TH1 d2 MinhKD to hop chinh hop chon tap con

BÀI BÁO HỘI THẢO KHOA HỌC GV THPT CHUYÊN TỔ HỢP, CHỈNH HỢP, SỐ CÁCH CHỌN CÁC TẬP CON CỦA MỘT TẬP HỢP KIỀU ĐÌNH MINH (THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ) I TỔ HỢP Tổ hợp không lặp Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k ( ≤ k ≤ n ) phần tử thuộc A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Nhận xét: Hai tổ hợp coi khác có phần tử khác Số tổ hợp chập k ( ≤ k ≤ n ) n phần tử, kí hiệu Cnk tính theo cơng thức n! k !( n − k )! Thí dụ Có cách chia lớp 40 học sinh thành bốn tổ, cho tổ có 10 học sinh? Lời giải Đầu tiên lập tổ cách chọn tuỳ ý 10 học sinh 40 học sinh lớp, nên số cách chọn số tổ hợp chập 10 40 phân tử, tức 40! 10 C40 = 10!30! Tổ chọn 10 em tuỳ ý 30 em lại, nên số cách thành lập tổ số tổ hợp chập 10 30 phần tử, tức 30! 10 C30 = 10!20! Tổ chọn 10 20 em lại, nên số cách thành lập tổ số tổ hợp chập 10 20 phần tử, tức 20! 10 C20 = 10!10! Tổ gồm 10 em lại, nên có số cách chọn C1010 = 40! 10 10 10 C30 C20 C1010 = Vậy số cách chia lớp C40 (cách).■ (10!) Bài toán tổng quát Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên dương Cnk = k1 , k2 , , km ; m ∈ * m :  ki = n Hỏi có cách phân hoạch tập hợp A thành m tập i =1 sau: A = B1 ∪ B2 ∪ ∪ Bm ; Bi ∩ B j = ∅, ∀i ≠ j cho Bi = ki , i = 1, 2, , m Lời giải Tương tự tốn kết Cnk1 Cnk−2 k1 Cnk−3 k1 −k2 Cnk−mk−11 −k2 − −km−2 = n! ■ k1 !k2 ! km ! Thí dụ Tổ có 10 người, tổ hai có người Hỏi có cách chọn nhóm gồm người cho tổ có người? Lời giải Giả sử ta chọn k người tổ − k người tổ hai Vì tổ có người nên ≤ k ≤ Số cách chọn k người số 10 người tổ C10k Ứng với cách chọn trên, ta có số cách chọn − k người người tổ hai C98−k Theo quy tắc nhân, ta số cách chọn nhóm người S k = C10k C98−k Cho k 2,3, ,6 áp dụng quy tắc cộng, ta số cách chọn nhóm người thoả mãn toán S = S1 + S + + S6 = C102 C96 + C103 C95 + + C106 C92 = 74088 ■ Bài toán tổng quát Cho tập hợp A có n phần tử, tập hợp B có m phần tử Tính số cách chọn p phần tử từ hai tập hợp ( p < n + m ) thoả mãn điều kiện Lời giải Ta giải theo hai cách sau 1)Tính trực tiếp Giả sử ta chọn k phần tử tập hợp A p − k phần tử tập hợp B (trường hợp giả thiết cho nhiều tập hơn, ta làm tương tự) Só cách chọn S k = Cnk Cmp −k Cho k thay đổi phù hợp với giả thiết toán lấy tổng tất số hạng Sk tương ứng, ta kết cần tìm 2)Tính gián tiếp Số cách chọn k phần tử từ A, B cách Cnk+m Kết phải tìm hiệu Cnk+m với tổng số hạng Sk , tương ứng với giá trị k không thoả mãn giả thiết tốn.■ Thí dụ Có cách chia 100 kẹo giống cho người cho người kẹo? Lời giải Giả sử 100 kẹo xếp thành hàng ngang, chúng có 99 khoảng trống Đặt cách vạch vào số 99 khoảng trống đó, ta cách chia 100 kẹo thành phần để gán cho người Khi người kẹo tổng số kẹo người 100 , thoả mãn yêu cầu toán Vậy số cách chia C993 = 156849 (cách).■ Bài tốn tổng qt 3.1 Có cách chia n kẹo giống cho k người cho người kẹo? Bài tốn phát biểu dạng: Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình x1 + x2 + + xk = n Và đáp số toán Cnk−−11 Bài toán tổng quát 3.2 (Bài toán chia kẹo Euler) Có cách chia n kẹo giống cho k người ? hay tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + + xk = n Bằng cách đặt yi = xi + 1, i = 1, 2, , n ta chuyển phương trình y1 + y2 + + yk = n + k với yi ≥ Theo tốn 3.1 kết Cnk+−k1−1 Bài tốn phát biểu dạng: Tìm số tất ánh xạ f : {1, 2, , k } → k cho  f (i ) = n i =1 Thí dụ Rút ngẫu nhiên 13 quân từ 52 qn Tính xác suất để 13 qn có “tứ quý” 13 Lời giải Có C52 cách rút 13 quân từ 52 quân Ta cần tìm số cách rút có qn giống (về số) Trước hết ta đếm số cách rút có “tứ quý” A Rõ ràng có C48 cách rút (lấy A từ 48 lại) Với qn khác Vì có 13 quân khác nên số cách rút có tứ quý 13.C48 Trong lời giải trên, đếm lặp Cụ thể cách rút có hai tứ quý, chẳng hạn tứ quý K tứ quý A đếm hai lần: Một lần tứ quý A lần tứ quý K Nhưng ta đếm số tứ quý mà số lần gặp tứ quý Như thế, lần đếm Lý luận tiếp tục thế, lặp phải trừ Dễ thấy, số cách rút có tứ quý K A C44 ta có số xác cách