MỘT số bài TOÁN về sự ĐỒNG dư của số tự NHIÊN và TỔNG các CHỮ số của nó

MỘT SỐ BÀI TỐN SỬ DUNG TÍNH CHẤT VỀ SỰ ĐỒNG DƯ CỦA SỐ TỰ NHIÊN VÀ TỔNG CÁC CHỮ SỐ CỦA NÓ ****************** Từ dấu hiệu chia hết cho cho ta có tính chất: “Số tự nhiên tổng chữ số có số dư chia cho 3, cho 9” Gọi số tự nhiên n, tổng chữ số S(n) tính chất là: n ≡ S (n) (mod3) n ≡ S (n) (mod 9) Sử dụng tính chất ta giải dễ dàng tốn khó sau: Bài 1: Tìm n ∈ N thỏa mãn n + S(n) = 94 Giải: Vì S(n) > với n ≠ mà n + S(n) = 94 suy n < 94 ⇒ S (n) ≤ + = 17 (Vì số tự nhiên nhỏ 94, số có tổng chữ số lớn 89) Từ n ≥ 94 – 17 =77 Vậy 77 ≤ n < 94 Vì n ≡ S (n) (mod 9) mà n + S(n) = 94 ≡ (mod 9) suy n ≡ S (n) ≡ (mod9) Mà 77 ≤ n < 94 nên n =83 n = 92 Xét n = 83 ta có n+ S(n) = 83+11= 94 ( chọn) Xét n = 92 ta có n+ S(n) = 92+11= 103 ( loại) Vậy số cần tìm 83 Bài 2: Tìm n ∈ N thỏa mãn n + S(n)+ S(S(n)) = 60 Giải: S ( n ) ≥ Vì nên n ≤ 59 ⇒ S (n) ≤ 14 ⇒ S ( S (n)) ≤ Do n =60 - S(n)- S(S(n)) ≥ 60 – 14 – = 37 Vậy 37 ≤ n ≤ 59 (1) Mặt khác n ≡ S (n) (mod 9) S (n) ≡ S ( S (n)) (mod 9) nên n ≡ S ( S (n)) (mod 9) Vậy n + S(n)+ S(S(n)) ≡ n + n + n (mod 9) Suy ra: 60 ≡ 3n (mod 9) Mà 60 ≡ (mod 9) ⇒ 3n ≡ (mod 9) ⇒ n ≡ (mod 3) (2) Từ (1) (2) suy n ∈ { 38; 41; 44; 47;50;53;56;59} Thử lại ta thấy n = 44; n=47; n= 50 thỏa mãn đề Vậy số tự nhiên cần tìm 44; 47; 50 Bài 3: Cho a tổng chữ số số (29)2012, b tổng chữ số a Tìm tổng chữ số b Giải: Đặt n = (29)2012 Ta có n = (29)2012 = (23)3.2012 = 6036 < 10 6036 ⇒ n khơng có q 6036 chữ số Khi a = S(n) ≤ 6036 = 54324 ⇒ a ≤ 54324 ⇒ b = S(a) < + 4.9 = 41 Vậy b