BÁO CÁO 5: TỔ HỢP, CHỈNH HỢP, SỐ CÁCH CHỌN CÁC TẬPCON CỦA TẬPHỢP Báo cáo viên: Phạm Đức Quý (THPT Chuyên Lê Hồng Phong TP Hồ Chí Minh) Chỉnh hợp: Cho tập A = { a1 , a2 , , an } • Cho n, k ∈ N, ≤ k ≤ n Nếu ta xếp n phần tử vào k vị trí có thứ tự (mỗi phần tử có mặt nhiều lần) ta chỉnhhợp chập k n phần tử • Số chỉnhhợp chập k n phần tử (số cách xếp) ta ký hiệu là: Ank Ank = n.(n - 1)(n - 2) (n - k + 1) = n! (n - k )! Chứng minh Một xếp n phần tử vào k ví trí có thứ tự thực giai đoạn Bước 1, ta chọn phần tử tập A xếp vào vị trí thứ Bước 2, ta chọn phần tử phần tử lại tập A xếp vào vị trí thứ hai Ta thực đến bước k, ta chọn phần tử n - k + phần tử lại tập A xếp vào vị trí thứ k Ta có n cách thực bước 1, n - cách thực bước 2, n - k + cách thực bước k Theo quy tắc nhân ta có số cách thực Ank = n.(n - 1)(n - 2) (n - k + 1) = n! (n - k )! Chú ý: Ta quy ước 0! = 1, An0 = 1, Ann = n! Trong trường hợp k = n, ta có ta xếp n phần tử vào n vị trí có thứ tự (mỗi phần tử có mặt lần) ta hốn vị n phần tử Số hoán vị n phần tử (số cách xếp) ta ký hiệu Pn = 1.2.3 n = n! Ví dụ 1: Cho E = { a, b, c, x, y, z } tậphợp 26 chữ tiếng Anh Tìm số từ có chữ tạo nên từ E cho chữ đầu chữ sau nguyên âm phân biệt ba chữ lại phụ âm phân biệt Giải Ta có nguyên âm 21 phụ âm tiếng Anh Một từ có chữ thoả yêu cầu toán thực theo bước sau: Bước 1: Từ nguyên âm {a, e, i, o, u}, ta xếp chúng vào vị trí thứ thứ hai từ Bước 2: Từ 21 phụ âm E \ {a, e, i, o, u}, ta xếp chúng vào vị trí lại từ Ta có A52 cách làm bước 1, A53 cách làm bước Theo quy tắc nhân, ta có A53 A52 = 159600 từ Ví dụ 2: Có nam nữ Có cách xếp chúng theo hàng ngang cho a) Ba nữ đứng cạnh (Khơng có nam hai nữ) b) Hai vị trí cuối hàng hai nam khơng có nữ đứng cạnh Giải a) Vì nữ đứng cạnh nên ta xem nữ đối tượng Ta thực cách sau Bước 1: Ta xếp nam đối tượng vào vị trí Bước 2: Ta xếp nữ vào vị trí đối tượng Ta có 8! Cách làm bước 1, 3! Cách làm bước Theo quy tắc nhân, ta có số cách làm 8!.3! b) Bước 1: Ta xếp nam vào vị trí Ta cố định cách xếp Vì hai vị trí cuối nam nên ta có vị trí để xếp nữ cho khơng nữ đứng cạnh Bước 2: Từ vị trí này, ta xếp nữ vào vị trí Ta có 7! Cách làm bước 1, A62 cách làm bước Theo quy tắc nhân, số cách làm 7! A62 = Ví dụ 3: Giữa 20000 70000, tìm số tự nhiên chẵn cho khơng có chữ số lặp lại Giải Gọi abcde số tự nhiên chẵn thoả Theo yêu cầu, chữ số a chọn từ {2, 3, 4, 5, 6} chữ số e chọn từ {0,2, 4, 6, 8} Vì {2, 3, 4, 5, 6} ∩ {0, 2, 4, 6, 8} = {2, 4, 6} Ta chia toán thành hai trường hợp: Trường hợp 1: a ∈ {2, 4, 6} Bước 1: a có cách chọn Bước 2: e có cách chọn Bước 3: Từ chữ số lại ta xếp vào vị trí bcd, ta có A83 Số cách làm trường hợp 3.4 A83 = 4032 Trường hợp 1: