  Br  x   Br  x  Bổ đề 2.3.1 Ar f  x  liên tục r với x đo theo x với r Chứng minh:  Do  m  Br  x    r n m  B  0,1   và  m  Br  x    ,  ta  có   B  x   y    B  x   y   hầu  khắp  nơi  khi  r  s ,  trong  đó  r s    y    nếu    y    và     y    nếu  y     Theo  định  lí  hội  tụ  bị  trội của Lebesgue, ta biết rằng  Ar f  x   là liên tục trong  r  Ta cũng có:  Ar f  x   r  n m  B  0,1    1   Br  x  y  f  y  dy     B  x  y   đo được, vì vậy tính đo được của  Ar f  x   được suy ra từ định  r lí Fubini. Định  lí đã được chứng minh.  Bổ đề 2.3.2.  Cho  tập hợp hình cầu mở  n U   B Nếu  C  m U  tồn hình cầu rời B k B1, B2 , , Bk   để  m Bi  3 n C   i 1 Chứng minh:  Do  C  m  u  ,  nên  tồn  tại  một  tập  compact  k  U   với  m  k   C  và  những  hữu  hạn  cầu  trong    gọi  là  A1, A2 , , Am , phủ  k  Cho  Bi  là hình cầu lớn nhất của  Ai  (có nghĩa là chọn  Bi là hình cầu  có  bán  kính  lớn  nhất),  B2 là  hình  cầu  lớn  nhất  của  các  Ai  còn  lại  mà  khơng giao  nhau  với  Bi ,  làm  tiếp  q  trình  này  đến  tận  khi  dãy  Ai   bị  vét  cạn.  Nếu  A j  khơng  là  một  trong  những  Bi  thì  tồn  tại  i  để  A j  Bi    và bán kính của  A j  lớn nhất trong các  Bi  Do đó, A j  Bi* ,  GV: TS Bùi Kiên Cường  30  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội trong đó  Bi*  là hình cầu đồng tâm với  Bi  mà bán kính của nó gấp 3 lần  bán kính của  Bi  Nhưng  K   Bi*  nên:  i   C  m  k    m Bi*  3n  m  Bi  i i Việc chứng minh đã hoàn thành.  Tiếp  theo,  nếu  f  L1    ,  ta  định  nghĩa  hàm  cực  đại  Hardy  Littlewood  H f  bởi:   f  y  dy   r 0 m  Br  x   Br  x  H f  x   sup Ar f  x   sup r 0 Định lí 2.3.3.  Có số   để với f  L1      thì:  m x : H f  x       f  x  dx      Chứng minh:  Cho    x : H f  x      Với  mỗi  x   ,  ta  có  thể  chọn  rx   để  Arx f  x      Những  hình  cầu  Brx  x   phủ    và  vì vậy, theo Bổ đề 2.3.2, nếu  c  m  E   thì tồn tại  x1, x2 , , xk  E  để  k Bi  Brx  xi   rời nhau và   m  Bi   3 n c  Nhưng:  i i 1 k c  3n  m  Bi   i 1 3n k 3n   f  y  dy   f  y  dy    i 1 Bi   Bằng  cách  cho  c  m  E  ,  ta  thu  được  kết  quả  cần  tìm.  Định  lí  được chứng minh.  Định lí 2.3.4.    Nếu f  L1    lim Ar f  x   f  x  với hầu hết r 0 x GV: TS Bùi Kiên Cường  31  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Chứng minh: Với    bất kì, tồn tại hàm g liên tục để:   f  x   g  x  dx      Từ tính liên tục của  g suy ra với mọi  x    và    , tồn tại  r    để  g  y   g  x     khi  y  x  r  và do đó:  Ar g  x   g  x      Do đó,  Ar g  x   g  x   khi  r   với mọi  x   , vì vậy ta có:  lim sup Ar f  x   f  x   r 0  lim sup Ar  f  g  x    Ar g  x   g  x     g  f  x    r 0  H  f  g  x   f  x   g  x  Do đó, nếu:      E  x : lim sup Ar  f  g  x    ,  F  x : f  x   g  x      r 0 thì ta có:    E  F   x : H  f  g  x      2  Tuy  nhiên,   m  F    f  x   g  x  dx    vì  vậy  theo  Định  lí  F 2.3.3, ta có:  m  E   2   2    Bằng  cách  cho    , ta  nhận  được  m  E    với      Định  lí được chứng minh.  