rút có tứ quý là: 13.C48 − C132 C44 + C133 C40 Và xác suất cần tìm 13.C48 − C132 C44 + C133 C40 ( ) ≈ 0,034 ■ P= 13 C52 Thí dụ (IMO 1998) Trong thi có a thí sinh b giám khảo, b ≥ số lẻ Mỗi giám khảo đánh giá thí sinhvà cho kết luận thí sinh “đỗ” hay “trượt” Giả sử k số thoả mãn điều kiện: Với hai giám khảo bất kỳ, số thí sinh mà họ cho kết k b −1 luận giống nhiều k Chứng minh ≥ a 2b Lời giải Do có Cb2 cặp giám khảo cặp cho kết luận giống nhiều k nên tổng số đồng ý nhiều kCb2 Với ≤ i ≤ a , giả sử thí sinh thứ i xi giám khảo kết luận đỗ yi giám khảo kết luận trượt, ta có xi + yi = b Thế số cặp giám khảo đồng ý thí sinh là: 1 1 2  Cx2i + C y2i = ( xi2 + yi2 − xi − yi ) ≥  ( xi + yi ) − b  = ( b − 1) − 1   2 2  Vì b lẻ nên ta tăng cận tới ( b − 1) Suy a a ( b − 1) k b −1 ■ kCb2 ≥  Cx2i + C y2i ≥  ≥ a 2b i =1 Thí dụ (IMO 1981) Cho hai số tự nhiên n r cho ≤ r ≤ n Ta xét tất tập tập hợp {1;2;3; ;n} gồm r phần tử Trong tập hợp ta lấy phần tử nhỏ ( ) n +1 r +1 Lời giải Theo đề ta phải tìm tất tập hợp tập hợp {1;2;3; ;n} gồm r Chứng minh số trung bình cộng phần tử nhỏ phần tử Sau lại phải biểu thị số trung bình cộng theo n r vơi điều kiện : ≤ r ≤ n Trước hết ta nhận xét phần tử nhỏ tập hợp gồm r phần tử tập hợp {1;2;3; ;n} số 1, 2, ,(n − r + 1) Hơn nữa, số tự nhiên k ≤ n − r + phần tử nhỏ Cnr−−1k tập hợp gồm r phần tử Thật vậy, tập hợp phải chứa, k ra, ( r − 1) phần tử tập hợp {k + 1; k + 2; ; n} gồm ( n − k ) phần tử Bây tổng S tất phần tử nhỏ là: S = 1.Cnr−−11 + 2.Cnr−−12 + + ( n − r + 1) Cnr−−(1n−r +1) Vì số tập hợp gồm r phần tử Cnr nên để giải toán ta phải chứng minh S n +1 = , tức Cnr r + S= n +1 n! ( n + 1)! = C r +1 = n +1 ( ) r + r !( n − r )! ( r + 1)! ( n − r )! Áp dụng đẳng thức Pascal quen thuộc Cmk ++11 = Cmk +1 + Cmk ( ) Ta biến đổi tổng S sau S = 1.( Cnr − Cnr−1 ) + 2.( Cnr−1 − Cnr−2 ) + + ( n − 1) ( Crr+1 − Crr ) + ( n − r + 1) Crr = Cnr + Cnr−1 + + Crr+1 + Crr Vậy ta phải chứng minh Cnr + Cnr−1 + + Crr = Cnr++11 ( 3) Chứng minh quy nạp dễ dàng cách dựa vào đẳng thức Pascal trên.■ Lời giải Gọi A ( B ) số trung bình cộng phần tử nhỏ nhất(của phần tử lớn nhất) theo ra, ta dễ dàng thấy rằng: ( n + 1) ( Cnr−−11 + Cnr−−12 + + Crr−−11 ) ( n + 1) ( Cnr−−11 + Cnr−−12 + + Crr−−11 ) A+ B = = = n +1 Cnr Cnr−−11 + Cnr−−12 + + Crr−−11 n +1 ; muốn cần chứng minh B = A.r hay Theo ta phải chứng minh A = r +1 B = A Thành thử ta phải chứng minh: r n r −1 n − r −1 r Cn−1 + Cn−2 + + Crr−−11 = 1.Cnr−−11 + 2.Cnr−−12 + + ( n − r + 1) Crr−−11 ( ) r r r Ta nhận thấy n − k + r −1 ( n − k )! ( n − k + 1) Cn−k = = Cnr−k +1 r r ( r − 1)!.( n − k + 1)! Như vế trái đẳng thức ( ) Cnr + Cnr−1 + + Crr Dựa vào đẳng thức ( 3) lời giải ta suy điều phải chứng minh.■ Nhận xét: Theo lời giải ta có thêm kết mới: Số trung bình cộng phần tử ( n + 1) r lớn tất tập hợp tập {1;2;3; ;n} gồm r phần tử r +1 Tổ hợp lặp Định nghĩa: Cho tập hợp A = {a1 , a2 , , an } Một tổ hợp lặp chập m ( m không thiết phải nhỏ n ) n phần tử thuộc A gồm m phần tử, mà phần tử phần tử A Ta sử dụng Cnm để kí hiệu số tổ hợp lặp chập m n phần tử Khi Cnm = Cnm+m−1 Thí dụ Giả sử có loại bóng màu : Xanh, Đỏ, Tím, Vàng, với số lượng loại khơng hạn chế Hai bóng xem khác nhau, có màu với số lượng thuộc hai khác Liệu có cách chọn (quả bóng) khác nhau? Lời giải Vì sau có bóng màu khơng phân biệt thứ tự chọn, nên số cách chọn khác số tổ hợp lặp chập phần tử (tập hợp bóng màu coi phần tử) tính cơng thức 9! = 84 ■ 6!3! Thí dụ Tiền giấy Ngân hàng quốc gia Việt Nam lưu hành phổ biến thị trường có 10 loại: 200,500,1000,5000,10000, 20000,50000,100000,500000 Hãy xác định số khác gồm 15 tờ giấy bạc Ngân hàng quốc gia Việt Nam Lời giải Mỗi gồm 15 tờ giấy bạc thuộc không 10 loại, nên có tờ giấy bạc loại Mặt khác không quan tâm đến thứ tự xếp, nên số giấy bạc khác gồm 15 tờ số tổ hợp lặp chập 15 10 (loại), tức 24! 