a ∈ {3, 5} Bước 1: a có cách chọn Bước 2: e có cách chọn Bước 3: Từ chữ số lại ta xếp vào vị trí bcd, ta có A83 Số cách làm trường hợp 2.5 A83 = 3360 Theo quy tắc cộng ta có tổng số số thoả yêu cầu toán 4032 + 3360 = 7392 Chỉnhhợp vòng quanh: Cho tập A = {a1, a2, ,an } Cho k ∈ N, ≤ k ≤ n Nếu ta xếp n phần tử theo vòng tròn vào k vị trí quan hệ (mỗi phần tử có mặt nhiều lần) ta chỉnhhợp vòng quanh Ở vị trí quan hệ “relative positions” đối tượng không đổi ta quay chúng Tổng quát, hai cách xếp đối tượng thành vòng tròn giống đối tượng chúng thu phép quay khác Nếu k = n ta gọi hốn vị vòng quanh phần tử Số chỉnhhợp vòng quanh mà ta ký hiệu là: Qnk Qnk = Ank Nếu k = n số hốn vị k vòng quanh phần tử Qnn = (n – 1)! Chú ý: Nếu ta xếp n phần tử theo vòng tròn vào k vị trí đánh số thứ tự (mỗi phần tử có mặt nhiều lần) ta gọi chỉnhhợp chập k n phần tử theo vòng tròn Chứng minh: Với chỉnhhợp chập k n phần tử theo vòng tròn ta có k chỉnhhợp vòng quanh giống thu cách quay chỉnhhợp chập k n Vậy với tập k chỉnhhợp vòng quanh trên, tương ứng với chỉnhhợp chập k n phần tử Do đó, ta chia chỉnhhợp chập k n phần tử theo vòng tròn thành k tập có số lượng Từ ta có: Qnk = Ank k Ví dụ 4: Có cách để nam nữ vào ngồi bàn tròn a) Khơng điều kiện b) Nam B1 nữ G1 khơng ngồi cạnh c) Khơng có nữ ngồi cạnh Bài giải: a) Áp dụng chỉnhhợp vòng quanh: Qnn = (8 – 1)! = 7! b) Bước 1: Từ nam nữ khơng có G1 xếp vòng quanh, ta có ((7 – 1)! cách Bước 2: Ta xếp G1 vị trí khơng cạnh B1, ta có cách Theo quy tắc nhân ta có số cách làm 6!.5 = 3600 c) Bước 1: Từ nam xếp vòng quanh, ta có (5 – 1)! cách Bước 2: Ta xếp G1, ta có cách Bước 3: ta xếp G2, G3 không ngồi cạnh không ngồi kế G1, ta có 4.3 cách Theo quy tắc nhân ta có số cách làm 4!.5.4.3 = 1440 Ví dụ : [AIME 1983] Hai mươi lăm hiệp sĩ King Arthur theo thông lệ họ đặt ngồi bàn tròn Ba số họ chọn cử giết rồng gây rắc rối (tất lựa chọn người có khả nhau) Hỏi xác suất để hai ba người chọn đặt ngồi cạnh bao nhiêu? Bài giải: Tổng quát, ta giả sử tổng số hiệp sĩ n, với n ≥ Đầu tiên đếm số cách chọn hiệp sĩ hạn chế Chúng ta dùng quy tắc nhân Ta có n cách chọn hiệp sĩ thứ nhất, sau n – cách chọn hiệp sĩ thứ hai, sau n – cách chọn hiệp sĩ thứ ba Nhưng thứ tự việc chọn hiệp sĩ để tạo thành ba khơng có vấn đề Một ba A, B, C chọn 3! = cách, cụ thể ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Do đó, ba lặp lại lần q trình chọn Vì có Tn = n( n - 1)( n - 2) cách để chọn ba khơng có hạn chế Lấy Sn số ba mà bao gồm hai người ngồi cạnh nhau, lấy Pn xác suất để hai ba hiệp sĩ ngồi cạnh Do Pn = Sn/Tn Để tính Sn, ta cần dùng quy tắc cộng quy tắc nhân Chúng ta bắt đầu việc chia trình chọn thành hai trường hợp Trường