2 day so co gio han huu han p2

Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới hạn- 02 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN (P2) Bài 1: Tính giới hạn sau − 4n lim + 4n a 2n − 5.3n lim n +1 b 3n − 4n lim n + 4n c Bài 2: Tính giới hạn sau a Bài 3: lim 3n − n + 5n 3n + n − 5n b lim 3n − 4n +1 3n + + n c lim 3n + n − 4n +1 3n + 6n +1 Tính giới hạn sau 2n + 2n +1 lim n + 4.3n a Bài 4: Cho dãy số ( un ) Bài 5: Cho dãy số ( un ) 4.3n + 7n +1 lim 2.5n + n b 2n + + 4.6n −1 + lim n +1 + 6n −1 + c u1 =   un + un +1 = xác định bởi Tìm lim un u1 = 10   un +1 = un + xác định bởi a Chứng minh rằng dãy số ( ) xác định bởi = un − 15 lập thành một cấp số nhân b Tìm lim un Bài 6: Cho dãy số ( un ) u1 = 1; u2 =  2u = u + u xác định bởi  n n −1 n − , n ≥ 2un + un −1 = a Chứng minh rằng dãy số b Tìm lim un ( un )  u1 =  u = un + xác định bởi  n +1 Tìm lim un  u1 =  un +1 = − un lim un  Bài 7: Cho dãy số Bài 8: Bài 9: u Cho dãy số ( n ) xác định bởi Tìm Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số a 0,77777777777777 b 0,2777777777 Bài 10: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số a 0,3211111 Trang | b 0,313131 c 3,1525252 Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới hạn- 12 Bài 11: Tìm số hạng đầu và công bội một cấp số nhân lùi vô hạn biết số hạng thứ hai là và tổng cấp số nhân lùi này bằng 15 Đ/s: u1 = 12; q = u1 = 3; q = Bài 12: Một cấp sớ nhân lùi vơ hạn có tổng bằng 12, hiệu số hạng đầu và số hạng thứ hai bằng , số hạng đầu là một số dương Tìm số hạng đầu và công bội cấp số nhân lùi này u1 = 3; q = Đ/s: LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính giới hạn sau a lim − 4n + 4n b lim 2n − 5.3n 3n + c lim 3n − 4n 3n + 4n lim 3n + n − 4n +1 3n + 6n +1 Lời giải −1 n 1− −1 lim = lim = = −1 n 1+ + 4n a n n 2  ÷ −5 n n − 5.3 lim n = lim   = −5 +1 1+ n b n  3 n n  ÷ −1 −4 lim n = lim   n = −1 n +4 3  ÷ +1 4 c Bài 2: Tính giới hạn sau a lim 3n − n + 5n 3n + n − 5n b lim 3n − 4n +1 3n + + n c Lời giải a Nhận xét Trang | q < ⇒ lim q n = Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạnn n 3  4  ÷ −  ÷ +1 − +1 3n − 4n + 5n 5 lim n = lim   n   n = = −1 n n +4 −5 + −1 3  4  ÷ +  ÷ −1 5  5 Do đó, n 3 n n +1  ÷ −4 −4 0−4 lim n + = lim   n = = −4 n +4 9.0 + 3  ÷ + 4 b n 3n + 6n − 4n +1 lim 3n + 6n +1 c Bài 3: n 1 2  ÷ + −  ÷ + − 4.0 3 = = lim   = n 0+6 1  ÷ +6 2 Tính giới hạn sau a lim 2n + 2n +1 2n + 4.3n b lim 4.3n + 7n +1 2.5n + n c lim 2n + + 4.6n −1 + 3n+1 + 6n−1 + Lời giải n 2  ÷ n n +1 +2 3.0 lim n = lim  n  = =0 n + 4.3 0+4 2  ÷ +4 3 a n lim 4.3n + n +1 2.5n + n b 3  ÷ + 4.0 + 7 = lim   n = =7 2.0 + 5  ÷ + 7 n n 1 1  ÷ + +  ÷ 4.0 + + 2.0 n+2 n −1 + 4.6 + 3 6 = lim n+1 n−1 = lim   n =4 n + +1 1 1 3.0 + +  ÷ + +  ÷ 6     c Bài 4: Cho dãy số ( un ) u1 =   un + un+1 = xác định bởi Tìm lim un Lời giải u1 =   un + ⇒ un +1 − = ( un − 1) un − = ⇒ un +1 − = +1 = un +1 = 2 , và v1 = Ta có Đặt Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Giả sư lim un = a ⇒ a = Bài 5: Cho dãy số ( un ) Chuyên đề : Giới hạn- a +1 ⇔ 2a = a + ⇔ a = u1 = 10   un +1 = un + xác định bởi v a Chứng minh rằng dãy số ( n ) xác định bởi = un − 15 lập thành một cấp số nhân b Tìm lim un Lời giải u1 = 10 15  15   ⇒ un +1 − =  un − ÷  5 4 un +1 = un + a Ta có  15 15 15 = un − ⇒ un +1 − = +1 = vn = un − v ( ) 4 , dẫn đến dãy số n xác định bởi là một Đặt q= cấp số nhân với công bội b Đặt lim un = a Suy 15 a = a+3⇔ a = u1 = 1; u2 =  un ) 2u = u + u ( Bài 6: Cho dãy số xác định bởi  n n−1 n− , n ≥ a Chứng minh rằng: 2un + un −1 = , n ≥ b Tìm lim un Lời giải đẳng thức đúng với n = 2; n = a Ta có Giả sư đẳng