15 C1015 = C1015+15−1 = C24 = = 1307504 ■ 15!9! Thí dụ Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + + xk = n (bài toán tq 3.2) Lời giải Nếu ( t1 , t2 , , tk ) nghiệm nguyên không âm phương trình cho, C46 = C46+6−1 = cho ứng với tổ hợp lặp chập n k phần tử kiểu ( t1 , t2 , , tk ) Đảơ lại, có tổ hợp lặp chập n k phần tử dạng ( t1 , t2 , , tk ) ta tìm nghiệm ngun khơng âm phương trình cho cách đặt x1 = t1 , x2 = t2 , , xk = tk Vậy số nghiệm ngun khơng âm phương trình cho số tổ hợp lặp chập n k phần tử Ckn = Ckn+n−1 = Cnk+−k1−1 ■ II CHỈNH HỢP Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi gồm k ( ≤ k ≤ n ) phần tử thứ tự tập hợp A gọi chỉnh hợp chập k n phần tử thuộc A Kí hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử Ank Khi n! Ank = n ( n − 1) ( n − k + 1) = ( n − k )! Thí dụ 10 Có học sinh thầy giáo xếp thành hàng ngang Hỏi có cách xếp cho thầy giáo không đứng cạnh nhau? Lời giải Trước hết, xếp học sinh thành hàng: Có 6! cách Khi học sinh đóng vai trò vách ngăn tạo nên vị trí xếp thầy giáo vào Xếp thầy giáo vào vị trí : Có A72 cách Theo quy tắc nhân , có tất 6! A72 = 30240 cách xếp.■ Thí dụ 11 Có số tự nhiên gồm chữ số khác cho có mặt đồng thời ba chữ số 0,1, ? Lời giải Gọi số tạo thành a1a2 a3a4 a5 Số tạo thành có chữ số vị trí: Ta có cách chọn vị trí cho chữ số ; số cách chọn vị trí lại cho hai chữ số A42 ; số cách chọn chữ số lại (khác 0,1, ) cho vị trí lại A72 Theo quy tắc nhân, ta số số tạo thành A42 A72 = 2016 ■ Bài toán tổng quát Cho tập hợp gồm n chữ số khác ( n ≤ 10 ) , n chữ số cho có chữ số Từ chúng viết số tự nhiên có m chữ số khác cho có mặt k chữ số định trước (thuộc n chữ số trên) với k < m ≤ n ? Lời giải Số tạo thành gồm m chữ số có dạng a1a2 am Gọi tập hợp k chữ số định trước X Trường hợp X chứa chữ số Ta có m − cách chọn vị trí cho chữ số ; số cách viết k − chữ số khác thuộc X vào k − vị trí m − vị trí lại Amk −−11 ; số cách viết m − k số n − k chữ số không thuộc X vào m − k vị trí lại Anm−−kk Theo quy tắc nhân, ta số số tạo thành trường hợp bằng: S = ( m − 1) Amk −−11 Anm−−kk Trường hợp X khơng chứa chữ số Ta tính theo bước: Bước Tính số số tạo thành chứa chữ số Lần lượt có m − cách chọn vị trí cho chữ số ; số cách viết k chữ số thuộc X vào k vị trí m − vị trí lại Amk −1 ; số cách viết m − k − n − k − chữ số khác mà không thuộc X vào m − k − vị trí lại Anm−−kk−−11 Theo quy tắc nhân, ta số số tạo thành chứa chữ số S1 = ( m − 1) Amk −1 Anm−−kk−−11 Bước Tính số số tạo thành không chứa chữ số Số cách viết k chữ số thuộc X vào k vị trí m vị trí Amk ; Số cách viết m − k số n − k − chữ số khác mà không thuộc X vào m − k vị trí lại Anm−−kk−1 Theo quy tắc nhân, ta số số S = Amk Anm−−kk−1 Bước Theo quy tắc cộng, ta số số tạo thành trường hợp thứ hai S = S1 + S = ( m − 1) Amk −1 Anm−−kk−−11 + Amk Anm−−kk−1 ■ Thí dụ 12 Cho tập hợp {0,1, 2,3, 4,5} Hỏi viết số có chữ số khác từ tập hợp cho hai chữ số không đứng cạnh nhau? Lời giải Gọi số tạo thành a1a2 a3a4 Trước hết ta tính số số tạo thành Số cách chọn chữ số cho a1 ; số cách chọn ba năm chữ số lại cho ba vị trí lại số tạo thành A53 Theo quy tắc nhân, ta số số A53 = 300 Bây ta tính số số tạo thành cho có hai chữ số đứng cạnh nhau> +) Giả sử xếp theo thứ tự 12 Nếu a1a2 = 12 : Số cách chọn hai bốn chữ số lại chi hai vị trí lại số tạo thành A42 Nếu a1a2 ≠ 12 : Số cách chọn vị trí cho 12 ( a2 a3 a3 a4 ); số cách chọn chữ số cho a1 ; số cách chọn ba chữ số cho vị trí lại số tạo thành A31 = ; ta số số 2.3.3 = 18 Theo quy tắc cộng, số số tạo thành cho có chứa 12 12 + 18 = 30 +) Tương tự, số số tạo thành cho có chứa 21 30 Vậy số số tạo thành cho khơng có hai chữ số đứng cạnh 300 − 2.30 = 240 (số).