hợp dễ làm Tuy nhiên trường hợp ta cần hồn tất q trình chọn hai bước Trường hợp 1: Ba hiệp sĩ ngồi cạnh Xét hiệp sĩ với hiệp sĩ ngồi cạnh anh ấy, ta thấy có n cách lấy hiệp sĩ ngồi cạnh Trường hợp 2: Có hiệp sĩ ngồi cạnh Có n cách để chọn hiệp sĩ ngồi cạnh (tương tự 3), có n – cách chọn hiệp sĩ thứ ba không ngồi cạnh hiệp sĩ (Ta phải bỏ cặp đôi hai hiệp sĩ ngồi cạnh, mặt khác bỏ tất trường hợp hiệp sĩ ngồi cạnh nhau) Vậy có n(n – 4) ba gồm hiệp sĩ ngồi cạnh Kết hợp trường hợp trường hợp 2, ta có n + n(n – 4) = n(n – 3) cách để có hai ba hiệp sĩ ngồi cạnh nhau, tức Sn = n(n – 3) Suy Pn = n ( n − 3) ( n − 3) = n ( n − 1)( n − ) ( n − 1)( n − ) Do xác suất cần tìm P25 = 11/46 Tổhợp • Cho n, k ∈ N, ≤ k ≤ n Từ n phần tử tập A, ta lấy k phần tử ta tập k phần tử (khơng có thứ tự) mà ta gọi tổhợp chập k n phần tử • Số tổhợp chập k n phần tử (số cách xếp) ta ký hiệu là: Cnk Cnk = Ank n! = k ! (n - k )!.k ! Nhận xét Chỉnhhợp chập k n phần tử tậphợp A xếp phần tử tậphợp A Vì thứ tự phần tử quan trọng tổhợptậphợp khơng có thứ tự Với nhận xét trên, ta thấy để tạo chỉnhhợp chập k n phần tử tậphợp A ta thực theo cách thứ hai Bước 1: Từ A ta lấy tậphợp B có k phần tử Bước 2: Ta xếp phần tử tậphợp B vào vị trí có thứ tự Ta có Cnk cách làm bước 1, k! cách làm bước Theo quy tắc nhân, ta có Cnk k! = Ank từ ta có cơng thức Ví dụ 6:Trong lớp học Tốn Thầy Fat có sinh viên nam sinh viên nữ Khi kết thúc khố học, Thầy Fat muốn chụp hình với lớp Thầy muốn tất sinh viên đứng thành hàng, với nam sinh đứng theo thứ tự giảm dần chiều cao nữ sinh đứng theo thứ tự tăng dần chiều cao tính từ trái sang phải (giả sử chúng có chiều cao khác nhau) Hỏi có cách xếp? (Nam sinh không thiết phải đứng cạnh nữ sinh vậy) Giải: Xét 14 vị trí theo hàng ngang s1s2s3 s14 Nếu si1 , si2 , si3 , , si5 vị trí xếp nam sinh viên nam có cách xếp vào vị trí theo chiều cao sinh viên = nữ có cách xếp vào vị trí lại theo chiều cao Do số cách xếp C14 2002 Ví dụ : Chọn ngẫu nhiên đỉnh khác từ đỉnh hình lập phương Tính xác suất để đỉnh chọn tạo thành tam giác Bài giải: Chọn đỉnh đỉnh hình lập phương có 56 cách Bây để có tam giác cạnh phải đường chéo mặt Có đường chéo mặt xuất phát từ đỉnh Do đỉnh đỉnh tam giác phân biệt Câu trả lời ban đầu bạn có lẽ có 8×3 tam giác Tuy nhiên, ý tam giác đếm lần cách chọn này, đếm lần cho đỉnh Vậy có 24/3 = tam giác phân biệt Vậy đáp án toán 8/56 = 1/7 Ví dụ : Cho mảng điểm gồm hàng cột hình 2.3, điểm cách điểm gần đơn vị Hãy xác định số tam giác không bị suy biến (ví dụ tam giác có diện tích dương) mà đỉnh điểm lấy từ mảng cho Bài giải: Có 1140 cách để chọn điểm Nhưng tất ba tạo thành tam giác không bị suy biến Chúng ta cần tìm số