DE THI DAP AN TRAI HE HUNG VUONG KHOI 11

Chứng minh rằng đường thẳng MI luôn qua một điểm cố định Tìm số cách chọn ra 11 số nguyên phân biệt từ 2012 số nguyên dương đầu tiên sao cho trong sự lựa chọn đó không có chứa hai số ngu

Trang 1

LÊ QUỐC TRUNG

TEL: 0919522844-EMAIL:lequoctrunghmd@gmail.com-FACE: Quốc Trung Lê

Trang 2

ĐỀ THI OLIMPIC TOÁN HỌC 2005

Trại hè Hùng vương 2005 Olympic Toán học GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu gửi tặng các thày giáo, cô giáo

Câu 1 (7 điểm)

Các số nguyên dương a a a a a 1 , , , , 2 3 4 5 lập thành một cấp số cộng tăng Có bao nhiêu cấp số

cộng thoả mãn điều kiện a  1 50, a  5 100?

Giải Ta có a a 5   1 4 d với d nguyên dương sao cho

Câu 2 (7 điểm) Các số nguyên dương a a a a a 1 , , , , 2 3 4 5 lập thành một cấp số nhân tăng Có

bao nhiêu cấp số nhân thoả mãn điều kiện a  5 100?

Trang 3

n  và m 1 thì 16 100k  nên k  1,2, ,6  Có 6 cấp số:

(1,2, ),(2,4, ),(3,6, ),(4,8, ),(5,10, ),(6,12, )      

Vậy tổng cộng có 8 cấp số nhân thoả mãn điều kiện a  5 100

Câu 3 (7 điểm) Các số dương a a a a a 1 , , , , 2 3 4 5 thoả mãn các điều kiện

1 2 3 4 5

2 ,2 ,2 ,2 ,2 là các số nguyên dương,

1 2 3 4 5 99.

a a a a a      Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tích P a a a a a  1 2 3 4 5?

Giải Viết bài toán dưới dạng

Các số nguyên dương x x x x x 1 , , , , 2 3 4 5 thoả mãn các điều kiện x x x x x 1      2 3 4 5 198.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tích 1 5 1 2 3 4 5

2

P  x x x x x ? Không giảm tổng quát, giả sử x x 1  2    x 5 Khi đó 3 4 5 3.198 118

5

x x x     Nếu x x x 3    4 5 118 thì x x 1   2 40. Dễ thấy vô lý

Nếu x x x 3    4 5 119 thì cũng không xảy ra Do vậy, ta xét x x x 3    4 5 120. áp dung bất dẳng

f x viết được dưới dạng tổng bình phương của hai nhị thức bậc nhất

Giải Theo giả thiết, ta có

Câu 5 (7điểm) Giả sử hàm trùng phương g(x)=x^4+bx^2+c luôn luôn dương với mọi x

Chứng minh rằng g x ( ) viết được dưới dạng tổng bình phương của hai tam thức bậc hai

Giải Nhận xét rằng c 0 Khi  0, ta nhận được kết quả như Câu 4

"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

Trang 4

Khi  0 tức là b 2   4 c 0 hay b  2 c  0, khi đó ta sử dụng biến đổi sau

( ) ( ) ( 2 )

g x  x  c   b c x

Câu 6 (7điểm) Cho hình vuông ABCD Tìm quỹ tích các điểm M thuộc hình vuông

(phần bên trong và biên của hình vuông) sao cho diện tích các tam giác MAB và MAC

bằng nhau

Giải Giả sử M thoả mãn yêu cầu bài toán

Nối AM, ký kiệu I là giao điểm của AM với BC Hạ các đường BH, CK vuông góc với

AM

Xét trường hợp M thuộc tam giác ABC Từ giả thiết suy ra BH CK Do đó, ta có hai tam

giác bằng nhau BHI CKI Vậy, I cần phải nằm trên đoạn thẳng $AI.$ Ngược lại, dễ

dàng chưng minh được rằng, nếu M AI  thì S MAB S MAC ( )  ( ).