■ Bài toán tổng quát Cho tập hợp gồm n chữ số khác ≤ n ≤ 10 Từ chúng viết số tự nhiên có m ( m ≤ n ) chữ số khác cho có hai chữ số định trước không đứng cạnh nhau? Lời giải Số tạo thành có dạng a1a2 am hai chữ số định trước x, y (thuộc n chữ số cho) Ta xét trường hợp giả thiết chữ số x, y chữ số sau: Trường hợp Giả thiết n chữ số cho chứa chữ số hai chữ số định trước x, y khác Bước Tính số số tạo thành chưa xét đến hai chữ số định trước: Có n − cách chọn chữ số cho a1 ; số cách chọn m − n − chữ số lại cho m − vị trí lại Anm−−11 Do số số tạo thành là: S1 = ( n − 1) Anm−−11 Bước Tính số số có hai chữ số x, y cạnh theo thứ tự xy yx +) Xét trường hợp x, y cạnh theo thứ tự xy Với a1a2 = xy Khi số a3a4 am ứng với chỉnh hợp chập m − n − chữ số khác x, y Số số S = Anm−−22 Với a1a2 ≠ xy Lần lượt ta có n − cách chọn chữ số cho a1 khác 0, x, y ; m − cách chọn vị trí cho xy ; số cách chọn m − n − chữ số lại khác a1 , x, y cho m − vị trí lại Anm−−33 Theo quy tắc nhân, số số S3 = ( n − 3) ( m − ) Anm−−33 Từ hai trường hợp trên, ta số số có chứa xy S + S3 +) Tương tự có S2 + S3 số có chứa yx Bước Vậy số số tạo thành trường hợp thứ S = S1 − ( S2 + S3 ) = ( n − 1) Anm−−11 − ( Anm−−22 + ( n − 3)( m − ) Anm−−33 ) Trường hợp Giả thiết n chữ số cho chứa chữ số hai chữ số định trước x, y Bước Tính số số tạo thành chưa xét đến hai chữ số x, y định trước S1 = ( n − 1) Anm−−11 Bước Tính số số có x, y cạnh dạng x0 0x thứ tự S = ( m − 1) Anm−−22 ; S3 = ( m − ) Anm−−22 Số số tạo thành trường hợp thứ hai S = S1 − ( S + S3 ) Trường hợp Giả thiết n chữ số cho khơng có chữ số Khi số số tạo thành S = Anm − ( m − 1) Anm−−22 ■ Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Cho tập hữu hạn X gồm n phần tử Mỗi dãy có độ dài k phần tử X , mà phần tử lặp lại nhiều lần xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử thuộc tập X Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử, kí hiệu Ank , số ánh xạ từ tập k phần tử đến tập n phần tử n k , tức Ank = n k Thí dụ 13 Từ bốn chữ số 1, 2,3,5 thành lập số chẵn gồm bốn chữ số? Lời giải Vì tập {1, 2,3,5} có chữ số chẵn , nên x = abcd với a, b, c, d ∈ {1, 2,3,5} số chẵn d = Mặt khác a, b, c nhau, nên y = abc chỉnh hợp lặp chập bốn phần tử 1, 2,3,5 Để thành lập số x ta cần lấy số y thêm vào cuối Bởi vậy, số số x = abc số số y = abc A43 = 43 = 64 Chẳng hạn: 1112,1122,1132, ,5532,5552 ■ Thí dụ 14 Có thể lập biển số xe với hai chữ đầu thuộc tập { A, B, C , D, E} , số nguyên dương gồm chữ số chia hết cho ? Lời giải Giả sử biển số xe có dạng XY abcde Vì X , Y trùng nên XY chỉnh hợp lặp chập phần tử A, B, C , D, E , nên số cách chọn XY A52 = 52 = 25 Do a ≠ , nên có cách chọn a chữ số thập phân khác Vì abcde5 ⇔ e ∈ {0;5} nên có hai cách chọn chữ số e Do b, c, d trùng nhau, nên số bcd chỉnh hợp lặp chập 10 chữ số 0,1, 2, ,9 Bởi số cách chọn số bcd A103 = 103 = 1000 Vậy số biển số xe thành lập theo yêu cầu là: 25.2.9.1000 = 45000 (biển số).■ III SỐ CÁCH CHỌN CÁC TẬP CON CỦA MỘT TẬP HỢP Một đối tượng đếm quan trọng số cách chọn tập k phần tử tập n phần tử cho trước, có thứ tự hay khơng có thứ tự có ràng buộc điều kiện Có phương pháp thường dùng là: Liệt kê, thiết lập hệ thức truy hồi, dùng ánh xạ, phân hoạch Ta bắt đầu tốn sau: Thí dụ 15 (Thi tuyển sinh lớp 10 chun tốn ĐHSP HN 2014) Có tập A tập hợp {1, 2, , 2014} thoả mãn điều kiện: A có hai phần tử y2 ∈A x− y Lời giải Với A tập hợp tập {1, 2, , 2014} thoả mãn yêu cầu toán, gọi a x ∈ A, y ∈ A, x > y a2 a2 ∈ A , suy ≥ a , phần tử nhỏ A Xét b ∈ A, b ≠ a , suy b > a b−a b−a b ≤ 2a (1) Gọi c, d hai phần tử lớn A, c < d , từ (1) ta có d ≤ 2a  d ≤ 2c ( ) Theo giả thiết, c2 c2 c2 c2 ∈ A Mặt khác, ( ) nên ≥ =c ∈ {c; d } d −c d − c 2c − c d −c c −1 ± c2 c c , không tồn = d , ta có   +   − =  = Trường hợp 1: d −c d d  d  c, d ∈ c2 = c , ta có c = dc − c  d = 2c Mà d ≤ 2a ≤ 2c , suy c = a, d = 2a d −c Do A = {a;2a} , với a = 1, 2, ,1007 ■ Trường hợp 2: Thí dụ 16 Có số tự nhiên có ba chữ số lấy từ tập {1, 2,3, 4,5,6} a) Các chữ số không cần phải khác nhau? b) Các chữ số phải khác nhau? c) Các chữ số phải khác chứa số ? d) Các chữ số không cần phải khác chứa số ? Lời giải a) 63 = 216 b) 6.5.4 = 120 c) Đầu tiên ta chọn vị trí cho số , sau chọn hai số lại Đáp số 3.5.4 = 60 d) Nếu tiếp tục làm ta kết 3.6.6 , kết khơng xác Vì làm số 323 đếm hai lần Vấn đề chỗ ta dùng sai nguyên lý nhân, hai tổ hợp khác cách thực công việc phải cho hai kết khác ta áp dụng nguyên lý nhân Bài ta lại phải chia