Mệnh đề 2.3.5 Nếu f . W 1,n f VMO Chứng minh: Theo bất đẳng thức Poincare’, ta có:  GV: TS Bùi Kiên Cường  32  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer  f  y  Br Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 1 f x dx dy  c m B n  f  x  dx        m  Br  Br Br Theo bất đẳng thức Hölder, ta suy diễn được rằng:  n  1  f  y   f  x   c   f  x  dx    m  Br  Br m  Br  Br   Do đó, kết luận là đúng.  Nhớ  lại  rằng,  với   s  ,  p   ,  không  gian  Sobolev  W s, p     bậc phân số được đặc trưng bởi:  W s, p p   f  x  f  y   p           f    L    ,   n  sp x y    Mệnh đề 2.3.6  Nếu sp  n , W s, p     VMO   Chứng minh: Hiển nhiên ta có:    f  x   f  y  dxdy    BB BB f  x  f  y x n s y  p   c  m  B  x n s y  p  dxdy  1 f  x  f  y  p n   dxdy n BB  s x  y  p    Với hằng số  c  , theo bất đẳng thức Hölder, ta suy ra:  p s f  x  f  y   2 dxdy  cm  B  p n dxdy   p     n  sp n x  y BB B B  s x  y  p  f  x  f  y Do đó, khi sp  n  thì: GV: TS Bùi Kiên Cường  33  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội p   f  x  f  y  f x  f  y  dxdy  c   dxdy        n  sp B B x  y  m B B B   Định lí đã được chứng minh.  Bổ đề 2.3.7  Cho B  0,1 hình cầu đơn vị  n1 , S n  B  0,1   f  L1 S n , S n cho f VMO Khi đó: Ar f  x    f  y  dy m  Br  x   Br  x  liên tục với r  đủ nhỏ lim Ar f  x   S n r 0 Chứng minh: Từ tính liên tục của  Ar f  x    bảo đảm cho  f VMO   Để chứng minh tính hội tụ đều của  Ar f  x   trên  S n , ta đặt:  r  x    m  Br  x   Br  x  Br  x  f  y   f  z  dydz   Khi đó,    r  x   hội tụ đều đến 0 khi  r   trên   S n  và ta có:    r  x   Ar f  x     Do đó, Ar f  x   hội tụ đều đến 1 trên   S n  khi  r   Định lí được  chứng minh.    Bây  giờ,  giả  sử  rằng  f  L1 S n , S n  và  f VMO   Theo  Bổ  đề  2.3.5,  tồn  tại  r0   để  Ar f  x    với  mọi  x  S n  và   r  r0   Cho  ~ Ar f  x   là một mở rộng liên tục của  Ar f  x   trong  B  0,1  Khi đó, bậc  Brouwer  deg A r f , B  0,1 ,0  được định nghĩa với  r   0, r0   Nó khơng    phụ  thuộc  vào  mở  rộng  Ar f   Quan  tâm  đến  sự  đồng  luân  GV: TS Bùi Kiên Cường  34  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội  Atr  1  t  r2 f t0,1  với  mọi  r1, r2   0, r0    Từ  Bổ  đề  2.3.7  suy  ra  rằng  Atr1  1  t  r2 f  x    với  mọi   t , x    0,1  S n  và  do  đó  deg A r f , B  0,1 ,0  không  phụ  thuộc  vào  r   0, r0    Bây  giờ,  ta  định    nghĩa bậc tôpô bởi:  deg f , S n  lim deg Ar f , B  0,1 ,0   r 0     Mệnh đề 2.3.8 Ta có:   lim deg Ar f , B  0,1 ,0  lim deg   r 0 r 0     Ar f , B  0,1 ,0  A f  r  Ar f  x  Chứng minh:  Chú  ý  tính  đồng  luân  H r  t , x     1  t   Ar f  x  với  mọi   t , x    0,1  B  0,1   Theo  Bổ  đề  2.3.7,  ta  biết  rằng   H r  t , x    với  mọi   t , x    0,1  S n  với  r  đủ  nhỏ,  vì  vậy  kết  luận  được suy ra từ  Định lí 2.2.6.  