Một số bài toán trên tâm đường tròn euler

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Một số tốn tâm đường tròn Euler Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tóm tắt nội dung Bài viết xoay quanh số toán hay liên quan tới tâm đường tròn Euler kết tác giả trình dạy với nhiều cơng cụ hình học túy khác Đường tròn Euler hay quốc tế quen gọi đường tròn điểm [7] qua trung điểm ba cạnh, chân ba đường cao trung điểm ba đoạn thẳng nối trực tâm ba đỉnh tam giác kết tiếng khai thác nhiều tốn khác Tâm đường tròn đề tài thú vị thi học sinh giỏi tốn nước quốc tế Tơi xin trình bày lại số tốn chủ yếu tơi đề xuất liên quan đến tâm đường tròn thú vị Xuất phát từ kỳ thi học sinh giỏi quốc gia năm 2013 có tốn hay sau Bài tốn Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc CA, AB E, F G, H đối xứng E, F qua I Đường thẳng GH giao IB, IC P, Q Giả sử B, C AB cố định, A thay đổi cho tỷ số = k không đổi Chứng minh trung trực P Q qua AC điểm cố định A E K J L F I Q P B G H R N D M C Lời giải Gọi IB, IC cắt EF K, L Chú ý tam giác AEF cân A nên ∠KEC = ∠A 180◦ − ∠A = 180◦ − (90◦ − ) = 180◦ − ∠BIC = ∠KIC Từ tứ giác KEIC nội ∠AEF = 2 tiếp suy ∠IKC = ∠IEC = 90◦ Tương tự ∠ILB − 90◦ Từ gọi M trung điểm BC, J trung điểm KL đễ có tam tam giác KLM cân nên MJ ⊥ EF (1) Do G, H đối xứng E, F qua I nên đường thẳng GH đối xứng đường thẳng EF qua I GH, EF cắt IB P, K suy I trung điểm P K, tương tự I trung điểm QL Vậy hai đoạn KL P Q đối xứng qua I Từ gọi R trung điểm P Q trung điểm J KL R đối xứng qua I hay I trung điểm RJ Gọi trung trực P Q cắt BC N, ta thấy RN vng góc P Q, P Q song song EF (2) Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Từ (1) (2) suy RN song song JM Gọi IA cắt BC D, dễ có ID ≡ IA vng góc EF nên ID song song với RN, JM Từ hình thang RJMN có I trung điểm RJ nên ID đường trung bình, D trung điểm MN DB AB Theo tính chất đường phân giác = = k không đổi nên D cố định M trung điểm BC DC AC cố định nên N đối xứng M qua D cố định Vậy trung trực P Q qua N cố định Nhận xét Việc dựng thêm điểm phụ L, K lời giải đóng vai trò quan trọng, cho phép ta sử dụng phép vị tự để chuyển tính chất đường thẳng RN JM cho Trong trình tìm hiểu tốn tơi nhận thấy thực chất K, L, N chân đường cao từ C, B, I tam giác IBC Như đường tròn ngoại tiếp tam giác NKL đường tròn Euler tam giác ABC nên qua M tâm đường tròn Euler tam giác IBC nằm trung trực KL đường thẳng JM Vậy từ tâm đường tròn Euler tam giác IBC mà ta vẽ đường thẳng song song với IA trung trực KL mà qua trung điểm BC Ta dễ thấy đường thẳng qua trung điểm BC, CA, AB mà song song với IA, IB, IC đồng quy Do ta đề xuất toán thú vị sau Bài toán Cho tam giác ABC tâm nội tiếp I Gọi Na , Nb , Nc tâm đường tròn Euler tam giác IBC, ICA, IAB đường thẳng qua Na , Nb , Nc song song với IA, IB, IC đồng quy Qua tìm hiểu khai thác tơi nhận tốn không với tâm nội tiếp I mà thực chất với điểm P mặt phẳng Do tơi đề xuất tốn sau Bài toán Cho tam giác ABC P điểm Gọi Na , Nb , Nc tâm đường tròn Euler tam giác P BC, P CA, P AB Chứng minh đường thẳng qua Na , Nb , Nc song song với P A, P B, P C đồng quy A Oc Ob Na P K G N Ga B C Ma Oa Hình Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Lời giải Gọi Oa , Ob , Oc tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác P BC, P CA, P AB Ta dễ thấy đường thẳng qua Oa song song P A đường cao từ Oa tam giác Oa Ob Oc đường thẳng qua Oa , Ob , Oc