TH2 e1 DuyVN to hop chan le

BẤT BIẾN – TÍNH CHẴN LẺ Vũ Nguyên Duy Giáo viên THPT chuyên Huỳnh Mẫn Đạt – Kiên Giang Việc quan sát tính chẵn lẻ ý tưởng đơn giản hiệu để giải toán tổ hợp Định nghĩa thường gặp nhất, đơn giản ta xem số chẵn có tính chất chẵn số lẻ có tính chất lẻ Định nghĩa mở rộng tình khác với liên hệ hai tính chất trái ngược nhau, chẳng hạn chuyển động chiều kim đồng hồ ngược chiều kim đồng hồ, chuyển động qua trái, qua phải…Như tính chẵn lẻ thực chất thể lớp đồng dư mod bất biến số toán Quy luật bất biến điểm quan trọng để giải tốn Với mục đích cho học sinh lớp 10 tiếp xúc với tổ hợp Trong nội dung báo cáo này, chúng tơi xin trình bày tốn đơn giản nhiều lĩnh vực, mà việc tìm lời giải cần quan sát, phát bất biến liên quan đến tính chẵn lẻ Từ sở cho việc suy luận toán phức tạp I SỰ XEN KẼ Có 11 bánh xếp thành mắc xích khép kín hình vẽ Hỏi tất bánh quay đồng thời không? Lời giải: 11 Đáp án không Giả sử bánh số quay theo chiều kim đồng hồ, nên bánh thứ quay chiều ngược lại bánh thứ lại quay theo chiều kim đồng hồ Tiếp tục vậy, ta thấy bánh mang số thứ tự lẻ quay chiều kim đồng hồ bánh mang số thứ tự chẵn quay ngược lại Theo giả thiết có 11 bánh nên bánh xe sô1 số 11 quay Trên bàn cờ vua, quân mã ô a1 trở ô sau số nước Hãy số nước quân mã số chẵn Lời giải: Quân mã ô a1 ô trắng, nước mã vào ô đen, bước ô trắng Như sau nước số chẵn qn mã trở màu với ô xuất phát ban đầu Trên bàn cờ vua, quân mã ô a1 di chuyển đến ô h8 Hỏi với điều kiện quân mã đến tât lại bàn cờ lần, liệu quân mã có thực ý định khơng? Lời giải: Khơng Ơ a1 h8 màu nên để đến h8 mã phải chẵn nước, mà bàn cờ lại 63 số lẻ II TÍNH ĐỐI XỨNG Có 25 quân cờ bàn cờ 25 × 25 nằm vị trí đối xứng qua đường chéo bàn cờ Chứng minh có qn cờ nằm đường chéo Lời giải: Giả sử tất quân cờ không nằm đường chéo đối xứng, tính chất đối xứng nên qn cờ phải xuất theo cặp mà tổng số quân bàn cờ số lẻ nên vơ lý Có 25 quân cờ bàn cờ 25 × 25 nằm vị trí đối xứng qua hai đường chéo bàn cờ Chứng minh có quân cờ nằm ô giao điểm hai đường chéo Lời giải: Giả sử khơng có qn ô trung tâm tức xếp tất quân bàn cờ đối xứng qua đường chéo, số quân cờ phải số chẵn mà thực tế 25 số lẻ 3 Trong bảng 15 ×15 ơ, ta điền số 1, 2, 3,…, 15 thỏa điều kiện sau: ô đối xứng qua đường chéo chứa số khơng dòng hay cột chứa số trùng Chứng minh đường chéo đối xứng khơng có số trùng Lời giải: Do dòng cột khơng chứa số trùng nên bảng có tất 15 số 1, 15 số 2,…, 15 số 15 Theo ta có điều phải chứng minh III SỐ CHẴN VÀ SỐ LẺ Một bàn cờ × phủ kín qn domino × ? Lời giải: Không thể quân domino phủ kín ơ, qn domino phủ kín số chẵn bàn cờ × có 25 số lẻ Tất quân domino domino xếp thành chuỗi theo luật chơi (mỗi ô kề hai quân domino kề có số chấm nhau) Nếu đầu cuối chuỗi domino số đầu cuối bên