Không gian tựa chuẩn luận văn toán học

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌCTOÁN SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA KHOA TOÁN  - BÙI HẢI YẾN BÙI HẢI YẾN KHÔNG KHÔNGGIAN GIANTỰA TỰACHUẨN CHUẨN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội – 2014 Hà Nội – 2014 TRƢỜNG ĐẠIĐẠI HỌCHỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 TRƢỜNG SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN KHOA TOÁN  - BÙI BÙI HẢI HẢI YẾNYẾN KHƠNG GIAN TỰA CHUẨN KHƠNG GIAN TỰA CHUẨN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: GiảiGiải tíchtích Chuyên ngành: Ngƣời hƣớng dẫn dẫn khoakhoa học học Ngƣời hƣớng TS BÙI KIÊN CƢỜNG TS BÙI KIÊN CƢỜNG Hà Nội – 2014 Hà Nội – 2014 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ để em hồn thành khóa luận Trong q trình học tập, đặc biệt suốt q trình làm khóa luận em nhận dạy dỗ ân cần động viên, bảo, tạo điều kiện thầy cô tham gia giảng dạy, công tác trường Đại học Sư phạm Hà Nội Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo tổ Giải tích, khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo giảng dạy khóa học Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Bùi Hải Yến LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn thầy TS Bùi Kiên Cường, khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành Toán với đề tài “Khơng gian tựa chuẩn” hồn thành nhận thức thân, không trùng với khóa luận khác Trong q trình nghiên cứu, thực khóa luận, em thừa kế thành tựu nhà khoa học với lòng chân trọng biết ơn Một số kết em đưa dựa thành tựu Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Bùi Hải Yến MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm chuẩn không gian định chuẩn 1.2 Tốn tử tuyến tính 1.3 Một số nguyên lý 11 Chương 2: Không gian tựa chuẩn 13 2.1 Khái niệm tựa chuẩn p - chuẩn 13 2.2 Toán tử tuyến tính 18 2.3 Các nguyên lý lý thuyết tốn tử khơng gian tựa chuẩn 21 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong Toán học nói chung Giải tích tốn học nói riêng, việc mở rộng khái niệm vô cần thiết Điều không giúp hiểu sâu khái niệm cũ mà tiếp thu khái niệm mới, mở hướng nghiên cứu mới.Và nhắc đến Giải tích tốn học ta khơng thể khơng nhớ đến khái niệm chuẩn tính chất ứng dụng quan trọng Để mở rộng khái niệm này, em xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Không gian tựa chuẩn” với hướng dẫn Tiến sĩ Bùi Kiên Cƣờng Đề tài nghiên cứu có nhiều ứng dụng Giải tích Tốn học nói chung Mục đích nghiên cứu Mở rộng khái niệm chuẩn tính chất, tốn tử tuyến tính khơng gian tựa chuẩn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm tựa chuẩn, tính chất, tốn tử tuyến tính khơng gian tựa chuẩn Đối tƣợng nghiên cứu Không gian tựa chuẩn Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Phương pháp nghiên cứu không gian hàm giải tích hàm Đóng góp khóa luận Khóa luận tổng quan không gian tựa chuẩn Qua khóa luận này, số khái niệm liên quan đến tựa chuẩn, nguyên lý lý thuyết tốn tử khơng gian tựa chuẩn trình bày cách có hệ thống tương đối đầy đủ Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tác giả hệ thống lại số kiến thức chuẩn bị cho không gian tựa chuẩn Chương 2: Không gian tựa chuẩn 2.1 