Toán tử tích phân và cơ sở sóng nhỏ trên một số không gian hàm_luận án tiến sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI Đào Văn Dƣơng TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI Đào Văn Dƣơng TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM Chuyên ngành: Phƣơng trình vi phân và tích phân Mã số : 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. Nguyễn Minh Chƣơng HÀ NỘI – 2013 1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của Giáo sư Nguyễn Minh Chương. Các kết quả viết chung với người hướng dẫn đã được sự nhất trí của người hướng dẫn khi đưa vào luận án. Các kết quả của luận án đều là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học của ai khác. Tác giả Đào Văn Dương 2 Lời cảm ơn Luận án này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của Giáo sư Nguyễn Minh Chương. Thầy hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học và cả những điều thật quý báu trong cuộc sống. Sự động viên, tin tưởng của Thầy là một trong những động lực để tác giả hoàn thành luận án. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả luôn nhận được sự động viên, hướng dẫn của các Thầy trong Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là Bộ môn Giải tích. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của các Thầy. Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tác giả cũng nhận được sự giúp đỡ, góp ý của GS.TSKH. Đỗ Ngọc Diệp, GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng, PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn, TS. Trần Đình Kế, TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các Thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo cùng các anh chị em NCS, Cao học trong Xêmina "Toán tử giả vi phân, sóng nhỏ trên 3 các trường thực, p-adic" do Giáo sư Nguyễn Minh Chương chủ trì, Viện Toán học, và Xêmina của Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đã động viên, giúp đỡ tác giả trong nghiên cứu cũng như trong cuộc sống. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng đào tạo Sau đại học cùng toàn thể cán bộ, công nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình thực hiện luận án. Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn cũng như các Thầy ở Viện Toán học đã tham gia giảng dạy cao học, khóa 7, Đại học Quy Nhơn, đã truyền đạt cho tác giả những kiến thức toán học hữu ích. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Xây dựng Miền Trung, nơi tác giả đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt để tác giả yên tâm hoàn thành luận án. Tác giả chân thành cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp gần xa, đặc biệt là cha mẹ, vợ và con trai cùng những người thân trong gia đình, đã giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận án. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Tác giả Đào Văn Dương 4 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT Ký hiệu Diễn giải N : Tập hợp các số tự nhiên Z : Tập hợp các số nguyên Q : Trường các số hữu tỷ R : Trường các số thực R n : Không gian véctơ n chiều trên trường R Q p : Trường các số p-adic, với p là số nguyên tố Q n p : Không gian véctơ n chiều trên trường Q p I p : Tập hợp các phần phân thức của số p-adic Z p : Hình cầu đơn vị trong Q p Z ∗ p : Tập hợp các phần tử của Z p khác không I n p : Tích Descartes của n tập I p B γ (a), B γ : Hình cầu tâm a, tâm 0, bán kính p γ S γ (a), S γ : Mặt cầu tâm a, tâm 0, bán kính p γ |x| p : Chuẩn của một phần tử x trong Q n p L q (R n ), L q (Q n p ) : Tập các hàm khả tích bậc q trên R n , trên Q n p L q loc (Q n p ) : Tập các hàm khả tích địa phương bậc q trên Q n p L 1 loc (R n ) : Tập các hàm khả tích địa phương trên R n B α,q  (R n ) : Không gian Besov trên R n BMO(R n ) : Không gian BMO trên R n H  (R n ) : Không gian Hardy trên R n 5 V MO(R n ) : Không gian VMO trên R n B α,q ,k (R n ) : Không gian Besov có trọng trên R n BMO k (R n ) : Không gian BMO có trọng trên R n F α,β r,q (Q n p ) : Không gian Triebel-Lizorkin trên Q n p K α ,q (Q n p ) : Không gian Herz trên Q n p M λ q (Q n p ) : Không gian Morrey trên Q n p MK α ,q (Q n p ) : Không gian Morrey-Herz trên Q n p D(Q n p ) : Tập các hàm hằng địa phương có giá compact trên Q n p D  (Q n p ) : Tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Q n p ) Ff : Biến đổi Fourier của hàm f trên trường số p-adic χ : Hàm đặc trưng cộng tính trên trường số p-adic U ψ : Toán tử Hardy-Littlewood có trọng V ψ : Toán tử Cesàro có trọng [b, U ψ ] , [b, V ψ ] : Giao hoán tử của toán tử U ψ , V ψ với hàm b MRA : Xấp xỉ đa phân giải (Multiresolution Analysis) BMO : Bounded Mean Oscillation VMO : Vanishing Mean Oscillation 6 Mục lục Lời cam đoan 1 Lời cảm ơn 2 Bảng ký hiệu 4 MỞ ĐẦU 8 Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ 18 1.1 Không gian Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Tích chập và biến đổi Fourier trên trường thực . . . . . . 20 1.3 Trường số p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 Độ đo và tích phân trên trường số p-adic . . . . . . . . . 25 1.5 Biến đổi Fourier và tích chập p-adic . . . . . . . . . . . . 27 1.6 Các định lý nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 2. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN SÓNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM 34 2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7 2.2 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO và Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Chương 3. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN HARDY-LITTLEWOOD CÓ TRỌNG TRÊN TRƯỜNG P-ADIC 56 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian Triebel- Lizorkin trên trường p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian Morrey- Herz trên trường p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4 Giao hoán tử của toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian Morrey-Herz trên trường p-adic . . . . . . . . 78 Chương 4. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VLADIMIROV VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ P-ADIC TRONG L r (Q n p ) 87 4.1 Toán tử tích phân Vladimirov và sóng nhỏ p-adic . . . . 88 4.2 Cơ sở sóng nhỏ không điều kiện gồm các hàm riêng của toán tử D α trong không gian L r (Q n p ) . . . . . . . . . . . 96 4.3 Cơ sở Greedy trong không gian L r (Q n p ) . . . . . . . . . . 110 Kết luận và kiến nghị 116 Danh mục công trình công bố 118 Tài liệu tham khảo 119 8 MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Trong khoảng 20 năm trở lại đây, lý thuyết sóng nhỏ xuất hiện và phát triển rất mạnh. Lý thuyết này đang là một công cụ rất có hiệu lực để giải quyết nhiều bài toán quan trọng trong Vật lý toán nói riêng và trong Khoa học, Công nghệ nói chung (xem trong các công trình [8], [21], [22], [36], [49], [50], [51], ). Nhờ lý thuyết sóng nhỏ, người ta nghiên cứu lý thuyết toán tử (đặc biệt là lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị Calderón- Zygmund hay lý thuyết toán tử giả vi phân) và lý thuyết các không gian phiếm hàm, từ đó đã tìm được những đặc trưng mới về các không gian phiếm hàm quan trọng như H¨older, Zygmund, Sobolev, Besov, Hardy, BMO (xem, chẳng hạn, [21], [36], [49]). Ngược lại, cũng có thể sử dụng lý thuyết toán tử để nghiên cứu lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt trong việc nghiên cứu cấu trúc nghiệm của phương trình lọc (xem [18], [19], [20]). Ngày nay sự phát triển của lý thuyết sóng nhỏ gắn với lý thuyết các toán tử giả vi phân và lý thuyết các không gian hàm đã làm cho tính khoa học và tính ứng dụng của chúng ngày càng cao. Toán tử tích phân sóng nhỏ là một bộ phận quan trọng trong lý thuyết sóng nhỏ. Sóng nhỏ, toán tử tích phân sóng nhỏ là một trong [...]