Xét trường hợp M thuộc tam giác $ADC.$ Từ giả thiết suy ra BH CK Do đó, M AD

Vậy, M cần phải nằm trên cạnh $AD.$ Ngược lại, dễ dàng chứng minh được rằng nếu

M AD  thì hai tam giác MAB $ và MAC có diện tích bằng nhau

Câu 7 (7điểm) Cho hình vuông ABCD Giả sử E là trung điểm cạnh CD và F là một

điểm ở bên trong hình vuông Xác định vị trí điểm Q thuộc cạnh AB sao cho  

Giải Giả sử tồn tại điểm Q AB  thoả mãn điều kiện bài toán Ký hiệu P là điểm giữa

cạnh AB và K là chân đường vuông góc của F lên AB

Xét trường hợp K PB Dễ dàng chứng minh Q PB  Gọi F' là điểm đối xứng của F qua

AB Dễ dàng thấy rằng  .FQB F QB  Suy ra  .AQE B QF   Do đó, ba điểm E, Q, F' thẳng

hàng Hay, Q là giao điểm của EF' với AB

Xét trường hợp K AP Dễ dàng chứng minh Q AP  Tương tự như trường hợp trên, ta

chứng minh được Q là giao điểm của EF' với AB

Trang 5

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG KỲ THI OLIMPIC HÙNG VƯƠNG NĂM 2012

LẦN THỨ VIII - CAO BẰNG MÔN THI: TOÁN - LỚP 11

Thời gian: 150' không kể thời gian giao đề

Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm di động trên BC

( M khác B, C) Hình chiếu của M trên AB, AC theo thứ tự là H và K Gọi I là giao

điểm của BK và CH Chứng minh rằng đường thẳng MI luôn qua một điểm cố định

Tìm số cách chọn ra 11 số nguyên phân biệt từ 2012 số nguyên dương đầu tiên

sao cho trong sự lựa chọn đó không có chứa hai số nguyên liên tiếp

- Hết -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 6

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2012

Trang 8

Sắp xếp 2012 số nguyên dương đầu tiên thành một hàng theo thứ tự tăng bắt đầu

từ 1 Nếu một số được chọn thì đặt biểu tượng Y dưới số đó, nếu không chọn thì

Y thứ 11 Khi đó có một tương ứng một – một giữa những sự lựa chọn chấp nhận

x1≥0,x2≥1, ,x11≥1,x12≥ Do đó kết quả cần tìm là 0 11

2002

C

2,0

Lưu ý khi chấm bài:

- Nếu học sinh giải đúng theo cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong

đáp án để cho điểm

- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử

dụng kết quả sai đó không được điểm

- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.- Điểm toàn

bài tính đến 0,5 và không làm tròn

-Hết -

Trang 9

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

1 , 2013

n n

Câu 2 (5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D là trung điểm AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

giao với phân giác góc BAC tại E nằm trong tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE giao với

BD tại F (khác B), AF giao với BE tại I CI giao với BD tại K Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp

tam giác ABK

Câu 3 (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : ℝ → ℝ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây

Câu 5 (2 điểm) Trên bảng ô vuông 3 3 × , người ta đặt một số viên sỏi sao cho mỗi ô vuông có không quá

một viên sỏi Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số: các hàng, các cột, các đường chéo

chứa số lẻ các viên sỏi trên đó Bảng không có sỏi ứng với 0 điểm

a) Tồn tại hay không cách đặt sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm tương ứng với

cách đặt đó là 8

b) Chứng minh rằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách đặt sỏi với điểm số là

một số lẻ

Hết

- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm!

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính bỏ túi!

Trang 10

Câu Phương pháp - Kết quả Điểm

1 , 2013

n n

2013 2013

4026 1 4026

n n

u u

a a

Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D là trung điểm AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

giao với phân giác góc BAC tại E nằm trong tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABE giao với BD tại F (khác B), AF giao với BE tại I CI giao với BD tại K Chứng minh rằng

I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK

5.0

Trang 11

J D'

K I F

Gọi D' là trung điểm của AB và M là trung điểm cạnh BC

Ta có D' nằm trên đường tròn ngoại tiếp △ BCD Do tính đối xứng nên suy ra D E' =ED suy

ra ABI =D BE' = EBD=IBK

Suy ra I nằm trên phân giác góc ABK hay BI là tia phân giác góc ABK ( )1

Trang 12

Cố định x0∈ ℝ ta có ( ) 0

2

x n

2

n x n

( ) ( )