song song với P A, P B, P C đồng quy trực tâm K tam giác Oa ObOc Gọi Ga , Gb , Gc , G trọng tâm tam giác P BC, P CA, P AB, ABC ta dễ thấy P Ga AG qua trung điểm Ma BC, từ dễ thấy Ga G song song P A nói cách khác đường thẳng qua Ga , Gb , Gc song song với P A, P B, P C đồng quy trọng tâm G tam giác ABC −−−→ −−−→ Đến lại ý Na tâm đường tròn Euler tam giác P BC nên dễ có 2Ga Na + Ga Oa = → − Từ sử dụng phép chiếu song song phương P A xuống đường thẳng KG, gọi N hình chiếu −−→ −−→ − → song song phương P A Na xuống KG ta dễ suy 2GN + GK = nói cách khác đường thẳng qua Na song song P A qua N xác định Tương tự đường thẳng qua Nb , Nc song song với P B, P C qua N ta có điều phải chứng minh Nhận xét Bài tốn trường hợp tâm nội tiếp thú vị tốn tổng qt thú vị nhiều Việc cho P di chuyển trùng số tâm đặc biệt để tạo toán cơng việc thú vị Qua tốn ta dễ rút tâm đường tròn Euler đường hợp đặc biệt, hiển nhiên tương tư cách chứng minh toán với trực tâm tổng quát điểm đường thẳng Euler chia đoạn nối trực tâm, trọng tâm tỷ số cố định, ta có tốn tổng qt sau Bài toán Cho tam giác ABC P điểm Gọi Ha , Hb , Hc trực tâm tam giác P BC, P CA, P AB Chứng minh đường thẳng qua Ha , Hb , Hc song song với P A, P B, P C đồng quy Bài toán Cho tam giác ABC P điểm Gọi Ha , Hb , Hc trực tâm tam giác P BC, P CA, P AB Gọi Ga , Gb , Gc trọng tâm tam giác P BC, P CA, P AB Gọi La , Lb , Lc chia đoạn Ha Ga , Hb Gb , Hc Gc tỷ số Chứng minh đường thẳng qua La , Lb , Lc song song với P A, P B, P C đồng quy Hoặc khai thác tương tự tác giả đề nghị thi giải toán mathley [3], bạn làm luyện tập Bài toán Cho tam giác ABC DEF nội tiếp đường tròn (O) Gọi Na , Nb , Nc tâm đường tròn Euler tam giác DBC, ECA, F AB Chứng minh đường thẳng qua Na , Nb , Nc song song AD, BE, CF đồng quy Sau đề xuất tốn 3, tơi mạnh dạn nghĩ tới kết thay đường thẳng song song đường thẳng vng góc thật tuyệt vời tốn vng góc thú vị sau Bài toán Cho tam giác ABC P điểm Gọi Na , Nb , Nc tâm đường tròn Euler tam giác P BC, P CA, P AB Chứng minh đường thẳng qua Na , Nb , Nc vng góc với P A, P B, P C đồng quy Bài toán theo đánh giá tơi tốn hay Tơi sử sụng tốn đợt kiểm tra đội tuyển VMO trường THPT chuyên KHTN thật đáng tiếc khơng có em giải tốn Lời giải sau tơi trình bày có giúp đỡ Nguyễn Văn Linh việc chứng minh bổ đề gợi ý áp dụng vào toán, xin chân thành cám ơn Linh, người học trò cũ xuất sắc tơi Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Trong suốt toán ta ký hiệu (XY Z) đường tròn ngoại tiếp tam giác XY Z Ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề 7.1 Cho tam giác ABC P điểm đường tròn Euler tam giác P BC, P CA, P AB, ABC có điểm chung A X S E F P Y B Z D C Chứng minh Gọi D, E, F, X, Y, Z trung điểm BC, CA, AB, P A, P B, P C, đường tròn (DY Z), (EZX), (F XY ), (DEF ) đường tròn Euler tam giác P BC, P CA, P AB, ABC Gọi đường tròn (DY Z) đường tròn (DEF ) cắt S khác D Ta có biến đổi góc (SF, SY ) = (SF, SD) + (SD, SY ) = (EF, ED) + (ZD, ZY ) (Do S thuộc đường tròn (DY Z), (DEF )) = (BD, BF ) + (BY, BD) (Do EF BD, ED AC, Y Z BD, ZD BY ) = (BY, BF ) = (XF, XY ) (Do XY BF, XF BY ) Do S thuộc (F XY ) Tương tự S thuộc (EZX) Ta có điều phải chứng minh Bổ đề 7.2 Cho tam giác ABC P đối xứng đường tròn (P BC), (P CA), (P AB) qua trục BC, CA, AB có điểm chung Chứng minh Ta để ý phép vị tự tâm P tỷ số biến đường tròn Euler tam giác P BC thành đường tròn đối xứng với đường tròn (P