... chn trờn cỏc khụng gian Lebesgue, BMO, Herz, Triebel-Lizorkin v ỏnh giỏ chun ca toỏn t Hardy-Littlewood cú trng trong cỏc khụng gian hm, (xem [29], [30], [47], [48], [72], [73], [74], [86]) Trờn trng p-adic, trong nhng nm gn õy toỏn t tớch phõn Hardy-Littlewood cú trng, toỏn t Hausdorff cng c nghiờn cu trờn mt s khụng gian hm nh Lq , BM O, Hardy, Hălder, Morrey, Herz (trong khụng gian Herz o ch mi... khụng gian Besov, BMO, VMO v Hardy H 1 , cng nh cỏc khụng gian Besov v BMO cú trng T ú, thu c dỏng iu tim cn ca toỏn t tớch phõn súng nh ng vi tham bin thang bc a nh 2 a ra cỏc iu kin cn v cho hm trng cỏc toỏn t tớch phõn Hardy-Littlewood cú trng v toỏn t Cesro cú trng l b chn trờn cỏc khụng gian Triebel-Lizorkin, Morrey-Herz trờn trng p-adic c bit, tớnh c chun ca cỏc toỏn t ny trong cỏc khụng gian. .. chn trờn khụng gian Morrey-Herz trờn trng p-adic 3 Chng minh h cỏc súng nh p-adic gm cỏc hm riờng ca toỏn t tớch phõn Vladimirov D to thnh mt c s khụng iu kin trong khụng gian Lr (Qn ) vi 1 < r < T ú, a ra mt c p trng cho khụng gian Lr (Qn ) theo cỏc h s Fourier súng nh p-adic p 17 Ngoi ra, lun ỏn cng ch ra rng cỏc súng nh p-adic sau khi c chun húa lp thnh mt c s Greedy trong khụng gian Lr (Qn ) p... thuc khụng gian E S hi t trong E c nh ngha nh sau: fj 0 trong E khi j , nu vi mi tp compact E trong Qn thỡ dóy {fj } p hi t u n 0 trờn E khi j Ký hiu D = D(Qn ) l tp tt c cỏc hm thuc khụng gian E cú giỏ p compact Mi hm trong khụng gian D tha món ng thi hai iu kin sau: (i) Tn ti s nguyờn k (x + y) = (x) vi mi x Qn v y Bk ; p (ii) Tn ti s nguyờn N sao cho (x) = 0 vi mi x BN / Khụng gian D c gi... gi l khụng gian cỏc hm th (hay gi l cỏc hm c bn) S hi t trong D c hiu nh sau: j 0 trong D nu tn ti mt cp s nguyờn (k, N ) sao cho cỏc hm j u l hm hng trờn cỏc tp x + Bk , cú giỏ nm trong hỡnh cu BN v dóy {j } hi t u n 0 trờn Qn Khi ú D l khụng gian y v kh ly p Cho 1 q < v O l mt tp m khỏc rng trong Qn Ký hiu p Lq (O) l khụng gian cỏc hm giỏ tr phc kh tớch a phng bc q loc trờn O Khụng gian Lq (O)... hn, trong ú df () = à({x X : |f (x)| > }) Ta kớ hiu L, (X, à) = L (X, à) Khi ú Lq, (X, à) l mt khụng gian y vi ta chun ã Lq, (X,à) Gi s T l mt toỏn t xỏc nh trờn khụng gian cỏc hm o c, giỏ tr phc trờn khụng gian o (X, à) v ly giỏ tr trong tp cỏc hm o c, giỏ tr phc, hu hn hu khp ni trờn mt khụng gian o (Y, ) Nu T (f + g)(x) = T f (x) + T g(x), v T (f )(x) = T f (x), vi mi hm o c f, g, vi mi C v... di tuyn tớnh Mt toỏn t b chn t khụng gian Lq (X, à) vo Lr (Y, ) c gi l loi mnh (q, r) v nu toỏn t b chn Lq (X, à) vo Lr, (Y, ) thỡ c 32 gi l loi yu (q, r) nh lý 1.6.1 (nh lý ni suy Marcinkiewicz [31, trang 31]) Cho (X, à) v (Y, ) l cỏc khụng gian o, T l mt toỏn t di tuyn tớnh xỏc nh trờn khụng gian Lq0 (X, à) + Lq1 (X, à) vi 1 q0 < q1 v nhn giỏ tr trong khụng gian cỏc hm -o c trờn Y Gi s tn ti hai... trờn cỏc khụng gian Triebel-Lizorkin, MorreyHerz trờn trng p-adic; a ra cỏc iu kin cỏc giao hoỏn t ca toỏn t tớch phõn Hardy-Littlewood cú trng v toỏn t Cesro cú trng vi toỏn t nhõn hm Lipschitz l b chn trờn khụng gian Morrey-Herz trờn trng p-adic Chng 4 dnh cho vic nghiờn cu c s khụng iu kin, c s Greedy ca h c s súng nh p-adic gm cỏc hm riờng ca toỏn t tớch phõn Vladimirov D trong khụng gian Lr (Qn... nh khụng gian Lebesgue, bt ng thc Minkowski, bt ng thc Hălder s c trỡnh by trờn khụng gian o o c tng quỏt v s c s dng cho c hai trng hp trờn trng s thc v trờn trng s p-adic Phn cũn li, chỳng tụi trỡnh by s lc v trng s p-adic, lý thuyt tớch phõn v bin i Fourier, toỏn t gi vi phõn trờn trng s p-adic Trong chng 1, chỳng tụi cú tham kho cỏc ti liu [28], [31], [42], [56], [71], [77] 1.1 Khụng gian Lebesgue... khụng gian o vi à l mt o -hu hn trờn -i s M trong khụng gian X Cho 0 < q < Ta ký hiu 19 Lq (X, M, à), hay vit ngn gn hn Lq (X), l tp hp tt c cỏc hm f o c, nhn giỏ tr phc trờn X tha món 1 q f Lq (X) = |f (x)|q dà < (1.1) X Ký hiu L (X) l tp hp tt c cỏc hm giỏ tr phc, o c trờn X sao cho tn ti B > 0 f L (X) = inf {B > 0 : à({x X : |f (x)| > B}) = 0} (1.2) Khi ú Lq (X), vi 0 < q , l mt khụng gian . phát triển một số lớp toán tử tích phân sóng nhỏ, toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và các cơ sở sóng nhỏ p-adic 14 gồm các hàm riêng của toán tử D α trên một số không gian hàm. II. Mục. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI Đào Văn Dƣơng TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC . các không gian hàm đã làm cho tính khoa học và tính ứng dụng của chúng ngày càng cao. Toán tử tích phân sóng nhỏ là một bộ phận quan trọng trong lý thuyết sóng nhỏ. Sóng nhỏ, toán tử tích phân sóng