Trên bảng ô vuông 3 3 × , người ta đặt một số viên sỏi sao cho mỗi ô vuông có không quá một

viên sỏi Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số các hàng, các cột, các

đường chéo chứa số lẻ các viên sỏi trên đó Bảng không có sỏi ứng với 0 điểm

a) Tồn tại hay không cách đặt sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm

tương ứng với cách đặt đó là 8

2.0

Trang 13

b) Chứng minh rằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số lẻ

a) Giả sử ô chính giữa không có sỏi và điểm số của cách đặt là 8 Như vậy 3 hàng, 3 cột và hai

đường chéo đều có một số lẻ viên sỏi Gọi a,b,c,d là số sỏi trong các ô như hình vẽ, a,b,c,d

{ }0,1

∈ Khi đó các ô đối xứng với a,b,c,d qua tâm sẽ có số sỏi tương ứng là a',b',c',d' sao cho

a+a'=b+b'=c+c'=d+d'=1

Từ đó (a+b+c)+(a'+b'+c')=3 suy ra một trong hai tổng a+b+c hoặc a'+b'+c' là một số chẵn Khi

đó dòng thứ nhất hoặc dòng thứ ba có tổng số sỏi là một số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết ban

b) Ta gọi hai cách đặt sỏi là liên hợp với nhau nếu ô trên cùng bên trái của chúng có số sỏi

khác nhau và các ô còn lại tương ứng có số sỏi như nhau

(B) (B')

Như vậy, các cách đặt sỏi chia thành từng cặp đôi một liên hợp với nhau

Xét hai cách đặt liên hợp với nhau (B) và (B') Tổng số sỏi ở dòng 1, cột 1 và 1 đường chéo cả

hai bảng đôi một khác nhau về tính chẵn lẻ Các dòng, cột và đường chéo còn lại của hai bảng

có số sỏi như nhau Do đó điểm số của (B) và (B') khác nhau 3 đơn vị, suy ra số điểm của (B)

và (B') có tính chẵn lẻ khác nhau

Vậy hai cách đặt liên hợp với nhau, một cách xếp có điểm số chẵn, cách đặt còn lại có điểm

số là một số lẻ suy ra điểu phải chứng minh

Trang 14

SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

HẠ LONG

ĐỀ THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X

MÔN: TOÁN - KHỐI: 11 Ngày thi: 01 tháng 08 năm 2014 Thời gian: 180 phút

đó

Câu 2 (4 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường tròn tâm I tiếp xúc với

hai cạnh AC, BC lần lượt tại E, F và tiếp xúc trong với đường tròn tâm O tại điểm P

Một đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với đường tròn tâm I tại điểm Q nằm

trong tam giác ABC

a) Gọi K, L lần lượt là giao điểm thứ hai của PE và PF với (O) Chứng minh

rằng KL song song với EF

b) Chứng minh rằng  ACP QCB

Câu 3 (4 điểm)

Cho P x  và Q x ( ) là các đa thức với hệ số thực, có bậc bằng 2014 và có hệ số

cao nhất bằng 1 Chứng minh rằng nếu phương trình P x Q x    không có nghiệm

thực thì phương trình sau có nghiệm thực

Câu 4 (4 điểm)

Trong mặt phẳng cho 2 1 (n n*) đường thẳng phân biệt sao cho không có

hai đường nào song song hoặc vuông góc và không có ba đường nào đồng quy Chúng

cắt nhau tạo thành các tam giác Chứng minh rằng số các tam giác nhọn tạo thành

không vượt quá  1 2 1 

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 15

1

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN KHỐI 11

Như vậy dãy ( )un tăng, bị chặn trên bới a, do đó dãy ( )un có giới hạn hữu hạn

Kết luận: Với điều kiện 2014 a 2015 thì dãy số ( )un có giới hạn hữu hạn và

limu an

1.0

-

1.0

- 1.0 - 1.0

Bài 2

Hòa

Bình

a Xét phép vị tự V( ; )P k tâm P biến đường tròn (I) thành đường tròn (O) nên biến