Khái niệm tựa chuẩn p - chuẩn 2.2 Tốn tử tuyến tính 2.3 Một số ngun lý lý thuyết tốn tử khơng gian tựa chuẩn Do thời gian nghiên cứu có hạn khả thân hạn chế nên khóa luận dừng lại việc tìm hiểu, trình bày nội dung theo chủ đề đặt Trong q trình viết khóa luận q trình xử lý văn bản, khóa luận khơng tránh thiếu sót định Vì em mong góp ý q thầy bạn đọc để khóa luận hồn thiện Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích Chương hệ thống hóa số tính chất không gian định chuẩn, làm để so sánh với khái niệm tính chất khơng gian tựa chuẩn Chương 1.1 Khái niệm chuẩn không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Ta gọi khơng gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường P ( P  P ) với ánh xạ từ X vào tập số thực , kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn điều kiện sau đây: i)  x  X  x  0, x   x   ( Kí hiệu phần tử không  ) ii)  x  X    P   x   x iii)  x, y  X  x  y  x  y Số x gọi chuẩn vector x Ta ký hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề i), ii), iii) gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.2 Dãy điểm  xn  không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x  X lim xn  x  Kí hiệu lim xn  x hay n n xn  x (n  ) Định nghĩa 1.3 Dãy điểm  xn  không gian định chuẩn X gọi dãy (hay dãy Cauchy) lim xm  xn  m ,n Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ tới phần tử X Ví dụ 1.1 C  0,1 khơng gian số giá trị thực liên tục đoạn  0,1 không gian Banach với chuẩn: f       sup f  t  : t  0,1  max f  t  : t  0,1 Thật vậy, dễ kiểm tra C  0,1 không gian định chuẩn Xét dãy  f n n1 C  0,1  Vì f k  t   f e  t   f k  f e , t nên dãy  fn  t n1 dãy   f n t  , t [0,1] với t Đặt f  t   lim n Khi f liên tục f n hội tụ đến f Thật vậy: Cho   nhỏ tùy ý, f n  t   f m  t    , t  0,1, n  n0 t  0,1 Do f n hội tụ đến f Lấy t0  0,1   cố định Chọn   để f n0  t   f n0  t0    t  t0   Khi đó: f  t   f  t0   f  t   f n0  t   f n0  t   f n0 t0   f n0 t0   f t0   3 t  t0   Bởi vậy, f  C 0,1 f n hội tụ (theo chuẩn ) với f Do C  0,1 khơng gian Banach Một số không gian định chuẩn thƣờng dùng k a, Không gian thực hữu hạn chiều Xét không gian thực k chiều : k x k với ánh xạ:  x  k x i 1 i Dễ dàng kiểm tra không gian k với chuẩn xác định lập thành khơng gian định chuẩn, kí hiệu k b, Không gian C  a, b Xét không gian C  a, b tập hợp hàm số thực liên tục đoạn  a, b ; C a, b  x  x  t  ; x  t  liên tuc a, b với ánh xạ: : C  a, b   x  x t  x  sup x  t  t a ,b không gian định chuẩn, kí hiệu C  a, b c, Không gian l p  p  1 Xét không gian l p tập hợp tất dãy số (thực phức)  xn   cho x n 1 p n   với ánh xạ: : lp  x  x n   p x    xn   n1  p khơng gian định chuẩn, kí hiệu l p Đặc biệt, p  ta có khơng gian l2 :     l2   x   xn n1  P :  xn      n 1 (P trường số thực trường số phức) Khi l2 khơng gian định chuẩn, với chuẩn xác định bởi: x   xn n1  l2 : x    x n 1 n Không gian X tập trù mật Y Từ X trù mật X  q đủ để chứng minh q - chuẩn Y N q Giả sử f   f j ,  f j  dãy hữu hạn X Khi f q Y Lấy cận   fj q Y  Cq  f j  f   X , ta q X f j  CN q  f  (điều Y chứng tỏ N q q -chuẩn)  Ngược lại, giả sử f  X Khi f   f n , n 1 Vì Nq  f n   f n Do f n X ta  N  f  n 1 q n q C f q Y   n 1 fn q X C f q Y