TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2012 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN – LỚP 10 Câu Đáp án Điểm 5,0 Câu 1 Điều kiện : 2 2 x ≥ Phương trình tương đương với : () 22 23 1 2 1 10 3 6xx xx + −= + − ( ) () 222 42 1 23 1 2 1 2 3 2 0xxxxx⇔−−+ −+−−= (1) đặt 2 21(0)xtt−= ≥ khi đó phương trình (1) trở thành: ( ) ( ) 22 42312 3202txtxx−++−−= phương trình (2) có ( ) ( ) ( ) 22 '2 31 42 32 3xxxxΔ= + − + − = − phương trình (2) có nghiệm: ( ) () 31 3 2 42 31 3 21 42 xx x t xx x t +− − ⎡ + == ⎢ ⎢ ++ − − ⎢ == ⎢ ⎣ ⇒ 2 2 2 21 2 21 21 2 x x x x + ⎡ = − ⎢ ⎢ − ⎢ = − ⎢ ⎣ 2 2 2 260 7480 7 1 16 2 2 4450 x xx x x x xx ≥− ⎡ ⎧ ⎨⎡ ⎢ ± −−= = ⎩ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔⇔ ⎧ ⎢ ⎢ ≥ −+ ⎪ = ⎨ ⎢ ⎢ ⎣ ⎪ ⎢ +−= ⎩ ⎣ (tm ĐK) Vậy phương trình có hai nghiệm : 260 16 , 72 xx ±−+ == 0,5 1,0 1,0 1,0 1,0 0,5 Câu 2 5,0 Điều kiện: 0; 0; 3 0 x yyx≥≥+≠. + Nhận thấy x = 0, y = 0 không là nghiệm của hệ. + Với 0, 0 x y≠≠ 12 12 3 12 16 3 x yx y yx ⎧ ⎛⎞ −= ⎪ ⎜⎟ + ⎪⎝ ⎠ ⎨ ⎛⎞ ⎪ += ⎜⎟ ⎪ + ⎝⎠ ⎩ 12 2 1 3 12 6 1 3 yx x yx y ⎧ −= ⎪ + ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ += + ⎪ ⎩ 0,5 0,5 1,0 3 1 1 13 12 3 y x y x xy ⎧ += ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ − ⎪ −= ⎪ + ⎩ Suy ra 22 19 12 6270 3 yxyx xy y x − − =⇒+−= + 2 6270 3 yy y xx x ⎛⎞ ⎛⎞ ⇒+−=⇔= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ; 9 y x = − (loại) Với 33 y yx x =⇔ = suy ra ( ) ( ) 22 13; 313xy=+ = + 1,0 1,0 1,0 Câu 3 3,0 Từ giả thiết () ( ) 444 222 925480abc abc++ − ++ += suy ra ( ) ( ) ( ) ()() () 2 222 444 222 2 222 222 222 25 48 9 48 3 325480 16 3 3 abc abc abc abc abc abc ++ =+ ++ ≥+ ++ ⇒++− +++≤ ⇒≤ + + ≤ Biến đổi 222 22 2 abc P bccaab =++ ++ + = ()()() ( ) () 2 222 444 222 222 222 22 2 2 abc abc ab c bc a ca b ab bc ca ac ba cb ++ ++≥ +++ +++ ++ Lại có: ( ) ( ) 222 222222222 ab bc ca aab bbc cca a b c ab bc ca++= + + ≤ ++ + + () () 2 222 222 222 3 abc ab bc ca a b c ++ ⇒++≤ ++ Tương tự ()() () 2 222 222 222 3 abc acbacb abc ++ ++ ≤ ++ Từ đó () 222 1 3 abc P ++ ≥≥ Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1. GTNN P =1. 1,0 1,0 1,0 H N M D A B C Câu 4 5.0 Xét tích T M AHBNC M BHC NA = (1) 1.0 Do AD là phân giác của n nê (2) DB AB BAC n DC AC = 1.0 Do tứ giác AMDN nội tiếp nên có . . , CN.CA = CD.CH , (3) BA BH CD CN BM BA BH BD BD BM CA CH =⇒== 1.0 Do AD là phân giác của n M AN và AD là đường kính nên AM = AN (4) 1.0 Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được T 1 .1 MA HB NC BA CD BA CD NA MB HC BD CA CA BD ==== Do đó các đường thẳng CM, BN, AH đồng quy. 1.0 Câu 5 2,0 Vì (17,10) = 1 (1) và 17 là số nguyên tố nên theo định lý Fecma nhỏ ta có : ( ) 17 10 10 17#− ( ) ( ) 16 10 10 1 17 2#⇒− Từ (1) và (2) suy ra ( ) 16 16 10 1 17 10 1 mod17# − ⇒≡ Do đó, với mọi n nguyên dương thì ( ) 16. 16. 10 1 mod17 10 1 17 nn # ≡ ⇒− Mặt khác N 16. .16 10 1 99 9 n n −= Vậy có vô số số hạng của dãy 9; 99; 999; 9999;… chia hết cho 17. 0,5 0,5 0,5 0,5 Lưu ý khi chấm bài: - Nếu học sinh giải đúng theo cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn. Hết . TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2012 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN – LỚP 10 Câu Đáp án Điểm 5,0 Câu 1 Điều kiện : 2 2 x ≥ Phương trình tương đương với : () 22 23 1 2 1 10 3 6xx xx + −=. 2,0 Vì (17 ,10) = 1 (1) và 17 là số nguyên tố nên theo định lý Fecma nhỏ ta có : ( ) 17 10 10 17#− ( ) ( ) 16 10 10 1 17 2#⇒− Từ (1) và (2) suy ra ( ) 16 16 10 1 17 10 1 mod17# − ⇒≡. 1 17 10 1 mod17# − ⇒≡ Do đó, với mọi n nguyên dương thì ( ) 16. 16. 10 1 mod17 10 1 17 nn # ≡ ⇒− Mặt khác N 16. .16 10 1 99 9 n n −= Vậy có vô số số hạng của dãy 9; 99; 999; 9999;… chia