Xung quanh bài hình học thi IMO năm 2010

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Xung quanh hình học thi IMO năm 2010 Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tóm tắt nội dung Bài viết xoay quanh toán số thi IMO năm 2010 hình học hay nhiều ý nghĩa Chúng tơi mở rộng khai thác tốn với lời giải túy hình học Trong kỳ thi IMO năm 2010 có tốn số hình học sau [1], ký hiệu thay đổi đơi chút cho tốn trở nên dễ hiểu Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P điểm P A, P B, P C cắt (O) D, E, F khác A, B, C Tiếp tuyến A (O) cắt BC T Chứng minh T A = T P DE = DF Bài toán theo xếp đề thi tốn dễ ngày Có nhiều lời giải đề nghị [1] shortlist Sau xin giới thiệu lời giải Một lời giải cho ngắn gọn cho có tham khảo [1] lời giải thứ đề xuất Và với lời giải thứ ta hồn tồn nhìn tốn mắt tổng qt A E F P O T C B D Hình Lời giải Nếu T A = T P T A tiếp tuyến (O) nên T P = T A2 = T B.T C T P tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác P BC Từ ∠T P B = ∠P CB = ∠P EF suy T P EF Mặt khác tam giác T AP OAD cân T O có cạnh bên T A ⊥ OA dễ suy cạnh bênh lại vng góc T P ⊥ OD Vậy từ OD ⊥ EF với O tâm ngoại tiếp tam giác DEF nên tam giác DEF cân D Ta có điều phải chứng minh Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN E A F P O T C B D Hình PB AB PC AC Lời giải Ta có tam giác đồng dạng P AB P ED nên = Tương tự = PD DE PD DF PB AB DF DF PB PC Từ hai tỷ số suy = hay = : PC AC DE DE AB AC Đến ta ý đường tròn (T, T A) đường tròn Apollonius ứng với A tam giác PC PB = ABC nên T A = T P P thuộc (T, T A) AB AC DF = DE Nhận xét Lời giải dựa vào tính chất tiếp tuyến cộng góc ngắn gọn Lời giải thực chất dài cần đến hiểu biết đường tròn Apollonius với số tính chất đường tròn Tuy nhiên qua lời giải ta thấy chất vấn đề từ đường tròn Apollonius Từ ta đề xuất toán sau Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P điểm P A, P B, P C cắt (O) D, E, F khác A, B, C Tiếp tuyến A (O) cắt BC T T P cắt đường tròn ngoại P B QB DF = : tiếp tam giác P BC Q khác P Chứng minh DE P C QC Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN E A F P Q O C B T D Hình DF PB PC = : (1) DE AB AC T B QB TQ TB P B QB PB = , = Từ = Mặt Từ tam giác đồng dạng có ta có QC TQ PC TC TC P C QC TB AB AB P B QB khác theo tính chất tiếp tuyến = Vậy = (2) 2 TC AC AC P C QC AC P B QC P B P B P B QB DF = = : = : Ta có điều phải chứng Từ (1),(2) suy DE AB P C QB P C P C P C QC minh Lời giải Tương tự lời giải ta có Nhận xét Bài toán mở rộng IMO mà T A = T P P ≡ Q ta thu kết IMO Như lời giải làm ta tổng quát vấn đề Để ý kỹ ta hồn tồn tổng quát sau Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P điểm P A, P B, P C cắt (O) D, E, F khác A, B, C T điểm đường thẳng BC T A, T P cắt (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác P BC G, Q khác A, P Chứng minh DF = DE GB AB : GC AC P B QB : P C QC Ta thấy T A tiếp xúc (O) A ≡ G ta thu tốn Ta hồn tồn tạo nhiều toán thú vị từ tốn bạn biết khai thác Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Chúng ta tiếp tục tìm cách mở rộng tốn Trong [2] tác giả có đề xuất tốn mở rộng khác sau Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P điểm P A, P B, P C cắt (O) D, E, F khác A, B, C Tiếp tuyến A (O) cắt BC T T P cắt (O) M, N Chứng minh tam giác DEF tam giác DMN có chung đường đối trung A Q E F M O L N K P S T C B D Hình Lời giải sau sử dụng ý tưởng [2] tác giả làm gọn Lời giải Gọi AF giao BD K áp dụng định lý Pascal cho hàng Tương tự L, P, T thẳng hàng, K, L thuộc T P ABF C AD suy K, P, T thẳng (1) Gọi tiếp tuyến D (O) cắt EF S Áp dụng định lý Pascal cho DF B EDA suy S, K, P thẳng hàng Tương tự S, L, P thẳng hàng, K, L thuộc SP (2) Từ (1),(2) suy S thuộc MN Từ gọi SQ tiếp tuyến (O) khác SD tứ giác DMNQ DEF Q điều hòa hay tam giác DMN DEF có đường đối trung AQ Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Nếu T A = T P dễ có T P ⊥ OD nên tam giác P MN cân có OD đường đối trung nên DEF có OD đường đối trung nên DEF cân Bài toán mở rộng đẹp tốn theo kiểu tìm bất biến Với điểm P bạn ứng dụng toán mở rộng vào nhiều trường hợp đặc biệt khác Nhiều vấn đề thú vị xung quanh toán đợi bạn Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tài liệu [1] http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=644&t=356195 [2] http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=460401 [3] Trần Quang Hùng, Tuyển tập tốn hình học chọn đội tuyển KHTN, năm 2013 Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN E-mail: analgeomatica@gmail.com ... giải Tương tự lời giải ta có Nhận xét Bài tốn mở rộng IMO mà T A = T P P ≡ Q ta thu kết IMO Như lời giải làm ta tổng quát vấn đề Để ý kỹ ta hồn tồn tổng qt sau Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp... đường đối trung nên DEF cân Bài toán mở rộng đẹp toán theo kiểu tìm bất biến Với điểm P bạn ứng dụng tốn mở rộng vào nhiều trường hợp đặc biệt khác Nhiều vấn đề thú vị xung quanh toán đợi bạn Trần... http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=460401 [3] Trần Quang Hùng, Tuyển tập tốn hình học chọn đội tuyển KHTN, năm 2013 Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN E-mail: analgeomatica@gmail.com