điểm E thành điểm K và biến điểm F thành điểm L nên KL//EF

-

b Gọi D là giao điểm thức hai của đường thẳng PC với đường tròn tâm I, và M là

giao điểm thứ hai của đường tròn tâm O với PQ

Xét phép vị tự V( ; )P k biến đường tròn tâm I thành đường tròn tâm O, ta có phép vị

tự V( ; )P k biến E, D, Q, F lần lượt thành K, C, M, L

Do OK là ảnh của IE qua V( ; )P k , dẫn đến OK IE/ / mà IE AC nên

OK AC , suy ra K là điểm chính giữa của cung AC

Chứng minh tương tự ta có L là điểm chính giữa của cung BC, M là điểm chính

giữa của cung AB

1.0 -

1.0

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG!

Trang 16

K

M

Q D

Lại có CE = CF theo tính chất của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm

Suy ra CED CFQ, dẫn đến ECD FCQ  Từ đó ta có điều phải chứng

minh

-

1.0

- 1.0

ít nhất một nghiệm thực (mâu thuẫn) Do đó a2013 b2013 t

Trang 17

Với ba đường thẳng bất kỳ trong số các đường thẳng đã cho luôn cắt

nhau tạo thành một tam giác hoặc nhọn hoặc tù

Gọi g n  là số các tam giác tù Ta gọi một tam giác tạo bởi ba đường

thẳng a b c nào đó là: "giả nhọn cạnh , , a" nếu các góc chung cạnh a

của tam giác đó là các góc nhọn Chọn một đường thẳng d nào đó và

coi nó là trục hoành, các đường thẳng còn lại được chia làm hai tập:

Tập T là các đường thẳng với hệ số góc dương, Tập T là tập các

đường thẳng với hệ số góc âm Hai đường thẳng tạo với d một tam giác

"giả nhọn" nếu một đường thẳng thuộc tập T và một đường thẳng

thuộc tập T

Gọi p là số đường thẳng thuộc T và q là số các đường thẳng thuộc

tập T Khi đó p q 2n và số tam giác "giả nhọn cạnh d" là pq

-Nhưng do d có thể là đường thẳng bất kỳ trong số 2 1n  đường thẳng

đã cho nên ta có số cặp (đường thẳng d ; tam giác "giả nhọn cạnh d")

sẽ nhỏ hơn hoặc bằng n22 1n  

-

Trong cách tính trên mỗi tam giác nhọn được tính 3 lần (theo 3 cạnh)

còn mỗi tam giác tù được tính 1 lần nên

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG!

Trang 18

Điều này là vô lí vì z1 2 2 1x   z 1 22 1x 2

Vậy các bộ số cần tìm là ( ;2 1;1 2x x  2 1x ),(2 1; ;1 2x x  2 1x ) là nghiệm của

phương trình với mọi x*

1.0

- 1.0 -

1.0 -

1.0

Trang 19

Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số thực  u được xác định bởi: n

a) Chứng minh  u là dãy bị chặn dưới n

b) Chứng minh dãy  u có giới hạn hữu hạn khi n n   Hãy tìm giới hạn đó

Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB AC và nội tiếp đường tròn

 O Các đường cao BE CF cắt nhau tại H , E AC F AB ,   Đường thẳng EF cắt

BC tại G Lấy điểm T trên  O sao cho  90ATH  o Đường tròn ngoại tiếp tam giác

GTO cắt EF tại K K G  Chứng minh rằng

a) Ba điểm , ,G T A thẳng hàng

b) Đường thẳng OK vuông góc với đường thẳng AT

Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các đa thức P x với hệ số thực, thỏa mãn điều kiện:  

 Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG

LẦN THỨ XI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - KHỐI:11

Ngày thi: 01 tháng 8 năm 2015 Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 20

Câu Nội dung Điểm

1 a) Ta chứng minh u n    bằng phương pháp Quy nạp 1, n 1

Theo đề bài, ta có 1 3 1

2

u   Giả sử un  với 1 , n  Ta chứng minh 1 un1 1

Thật vậy, ta có 2 49 1 50 1 1

u      u Giả sử ta có 1 1 1 3

2

      với n  1 Ta chứng minh un1 u nXét hiệu   2 2  3 3   2 2   

Do vậy  u là dãy giảm và bị chặn dưới n

Suy ra dãy  u có giới hạn hữu hạn khi n n   .