chuỗi số mấy? Lời giải: Đáp số số Vì luật chơi domino, quân xuất phải theo cặp số giống (kể quân có cặp giống gọi “bò”) Do đầu cuối bên số số lại khơng ghép với quân phải nằm cuối đầu lại Trong domino, giả sử qn có chứa trống (ơ khơng có chấm nào) ta bỏ Hỏi ta quân lại theo chuỗi luật khơng? Lời giải: Khơng thể Vì luật chơi domino, quân xuất phải theo cặp số giống (kể quân có cặp giống gọi “bò”) Khi bỏ qn có trống, số lại bị lẻ Có thể đổi tờ mệnh giá 25 rub sang mười tờ gồm mệnh giá 1, rub không? Lời giải: Không thể Tổng số số chẵn số lẻ số chẵn An mua tập 96 tờ đánh số trang từ đến 192 Bình lấy 25 tờ cộng tất số trang 25 tờ lại Có tổng 2014? Lời giải: Khơng thể Trên tờ có trang chẵn lẻ Tổng 25 số lẻ số lẻ nên kết tổng 2014 số chẵn Tích 22 số nguyên Chứng minh tổng chúng Lời giải: Thật Tích 22 số nguyên có trường hợp xảy TH1: tất số TH2: tất số -1 TH3: số nguyên gồm -1 phải có số chẵn số -1 Giả sử 22 số nguyên gồm -1 có tổng 0, nghĩa số lượng số số lượng số -1 có 11 số -1 số lẻ Ta gọi “bảng ma thuật” bảng gồm × ơ, chứa số cho tổng tất số dòng, cột đường chéo Hỏi có “bảng ma thuật” chứa 36 số nguyên tố không? Lời giải: Câu trả lời không Trong tất số nguyên tố có số số chẵn, lại số lẻ Như vậy, tổng cột chứa số số lẻ tổng số cột lại số chẵn Đặt số từ đến 10 hàng ngang đặt tùy ý dấu “+” “-“ vào hai số kề Trong tất trường hợp xảy ra, giá trị biểu thức khơng? Lời giải: Ta tính tổng từ đến 10: + + + 10 = 55 Ta đặt dấu “+” vào số, nên đặt dấu “-“ vào hai số kề chẳng hạn a − b , tức từ tổng ban đầu ta trừ 2b , trừ số chẵn nên tính chẵn lẻ tổng không đổi Tổng ban đầu 55 số lẻ mà số chẵn nên giá trị biểu thức không Một châu chấu nhảy hàng ngang Bước nhảy cm, bước nhảy thứ hai cm, bước tăng thêm cm lần nhảy châu chấu sang phải trái tùy thích Chứng tỏ rẳng sau 2014 bước nhảy châu chấu khơng thể quay trở vị trí ban đầu Lời giải: Lí luận 10 Viết tất số 1, 2,…, 2014 lên bảng Ta thực cơng việc xóa hai số bảng đồng thời ta điền lên bảng số hiệu dương hai số vừa xóa Sau nhiều lần thực thao tác trên, bảng lại số Số số 0? Lời giải: Ta có S = + + + 2014 số lẻ Xóa số a, b thêm vào a − b , nhận thấy −a − b + a − b số chẵn nên không làm thay đổi tính chẵn lẻ tổng ban đầu Do số cuối bảng số BÀI TẬP TỔNG HỢP Một bàn cờ vua phủ kín quân domino với điều kiện ô a1 h8 không bị phủ hay không? Lời giải: Câu trả lời quân domino phủ ô trắng ô đen, quân domino phủ số ô trắng ô đen Trên bàn cờ vua có 32 trắng 32 ô đen xen kẽ Bỏ ô a1 h8 ô trắng, bàn cờ có số đen va trắng khơng 2 Cho 45 điểm nằm đường thẳng AB đoạn AB Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm đến A khơng tổng khoảng cách từ điểm đến B Lời giải: Lấy điểm X ngồi đoạn AB, ta có XA − XB = ± AB Giả sử tổng khoảng cách từ 45 điểm đến A tổng khoảng cách từ điểm