Xung quanh bài hình học thi VMO 2014

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Xung quanh hình học thi VMO năm 2014 Trần Quang Hùng - Trường THPT chuyên KHTN Tóm tắt nội dung Bài viết xoay quanh khai thác hình học thi quốc gia Việt Nam năm 2014 ngày thứ Trong kỳ thi học sinh giỏi Việt Nam năm 2014 có tốn hay, đề thu gọn cho phù hợp với viết sau Bài Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi I trung điểm cung BC khơng chứa A Trên AC lấy điểm K khác C cho IK = IC Đường thẳng BK cắt (O) D khác B Trên DI lấy điểm M cho CM song song với AD Đường thẳng KM cắt đường thẳng BC N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt (O) P khác B Chứng minh P K chia đôi đoạn AD J A D K O M B N P I Hình C Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Chứng minh Do I trung điểm cung BC không chứa A nên IB = IC = IK Từ ta có biến đổi góc ∠IKD = 180◦ − ∠IKB = 180◦ − ∠IBK = ∠ICD (1) Ta lại ý I trung điểm cung BC nên DI phân giác ∠BDC (2) Từ (1),(2) ta dễ suy ∠KID = ∠CID Vậy từ KID = CID (c.g.c) suy DK = DC DI trung trực KC Tương tự AI trung trực BK Gọi IJ đường kính (O) ta dễ có AJ ⊥ AI ⊥ BD suy AJ KD JD ⊥ ID ⊥ KC JD AK Từ suy tứ giác AJDK hình bình hành KJ qua trung điểm AD Ta cần chứng minh J, K, P thẳng hàng tốn giải Thật vậy, ta có biến đổi góc ∠IP K = ∠IP B + ∠BP K = ∠BAI + ∠BNK (Do tứ giác BKNP nội tiếp) = ∠BAI + (∠NKC + ∠NCK) (Tính chất góc ngồi) = ∠BAI + ∠MCK + ∠BCK (Do tính đối xứng, ý ID trung trực KC) = ∠BAI + ∠CAD + ∠BCK (Do CM AD) = ∠BAI + ∠CBD + ∠BCK (Do tứ giác ABCD nội tiếp) = ∠IAK + ∠AKB (Tính chất góc ngoài) = 90◦ (Do BK ⊥ AI) = ∠IP J (Do IJ đường kính (O)) Từ suy P, K, J thẳng hàng Kết hợp nhận xét ban đầu ta suy điều phải chứng minh Bài toán kết đẹp chặt chẽ Trong lời giải tốn ta tóm lược lại ý nằm tốn sau Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), phân giác AD Gọi E đối xứng B qua AD BE cắt (O) F khác B Gọi M trung điểm cung BC chứa A (O) Chứng minh ME qua trung điểm AF Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN M A F O E B C D Hình Cách giải toàn nằm phần đầu chứng minh Đây kết có ý nghĩa Bài tốn nhìn cách khác sau Bài Cho tam giác ABC cân A P điểm thuộc đường thẳng BC Chứng minh đối xứng C qua trung điểm AP nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác AP B Đây kết đơn giản tứ giác nội tiếp Tuy để ý kỹ bạn dễ thấy toán thực chất toán áp dụng cho tam giác cân ABE Bài tốn có mở rộng tam giác sau Bài Cho tam giác ABC P điểm di chuyển đường thẳng BC Gọi E, F đối xứng B, C qua trung điểm AP a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE, ABF cắt điểm Q nằm BC b) Gọi AH đường cao tam giác ABC Chứng minh QP = HB + HC Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A F R E I B Q H P C Hình Chứng minh a) Để đơn giản ta xét trường hợp hình vẽ Ta dễ thấy tứ giác BCEF hình bình hành nên ∠AQB = 180◦ − ∠AF B = ∠AEC = 180◦ − ∠AQC suy ∠AQB + ∠AQC = 180◦ nên Q thuộc BC b) Gọi R đối xứng Q qua trung điểm I AP dễ thấy R thuộc EF tứ giác ARP Q hình bình hành nên P Q = AR Ta lại dễ thấy tứ giác BREQ hình bình hành nên BR = QE (1) Mặt khác AECQ hình thang nội tiếp nên AECQ hình thang cân QC = QE (2) Từ (1),(2) suy BR = AC từ ta có tứ giác ARCB hình thang cân nên R cố định Từ P Q = AR không đổi Mặt khác gọi AH đường cao tam giác ABC đường cao hình thang cân ARCB ta dễ chứng minh AR = HB + HC Từ ta có điều phải chứng minh Nếu tam giác ABC cân ta thu toán Nếu sử dụng cách phát biểu đối xứng ta đề xuất toán sau từ toán Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm nội tiếp I Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC cắt CA, AB E, F khác B, C BE, CF cắt (O) M, N khác B, C Gọi K, L trung điểm AM, AN Chứng minh EK F L cắt đường tròn (O) Qua tốn ta dễ thấy EK, F L qua trung điểm cung BC chứa A Một cách tự nhiên tốn mở rộng thành toán