2.4 Ứng dụng vào phương trình vi phân thường (ODE) Trong phần này, tơi trình bày một vài ứng dụng của những kết quả  phần 2.2 đối với bài tốn tuần hồn và khơng tuần hồn của phương trình  vi phân thường trong   n   Định lí 2.4.1.  Cho f :    n   n hàm liên tục f  t  T , x   f  t , x  với  t , x      n Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (1) Tồn r  để  f  t , x  , x   với t   0, T  x  r (2) Với x   n , tồn rx  0, Lx  để: GV: TS Bùi Kiên Cường  35  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội f  t , y   f  t , z   Lx y  z với t  ; y, z  B  x, rx  Khi tốn sau:  x  t   f  t , x  t   , t   0,     x    x T  (E.2.4.1) có nghiệm Chứng minh: Với mỗi  x0  B  0, r  , theo định lí Peano, bài tốn giá  trị ban đầu:   x  t   f  t , x  t   , t   0, t0         x  x    (E.2.4.2)  có một nghiệm với  t0   Nếu (E.2.4.2) có 2 nghiệm  x . , y .  thì:  d x  t   y  t    x  t   y  t  , x  t   y  t    Lx0 x  t   y  t      (2.4.1)  dt Với   t1   0, t0   nào đó và  t   0, t1   Từ (2.4.1), ta nhận được :  x t   y t    Lx t x    y    với mọi  t   0, t1  ,  Vậy  x  t   y  t   với  mọi  t   0, t1    Do  đó,  x  t   y  t   với  mọi  t   0, t0   Vậy nghiệm của (E 2.4.2) là duy nhất.  Nếu  x  t   r  thì:  d x  t    x  t  , x  t    f  t , x  t   , x  t     dt   Do đó  x  t   nằm trong  B  0, r   với mọi  t   0, t0   vì vậy  x  t   có thể  mở rộng lên   0,    và  x  t   B  0, r   với  t   0,     Bây giờ, ta định nghĩa ánh xạ  S : B  0, r   B  0, r   như sau:  Sy  x  y, T   với mọi  y  B  0, r    trong đó,  x  y, t    là nghiệm duy nhất của (E 2.4.2) với giá trị ban đầu  y   GV: TS Bùi Kiên Cường  36  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Hơn nữa, sử dụng (2.4.1), ta có thể dễ dàng chứng minh  S  liên tục.  Do  đó,  theo  định  lí  điểm  bất  động  Brouwer,  S  có  một  điểm  bất  động  trong  B  0, r  , nghĩa là (E 2.4.1) có nghiệm. Định lí được chứng minh.  Định lí 2.4.2. Cho G :  n   hàm chẵn khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz G , f :    n hàm liên tục để f  t  T    f  t  với t   , tốn sau:  x  t   Gx  t   f  t  , t           x t  T   x t , t         (E 2.4.3)  có nghiệm Chứng minh: Đầu tiên, nếu  x  t   là một nghiệm của (E 2.4.3) thì:  x  t    Gx  t  , x  t     f  t  , x  t    với mọi  t   Lấy tích phân trên  0, T   và chú ý rằng:  T   Gx  t  , x  t   dt  ,  Ta có:  T T  x  t  dt    f  t  , x  t   dt   0 Do đó:  T    x  t  dt  0  t T t T     f  t  dt  0     Ngoài ra,  x  t    x  s  ds   x  s  ds , do đó, ta có:   T T max x  t     f  t  dt  t 0,T  0  GV: TS Bùi Kiên Cường  37   M   Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Ta  lấy  một  hàm  chẵn,  khả  vi  liên  tục    thỏa  mãn    x    với  x  M  và    x    với  x  2M   Xét bài toán sau:   2    x  t   x  t       x  t   , G  x  t    x  t     f  t  , t        (E 2.4.4)     n x 0  y   Do    là bị chặn đều, chúng ta có, với mỗi nghiệm  x  t   của (E 2.4.4),  2 d x t   x t   2L x t   f t  x t    dt   với  hằng  số  L   nào  đó.  