hội tụ đến f  X q đến f Nq  f    Nq  f n   C f q q q Y Mệnh đề chứng minh □ Mệnh đề 2.6 Phiếm hàm N q q - chuẩn X có khơng gian q - Banach Y cho L  X ,Y  tách điểm X 2.3 Các nguyên lý lý thuyết tốn tử khơng gian tựa chuẩn 2.3.1 Ánh xạ mở Cho X , Y cặp không gian đầy cho X tập trù mật Y , nghĩa phần tử Y xấp xỉ phần tử X Điều không kéo theo phần tử hình cầu K1  Y xấp xỉ phần tử nhiều hình cầu cố định K  X , nghĩa K  K1 ( K = bao đóng K tô pô X ) Tức định lý đây, K  K1 X  Y 21 Nhắc lại ánh xạ mở ánh xạ tập hợp mở vào tập mở Tựa chuẩn không gian thương X Z xác định f  Z  inf  f  g : g  Z  Cho T  L  X ,Y  Khi tốn tử T  L  X Ker T ,Y  xác định T  f  Ker T   Tf Định lý 2.3 Cho X , Y không gian tựa Banach Giả sử T  L  X ,Y  cho bao đóng T  B  , B   f  X : f  1 chứa lân cận Y Khi ánh xạ T : X T : X Ker T Y mở toán tử Y khả nghịch Chứng minh Theo định lý Aoki/Rolewicz, ta giả sử X , Y p - chuẩn với p   Cho   U  f  X : f p    Từ giả thiết định lý suy có hình cầu  Un  f  X : f p     n Vn  g  Y : g p    n , n  1, lim  n  n cho: Vn  T U n    n 1 n  (2.8) (2.9) Ta chứng minh V1  T U  Khi định lý chứng minh Giả sử g V1 từ (2.8) có:  f1 U1 cho g  Tf1 V2 Tương tự, có f U cho  g  Tf1   Tf V3 , 22 Tiếp tục trình ta nhận dãy quan hệ: n g  Tf k Vn1 , f k U k k 1  Suy g   Tf n Từ f k n 1 f k p   k , bất đẳng thức (2.9) kéo theo chuỗi hội tụ, kí hiệu tổng f Khi ta có g  Tf k f p    fn p  n 1 Định lý chứng minh □ Định lý 2.4 (Ánh xạ mở) Cho X , Y không gian đầy T  L  X , Y  Nếu T toàn ánh T mở Đặc biệt T khả nghịch toàn ánh đơn ánh Chứng minh Giả sử U hình cầu đơn vị X Chọn lân cận W không cho W  W  U Theo giả thiết, không gian Y hợp tập hợp T  nW  ,  n  1 Do đó, theo định lý phạm trù Baire bao đóng , một số chúng có phần khác rỗng, kéo theo T W  bao hàm tập mở V   Khi V  V lân cận khơng ln có bao hàm sau: V  V  T W   T W   T W   T W   T U  Từ Định lý 2.3 ta có điều phải chứng minh □ Như hệ định lý ánh xạ mở, có: Định lý 2.5 (Trên chuẩn tƣơng đƣơng) Cho , không gian vector X , giả sử f 23 tựa chuẩn  f ,  f  X  Nếu X đầy với hai tựa chuẩn, tồn số C   cho f C f f  X  2.3.2 Nguyên lý tính bị chặn Định lý 2.6 (Banach/Steinhauss) Cho X Y không gian tựa  As   L  X ,Y  Banach, giả sử họ toán tử Nếu sups As f    f  X  sup s As   Đặc biệt, giới hạn dãy hội tụ khắp nơi toán tử bị chặn toán tử bị chặn Chứng minh Giả sử f số 2  f X  sups As f Y  f  X  Từ giả thiết suy hàm tựa chuẩn X Mà X không gian tựa Banach nên X đầy Khi khơng gian  X ,  đầy Do đó, từ Định lý 2.5 ta suy điều phải chứng minh Hệ 2.1 Cho B : X  Y Z tốn tử song tuyến tính liên tục theo biến, X ,Y , Z khơng gian tựa Banach Khi có số C   cho: B f , g  Z  C f X g Y ,  f  X , g Y  Chứng minh Cố định biến g  Y , tính liên tục theo biến thứ nên số C1  để B  f , g  Z  C1 f X g Y ,  f  X  Theo Định lý 2.6, ta có điều phải chứng minh Định nghĩa 2.4 (Cơ sở Shauder) 24 Một dãy en : n  1 không gian tựa Banach X gọi sở Shauder X f  X tồn dãy vô  hướng n  f  cho f   n  f  en chuỗi hội tụ tôpô X n 1 Mệnh đề 2.7 Nếu en : n  1 sở Shauder X hàm số n liên tục tốn tử tuyến tính Sn : X X xác định n Sn f   k  f  ek bị chặn k 1 Chứng minh Ký hiệu ||| f ||| supn Sn f Từ f  Sn f  ta có f  K ||| f ||| , K