Trang 21

2

Nguồn: Điện Biên

a) Dễ thấy tứ giác BFEC nội tiếp

Hơn nữa,    ATH AFH AEH   nên ngũ giác ATFHE nội tiếp 1,0

Do đó AT FE BC , , là ba trục đẳng phương của

ATFHE O  , và BFEC nên chúng 

đồng quy tại G tức là ba điểm G T A , , thẳng hàng

1,0

b) Nối TH cắt  O tại M, suy ra A O M , , thẳng hàng

Dễ thấy    AEK ABC AMC    AM EF  1,0

Từ đó suy ra   AGK AMT  Do đó    KOT KGA OMT   (1)

Hơn nữa, AOT 2OMT (2) Từ (1) và (2) suy ra  KOT KOA Mà OA OT nên OT là

Giả sử deg P n  So sánh bậc của hai vế trong giả thiết, ta có 2 2 0

Trang 22

   

2 2

Vậy tất cả các đa thức thỏa mãn bài toán là P x  0 , P x  và 1 P x  x 2

4 Giả sử n là số nguyên dương thỏa mãn bài toán, ta có

11 n  xy z   1 x  y z   x yz y xz   11 n Suy ra tồn tại các số nguyên dương p q , thỏa mãn 11  1

11

p q

 Nếu z   thì 1 11 z   do đó từ 1 11  ,  3 suy ra x y   11 p , hay x y x yz    Mặt khác, ta có

x yz x y    | |, nên suy ra x y  Khi đó ta có  2

Nguồn: Tuyên Quang

5 Đặt x  thì ta thấy hệ thức truy hồi đã cho thỏa mãn với 0 0 n  0

Xét số nguyên dương m, ta chứng minh tồn tại số nguyên dương k m  3 sao cho m x | k 1,0

Đặt r là số dư khi chia t x cho m, với t t  0 1 , , ,  m 3  2 Ta xét các bộ gồm ba phần tử

r r r 0 1 2 ; ; , ; ; , , r r r 1 2 3  r rm3 ; m31; rm32 Vì r có thể nhận t m giá trị nên theo nguyên tắc

Đi-rích-lê, suy ra có ít nhất hai bộ bằng nhau

Vì rp  r rq, p1  r rq1, p2  rq2 nên từ các đồng dư thức trên suy ra rp1 r q1 Do đó hai bộ

r r r p1 ; ; p p1 và r r r q1 ; ; q q1 bằng nhau, điều này trái với tính chất của p Do vậy p  0 , suy ra

0

q

r  chứng tỏ , x q  0mod m hay x chia hết cho m.q

1,0 Nguồn: Sưu tầm

Trang 23

AH và tâm đường tròn nội tiếp là I Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC của (O) và D là

điểm đối xứng với A qua O Đường thẳng MD cắt các đường thẳng BC, AH theo thứ tự tại

P và Q

a) Chứng minh rằng tam giác IPQ vuông

b) Đường thẳng DI cắt (O) tại điểm E khác D Hai đường thẳng AE và BC cắt nhau

tại điểm F Chứng minh rằng nếu AB + AC = 2BC thì I là trọng tâm của tam giác APF

Câu 3 (4 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x y z 3   Tìm giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 4 (4 điểm) Cho số nguyên n  1 Tìm số lớn nhất các cặp gồm 2 phần tử phân biệt của

tập 1;2; ; n sao cho tổng của các cặp khác nhau là các số nguyên khác nhau và không 

vượt quá n

Câu 5 (4 điểm) Cho p là một số nguyên tố Tìm tất cả các đa thức f(x) với hệ số nguyên

sao cho với mọi số nguyên dương n, f(n) là ước của p 1n 

-HẾT -

 Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 24

Câu Nội dung Điểm

1 Đề đề xuất của trường THPT Nguyễn Tất Thành (Yên Bái)