Do  đó,  nếu  tồn  tại  một  số  N   sao  cho  x    N , thì  x T   N   Bây  giờ,  ta  định  nghĩa  ánh  xạ  S :  n   n  mà  Sy   x T  ,  trong  đó  x .  là nghiệm duy nhất của (E 2.4.4) với  x    y   Hiển nhiên, là S liên tục vì vậy theo định lí điểm bất động Brouwer,  Định  lí  2.2.7,  tồn  tại  y   n  để  Sy  y , , x T    y   Do  đó,  x  t   M   với mọi  t    Từ đó, ta có:  2       x  t   G  x  t    x  t     Gx  t   x  t       Vì vậy,  x .  là một nghiệm của (E 2.4.3). Định lí được chứng minh.  Hệ 2.4.3  Cho A ma trận đối xứng n  n f :    n hàm liên tục để f  t  T    f  t  với t   Khi đó, tốn sau:  x  t   Ax  t   f  t  , t               x  t  T    x  t  , t   GV: TS Bùi Kiên Cường  38   (E 2.4.5)  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội có nghiệm Chứng minh: Do A là đối xứng, đặt  Gu   Au, u   với  u   n  và  khi đó  A  G , từ Định lí 2.4.2 suy ra kết luận trên.  Ví dụ 2.4.4.  Hệ phương trình sau:   x   t   x  t    x  t   sin t , t         x2  t    x1  t   3x2  t   sin t , t     x1  t      x1  t  , x2  t      x2  t  , t   (E 2.4.6)  có một nghiệm, trong đó      là một hằng số. Thật vậy, đặt:   A    sin t     x1  f t  ,  ,  x        x  3   2  sin t  Do A đối xứng nên từ Hệ quả 2.4.3 suy ra kết luận.  GV: TS Bùi Kiên Cường  39  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội KẾT LUẬN   Khóa luận đã đạt được những mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đề  ra. Đó là nghiên cứu bậc của các hàm nhiều biến, định lí điểm bất động,  bậc  của  ánh  xạ,  bậc  của  các  hàm  VMO  và  một  vài  ứng  dụng  của  bậc  Brouwer.  Khóa luận là  một tài liệu tổng quan ban đầu đối với lý thuyết bậc  Brouwer  và  một  số  ứng  dụng  trong  lý  thuyết  phương  trình  vi  phân,  khơng gian hàm BMO, VMO.  GV: TS Bùi Kiên Cường  40  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập 2, Nxb Giáo dục, Hà Nội.  2. Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia  Hà nội.  3. Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Hàm biến phức, Nxb Đại học  Quốc gia Hà nội.  Tiếng Anh 4.  Donal  O’Regan,  Yeol  Je  Cho,  Yu-Qing  Chen  (2006),  Topological degree theory and applications, Chapman & Hall/CRC, London.                                GV: TS Bùi Kiên Cường  41  Đào Thị Tĩnh – K36C  ... Chương 2:  Lý thuyết bậc Brouwer.   Dự kiến đóng góp Khóa luận là bài viết tổng quan về lĩnh vực lý thuyết bậc Brouwer.   GV: TS Bùi Kiên Cường  1  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học. ..  35  KẾT LUẬN   40  TÀI LIỆU THAM KHẢO   41    GV: TS Bùi Kiên Cường    Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bậc Brouwer là một khái niệm mới đề cập đến bậc của ánh xạ trong ... với chuẩn (1.4.1)  được gọi là không gian Sobolev.    GV: TS Bùi Kiên Cường  9  Đào Thị Tĩnh – K36C  Lý thuyết bậc Brouwer Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Chương LÝ THUYẾT BẬC BROUWER 2.1 Đặt vấn đề Cho    là tập hợp các số thực,   n