MỞ RỘNG CÔNG THỨC VECTƠ về tâm ĐƯỜNG TRÒN nội TIẾP

MỞ RỘNG CƠNG THỨC VECTƠ VỀ TÂM ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP TAM GIÁC VÀ ÁP DỤNG Nguyễn Văn Thiết ( GV Trường THPT Vinh Xuân ) I.CÔNG THỨC MỞ RỘNG Trong Sách Bài Tập Hình Học lớp 10 Nâng cao, Nhà xuất Giáo Dục năm 2006, trang 11 có Bài tập 37 sau: Bài tập 37: Cho tam giác ABC với cạnh AB = c, BC = a, CA = b Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng:     (*) aIA  bIB  cIC  Bây mở rộng công thức (*) cách xét điểm M bất kì, ta có:          aMA  bMB  MC  a MI  IA  b MI  IB  c MI  IC       a  b  c  MI  aIA  bIB  cIC        a  b  c  MI ( aIA  bIB  cIC  theo (*) ) Vậy ta có tốn mở rộng toán 37 sau: Bài toán mở rộng: Nếu I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với điểm M bất kì, ta có cơng thức     (1) aMA  bMB  cMC   a  b  c  MI         Tiếp tục bình phương vơ hướng hai vế cơng thức (1) ta được:        a  b  c  MI  a MA2  b MB  c MC  2abMA.MB  2bcMB.MC  2caMC MA (2)   Áp dụng kết sau: Với hai vectơ u v ta có:  2 2  2 2u.v  u  v  u  v   Ta MA.MB  MA2  MB  AB  MA2  MB  c   2MB.MC  MB  MC  BC  MB  MC  a   MC.MA  MC  MA2  CA2  MC  MA2  b Khi đó, đẳng thức (2) trở thành: a  b  c MI  a MA2  b MB  c MC  ab  MA2  MB  c   bc  MB  MC  a    ca  MC  MA2  b    a  b  c   a.MA2  b.MB  c.MC    a  b  c  abc Suy  a  b  c  MI  a.MA2  b.MB  c.MC  abc a.MA2  b.MB  c.MC  abc   a  b  c  MI Hay Từ ta có hai định lí sau: Định lí 1: I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC M điểm bất kì, ta có đẳng thức: a.MA2  b.MB  c.MC  abc   a  b  c  MI (i) -Nguyễn Văn Thiết - THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Trang Định lí 2: Với tam giác ABC với điểm M ta có bất đẳng thức: (ii) a.MA2  b.MB  c.MC  abc Đẳng thức xảy điểm M trùng với tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tiếp theo, xem áp dụng công thức (i) (ii) nào? II ÁP DỤNG: 1) Trong bất đẳng thức (ii) cho điểm M trùng với trọng tâm G tam giác ABC ta bất đẳng thức: a.GA2  b.GB  c.GC  abc Đẳng thức xảy trọng tâm G trùng với tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC hay tam giác ABC tam giác 2 Thế GA  ma , GB  mb , GC  mc ( với ma , mb , mc độ dài 3 đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C tam giác ABC ), ta được: 4 a.ma2  b.mb2  c.mc2  abc 9 9 Hay a.ma2  b.mb2  c.mc2  abc 2 ma mb mc Vậy (3)    bc ca ab Đẳng thức xảy (3) trọng tâm G trùng với tâm I đường tròn nội tiếp hay tam giác ABC tam giác 2) Trong đẳng thức (i) cho điểm M trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có: a.OA2  b.OB  c.OC   a  b  c  OI  abc Vì OA  OB  OC  R ( R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) nên ta có:  a  b  c  R   a  b  c  OI  abc Hay R  OI  abc a bc OI  R  abc a bc Từ suy ra: - Đẳng thức (4) abc (5) a bc Đẳng thức xảy (5) tâm O đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm I đường tròn nội tiếp hay tam giác ABC tam giác abc Áp dụng công thức S  ( S diện tích tam giác ABC ) 4R - Bất đẳng thức R2  -Nguyễn Văn Thiết - THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Trang  a  b  c  r ( r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ) Khi cơng thức (4) trở thành: S  pr  (6) OI  R  Rr ( Đây công thức Euler quen thuộc ) Và bất đẳng thức (5) trở thành bất đẳng thức quen thuộc: (7) R  