số từ (2.1) theo Định lý 2.5 chứng minh X đầy Giả sử  f j  j 1 dãy Cauchy ||| ||| Điều có nghĩa,  tính đầy có dãy g n cho: sup Sn f j  g n  j   (2.10) n1   Và k dãy k  f j  tuyến tính  j 1 hội tụ, giả sử  k  lim k  f j  Vì hàm số k j khơng gian Sn  X  hữu hạn chiều suy k  gn   lim k  Sn f j   lim k  f j    k với k  n , k  gn   với j j k  n n Do g n    k ek k 1 Mặt khác (2.10) kéo theo  g n  hội tụ tới hàm g ,  g    nen , từ gn  Sn g n 1 25 Quay lại (2.10) ta thấy ||| f j  g ||| j   Mệnh đề chứng minh □ Từ định nghĩa sở Schauder, ta có Mệnh đề 2.8 Một dãy en : n  1 vector khác không gian tựa Banach X sở Shauder X điều kiện sau thỏa mãn: (a) Bao tuyến tính đóng  f n  X m (b) Có số K cho  a je j  K j 0 n a e j 0 j j với dãy vô hướng a j , m  n 2.3.3 Định lý đồ thị đóng Định lý 2.7 Cho T : X  Y toán tử tuyến tính, X , Y khơng gian đầy Khi T liên tục điều kiện sau thỏa mãn: Với dãy  f n   X cho f n   X Tf n  g Y , ta có g  Chứng minh Đặt f  f X  Tf Y Từ giả thiết ta có không gian X đầy tựa chuẩn Áp dụng Định lý 2.5 ta có điều phải chứng minh □ 2.3.4 Các F- Không gian Định lý đồ thị đóng lớp khơng gian rộng hơn, gọi F-không gian Thuật ngữ “ F - chuẩn” khơng gian vector X có nghĩa hàm số N : X 0,   thỏa mãn: (a) N  f    f  (b) N  f  g   N  f   N  g  (c) N   f   N  f  với   lim N   f    0 26 (2.11) Công thức d  f , g   N  f  g  xác định metric bất biến X tơpơ cảm sinh metric có hướng, nghĩa phép nhân vô hướng liên tục  X Trong trường hợp metric d đầy, không gian X gọi F-không gian Một không gian p - Banach F -không gian có F - chuẩn: N f  f p X Bên cạnh đó, X khơng gian lồi địa phương có tơpơ cho dãy nửa chuẩn pn  n  1,2,  , cơng thức: 2 n pn  f  N f  n 1  pn  f   xác định F - chuẩn X cảm sinh tô pô trùng với tô pô xuất phát X Trong lớp F -không gian, Định lý ánh xạ mở Định lý 2.3 trình bày rõ sau: Cho X , Y không gian vector F T  L  X ,Y  Nếu lân cận U  X tập hợp T U  bao hàm lân cận Y T  X   Y T mở Như trường hợp đặc biệt định lý ánh xạ mở, ta có tổng quát hóa sau Định lý 2.5 Từ thu định lý đồ thị đóng Định lý 2.8 Cho N1 , N F - chuẩn không gian vetor X , giả sử N1  f   N2  f  , f  X Nếu X đầy hai  fn  X dãy thỏa mãn điều kiện: N1  f n    N2  f n   2.3.5 Các Không gian Lp , l p Ví dụ đơn giản không gian tựa Banach vô hạn chiều không gian l p   p    C0  a  l  : lim an  0 Chúng đóng vai 27 trò đặc biệt nhiều lĩnh vực giải tích hình học khơng gian Banach Bổ đề 2.2 Nếu p   0,1 p (0;1) a, b   a  b p  a p  b p Dấu xảy a b Với  p   , Lp ký hiệu không gian tựa chuẩn với tựa chuẩn 1/ p xác định bởi:   p f    f dx  , f  X X  Mệnh đề 2.9 Với  p   , Lp không gian tựa chuẩn đầy đủ Với  p   , Ký hiệu l p không gian dãy  xn  thực  phức thỏa mãn x n 1 n p   Tựa chuẩn l p cho x   xn  , 1/ p   p x    xn   n1  Sau đây, phát biểu số tính chất có liên quan tới khơng gian l p c0 mà khơng trình bày phép chứng minh Định lý 2.9 Với p   0,   không gian Bergman Ak xác định Ak   f  Lp  D  : f giải tích D , D   z : z  1 đẳng cấu với l p Định lý 2.10 Nếu X , Y không gian p - Banach T  L  X ,Y  cho T  T  BX   BY , B hình cầu đơn vị mở, khơng gian Y X Ker T đẳng cấu đẳng cự Đặc biệt, có 28 Định lý 2.11 Mỗi không gian p - Banach tách  p  đẳng cấu