BC) qua trục BC Tương tự với đường tròn (P CA), (P AB) Do áp dụng bổ đề ta có điều phải chứng minh Bổ đề 7.3 Cho tam giác ABC P Gọi D, E, F tâm ngoại tiếp tam giác P BC, P CA, P AB Gọi X, Y, Z đối xứng D, E, F qua BC, CA, AB DEF tam giác XY Z đồng dạng ngược hướng Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A E T F Z X P Y C B D S Chứng minh Ta thấy X, Y, Z tâm đường tròn đối xứng (P BC), (P CA), (P AB) qua trục BC, CA, AB, theo bổ đề đường tròn có điểm chung T Ta dễ thấy CT dây cung chung (X) (Y ) nên XY ⊥ T C Tương tự XZ ⊥ T B Gọi S đối xứng T qua BC S thuộc P BC Do ta có biến đổi góc sau (XY, XZ) = (T C, T B) (Do XY ⊥ T C, XZ ⊥ T B) = (SB, SC) (Tính chất đối xứng) = (P B, P C) (Do S thuộc (P BC)) = (DE, DF ) (Do DE ⊥ P C, DF ⊥ P B) Từ tương tự ta có DEF XY Z đồng dạng ngược hướng Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A X K E F Z P Na Y C B D Lời giải toán Gọi D, E, F tâm (P BC), (P CA), (P AB) Gọi X, Y, Z đối xứng D, E, F qua BC, CA, AB Ta biết kết quen thuộc Na trung điểm P X Vậy đường thẳng qua Na vng góc P A ảnh vị tự đường thẳng qua X vng góc P A tỷ số Vậy ta chứng minh đường thẳng qua X, Y, Z vng góc với P A, P B, P C đồng quy tốn giải Thật vậy, gọi đường thẳng qua Y, Z vng góc với P B, P C cắt K Theo bổ đề ta dễ có (KY, KZ) = (P B, P C) = (DF, DE) = (XY, XZ) Do K thuộc (XY Z) Vậy tương tự đường thẳng qua X, Z vng góc với P A, P C cắt (XY Z) Điều chứng tỏ đường thẳng qua X, Y, Z vng góc P A, P B, P C cắt điểm đường tròn (XY Z) Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Bài toán cho P trùng với số điểm đặc biệt dẫn tới nhiều hệ thú vị Bài toán tác giả gửi làm đề đề nghị cho thi giải tốn kỷ niệm 50 năm tạp chí tốn học tuổi trẻ Xong thật đáng tiếc khơng hiểu lý mà tốn lại đăng lên diễn đàn toán học AoPS [2] nick name đến từ Việt Nam trước đăng báo Vì khơng may mắn tơi xin thu hồi lại tốn khơng gửi cho báo viết lại viết để bạn đọc tìm hiểu Ngồi khai thác tốn xoay quanh tâm đường tròn Euler tơi tự tìm nhiều tốn khác thú vị, xin giới thiệu vài toán với bạn đọc Bài toán Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) Gọi K, L, N tâm đường tròn Euler tam giác DEC, BCA, F AE Gọi X, Y, Z hình chiếu K, L, N theo thứ tự lên AD, BE, CF Chứng minh trung trực AX, EY, CZ đồng quy Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Trước hết ta có bổ đề sau Bổ đề 8.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P điểm (O) K tâm đường tròn Euler tam giác P BC a) Chứng minh đường thẳng qua K vng góc với P A qua điểm cố định P di chuyển b) Gọi H hình chiếu K lên P A Chứng minh trung trực AH qua điểm cố định P di chuyển P H M A L O K N B C I Hình Chứng minh a) Gọi N tâm đường tròn Euler tam giác ABC Gọi L trung điểm ON −−→ −→ −−→ Gọi I đối xứng A qua L, gọi M trung điểm P A Ta biết kết quen thuộc KN = P A = MA −−→ −→ −−→ −→ −−→ −−→ suy AN = MK Do I đối xứng A qua L nên AN = OI Vậy từ OM = KI suy KI OM ⊥ P A Vậy đường thẳng qua K vng góc P A qua I cố định Ta có điều phải chứng minh b) Dễ thấy trung trực AH qua trung điểm L AI trung điểm ON cố định Ta có điều phải chứng minh Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A Z N B F Y L T O E D X C K Hình Lời giải toán Bài toán hệ bổ đề ta dễ thấy trung trực đoạn AX, EY, CZ đồng quy trung điểm OT với T tâm đường tròn Euler tam giác AEC Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Bài toán dựa vào bổ đề toán qua điểm cố định