MỘT SỐ BÀI TỐN SỬ DUNG TÍNH CHẤT VỀ SỰ ĐỒNG DƯ CỦA SỐ TỰ NHIÊN VÀ TỔNG CÁC CHỮ SỐ CỦA NÓ ****************** Từ dấu hiệu chia hết cho cho ta có tính chất: “Số tự nhiên tổng chữ số có số dư chia cho 3, cho 9” Gọi số tự nhiên n, tổng chữ số S(n) tính chất là: n ≡ S (n) (mod3) n ≡ S (n) (mod 9) Sử dụng tính chất ta giải dễ dàng tốn khó sau: Bài 1: Tìm n ∈ N thỏa mãn n + S(n) = 94 Giải: Vì S(n) > với n ≠ mà n + S(n) = 94 suy n < 94 ⇒ S (n) ≤ + = 17 (Vì số tự nhiên nhỏ 94, số có tổng chữ số lớn 89) Từ n ≥ 94 – 17 =77 Vậy 77 ≤ n < 94 Vì n ≡ S (n) (mod 9) mà n + S(n) = 94 ≡ (mod 9) suy n ≡ S (n) ≡ (mod9) Mà 77 ≤ n < 94 nên n =83 n = 92 Xét n = 83 ta có n+ S(n) = 83+11= 94 ( chọn) Xét n = 92 ta có n+ S(n) = 92+11= 103 ( loại) Vậy số cần tìm 83 Bài 2: Tìm n ∈ N thỏa mãn n + S(n)+ S(S(n)) = 60 Giải: S ( n ) ≥ Vì nên n ≤ 59 ⇒ S (n) ≤ 14 ⇒ S ( S (n)) ≤ Do n =60 - S(n)- S(S(n)) ≥ 60 – 14 – = 37 Vậy 37 ≤ n ≤ 59 (1) Mặt khác n ≡ S (n) (mod 9) S (n) ≡ S ( S (n)) (mod 9) nên n ≡ S ( S (n)) (mod 9) Vậy n + S(n)+ S(S(n)) ≡ n + n + n (mod 9) Suy ra: 60 ≡ 3n (mod 9) Mà 60 ≡ (mod 9) ⇒ 3n ≡ (mod 9) ⇒ n ≡ (mod 3) (2) Từ (1) (2) suy n ∈ { 38; 41; 44; 47;50;53;56;59} Thử lại ta thấy n = 44; n=47; n= 50 thỏa mãn đề Vậy số tự nhiên cần tìm 44; 47; 50 Bài 3: Cho a tổng chữ số số (29)2012, b tổng chữ số a Tìm tổng chữ số b Giải: Đặt n = (29)2012 Ta có n = (29)2012 = (23)3.2012 = 6036 < 10 6036 ⇒ n khơng có q 6036 chữ số Khi a = S(n) ≤ 6036 = 54324 ⇒ a ≤ 54324 ⇒ b = S(a) < + 4.9 = 41 Vậy b