thành toán giải chúng Ta chia theo vị trí số nằm bên trái Nếu số nàm vị trí hàng trăm thí số có ba chữ số phải có dạng 3ab , nằm vị trí hàng chục số có ba chữ số phải có dạng a3b với a ≠ , cuối cùng, số nằm vị trí hang đơn vị thí số có ba chữ số phải có dạng ab3 với a, b ≠ Giải toán ta đáp số 6.6 + 5.6 + 5.5 = 91 ■ Thí dụ 17 Cho tập hợp S = {1, 2, , 2k } ( k ≥ 1) a) Tính số tập gồm hai phần tử S thoả mãn tổng hai phần tử số lẻ b) Tính số tập gồm hai phần tử S thoả mãnc tổng hai phần tử số chẵn Lời giải a) Với cách chọn a1 ta có k cách chọn a2 khác tính chẵn lẻ với a1 Do số 2k k tập thoả mãn đề = k tập b)Số tập thoả mãn đề C22k − k = k ( 2k − 1) − k = k − k tập Nhận xét: Ta làm ý b) theo cách trực tiếp sau: Với cách chọn a1 ta có k − cách chọn a2 tính chẵn lẻ với a1 Do số tập thoả mãn đề 2k ( k − 1) S thành hai tập = k2 − k tập Có thể chia (phân hoạch) A = {1,3, , 2k − 1} , B = {2, 4, , 2k } Số tập có hai phần tử A B k ( k − 1) = k − k tập.■ Thí dụ 18 (Đồng Nai TST 2012) Cho tập hợp S = {1, 2, , 20} Tìm số tập T Ck2 Do số tập thoả mãn đề Ck2 + Ck2 = S , biết số phần tử T tổng phần tử T chia hết cho Lời giải Phân hoạch S thành ba tập A, B, C A = {3,6,9,12,15,18} (gồm số chia hết cho ) B = {1, 4,7,10,13,16,19} (gồm số chia cho dư 1) C = {2,5,8,11,14,17, 20} (gồm số chia cho dư ) Gọi T tập thoả mãn yêu cầu tốn, ta có trường hợp sau: ● Có ba phần tử T thuộc B thuộc C phần tử lại phải thuộc A 7! 7! + = 420 Khi số tập T 3!4! 3!4! ● Có hai phần tử T thuộc B suy hai phần tử lại thuộc C Khi số tập T 7! 7! = 441 2!5! 2!5! ● Có phần tử T thuộc B suy ba phần tử lại có hai thuộc A thuộc C 6! Khi số tập T .7 = 735 2!4! ● Khơng có phần tử T thuộc B suy bốn phần tử thuộc A Khi số tập T C64 = 15 Vậy số tập T thoả mãn đề 420 + 441 + 735 + 15 = 1611 tập.■ Thí dụ 19 Cho số nguyên dương n, k thoả mãn 2k ≤ n + Xét tập hợp S = {1, 2, , n} Gọi X tập hợp tất tập A S thoả mãn đồng thời hai tính chất sau: (i) A có k phần tử ( A = k ); A không chứa hai số nguyên liên tiếp (ii) Hãy xác định số phần tử tập hợp X Lời giải (Phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi) Giả sử A ∈ X , A = {a1 , a2 , , ak } S ( n, k ) = X Có hai khả sau xảy ● Nếu a1 ≠ số cách chọn tập A thoả mãn S ( n − 1, k ) ● Nếu a1 = a2 ≠ số cách chọn tập A S ( n − 2, k − 1) Vậy ta có S ( n, k ) = S ( n − 1, k ) + S ( n − 2, k − 1) (*) Với k = có S ( n,1) = n = Cn1 Với k = có tập sau {1,3} ,{1, 4} , ,{1, n} {2, 4} ,{2,5} , ,{2, n} {n − 2, n} Suy S ( n, ) = (n − 2) + (n − 3) + + = Cn2−1 Sử dụng (*) quy nạp ta S ( n, k ) = Cnk−k +1 Lời giải (Phương pháp thiết lập song ánh) Khơng tổng qt ta giả sử a1 < a2 < < ak Đặt b1 = a1 , b2 = a2 − 1, , bi = − i + 1, , bk = ak − k + Vì ai+1 − ≥ 2k ≤ n + nên ≤ b1 < b2 < < bk ≤ n − k + Suy B = {b1 , b2 , , bk } tập có k phần tử tập hợp {1, 2, , n − k + 1} Gọi Y tập tất tập có k phần tử tập hợp {1, 2, , n − k + 1} Xét ánh xạ f : X →Y A B Khi f song ánh Thật ● f đơn ánh: Vì với A1 , A2 ∈ X , A1 ≠ A2  B1 , B2 ∈ Y , B1 ≠ B2  f ( A1 ) ≠ f ( A2 ) ● f toàn ánh: Giả sử B = {b1 , b2 , , bk } ∈ Y Đặt A = {b1 , b2 + 1, , bk + k − 1} = {a1 , a2 , , ak } Ta có ai+1 − = bi+1 − bi + ≥ nên A ∈ X f ( A) = B Vì có song ánh từ X đến Y nên số phần tử tập X X = Y = Cnk−k +1 ■ 10 Đây toán quen thuộc giải phương pháp ánh xạ thiết lập hệ thức truy hồi Bài tốn phát biểu dạng sau +) Hỏi có cách chọn k số đôi khác từ n số nguyên dương cho k số khơng có hai số hai số nguyên liên tiếp? +) Hỏi có cách chọn k người từ n người xếp thành hàng ngang cho khơng có hai người kề chọn? +) Hỏi có cách tô màu n điểm đường thẳng hai màu Xanh, Đỏ cho có k điểm màu Xanh khơng có hai điểm liên tiếp màu Xanh? Như vậy, cách phát biểu có khác chất tốn khơng thay đổi Đây điểm đặc thù toán Tổ hợp Do giải toán Tổ hợp ta cần phải linh hoạt tình cụ thể Bài toán tổng quát Cho m, n, k số nguyên dương thoả mãn m > 1;1 < k ≤ n − ( k − 1) m Xét tập hợp S = {1, 2, , n} Gọi X tập hợp tất tập A S thoả mãn đồng thời hai tính chất sau: (i) A =k; (ii) − a j > m, ∀ai , a j ∈ A, i ≠ j; i, j = 1, k Hãy xác định số phần tử tập hợp X Lời giải Bài tốn giải hồn tồn tương tự toán trên, chẳng hạn: Giả sử A ∈ X , A = {a1 , a2 , , ak } với ≤ a1 < a2 < < ak ≤ n; − a j > m, ∀1 ≤ j < i ≤ k Đặt b1 = a1 , b2 = a2 − m, , bi = − ( i − 1) m, , bk = ak − ( k − 1) m Vì ≤ a1 < a2 < < ak ≤ n; − a j > m, ∀1 ≤ j < i ≤ k nên ≤ b1 < b2 < < bk ≤ n − ( k − 1) m Suy tập B = {b1 , b2 , , bk } tập có k phần tử tập {1, 2, , n − ( k − 1) m} Gọi Y tập tất tập có k phần tử tập hợp {1, 2, , n − ( k − 1) m} Khi ánh xạ f : X →Y A B Là song ánh Vì ta có X = Y = Cnk−( k −1)m ■ Thí dụ 20 Cho n điểm phân biệt nằm đường thẳng tô hai màu Xanh Đỏ thoả mãn điều kiện sau: (i) Có k điểm tô màu Xanh; (ii) Giữa hai điểm màu Xanh liên tiếp có m điểm tơ màu Đỏ (tính từ trái sang phải); (iii) Ở bên phải điểm màu Xanh cuối có m điểm tơ màu Đỏ Hãy tính số tất cách tô Lời giải Đánh số điểm cho từ trái qua phải 1, 2, , n Đặt tương ứng cách tô màu với k số nguyên dương {a1 , a2 , , ak } , a1 , a2 , , ak điểm tô màu Xanh Dễ thấy tương ứng nói song ánh từ tập cách tô màu thoả mãn đề đến tập T xác định sau T = {a1 , a2 , , ak } \ ∈ {1, 2, , n − m} , ∀i = 1, k ; ai+1 − > m, ∀i = 1, k − { Giả sử A ∈ T , A = {a1 , a2 , , ak } ,1 ≤ a1 < a2 < < ak ≤ n − m } Đặt b1 = a1 , b2 = a2 − m, , bk = ak − ( k − 1) m Vì ai+1 − > m nên ≤ b1 < b2 < < bk ≤ n − km 11 Suy tập B = {b1 , b2 , , bk } tập có k phần tử tập hợp {1, 2, , n − km} Gọi S tập tất tập có k phần tử tập hợp {1, 2, , n − km} Xét ánh xạ f :T → S A B Khi f song ánh Do T = S = Cnk−km Vậy số cách tơ màu cần tìm Cnk−km ■ Bằng cách cắt vòng tròn điểm duỗi thẳng ta đoạn thẳng nên ta có tốn tương ứng vòng tròn sau Thí dụ 21 Cho n người xếp thành vòng tròn Hỏi có cách chọn k người cho khơng có hai người kề chọn? Lời giải Đánh số n người theo chiều kim đồng hồ 1, 2, , n Cắt đường tròn điểm số Khi xảy hai khả sau: ● Người số chọn: Khi người số người số n không chọn Như ta phải chọn thêm k − người từ người số đến người số n − cho khơng có hai người kề chọn Theo kết toán số cách chọn tình Cnk−−31−( k −1)+1 = Cnk−−k1−1 ● Người số không chọn Khi ta cần chọn k người số n − người từ người số đến người số n cho khơng có hai người kề chọn Lại theo kết toán số cách chọn tình Cnk−1−k +1 = Cnk−k Theo quy tắc cộng số cách chọn thoả mãn đề Cnk−−k1−1 + Cnk−k ■ Thí dụ 22 (VNTST 2005) Trên vòng tròn có n ghế đánh số từ tới n Người ta chọn k ghế Hai ghế chọn gọi kề hai ghế chọn liên tiếp Hãy tính số cách chọn k ghế cho hai ghế kề khơng có m ghế khác Lời giải Đánh số ghế đề theo chiều kim đồng hồ A1 , A2 , , An Mỗi ghế chọn xem tô màu Xanh không chọn xem tô màu Đỏ Gọi X tập hợp tất cách tô màu k điểm n điểm cho thoả mãn đề Xét phân hoạch X = X ′ ∪ X ′′ , suy X = X ′ + X ′′ Trong X ′ tập hợp cách tô màu thoả mãn có điểm tơ màu Xanh thuộc tập { A1 , A2 , , Am } X ′′ = X \ X ′ Khi rõ ràng, với phần tử thuộc X ′′ khơng có điểm tô màu Xanh thuộc { A1, A2 , , Am } , tức điểm thuộc tập hợp tô màu Đỏ Ta cắt đường tròn điểm Am , Am+1 rõ ràng tạo đường thẳng thoả mãn tất điều kiện thí dụ 20 Vậy X ′′ = Cnk−km Bây ta tính số phần tử X ′ Xét tập hợp X i′ , phần tử X i′ có điểm Ai tơ màu Xanh, i = 1, m Khi rõ ràng X i′ ∩ X ′j = ∅, ∀i ≠ j m  X′ = X′ i i =1 Với i = 1, m , theo kết thí dụ 20 12 X i′ = Cnk−−11−m−( k −1)m = Cnk−−km −1 Suy X ′ = m X i′ = mCnk−−km −1 Vậy X = X ′ + X ′′ = Cnk−km + mCnk−−km −1 ■ Thí dụ 23 (VMO 1996A) Cho số nguyên dương k , n với k ≤ n Hỏi có tất chỉnh hợp ( a1 , a2 , , ak ) chập k n số nguyên dương đầu tiên, mà chỉnh hợp ( a1, a2 , , ak ) thoả mãn hai điều kiện sau: (i) Tồn s, t ∈ {1, 2, , k} cho s < t as > at (ii) Tồn s ∈ {1, 2, , k} cho ( as − s ) không chia hết cho Lời giải Gọi A = {( a1 , a2 , , ak ) \ k ≤ n, ∈ {1, 2, , n} , ∀i = 1, k} Xét tập B ⊂ A mà ( a1 , a2 , , ak ) ∈ B < ai+1 , ∀i = 1, k − ≡ i ( mod ) , ∀i = 1, k Xét tập D ⊂ A mà chỉnh hợp a ∈ D thoả mãn hai điều kiện cho Thế D = A \ B nên số chỉnh hợp phải tìm D = A − B (1) Để xét số phần tử tập B