Xung quanh hai bài hình học IMO 2013

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Xung quanh hai tốn hình thi IMO năm 2013 Trần Quang Hùng Tóm tắt nội dung Bài viết mở rộng khai thác hai tốn hình kỳ thi IMO 2013 Mở đầu Trong kỳ thi toán quốc tế năm 2013 có hai tốn hình hay sau Bài Cho tam giác giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tiếp xúc BC, CA, AB D, E, F Chứng minh tam giác ABC vuông tâm ngoại tiếp tam giác DEF nằm (O) Bài toán toán ngày 1, theo xếp tốn khó ngày hơm Bài Cho tam giác ABC, đường cao BE, CF cắt H P điểm BC Gọi P K, P L đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác P BF, P CE Chứng minh KL qua H Bài toán toán ngày 2, theo xếp tốn dễ ngày hơm Trong viết sâu tìm hiểu kỹ hai tốn tìm hiểu mở rộng ứng dụng Lời giải hai tốn bình luận Lời giải Gọi phân giác ngồi góc A cắt (O) K Ta dễ chứng minh BF = CE nên trung trực EF qua K Nếu tâm ngoại tiếp tam giác DEF thuộc (O) nằm tam giác DEF nên tam giác DEF tù Khơng tổng qt giả sử ∠EDF tù Do tâm ngoại tiếp tam giác DEF thuộc trung trực EF tâm ngoại tiếp tam giác DEF phải giao trung trung trực EF (O) Giao điểm phải nằm góc ∠EDF nên giao điểm K Vậy K tâm ngoại tiếp tam giác DEF Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN K A F E B O C D V Dễ thấy đường thẳng qua tâm bàng tiếp Ia , Ib , Ic vng góc với BC, CA, AB đồng quy điểm V Từ tứ giác DF BV, DECV nội tiếp Ta suy ∠BV C = ∠BV D + ∠CV D = ∠EKF ∠AF D + ∠AED = 360◦ − ∠BAC − ∠EDF = 360◦ − ∠EKF − (180◦ − ) = ∠EKF = ◦ 360 − ∠EKF Mặt khác KB = KC Từ dễ suy K tâm ngoại tiếp tam giác BV C Từ theo tính chất đối xứng dễ suy V F = BD = AE, V E = CD = AF Vậy tứ giác AEV F hình bình hành mà ∠AEV = ∠AF V = 90◦ hình chữ nhật suy ∠BAC = 90◦ Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Đây cách ngắn gọn cho tốn mà khơng phải vẽ thêm hình phụ Việc làm xuất tứ giác nội tiếp DF BV, DECV rối sau trở thành hình thang cân điều thú vị Qua ta khai thác nhiều tính chất khác Tìm hiểu khai thác Nếu xét phần thuận tốn 1, ta phát biểu sau Bài Cho tam giác ABC vng A nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tiếp xúc BC, CA, AB D, E, F Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF nằm (O) Nếu coi tam giác vuông tam giác có trực tâm trùng với đỉnh, ta mở rộng toán cho tam giác sau Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), tâm nội tiếp I, M trung điểm BC N đối xứng I qua M Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi X, Y, Z hình chiếu N lên BC, CH, HB Chứng minh tâm ngoại tiếp tam giác XY Z nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Nếu mở rộng chút cho tốn ta có toán thú vị sau Bài Cho tam giác ABC, trực tâm H, tâm nội tiếp I, M trung điểm BC, N đối xứng I qua M P điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Gọi X, Y, Z hình chiếu N lên BC, CP, P B Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XY Z Chứng minh K ln thuộc đường tròn cố định P di chuyển Ta tiếp tục khai thác tốn sau, bàng cách làm khó chút Bài Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc BC D Đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tiếp xúc BC, CA, AB K, L, N Chứng minh D, K, L, N thuộc đường tròn ∠A = 90◦ Ta lại có phát triển khác cho toán Bài Cho tam giác ABC Đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tiếp xúc BC, CA, AB D, E, F Giả sử ∠EDF = 135◦ Chứng minh ∠BAC = 90◦ Nếu coi tâm nội tiếp I trực tâm tam giác tạo ba tâm bàng tiếp A, B, C chân đường cao, phát biểu lại toán gốc sau ta lại có nhìn thú vị khác Bài Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF tâm ngoại tiếp O Gọi OA, OB, OC cắt EF, F D, DE X, Y, Z Giả sử tâm ngoại tiếp tam giác XY Z nằm đường tròn Euler tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC có góc 45◦ Nghịch đảo tốn gốc ta có tốn sau Bài Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF đồng quy H Đường tròn qua D, H trực giao với đường tròn (HBC) cắt (HBC) X khác H Tương tự có Y, Z Gọi (K) đường tròn ngoại tiếp tam giác XY Z Đường thẳng qua H vng góc với HK cắt (XY Z) M, N Chứng minh tiếp tuyến M, N cắt (O) tam giác ABC có góc 45◦ Khai thác tiếp mơ hình tam giác vng ta có tốn Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A Tâm bàng tiếp góc A Ia V đối xứng với Ia qua trung điểm BC Gọi D, E, F hình chiếu V lên BC, CA, AB Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac DEF nằm (O) Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A, tâm nội tiếp I P điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Gọi D, E, F hình chiếu P lên BC, CA, AB Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF luông thuộc đường thẳng cố định P di chuyển Khi phát biểu toán ta có khai thác tốn sau Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Bài 12 Cho tam giác ABC với đường cao AD, BE, CF tâm ngoại tiếp O OA, OB, OC cắt EF, F D, DE X, Y, Z Gọi K tâm ngoại tiếp tam giác XY Z M, N trung điểm CA, AB P điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác KMN cho KP BC a) Chứng minh D, P, O thẳng hàng b) Gọi L trung điểm BC Chứng minh KL = DP Chúng ta lại mở rộng toán sau Bài 13 Cho tam giác ABC P điểm cho AP ⊥ BC P A, P B, P C cắt BC, CA, AB D, E, F Q điểm đẳng giác P tam giác ABC X, Y, Z hình chiếu Q lên EF, F D, DE K tâm ngoại tiếp tam giác DEF M, N, L hình chiếu Q lên BC, CA, AB R điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác KMN cho P R BC a) Chứng minh D, R, Q thẳng hàng b) Chứng minh KL = DR Chúng ta hồn tồn khai thác tốn nhiều trường hợp khác Trở lại toán ngày Nếu ta coi tâm nội tiếp I trực tâm tam giác tạo ba tâm bàng tiếp A, B, C chân đường cao, phát biểu lại toán gốc cách thú vị sau Bài 14 Cho tam giác ABC, đường tròn bàng tiếp góc B, C Ib , Ic P điểm di chuyển Ib Ic Gọi P K, P L đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác P BIc P CIb Chứng minh KL qua điểm cố định P di chuyển Theo tốn thi ta thấy điểm cố định tâm nội tiếp I Tuy nhiên với cách phát biểu ta nhận thấy điểm Ib , Ic với vài trò tâm bàng tiếp thực khơng quan trọng Ta tổng qt hóa lên sau Hoặc xét tới vị trí tương đối trực tâm ta lại có toán đặc sắc sau Bài 15 Cho tam giác ABC tâm đường tròn bàng tiếp góc B, C Ib , Ic Gọi P điểm di chuyển Ib Ic Gọi P K, P L đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác P BIb P CIc Chứng minh KL qua điểm cố định P di chuyển Bài 16 Cho tam giác ABC Với E, F hai điểm cố định cho A nằm E, F P di chuyển đường thẳng EF Gọi P K, P L đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác P BF, P CE Chứng minh KL qua điểm cố định P di chuyển Bài toán tốn thú vị có nhiều cách khai thác khác trường hợp riêng, bạn suy nghĩ Ngoài từ tốn gốc lại có thêm hai cách mở rộng sau, ta thay đường tròn đường kính BC thành đường tròn (K) qua B, C Bài 17 Cho tam giác ABC, đường tròn (K) qua B, C cắt CA, AB E, F khác B, C BE giao CF H d đường thẳng qua K vng góc với AH P điểm d P M, P N đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác P BF, P CE Chứng minh MN qua H Bài 18 Cho tam giác ABC, đường tròn (K) qua B, C cắt CA, AB E, F khác B, C BE giao CF H Gọi KL đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC P điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC Gọi LB, LC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác P BF, P CE M, N Chứng minh MN qua H Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Nếu ta nhìn lại toán theo cách khác sau Bài 19 Cho tam giác ABC E, F cố định thuộc CA, AB P di chuyển BC Gọi P K, P L đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác P BF, P CE Chứng minh KL qua điểm cố định P di chuyển Trong hai toán cho (K) trùng vào số đường tròn đặc biệt ta lại có số tốn có ý nghĩa khác Xin với bạn khác thác điều Ta lại có cách phát triển khác cho toán sau Bài 20 Cho tam giác ABC E, F cố định thuộc CA, AB P di chuyển đường tròn (K) cố định qua B, C Gọi Q điểm cố định thuộc (K) QB, QC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác P BF, P CE M, N Chứng minh MN qua điểm cố định P di chuyển Rõ ràng toán tổng quát hóa lời giải lại dùng tốn góc khơng đổi đơn giản Ngồi mơ hình tốn IMO ta khai thác nhiều kết khác từ Các bạn làm số toán sau để luyện tập Bài 21 Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF đồng quy H Gọi phân giác ∠HDB, ∠HCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DBF, DCE K, L khác D a) Chứng minh KL qua H b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác DKL qua trung điểm BC Mở rộng tiếp toán ta lại có Bài 22 Cho tam giác ABC Một đường tròn (K) qua B, C cắt CA, AB E, F BE giao CF H D hình chiếu K lên AH Gọi phân giác góc ∠BDF, CDE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF, BCE M, N a) Chứng minh MN qua H b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN qua K Bài 23 Cho tam giác ABC P điểm di chuyển cạnh BC Phân giác ∠AP B, ∠AP C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AP B, AP C điểm K, L khác P Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác P KL qua điểm cố định P di chuyển Bài 24 Cho tam giác ABC P điểm di chuyển đường tròn (K) cố định qua B, C Phân giác ∠AP B, ∠AP C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AP B, AP C điểm K, L khác P Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác P KL qua điểm cố định P di chuyển Khi nghịch đảo toán gốc ta thu nhiều điều thú vị Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tài liệu [1] IMO 2013 problem from AoPS Trần Quang Hùng Trường THPT chuyên KHTN-ĐHKHTN-ĐQGHN Email:analgeoamtica@gmail.com ... tiếp DF BV, DECV rối sau trở thành hình thang cân điều thú vị Qua ta khai thác nhiều tính chất khác Tìm hiểu khai thác Nếu xét phần thuận toán 1, ta phát biểu sau Bài Cho tam giác ABC vng A nội tiếp... giác ABC có góc 45◦ Khai thác tiếp mơ hình tam giác vng ta có tốn Bài 10 Cho tam giác ABC vng A Tâm bàng tiếp góc A Ia V đối xứng với Ia qua trung điểm BC Gọi D, E, F hình chiếu V lên BC, CA,... hóa lời giải lại dùng tốn góc khơng đổi đơn giản Ngồi mơ hình tốn IMO ta khai thác nhiều kết khác từ Các bạn làm số tốn sau để luyện tập Bài 21 Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF đồng quy H