2

lim ln 1 1lim lim 1 ln 1 1

n

u n n

OAC   AOC   ABC BAH 

Vì AI là phân giác BAC nên

  HAI OAI 

Suy ra AQD cân tại A , do đó

LẦN THỨ XII MÔN: TOÁN – LỚP 11 HƯỚNG DẪN CHẤM

Ngày thi: 31 tháng 7 năm 2016

Trang 25

Từ câu a ta suy ra HIPQ nội tiếp nên IHP IQP IDM EAM     

Do đó tứ giác AIHF nội tiếp, suy ra  AIF AHF   90 0

Gọi N là trung điểm của đoạn FA

Khi đó NIA NAI EDM IQP MIP        nên N, I, P thẳng hàng

1,0

Theo tính chất phân giác và giả thiết thì

2

2.:

ABABBC

BA BL

BA IL

Áp dụng định lý Menelauyt cho tam giác AFL với cát tuyến NIP ta có

1

IA

LI PL

FP

2

1

PL

FP  L là trung điểm của PF

Từ đó suy ra I là trọng tâm của tam giác APF

0,75

Trang 26

0,5

4 Đề đề xuất của trường THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)

Giả sử có k cặp thỏa mãn đề bài Gọi S là tổng của k cặp đó, thì

S     1 2 2 k k  (2 1) k 

2 ( 1) k k

S       n k     Do đó, (2 1) ( 1) 2 1

Trang 27

Trường hợp 2: Số n có dạng 5 3 k  hoặc 5 4 k  hoặc 5 5 k  Khi ấy,

5 Đề đề xuất của trường PT Vùng cao Việt Bắc

Gọi A là tập các ước số nguyên của p 1

Nếu đa thức f x là đa thức hằng thì f 1 là ước của p 1

Khi đóf x b b A,  thỏa mãn bài toán (vì  n *,pn 1p1)

1,0

Giả sử rằng tồn tại đa thức f x  có bậc dương thỏa mãn bài toán

Gọi qlà ước số nguyên tố bất kỳ của f n n   , *

B q Từ (1) ta lại có p 1 q, Mâu thuẫn với  2

Vậy tất cả các đa thức thỏa mãn bài toán là đa thức hằng sốf x b, với

Trang 28

Sở giáo dục và đào tạo

Trường THPT chuyên BẮC GIANG

a b

 

 ;bn1  a bn1 n , n = 1, 2, … Chứng minh rằng (an) và (bn) cú cựng giới hạn, tỡm giới hạn đú

Cõu II (5 điểm)

Cho tam giỏc ABC ngoại tiếp đường trũn (I) tõm I Gọi D, E, F là tiếp điểm của

(I) với BC, CA, AB AD cắt (I) tại điểm thứ hai là X, BX cắt (I) tại điểm thứ hai là Y,

CX cắt (I) tại điểm thứ hai là Z Chứng minh rằng BZ, CY, AX đồng quy

Cõu III (4 điểm)

Học sinh khụng được sử dụng tài liệu, cỏn bộ coi thi khụng được giải thớch gỡ thờm

Họ và tờn:………Số bỏo danh: …………

Trang 29

3 2 3

n n n

n a



sin 3

n n n

9 sin cos sin

3 2 3 3

n n n

n a

Kẻ tiếp tuyến tại X của (I) cắt BC tại K

Trong tứ giác XEDF ta có tiếp tuyến tại F, E và XD đồng quy tại

A nên tứ giác XEDF là tứ giác điều hòa Mà KX, KD là tiếp

tuyến của (I) tại X, D nên K,E,F

Mặt khác AD, BE, CF đồng quy nên KCBC 1

Trang 30

sin XDZ sin DXZ sin XDY sin YXD

f x a   f f x

Nên

f x f x (  ( ) 2 ) 2  y   x f y a (2  ),  ;x y  (i) Thay 2y bởi y ta được

f x f x y (  ( )    ) 2 x f y a (  ),  ;x y   (ii) Với ;x y a  thỏa mãn f x ( )  f y t ( ) 

Thay y bởi y-a vào (ii) ta được

Trang 31

0,5 0,5

0,5 Câu V Dễ nhận thấy (a, b, 1) thỏa mãn với mọi a, b nguyên dương

Trang 32

+Nếu ra = rb = c – 1 thì 2r a 2r b   1 2 1(mod ) 2(mod )c n  n

Mà n ≥ 3 nên n không thể là ước của 2 Do đó trường hợp

này không thỏa mãn

+Nếu ra hoặc rb nhỏ hơn c thì

Trang 33

TRƯỜNG THPT

CHUYÊN CAO BẰNG

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

ĐỀ THI CHỌN HSG TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2013

MÔN TOÁN - LỚP 11 Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (5,0 điểm):