ta thấy + i ≡ ( mod ) , ∀i = 1, n nên lập ánh xạ f : B → E xác định f { ( ( a , , a , , a ) ) = ( a + 1, , a + i, , a i k i k ( + k ) , i = 1, k ) } Với E = ( e1 , e2 , , ek ) \ ≤ ei ≤ n + k , ei ≡ ( mod ) , ∀i = 1, k ;1 + ei < ei+1 , ∀i = 1, k − Dễ thấy b, b′ ∈ B mà b ≠ b′ f ( b ) ≠ f ( b′ ) nên f đơn ánh Mặt khác từ ei − i ≡ i ( mod ) từ ei < ei+1 − suy ei − i < ei+1 − i − (hay < ai+1 , đặt = ei − i , ai+1 = ei+1 − i − ) mà ≤ ei ≤ n + k nên ≤ < ai+1 ≤ n, ∀i = 1, k Từ với e = ( e1 , e2 , , ek ) ∈ E tồn b = ( a1 , a2 , , ak ) ∈ B cho f ( b ) = e , nghĩa f toàn n + k  ánh Vậy f song ánh nên B = E = Cmk với m =  ( ) (số số chẵn từ đến   n! n! n + k ) Từ (1) ( ) với ý A = Ank = , ta có D = A − E = − Cmk − − n k ! n k ! ( ) ( ) n + k  với m =  ■   Thí dụ 24 Cho số nguyên dương n Hỏi có tất tập tập hợp gồm n số nguyên dương mà tập không chứa hai số nguyên liên tiếp nào? Lời giải (Phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi) Gọi Sn họ tập có tính chất nêu Dễ thấy S1 = 2, S = 3, S3 = Chẳng hạn với n = có tập thoả mãn ∅, {1} ,{2} ,{3} , {1;3} Mỗi tập M ∈ Sn+2 gồm hai loại: Loại gồm tập chứa n + Loại gồm tập không chứa n + 13 ● Nếu M tập loại M khơng chứa n + Do bỏ khỏi M phần tử n + , ta tập Sn Ngược lại tập N Sn tập M = N ∪ {n + 2} tập loại S n+2 Thành thử số tập loại S n ● Mỗi tập loại rõ ràng tập S n+1 ngược lại Thành thử số tập loại S n+1 Do đó, ta có quan hệ sau S n+2 = S n+1 + S n Mặt khác, với dãy Fibonacci, ta có Fn+2 = Fn+1 + Fn Vì S1 = F3 = 2; S = F4 = 3; S3 = F5 = nên suy S n = Fn+2 =, ∀n ≥ Do n+ n+  1−     1+   Sn =  −    ■        Lời giải (Phương pháp ánh xạ) Đặt S = {1, 2, , n} , S n = {M ⊂ S \ M không chứa hai số nguyên liên tiếp Pn = {( a , a , , a ) \ a ∈{0;1} , ∀i = 1, n, ( a , a n i i i +1 ) ≠ (1,1) , ∀i = 1, n − 1} } Xét ánh xạ f : S n → Pn M  ( a1 , a2 , , an ) ∈ Pn a = i ∈ M cho  i ai = i ∉ M Vì f song ánh nên S n = Pn , ∀n ≥ Xét ánh xạ g : Pn → Pn−1 ∪ Pn−2 , ∀n ≥ ( a1 , , an−1 ) ∈ Pn−1 an = ( a1, , an )   ( a1 , , an−2 ) ∈ Pn−2 an = Vì g song ánh nên Pn = Pn−1 + Pn−2 , ∀n ≥ Suy S n = S n−1 + S n−2 , ∀n ≥ Dễ thấy S1 = 2; S = Do S n = Fn+2 , ∀n ≥ , { Fn } dãy Fibonacci Suy   +  Sn =       n+  1−  −     n+   ■   Nhận xét: Từ thí dụ 19 thí dụ 24 ta có đẳng thức n C k =0 k n − k +1 = Fn+2 Thí dụ 25 (Bến Tre TST 2012) Ta gọi A tập hợp “đầy đặn” A chứa năm số thực phần tử x A x − x + thuộc A Tìm số tập “đầy đặn” tập tập hợp {1, 2,3, , 2011, 2012} Lời giải Xét tập hợp đầy đặn A = {a < b < c < d < e} Theo đề b = a + 1; d = e − 1; c = a + c = e − Ta gọi e − a = r đường kính A Các tập đầy đặn tập X = {1, 2,3, , 2011, 2012} có đường kính lấy giá trị từ 4,5, , 2011 14 +) Với r = Có 2008 tập đầy đặn dạng {1, 2,3, 4,5} ;{2,3, 4,5,6} ; ;{2008, 2009, 2010, 2011, 2012} +) Với r = Có 2007 tập đầy đặn dạng {1, 2,3,5,6} ;{2,3, 4,6,7} , ,{2007, 2008, 2009, 2011, 2012} Có 2007 tập đầy đặn dạng {1, 2, 4,5,6} ;{2,3,5,6,7} ; {2007, 2008, 2010, 2011, 2012} +)Với r = Có 2006 tập đầy đặn dạng {1, 2,3,6,7} ;{2,3, 4,7,8} ; ;{2006, 2007, 2008, 2011, 2012} Có 2006 tập đầy đặn dạng {1, 2,5,6,7} ;{2,3,6,7,8} ; ;{2006, 2007, 2010, 2011, 2012} … +) Với r = 2011 Có tập đầy đặn dạng {1, 2,3, 2011, 2012} Có tập đăy đặn dạng {1, 2, 2010, 2011, 2012} Như có tất (1 + + + + 2008 ) + (1 + + + + 2007 ) = 2008 ( 2008 + 1) 2007 ( 2007 + 1) + = 4032064 2 tập đầy đặn Thí dụ 26 Cho p số nguyên tố lẻ số nguyên dương k < p Tìm số tập D tập X = {1, 2, , p} có tính chất sau: a) Tập D có k phần tử; b) s ( D ) ≡ r ( mod p ) với r số, ≤ r < p Lời giải Gọi T tập hợp tập D X mà D = k < p Với tập D = {d1 , d , , d k } lập ϕm ( di ) ≡ di + m ( mod p ) { ánh với ϕm : D → Dm xạ m với số } ϕm ( di ) = d m i ≤ ϕm ( di ) ≤ p − Lúc sau: Dm = d m1 , d m2 , , d mk Ta thấy di ≠ d j ⇔ d mi ≠ d m j , ∀i ≠ j nên ϕm song ánh Dm gồm k phần tử phân biệt Dễ thấy quan hệ Dϕ m Dm tập gồm k phần tử T quan hệ tương đương T phân hoạch thành lớp rời nhau, lớp gồm p tập (do m = 0,1, , p − ) tập có k phần tử Vì số lớp T C pk p Tính