AB ±  AB ± ± AB đến B, tức ta có đẳng thức ±    = (*) 45 AB Lí luận tương tự mục III ta có đẳng thức (*) khơng thể xảy Xét bảng vng × Tại ô bảng vuông có chứa dấu “+” “-” Mỗi lần thực hiện, cho phép đổi dấu tất ô hàng cột Giả sử bảng vng ban đầu có dấu “+” 15 dấu “-” Hỏi đưa bảng ban đầu bảng có tồn dấu “+” không? Lời giải: Câu trả lời không Thay dấu “+” số dấu “-” -1 Xét tích tất số bảng vng Khi qua phép biến đổi tích khơng thay đổi (vì đổi dấu số) Vì cho dù thực lần, từ bảng vuông (1, 15) đưa bảng vng có số lẻ dấu “-”, có nghĩa khơng thể đưa bảng có tồn dấu “+” Xét bảng vng × Tại bảng vng có chứa số số Mỗi lần thực hiện, cho phép đổi số thành số ngược lại tất ô hàng cột Giả sử bảng vuông ban đầu có số ba tùy ý 61 số tất lại Hỏi đưa bảng ban đầu bảng có tồn số khơng? Lời giải: Câu trả lời không Gọi k số chữ số hàng Sau đổi, số chữ số − k , số chữ số thay đổi (8 − k ) − k = − 2k ln số chẵn nên tính chẵn lẻ số chữ số không thay đổi sau lần thực Vì ban đầu có chữ số số lẻ nên sau hữu hạn bước khơng thể đưa bảng tồn chữ số Cho bảng 4x4 Trên ô vuông bảng này, ban đầu người ta ghi chữ số chữ số cách tùy ý ( số ô) Với phép biến đổi bảng, cho phép biến đổi hàng cột cách đồng thời thành thành Chứng minh sau hữu hạn bước biến đổi vậy, ta đưa bảng tồn sơ Lời giải: Gọi k số chữ số hàng Sau đổi, số chữ số 4-k , số chữ số thay đổi 4-2k số chẵn Vì ban đầu có chữ số số lẻ nên sau hữu hạn bước đưa bảng toàn chữ số Trên bảng vng có × vng bao gồm 32 ô trắng 32 ô đen Nếu người chơi thay đổi tất trắng thành đen ô đen thành trắng lúc hàng cột bất kì, sau thực hữu hạn bước bảng đen khơng? Lời giải: Câu trả lời khơng Nếu có k đen hàng cột trước thực thay đổi, sau thực lần thay đổi, số đen hàng cột − k , thay đổi số ô đen (8 − k ) − k = − 2k đen bảng Vì − 2k số chẵn nên tính chẵn lẻ số đen giữ ngun Do bắt đầu có 32 đen nên khơng thể lại ô đen bảng Cho số 1, 2, 3,…,n bảng, lần thực người ta xóa hai số viết thêm vào bảng số tổng hai số xóa Hỏi chữ số cuối số nào? Lời giải: Xóa hai số a b thay vào số ( a + b) nên tổng số bảng không đổi n( n + 1) Do số cuối + + + n = Trên bảng người ta viết số tự nhiên từ tới 2n+1 , sau thực trò chơi sau: lần xóa hai số viết vào bảng số tổng hiệu dương số xóa bảng số Số cuối khơng? (Hiệu hai số không ghi lên bảng) Lời giải: Cách 1: Số ô lẻ trường hợp n + Để ý trình biến đổi số số lẻ khơng đổi giảm nên tính chẵn lẻ số lẻ khơng đổi Khi bảng số 1, tức số số lẻ số lẻ, suy n + số lẻ nên n chẵn Vậy số cuối n chẵn Cách 2: Ta có + + + (2n + 1) = ( n + 1)(2n + 1) • Nếu n lẻ tổng số bảng chẵn dễ thấy với qui tắc tính chẵn lẻ tổng khơng đổi nên cuối xuất số • Nếu n chẵn, đặt n = 2k Chia số từ đến 4k + thành sau: {1} , {2,3, 4,5} , {6,7,8,9} , , {4k − 2, 4k − 1, 4k , 4k + 1} Với số dạng 4m − 2, 4m − 