12

Chứng minh dãy số trên có giới hạn

Câu 2 (5,0 điểm): Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R R  ' cắt nhau tại hai

điểm phân biệt A và B Một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) và (O’) lần

lượt tại P và P’ Gọi Q và Q’ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ P và P’ xuống

OO’ Các đường thẳng AQ và AQ’ cắt các đường tròn (O) và (O’) tạiM và M’.Chứng

Câu 4 ( 4,0 điểm) :Giải phương trình : x3 3  x2   2 x  1

Câu 5 (2,0 điểm): Những ô của hình vuông kích thước 77 được tô bằng hai màu

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 21 hình chữ nhật với đỉnh cùng màu và các cạnh song

song với các cạnh của hình vuông

- Hết -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:

Trang 34

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2013

ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN: TOÁN – LỚP 11

1

x  x   x n  n n1

Trang 35

J B

A O

O' P'

Suy ra AB là trung trực của QQ’

Mà OO’ là trung trực của AB Vậy tứ giác AQBQ’ là hình thoi

Do đó Q’B //AQ hay Q’M’ // QM

Giả sử V(S, k) biến M thành B’ khi đó QM // Q’B’

Mà M thuộc (O) suy ra B’ thuộc (O’) do đó B’ trùng với B

Trang 36

Với -1  x  3

Đặt x = 2cost + 1 ( 0  t  )

Khi đó phương trình trở thành:

(2cost + 1) 3 - 3(2cost + 1) 2 + 2 = 2 cos t  2

 8cos 3 t – 6cost = 2 (cos t  1 )

t t

k

t t

2 2 3

2 2

4 5

4



 k t

k t

Tiếp theo tồn tại C 72 21 cặp cột Suy ra tồn tại 21.2 = 42 tổ hợp của màu và cặp cột 0,5

Với tổ hợp i  1;24, giả sử tồn tại ji cặp trong cùng một tổ hợp, thì tồn tại ít nhất

ji – 1 hình chữ nhật cho tổ hợp này Vì tổng của ji ít nhất là 63 nên tồn tại ít nhất

Trang 37

Đề đề xuất thi Olympic Hùng Vương 2013

Môn: Toán 11 Thời gian làm bài: 180 phút Đơn vị đề xuất: Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên

Câu 4.(5 điểm) Cho đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC Gọi X là điểm thay

đổi trên cung AB (không chứa C); O O 1 , 2 tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp

ACX

 và  CBX Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp  ABC, M, N là điểm chính giữa

các cung BC (không chứa A) và  (không chứa B) Kẻ CP song song với MN

a) Chứng minh rằng tứ giác MPNO là hình bình hành (1,5đ)

b) Gọi giao điểm của PO và đường tròn (C) là T Chứng minh rằng tứ giác

1 2

XO O T nội tiếp trong một đường tròn (2,5đ)

Câu 5 (2 điểm) Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh nam, 8 học sinh nữ vào 13 ghế

xung quanh một bàn tròn sao cho không có hai học sinh nam ngồi cạnh nhau

Trang 38

xt

Trang 39

Câu 2

Ta có :

2 2

Trang 40

Cau 3 Tìm tất cả các hàm f xác định trên  thỏa mãn:

Câu 4 Cho đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC Gọi X là

điểm thay đổi trên cung AB (không chứa C); O O 1 , 2 tương ứng là tâm đường tròn

nội tiếp  ACX và  CBX Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp  ABC, M, N là điểm

chính giữa các cung BC (không chứa A) và  (không chứa B) Kẻ CP song song

với MN

c) Chứng minh rằng tứ giác MPNO là hình bình hành (2,0đ)

d) Gọi giao điểm của PO và đường tròn (C) là T Chứng minh rằng tứ giác

1 2

XO O T nội tiếp trong một đường tròn (3,0đ)

Định dạng
Số trang	326
Dung lượng	33,36 MB