sau Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường tròn (D) qua B, C cắt CA, AB E, F khác B, C BE, CF cắt (O) M, N khác B, C Các điểm K, L thuộc AM, AN cho KL EF Gọi BE giao CF S Gọi EK giao F L T Chứng minh A, S, T thẳng hàng Bài tốn có khai thác đáng ý sau Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm nội tiếp I Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC cắt CA, AB E, F khác B, C BE, CF cắt (O) M, N khác B, C Gọi K, L trung điểm AM, AN a) Chứng minh EK F L cắt điểm T đường tròn (O) b) Gọi EK F L cắt (O) P, Q khác T P Q cắt BC S Chứng minh AS tiếp xúc đường tròn (O) Bài tốn lại có khai thác tự nhiên khác sau Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm nội tiếp I Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC cắt CA, AB E, F khác B, C BE, CF cắt (O) M, N khác B, C Gọi K, L trung điểm AM, AN a) Chứng minh EK F L cắt điểm T đường tròn (O) b) Tiếp tuyến A (O) cắt BC S Một đường thẳng thay đổi qua S cắt (O) P, Q cho P nằm S, Q T P, T Q cắt AN, AM K, L Chứng minh KL qua điểm cố định P, Q di chuyển Quay trở lại tốn ban đầu, ta lại mở rộng tiếp tục sau Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) phân giác góc ∠BAC cắt (O) D khác A E điểm đối xứng B qua AD BE cắt (O) F khác B P điểm di chuyển cạnh AC BP cắt (O) Q khác B Đường thẳng qua C song song AQ cắt F D điểm G a) Gọi EG cắt BC H Chứng minh B, P, E, H thuộc đường tròn, gọi đường tròn (K) b) Gọi đường tròn (K) cắt (O) L khác B Chứng minh LP qua điểm S cố định P di chuyển c) Gọi T trung điểm P E Chứng minh đường thẳng qua T song song LS chia đôi AF S A Q M P T F E O G B H K L D Hình C Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Chứng minh a) Tương tự chứng minh ta chứng minh DF trung trực EC Do ta có biến đổi góc ∠GEC = ∠GCE (Do tính đối xứng) = ∠CAF (Do CG AF ) = ∠CBF (Do A, F, C, B thuộc đường tròn) Từ dễ suy B, P, E, H thuộc đường tròn Ta có điều phải chứng minh b) Ta chứng minh LP qua điểm S cố định điểm cung BC chứa A Thật vậy, ta có biến đổi góc ∠DLP = ∠DLB + ∠BLP ∠BAD + ∠BEP (Do B, L, E, P A, B, D, L thuộc đường tròn) ∠BAD + ∠EBA (Do tính đối xứng) = 90◦ (Do AD ⊥ BE) = ∠DLS (Do DS đường kính (O)) Từ dễ có LP qua S Ta có điều phải chứng minh c) Sử dụng kết ta có tứ giác ASF E hình bình hành nên SE AF cắt trung điểm M đường Theo tính chất đường trung bình ta dễ có T M P S ≡ LS Hay đường thẳng qua T song song LS qua trung điểm M AF Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Bài toán mở rộng trực tiếp thi VMO Ta thu VMO cho P ≡ E Nếu cắt gọn câu c) tốn khó, việc trình bày tốn thơng qua ba ý làm toán trở nên nhẹ nhàng Bài toán mở rộng mang lại cho ta số khai thác có ý nghĩa sau Bài 10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), tâm nội tiếp I Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC cắt CA, AB E, F khác C, B Một đường tròn (K) qua B, C cắt CA, AB P, Q khác C, B a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BP E CQF cắt (O) S, T khác B, C Chứng minh ES F T cắt điểm U (O) b) Gọi M, N trung điểm P E, QF Chứng minh đường thẳng qua M song song ES đường thẳng qua N song song với F T cắt điểm V thuộc AU Bài tốn có hướng giải giống số Các bạn làm luyện tập Tài liệu [1] Đề VMO 2014 http://diendantoanhoc.net/home ... phải chứng minh Nhận xét Bài toán mở rộng trực tiếp thi VMO Ta thu VMO cho P ≡ E Nếu cắt gọn câu c) tốn khó, việc trình bày tốn thơng qua ba ý làm toán trở nên nhẹ nhàng Bài toán mở rộng mang lại... thấy R thuộc EF tứ giác ARP Q hình bình hành nên P Q = AR Ta lại dễ thấy tứ giác BREQ hình bình hành nên BR = QE (1) Mặt khác AECQ hình thang nội tiếp nên AECQ hình thang cân QC = QE (2) Từ (1),(2)... Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN M A F O E B C D Hình Cách giải toàn nằm phần đầu chứng minh Đây kết có ý nghĩa Bài tốn nhìn cách khác sau Bài Cho tam giác ABC cân A P điểm thuộc đường thẳng