tổng s ( Dm ) ≡ s ( D ) + mk ( mod p ) , ta thấy mk không chia hết cho số nguyên tố p nên s ( Dm ) s ( D ) có số dư khác chia cho p mà lớp có p tập ( m = 0,1, , p − ) nên lớp phải tồn tập có số dư r chia cho p Với r mà ≤ r ≤ p − , gọi Sr số tập D T mà s ( D ) ≡ r ( mod p ) , ta kết luận S0 = S1 = = S p−1 = IV C pk p ■ BÀI TẬP Một lớp học sinh có 40 em gồm 25 nam, 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm định chọn ban cán gồm người Hỏi có cách chọn nêu: 15 a) b) c) d) e) Số nam nữ ban tuỳ ý? Ban cán có nam nữ? Ban cán có nam nữ? Ban cán có nam? Ban cán có nam nữ? Xét tập A = {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8} Tìm số số gồm ba chữ số phân biệt A , chia cho Có tập có ba phần tử tập {21 , 22 , , 22010 } cho ba phần tử xếp thành cấp số nhân tăng? Tìm số tập tập hợp S = {1, 2, , n} cho: a) Có hai phần tử tổng chúng chia hết cho b) Có ba phần tử tổng chúng chia hết cho (T7/430 THTT) Hãy tìm cơng thức tính số số tự nhiên chia hết cho , số gồm 2013 chữ số lấy từ tập hợp X = {3,5,7,9} Cho k , n ∈ * , k ≤ n Hãy tính số đơn ánh f : {1, 2, , k} → {1, 2, , n} thoả mãn điều kiện sau f (1) < f ( ) < < f ( k ) Tìm số nghiệm nguyên phương trình x + y + z + t = 17 với x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3, t ≥  x1 + x2 + x3 + x4 = 17 Tìm số nghiệm nguyên hệ  3 ≤ xi ≤ 5, ∀i = 1, Tìm số nghiệm ngun khơng âm bất phương trình x + y + z + t ≤ 11  x + x + x + x ≤ 10 10 Tìm số nghiệm ngun khơng âm hệ   x1 ≤ 11 (VMO 2012) Cho nhóm gồm gái, kí hiệu G1 , G2 , G3 , G4 , G5 12 chàng trai Có 17 ghế thành hàng ngang Người ta xếp nhóm người cho ngồi vào ghế cho điều kiện sau đồng thời thoả mãn a) Mỗi ghế có người ngồi; b) Thứ tự ngồi cô gái, xét từ trái qua phải G1 , G2 , G3 , G4 , G5 ; c) Giữa G1 G2 có chàng trai; d) Giữa G4 G5 có chàng trai nhiều chàng trai Hỏi có tất cách xếp vậy? (Hai cách xếp coi khác tồn ghế mà người ngồi ghế hai cách xếp khác nhau) 12 Cho số nguyên dương n, k ; < k ≤ n Giả sử S = {1, 2, , n} Tìm số tập S có k phần tử mà tập có chứa hai số nguyên liên tiếp 13 Cho số nguyên dương n, k Xét tập hợp S = {a1 , a2 , , an } gồm n phần tử Gọi ( ) X tập tất ai1 , ai2 , , aik khơng có thứ tự ai1 , ai2 , , aik không thiết bắt buộc đôi khác với j ∈ X , j = 1, k Chứng minh X = Cnk+k −1 16 14 Cho n, k , m ∈ * , m > 1;1 < k ≤ n Hỏi có chỉnh hợp ( a1 , a2 , , ak ) chập k S = {1, 2, , n} mà chỉnh hợp ( a1 , a2 , , ak ) thoả mãn hai điều kiện sau: Tồn s, t ∈ {1, 2, , k} cho s < t as > at (i) (ii) Tồn s ∈ {1, 2, , k} cho ( as − s ) không chia hết cho m 15 (VNTST 1997) Cho số nguyên dương n, k , p với k ≥ k ( p + 1) ≤ n Cho n điểm phân biệt nằm đường tròn Tơ tất n điểm hai màu Xanh, Đỏ (mỗi điểm tơ màu) cho có k điểm tơ màu Xanh cung tròn mà hai đầu mút hai điểm màu Xanh liên tiếp (tính theo chiều quay kim đồng hồ) có p điểm tơ màu đỏ Hỏi có tất cách tô màu khác nhau? (hai cách tơ màu gọi khác có điểm tô hai màu khác hai cách đó) 16 Tìm số tập tập S = {1, 2, , n} cho tập chứa hai phần tử hai số nguyên liên tiếp 17 Cho S = {1, 2, , n} A tập S , A gọi tập “béo” phần tử A không nhỏ số phần tử (tập rỗng tập béo) Đặt an số tập béo S cho tập béo không chứa hai số liên tiếp, bn số tập S mà hai phần tử ba đơn vị Chứng minh an = bn 18 Cho số nguyên dương n, k ;1 < k ≤ n Hỏi có tất tập tập hợp gồm n số nguyên dương mà tập không chứa k số nguyên liên tiếp nào? 19 Cho p số nguyên tố lẻ Tìm số tập A tập X = {1, 2, , n} có tính chất sau: a) A = p ; b) s ( A ) p 20 (IMO 1995) Cho p số nguyên tố lẻ Tìm số tập A tập hợp {1, 2, , p} , biết rằng: a) A = p; b) s ( A ) p 17 ... dạng: Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình x1 + x2 + + xk = n Và đáp số to n Cnk−−11 Bài to n tổng quát 3.2 (Bài to n chia kẹo Euler) Có cách chia n kẹo giống cho k người ? hay tìm số nghiệm... cách phát biểu có khác chất tốn khơng thay đổi Đây điểm đặc thù to n Tổ hợp Do giải to n Tổ hợp ta cần phải linh hoạt tình cụ thể Bài to n tổng quát Cho m, n, k số nguyên dương thoả mãn m > 1;1