2r Đẳng thức xảy (7) tam giác ABC tam giác 3) Trong đẳng thức (i) cho M trùng với trực tâm H tam giác ABC ta được: (8) aHA2  bHB  cHC  abc   a  b  c  HI Vẽ đường kính AA’ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi tứ giác BHCA’ hình bình hành nên HA’ qua trung điểm K cạnh BC Suy OK đường trung bình tam giác AHA’, ta có: HA = 2.OK Xét ba trường hợp: a) Tam giác ABC tam giác nhọn: Khi trực tâm H tâm O đường tròn ngoại tiếp nằm bên tam giác ABC ( xem hình vẽ )   BOC   BAC   BAC A Do ta có BOK A 2   R cos A Suy HA  2.OK  2.OB cos BOK HB  A ' C  AA 'cos  AA ' C  R cos B O H HC  A ' B  AA 'cos  AA ' B  R cos C Từ đẳng thức (8) trở thành: C R  a cos A  b cos B  c cos C   abc   a  b  c  HI B K b) Tam giác ABC tam giác tù: Giả sử góc A tù Khi trực tâm H tâm O đường tròn ngoại tiếp nằm bên ngồi tam giác ABC Do ta có:   BOC   BA   BOK ' C  BA ' C  1800  A 2 Suy  HA  2.OK  2.OB cos BOK  R cos 180  A   2 R cos A A ' H A B K C HB  A ' C  AA 'cos  AA ' C  R cos B HC  A ' B  AA 'cos  AA ' B  R cos C Từ đẳng thức (8) trở thành: R  a cos A  b cos B  c cos C   abc   a  b  c  HI O A ' c) Tam giác ABC tam giác vng: Giả sử góc A vng Khi trực tâm H trùng với đỉnh A tam giác ABC tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm cạnh BC Do đó, ta có: -Nguyễn Văn Thiết - THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Trang HA  HB  AB  BC cos B  R cos B HC  AC  BC cos C  R cos C Khi đẳng thức (8) trở thành: R  b cos B  c cos C   abc   a  b  c  HI A B R ( ý H trùng với A ) Vì A  900 nên cos A  , đẳng thức viết sau: R  a cos A  b cos B  c cos C   abc   a  b  c  HI Kết hợp ba trường hợp trên, ta có kết sau: Với tam giác ABC bất kì, ta ln có đẳng thức : R  a cos A  b cos B  c cos C   abc   a  b  c  HI R O C (9) Bây giờ, chia hai vế đẳng thức (9) cho tích abc, ta được:  cos A cos B cos C  a bc 4R2    HI (10)   1 ca ab  abc  bc Áp dụng định lí SIN: a = 2RsinA , b = 2RsinB , c = 2RsinC công thức a bc cơng thức (10) trở thành:  abc Rr cos A cos2 B cos C HI    1 sin B.sin C sin C.sin A sin A.sin B Rr Suy  cos A  cos B cos C HI  Rr     1  sin B.sin C sin C.sin A sin A.sin B  Vậy ta có hai hệ sau: a) Hệ 1: Với tam giác ABC ta ln có đẳng thức:  cos A  cos B cos C HI  Rr      (11)  sin B.sin C sin C.sin A sin A.sin B  Trong H, I trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC b) Hệ 2: Với tam giác ABC ta ln có bất đẳng thức: cos A cos B cos C (12)   1 sin B.sin C sin C.sin A sin A.sin B Đẳng thức xảy tam giác ABC tam giác Cuối cùng, mời bạn chứng minh bất đẳng thức (12) phương pháp Lượng giác Chúc bạn thành công! -Nguyễn Văn Thiết - THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Trang ... Đẳng thức xảy (5) tâm O đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm I đường tròn nội tiếp hay tam giác ABC tam giác abc Áp dụng công thức S  ( S diện tích tam giác ABC ) 4R - Bất đẳng thức R2  ... ca ab Đẳng thức xảy (3) trọng tâm G trùng với tâm I đường tròn nội tiếp hay tam giác ABC tam giác 2) Trong đẳng thức (i) cho điểm M trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có: a.OA2... đẳng thức: (ii) a.MA2  b.MB  c.MC  abc Đẳng thức xảy điểm M trùng với tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tiếp theo, xem áp dụng công thức (i) (ii) nào? II ÁP DỤNG: 1) Trong bất đẳng thức