1, 4m, 4m + , ta ln có [ (4m − 2) + (4m + 1)] − [(4m − 1) + 4m] = Như tồn cách biến đổi số {4k − 2, 4k − 1, 4k , 4k + 1} cho sau biến đổi lại số Do sau biến đổi bảng lại số Trên bảng ta viết tập hợp số gồm số 0, Ta thực xóa hai số khác điền vào chữ số số lại (nghĩa thay cho 1, thay cho 2; thay cho 1) Chứng minh sau số lần thực thao tác trên, bảng lại chữ số chữ số khơng phụ thuộc vào thứ tự thực thao tác số có bảng Lời giải: Ta thực lần thao tác số lượng loại ba loại tăng lên giảm 1, nên số lượng loại số thay đổi tính chẵn lẻ Khi bảng lại số, nghĩa hai số 0, có số lượng khơng số thứ ba Nghĩa từ đầu số lượng hai số ba số bảng phải tính chẵn lẻ số lại có tính chẵn lẻ khác Vì khơng phụ thuộc vào thứ tự thực thao tác, cuối số 0, lại, số có số lượng chẵn lẻ khác với số lượng chẵn lẻ hai số Chú ý: Nếu số lượng ba loại số bảng có tính chẵn lẻ dù có thực thao tác cuối khơng thể số bảng 10 Trên bảng ta viết ba số nguyên, sau ta xóa số viết vào tổng hai số lại trừ Thao tác lặp lại số lần cuối nhận ba số 17, 2011 2015 Phải số bảng viết 2, 2, Lời giải: Sau bước từ ba số 2, ta nhận 2, Chú ý ba số có hai số chẵn số lẻ, ta biết số chẵn tổng số chẵn số lẻ trừ 1, số lẻ tổng hai số chẵn trừ 1, từ bước thứ hai trở kết ln ln có hai số chẵn số lẻ dù ta thực số Nhưng kết cho ba số lẻ, nên ta có điều phải chứng minh 11 Một hình tròn chia thành 10 hình quạt, ô người ta đặt viên bi Ta thực hiện: lần lấy ô viên bi, chuyển sang ô kế bên theo chiều ngược (cùng chiều kim đồng hồ ngược chiều kim đồng hồ) chuyển tất viên bi không? Lời giải: Câu trà lời Trước tiên ta đánh số hình quạt theo thứ tự từ đến 10 Nếu di chuyển bi ô số lẻ bi số chẵn tổng số bi ô lẻ, tổng số bi ô chẵn không đổi Nếu di chuyển bi hai số chẵn, lẻ tổng số bi ô chẵn lẻ, tăng thêm bị nên tính chẵn lẻ không thay đổi Ban đầu tổng số bi ô số lẻ là số lẻ nên sau bước thực không thể đưa tổng hay 10 viên bi Vì chuyển tất viên bi ô TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Diễn đàn Mathscope.org [2] Giải toán phương pháp đại lượng bất biến – Nguyễn Hữu Điển [3] Mathematical Circles (Russian Experience) – Dmitri Fomlin, Sergey Genkin, LLia Ltenberg ... ô TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Diễn đàn Mathscope.org [2] Giải to n phương pháp đại lượng bất biến – Nguyễn Hữu Điển [3] Mathematical Circles (Russian Experience) – Dmitri Fomlin, Sergey Genkin, LLia... số chữ số không thay đổi sau lần thực Vì ban đầu có chữ số số lẻ nên sau hữu hạn bước đưa bảng to n chữ số Cho bảng 4x4 Trên ô vuông bảng này, ban đầu người ta ghi chữ số chữ số cách tùy ý (... 22 số nguyên Chứng minh tổng chúng Lời giải: Thật Tích 22 số ngun có trường hợp xảy TH1: tất số TH2: tất số -1 TH3: số nguyên gồm -1 phải có số chẵn số -1 Giả sử 22 số nguyên gồm -1 có tổng 0,