thú vị Chúng ta hồn tồn dựa vào tốn qua điểm cố định để đề xuất thành toán chứng minh đồng quy Bài toán tác giả đề nghị kỳ thi chọn đội tuyển thi học sinh giỏi quốc gia trường THPT chuyên KHTN năm 2013 xem [4] Bài toán Cho tam giác ABC đường cao BE, CF đường tròn Euler (O9 ), D, G thuộc BC cho (BC, DG) = −1 ED, F D cắt (O9) M, N khác E, F GE, GF cắt (O9) P, Q khác E, F P M giao NQ R Gọi S đối xứng G qua trung điểm P Q Gọi T đối xứng D qua trung điểm MN Chứng minh R, S, T thẳng hàng Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A S E X P O9 Q F Y G D I N B C M T R Hình Lời giải Gọi I trung điểm BC theo hệ thức Newton ta dễ có IE = IF = IB = IC = ID.IG Từ dễ có ∠IF D = ∠IGF, ∠IED = ∠IGE Gọi P S cắt (O9 ) X Suy ∠EP X = ∠EGF = ∠IGE − ∠IGF = ∠IED − ∠IF D = ∠IED − ∠IEN = ∠MEN Từ dễ suy EM NX suy NT qua X Tương tự gọi SQ cắt (O9 ) Y MT qua Y Áp dụng định lý Pascal cho P N Y ta thu R, S, T thẳng hàng Ta có điều phải chứng minh QM X Bài toán kết đẹp tác giả tạo tìm hiểu hệ thức hàng điểm điều hòa Cũng thật đáng tiếc khơng hiểu lý mà toán đăng lên [6] nick name người Việt Nam mà không thấy nhắc tới tên tác giả Ngồi việc khai thác tính chất tâm đường tròn Euler tam giác IBC toán toán mang đến nhiều toán thú vị khác, sau ba tốn thú vị tơi đề xuất Bài tốn 10 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I D, E, F hình chiếu A lên BC, IC, IB Gọi K tâm ngoại tiếp tam giác DEF Chứng minh KI qua tâm đường tròn Euler tam giác IBC Bài tốn 11 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I D, E, F hình chiếu A lên BC, IC, IB Gọi AI cắt đường tròn ngoại tiếp (O) tam giác ABC G khác A Chứng minh đường thẳng Euler tam giác DEF qua trung điểm AG Bài tốn 12 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P di chuyển (O) Đường thẳng qua P song song BC cắt CA E Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác P CE L tâm đường tròn Euler tam giác P BC Chứng minh đường thẳng qua L song song P K qua điểm cố định P di chuyển Ba toán tác giả dùng nhiều lần đợt tập huấn đội tuyển nước Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 10 Tài liệu [1] Trần Quang Hùng, mở rộng tốn hình học kỳ thi học sinh giỏi quốc gia năm 2013, toán học tuổi trẻ số 429 tháng năm 2013 [2] http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=577336 [3] Cuộc thi giải toán mathley, http://www.hexagon.edu.vn/mathley.html [4] Trần Quang Hùng, Tuyển tập tốn hình học chọn đội tuyển KHTN, năm 2013 [5] Trần Quang Hùng, Tỷ số kép, phép chiếu xuyên tâm, hàng điểm điều hòa, chùm điều hòa, http://analgeomatica.blogspot.com/ [6] http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=560895 [7] http://mathworld.wolfram.com/Nine-PointCircle.html Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN E-mail: analgeomatica@gmail.com ... trùng số tâm đặc biệt để tạo tốn cơng việc thú vị Qua toán ta dễ rút tâm đường tròn Euler đường hợp đặc biệt, hiển nhiên tương tư cách chứng minh toán với trực tâm tổng quát điểm đường thẳng Euler. .. quanh tâm đường tròn Euler tơi tự tìm nhiều toán khác thú vị, xin giới thiệu vài toán với bạn đọc Bài toán Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) Gọi K, L, N tâm đường tròn Euler tam giác... việc khai thác tính chất tâm đường tròn Euler tam giác IBC toán toán mang đến nhiều toán thú vị khác, sau ba toán thú vị tơi đề xuất Bài tốn 10 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I D, E,