ba đường thẳng Chúng ta xét trường hợp [vẽ hình sau]: Ở TH (i), có đường thẳng, đường thẳng chứa điểm Do có 40 ba đường thẳng Kết hợp TH (ii) TH (iii), có tất đường thẳng, đường thẳng chứa điểm Do có 36 bơ ba đường thẳng Trong TH (iv) (v), có tổng cộng đường thẳng, đường thẳng chứa điểm Vậy có ba đường thẳng Vậy đáp án 1140 – (40 + 36 + 8) = 1056 Ví dụ 9: Có 210 nam tham gia vào đội bóng đá mùa hè Mỹ Mỗi người định tập luyện với 20 huấn luyện viên Chú ý số lượng nhóm mà huấn luyện viên tập luyện khác Hỏi có cách tạo nhóm ? Bài giải: Chú ý + 2+ + + 20 = 210 Với số từ đến 20, có huấn luyện viên tập luyện với xác số 19 20 C210 C209 C207 C39 C20 = người Do ta có số nhóm khác là: 210 ! 1!2 !3! 20! Hệ quả: Cho m, n, k1, k2, , km số nguyên dương với n ≥ k1 + k2 + + km Tổng số số tổhợp n phần tử k1, k2, , km lấy lúc, có tính thứ tự tổhợp là: ỉ ư÷ n n! ỗỗ ữ= vi km + = n (k1 + k2 + + km) ỗốk1 , k2 , k3 , km , km+ ÷ ÷ ø k1 ! k2 !k3 ! km ! km+ ! Chứng minh: Có Cnk1 cách lấy k1 phần tử lúc Có n – k1 phần tử lại Lặp lại, có Cnk-2 k1 cách lấy k2 phần tử khác lúc Bằng việc lặp lại trình này, ta kết luận số tổhợp n phần tử lấy từ k1, k2, , km lúc, có tính thứ tự Cnk1 Cnk-2 k Cnk-3 k - k Cnk-m k 1 k2 km- = n! k1 !k2 !k3 ! km ! km+ ! Ví dụ 10: Cho tập A = { a1 , a2 , , am+ } m, n, k1, k2, , km + số nguyên dương với n = k1 + k2 + + km + Hỏi có cách xếp m + phần tử a1, a2, , am + vào n vị trí cho a1 xuất k1 lần, a2 xuất k2 lần, , am + xuất km + Bài giải: Từ tậphợp n vị trí, ta chọntổhợp k1, k2, , km + có thứ tự Vậy áp dụng hệ ta n! k1 !k2 !k3 ! km !km+ ! Chú ý: Ta gọi cách xếp ví dụ hoán vị lặp m + phần tử Ví dụ 11 : [AIME 1990] Trong trận đấu súng, tám đĩa mục tiêu đất sét xếp hai cột treo mà cột ba cái, cột treo xếp hai Một tay thiện xạ bắn vỡ tám mục tiêu theo quy luật sau: (1) Đầu tiên nhà thiện xạ chọn cột mà nhắm tới mục tiêu bị bắn vỡ (2) Sau đó, nhà thiện xạ phải bắn vỡ mục tiêu khơng bị bắn vỡ lại gần cột chọn Nếu theo quy luật có cách đặt tám mục tiêu để chúng bị bắn vỡ? Bài giải: Xét phát bắn mà phải bắn để làm vỡ tám mục tiêu Trong phát bắn, tậphợp phát bắn phát bắn dùng để phá vỡ mục tiêu cột thứ (nhưng lần phát bắn chọn, quy luật trận đấu xác định thứ tự mà mục tiêu bị phá vỡ) Tập phát bắn cho cột thứ chọn C83 cách Từ phát bắn lại, phát dùng để phá vỡ mục tiêu cột chứa mục tiêu khác chọn C53 cách, phát bắn lại dùng để phá vỡ mục tiêu lại Kết hợp lại, ta tìm số cách xếp mục tiêu bị bắn vỡ C83C53C22 = 8! = 560 !3 !2 ! Ví dụ 12: Ban Tốn học PEA tổ chức hội nghị thảo luận giáo dục học Sau thảo luận dài 23 thành viên ban, họ định chia thành nhóm gồm người hai nhóm gồm người để tiếp tục thảo luận họ Hỏi có cách chia vậy? ỉ 23 23 ! ữ Bi gii: Dng nh cú ỗỗ ữ= ữ ỗố3, 3, 3, 3, 3, 4, 4÷ ø (3 !)5 (4 !)2 cách để nhóm chúng Vì nhóm làm việc chủ đề nên khơng có việc đặt thứ tự cho nhóm có số người Do đó, đáp án ư÷ 23 ỉ 23 ! ỗỗ ữ= ữ ữ ỗ !5 ! ố3, 3, 3, 3, 3, 4, 4ø !