Xung quanh bài hình học thi VMO năm 2014

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Xung quanh hình học thi VMO năm 2014 Trần Quang Hùng - Trường THPT chuyên KHTN Tóm tắt nội dung Bài viết xoay quanh khai thác hình học thi quốc gia Việt Nam năm 2014 ngày thứ hai Trong kỳ thi học sinh giỏi Việt Nam năm 2014 ngày thứ hai có tồn hình học, đề thu gọn cho phù hợp với viết sau Bài Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), BC cố định A thay đổi (O) Trên tia AB, AC lấy điểm M N cho MA = MC NA = NB Gọi D trung điểm BC Các đường tròn có tâm M, N qua A cắt K khác A Đường thẳng qua A vng góc với AK cắt BC E Đường tròn ngoại tiếp ADE cắt (O) F khác A Chứng minh AF qua điểm cố định Bài toán thực chất ghép nối hai toán sau Bài Cho tam giác ABC trung trực CA, AB cắt AB, AC M, N Các đường tròn có tâm M, N qua A cắt K khác A Chứng minh AK qua tâm ngoại tiếp tam giác ABC A E F O N C B M K Hình Chứng minh Gọi E, F trung điểm CA, AB ME, NF trung trực CA, AB cắt tâm ngoại tiếp O tam giác ABC Ta dễ thấy O trực tâm tam giác ANM nên AO ⊥ MN Mặt khác đường tròn đường tròn có tâm M, N qua A cắt K khác A nên AK ⊥ MN Từ dễ suy AK qua O Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Bài Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) cố định, B, C cố định A di chuyển (O) D trung điểm BC Tiếp tuyến A (O) cắt BC E Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt (O) F khác A Chứng minh AF qua điểm cố định A di chuyển A O E B D C F T Hình Chứng minh Do ∠EAO = ∠EDO = 90◦ nên dễ thấy O nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Gọi AF cắt OD T Ta có T D.T O = T F T A = PT /(O) = OT − OC suy OC = T O − T D.T O = T O.DO Từ dễ suy OC ⊥ T C T cố định Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Về hai toán hai toán dễ phổ biến Lời giải trình bày tốn có lẽ lời giải đơn giản cho tốn mà khơng phải thơng qua cơng cụ hàng điều hòa hay tứ giác điều hòa Nếu để ý kỹ ta có vài nhận xét mở rộng thú vị Ta việc phát triển toán Bài Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) cố định, B, C cố định A di chuyển (O) D trung điểm BC Một đường thẳng qua A cắt BC E cắt (O) P khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác EP D cắt (O) F khác P Chứng minh AF qua điểm cố định A di chuyển Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN P A O G E B D C F T Hình Chứng minh Gọi P F giao BC G Từ hệ thức lượng đường tròn ta dễ thấy GB.GC = GP GF = GD.GE Từ D trung điểm BC nên theo hệ thức Maclaurin hàng (BC, GE) = −1 Chiếu tâm P lên đường tròn (O) ta có (BC, F A) = K(BC, F A) = (BC, GE) = −1 Do tứ giác ABF C điều hòa Vậy AF qua giao điểm tiếp tuyến B, C (O) cố định Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Nếu P ≡ A ta thu tốn Khác với cách giải đơn giản ta phải dùng thông qua cơng cụ tứ giác điều hòa Quay trở tốn 2, tốn có lẽ kết q đơn giản xong mơ hình tốn ta lại khai thác số điều thú vị Bài Cho tam giác ABC có tâm ngoại tiếp O Trung trực CA, AB cắt AB, AC M, N Chứng minh đường tròn có tâm M, N qua A đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC có điểm chung Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A O N B C M K Hình Chứng minh Gọi đường tròn có tâm