đẳng cự với không gian thương l p Định lý 2.12 Cho X c0 l p ,  p   Khi đó: (a) Mỗi khơng gian đóng (chiều vơ hạn) bao hàm một phận đẳng cấu với X (b) Mỗi không gian bù X đẳng cấu đến X Định lý 2.13 Mỗi tốn tử tuyến tính bị chặn từ l q đến l p   p  q    compact, điều với tốn tử tuyến tính từ c0 đến l p (Ngoài p  q  1, tốn tử từ khơng gian q - Banach đến l p  p  q  compact) Do khơng có khơng gian thuộc lớp l p ,  p   c0 đẳng cấu với không gian không gian khác lớp 29 KẾT LUẬN Khóa luận hoàn thành chủ yếu dựa theo [5] số tài liệu khác Trong khóa luận này, tác giả trình bày, làm rõ số nội dung liên quan đến khơng gian tựa chuẩn, tốn tử tuyến tính không gian tựa chuẩn, số nguyên lý lý thuyết tốn tử khơng gian tựa chuẩn Cụ thể, khóa luận đã:  Hệ thống lại số kiến thức chuẩn bị cho không gian tựa chuẩn;  Đưa số ví dụ làm rõ thêm kết quả;  Làm rõ số khái niệm, định lý không gian tựa chuẩn Đề tài “Không gian tựa chuẩn” đề tài quan tâm nghiên cứu nhiều Do thời gian ngắn lực hạn chế, nên nhiều kết trình bày vắn tắt 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy, Hoàng Ngọc Tuấn, Nguyễn Văn Tuyên (2007), Bài tập giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Miroslav Pavlovic (2004), Introduction to Function Spaces on the Disk, Matematicki institute SANU Beograd 31 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ để em hồn thành khóa luận Trong trình học tập, đặc biệt suốt q trình làm khóa luận em nhận dạy dỗ ân cần động viên, bảo, tạo điều kiện thầy cô tham gia giảng dạy, công tác trường Đại học Sư phạm Hà Nội Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo tổ Giải tích, khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy giáo giảng dạy khóa học Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Bùi Hải Yến 32 LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn thầy TS Bùi Kiên Cường, khóa luận tốt nghiệp đại học chun ngành Tốn với đề tài “Khơng gian tựa chuẩn” hồn thành nhận thức thân, khơng trùng với khóa luận khác Trong q trình nghiên cứu, thực khóa luận, em thừa kế thành tựu nhà khoa học với lòng chân trọng biết ơn Một số kết em đưa dựa thành tựu Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Bùi Hải Yến 33 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm chuẩn không gian định chuẩn 1.2 Tốn tử tuyến tính 1.3 Một số nguyên lý 11 Chương 2: Không gian tựa chuẩn 13 2.1 Khái niệm tựa chuẩn p - chuẩn 13 2.2 Tốn tử tuyến tính 18 2.3 Các nguyên lý lý thuyết toán tử không gian tựa chuẩn 21 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 34 ... ĐẠIĐẠI HỌCHỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 TRƢỜNG SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN KHOA TOÁN  - BÙI BÙI HẢI HẢI YẾNYẾN KHÔNG GIAN TỰA CHUẨN KHÔNG GIAN TỰA CHUẨN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC KHÓA LUẬN... khơng gian định chuẩn, làm để so sánh với khái niệm tính chất không gian tựa chuẩn Chương 1.1 Khái niệm chuẩn không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian. .. 1.8 Cho không gian định chuẩn X không gian định chuẩn đóng X  X , X X khơng gian tuyến tính thương theo khơng gian tuyến tính X Ta gọi không gian định chuẩn thương không gian định chuẩn X theo