(3 !)5 (4 !)2 ! Ví dụ 13: [AIME 1984] Một nhà làm vườn trồng thích, sồi phong thành hàng Anh trồng chúng đặt ngẫu nhiên, cách có khả Tính xác suất để khơng có hai phong trồng cạnh Ví dụ 14: [AIME 2001] Lấy S tậphợp điểm có toạ độ x, y z số nguyên thoả mãn ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ 3, ≤ z ≤ Chọn ngẫu nhiên điểm phân biệt từ tập S Tính xác suất để trung điểm đoạn thẳng tạo thành từ điểm thuộc vào tập S Ví dụ 15: Có đơi vớ khác ngăn kéo Adrian Vì thức dậy muộn nên anh bị trễ lớp học vào lúc Anh vội lấy ngẫu nhiên tám vớ từ ngăn kéo mà khơng nhìn Tính xác suất để anh lấy hai cặp vớ tạo thành đôi vớ mà anh vội lấy Bài giải: Có tất 18 vớ Rõ ràng có C18 cách để lấy vớ cách ngẫu nhiên Có C92 cách để có cặp tạo thành đơi Trong cặp vớ lại có cặp có vớ lấy Có C74 cách để lấy cặp Mỗi cặp cặp có cách để có vớ lấy Do có C92 C74 24 cách để lấy vớ mà có cặp tạo thành đôi Suy đáp án C92C74 24 C18 = 1120 2431 Ví dụ 16 : [AIME 1993] Ba số a1; a2; a3 lấy cách ngẫu nhiên không tậphợp {1, 2, 3, , 1000} Ba số khác b1, b2, b3 lấy ngẫu nhiên khơng ngồi tậphợp 997 số lại Hãy tính xác suất để sau vòng xoay thích hợp viên gạch với kích thước a1 × a2 × a3 chứa hộp có kích thước b1 × b2 × b3, với cạnh viên gạch song song với cạnh hộp Ví dụ 17 : Lấy n số nguyên với n ≥ Lấy P1P2 Pn đa giác n cạnh nội tiếp vòng tròn ω[vẽ hình sau] Chọn ngẫu nhiên ba điểm Pi, Pj Pk, i, j, k số nguyên khác nằm n, bao gồm n Tính xác suất để tam giác PiPjPk tù Chỉnhhợp lặp: Cho tậphợp A có n phần tử Nếu ta xếp n phần tử vào k vị trí có thứ tự (mỗi phần tử có mặt nhiều lần) ta chỉnhhợp lặp chập k n phần tử Số chỉnhhợp lặp chập k n phần tử (số cách xếp) nk Tổhợp lặp: • Cho tậphợp A có n phần tử Từ n phần tử tập A, ta tạo k phần tử phần tử lặp lại ta tổhợp lặp chập k n phần tử • Số tổhợp lặp chập k n phần tử (số cách xếp) ta ký hiệu là: Cnk Cnk = Cnm+ m- ...Ta có nguyên âm 21 phụ âm tiếng Anh Một từ có chữ thoả yêu cầu to n thực theo bước sau: Bước 1: Từ nguyên âm {a, e, i, o, u}, ta xếp chúng vào vị trí thứ thứ hai... 5, 6} chữ số e chọn từ {0,2, 4, 6, 8} Vì {2, 3, 4, 5, 6} ∩ {0, 2, 4, 6, 8} = {2, 4, 6} Ta chia to n thành hai trường hợp: Trường hợp 1: a ∈ {2, 4, 6} Bước 1: a có cách chọn Bước 2: e có cách... ý tam giác đếm lần cách chọn này, đếm lần cho đỉnh Vậy có 24/3 = tam giác phân biệt Vậy đáp án to n 8/56 = 1/7 Ví dụ : Cho mảng điểm gồm hàng cột hình 2.3, điểm cách điểm gần đơn vị Hãy xác định