M, N qua A cắt K khác A Ta để ý 1 ∠AKC = ∠AMC góc nội tiếp nửa số đo góc tâm Tương tự ∠AKB = ∠ANB Ta 2 tam giác MAC NAB cân M, N có chung góc đáy nên ∠AMC = ∠ANB Từ ta có KA phân giác ∠BKC Mặt khác ta có O giao trung trực BC KA Vậy tứ giác BOCK nội tiếp Các đường tròn tâm M, N qua A đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC có điểm chung K Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Từ ∠AKC = ∠AMC = ∠COB ta dễ chứng minh tứ giác MOCK nội tiếp tương tự ta có điểm B, C, O, M, N, K thuộc đường tròn Nhận xét giúp ta tìm nhiều toán thú vị Bài Cho tam giác ABC Trung trực CA, AB cắt AB, AC M, N Các đường tròn có tâm M, N qua A cắt K khác A MN cắt KC, KB P, Q Chứng minh AB NQ = MP AC Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A O B P E F N S C Q T M K Hình Chứng minh Gọi O tâm ngoại tiếp tam giác ABC Theo nhận xét điểm B, C, O, M, N, K OM C thuộc đường tròn Nếu gọi ON giao BC T , áp dụng định lý Pascal cho BK N ta suy A, P, T thẳng hàng Ta ý ON trung trực AB nên dễ suy ∠P AB = ∠ABC Mặt khác tứ giác MBNC nội tiếp nên ∠AMN = ∠ACB Từ dễ suy P AM ∼ ABC Tương tự QNA ∼ ABC Từ P AM ∼ QNA ∼ ABC Ta dễ suy AQN ∼ MNA AB AN NQ suy AN = MN.NQ Tương tự AM = MP.MN Suy = = Ta có điều phải AC AM MP chứng minh Bài Cho tam giác ABC Trung trực CA, AB cắt AB, AC M, N Các đường tròn có tâm M, N qua A cắt K khác A Trung trực AB cắt KB U Trung trực AC cắt KC V Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn nội tiếp tam giác KUV đồng tâm Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A U V E F O N B C M K Hình Chứng minh Gọi O tâm ngoại tiếp tam giác ABC ta chứng minh O tâm nội tiếp tam giác KUV Theo nhận xét điểm B, C, O, M, N, K thuộc đường tròn Áp dụng định M N K lý Pascal cho ta suy A, U, V thẳng hàng Mặt khác V thuộc OM trung CBO trực AC nên V O phân giác ∠AV K Tương tự UO phân giác ∠AUK Vậy O tâm nội tiếp tam giác KUV Nhận xét Từ kết hai tốn ta dễ suy UV BC suy hệ thức KB + KC + UV = KU + KV số kết thú vị khác Các bạn làm tập để luyện tập Bài Cho tam giác ABC Trung trực CA, AB cắt AB, AC M, N Các đường tròn có tâm M, N qua A cắt K khác A Trung trực AB cắt KB U Trung trực AC cắt KC V Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BOU, COV ABC có điểm chung Như từ toán gần gũi quen thuộc ta nhìn mắt tổng quát tìm cách khai thác sâu ta thu nhiều tốn thú vị có ý nghĩa Xin chúc bạn thành công Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tài liệu [1] Đề thi VMO 2014 http://diendantoanhoc.net/forum Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN E-mail: analgeomatica@gmail.com ... thú vị có ý nghĩa Xin chúc bạn thành công Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tài liệu [1] Đề thi VMO 2014 http://diendantoanhoc.net/forum Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN... qua công cụ tứ giác điều hòa Quay trở tốn 2, tốn có lẽ kết q đơn giản xong mơ hình tốn ta lại khai thác số điều thú vị Bài Cho tam giác ABC có tâm ngoại tiếp O Trung trực CA, AB cắt AB, AC M, N... hòa hay tứ giác điều hòa Nếu để ý kỹ ta có vài nhận xét mở rộng thú vị Ta việc phát triển toán Bài Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) cố định, B, C cố định A di chuyển (O) D trung