thức đúng với n = k Tức là 2uk + uk −1 = u1 = 1; u2 = 2; u3 = Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với n = k + k k −1 Thật vậy k +1 k ( k k −1 ) k Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh 2u +u = u +u + u = 2u + u =5 b Theo câu a ta có 2un + un −1 = Đặt lim un = lim un−1 = a Suy Bài 7: Cho dãy số Ta có un > ( un ) 2a + a = ⇔ a = u1 =  u = un + xác định bởi  n +1 Tìm lim un Lời giải u Ta sẽ chứng minh ( n ) bị chặn trên, ta chứng minh un < Thật vậy với n = thì mệnh đề đúng Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TOÁN Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn- Giả sư mệnh đề đúng với n = k , tức là uk < , ta chứng minh uk +1 < = 2+u < 2+2 = u k Thật vậy k +1 Vậy mệnh đề được chứng minh Nên ( un ) bị chặn nên ( un ) có giới hạn Giả sư lim un = L ⇒ L = + L ⇒ L − L − = ⇔ L = (do un > ) Vậy lim un = Bài 8: Cho dãy số ( un )  u1 =  un +1 = − un xác định bởi  Tìm lim un Lời giải Ta có Đặt un +1 = = un − Ta có un = Suy d = −1 nên = v1 + ( n − 1) ( −1) = −2 − ( n − 1) = −n − 1 n +1 = 1− = n +1 n +1 lim un = lim Bài 9:  = −2 v1 = u1 −  v = v −  n +1 n ( ) là cấp sớ cợng cơng sai Khi Suy u −1 u −2 1 1 ⇒ un +1 − = −1 = n ⇒ =− n = −1 + − un − un − un un +1 − un − un − n = lim =1 n +1 1+ n Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số a 0,77777777777777 b 0,2777777777 Lời giải 1 1 + + + a 10 10 10 là tổng cấp số nhân lùi vô hạn công bội 10 nên 1 1 + + + = 10 = 10 10 10 1− 10 1   0, 7777777777 = 7.0,1111111111 =  + + + ÷ =  10 10 10  Suy Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới hạn- 1 1 + + + b 10 10 10 là tổng cấp số nhân lùi vô hạn công bội 10 nên 1 1 + + = 100 = 90 10 10 1− 10 Suy 0, 27777777777 = 0, 2.0, 07777777 = + = 10 90 18 Bài 10: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số a 0,3211111 b 0,313131 c 3,1525252 Lời giải 1 1 + + + a Ta có 10 10 10 là tổng cấp số nhân lùi vô hạn công bội 10 nên 1 1 + + + = 10 = 32 289 900 10 10 10 0,321111 = + = 1− 10 100 900 900 Suy 1 1 + + + 2 b Ta có 10 10 10 là tổng cấp số nhân lùi vô hạn công bội 10 nên 1 1 + + + = 10 = 1 31   10 10 10 0.313131 = 31 + + + ÷ = 31 = − 99 99 99  10 10 10  10 Suy 1 1 + + + c Ta có 10 10 10 là tổng cấp số nhân lùi vô hạn công bội 10 nên 1 1 103 = + + + = 103 105 107 − 990 10 Suy 3,1525252 = 31 1   31 52 3121 + 52  + + + ÷ = + = 10  10 10 10  10 990 990 12 Bài 11: Tìm số hạng đầu và công bội một cấp số nhân lùi vô hạn biết số hạng thứ hai là và tổng cấp số nhân lùi này bằng 15 Lời giải Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn- u2  q=  u u 12 q S = ⇒ 15 = = = ⇒ 25q − 25q + = ⇔  1− q − q − q 5q ( − q ) q =  Ta có +) Nếu +) Nếu q= u ⇒ u1 = = 12 q q= u ⇒ u1 = = q Bài 12: Một cấp sớ nhân lùi vơ hạn có tổng bằng 12, hiệu số hạng đầu và số hạng thứ hai bằng , số hạng đầu là một số dương Tìm số hạng đầu và công bội cấp số nhân lùi này Lời giải Ta có S= u1 3 ⇒ u1 = 12 ( − q ) u1 − u2 = ⇒ u1 ( − q ) = 1− q 4 Và 12 ( − q ) Suy Ta chọn q=  q = = ⇒ q =   3 u1 = 12 1 − ÷ =  4 vì q < Khi 03 DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC P( n) ∞ lim , P n Q n Q( n) Dạng vô định ∞ hay với ( ) và ( ) là hàm đa thức thì ta chia cả tư và k mẫu cho n với k lớn nhất Dạng vô định ∞ − ∞ hay ∞ thì ta nhân với lượng liên hợp và đưa về dạng ∞ lim  P ( n ) − Q ( n )  Bài 1: Tính giới hạn sau a c ) lim ( n + 4n − n lim ( n2 + n − n2 +1 b ) d lim ( n +1 − n ) lim ( n + 5n + − n − n ) Bài 2: Tính giới hạn sau a ( lim n − n + Trang | ) lim b n + − n2 + Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TOÁN Lớp 11 c lim ( n − 2n − n ) Chuyên đề : Giới hạn- d lim n − ( n +1 − n ) Bài 3: Tính giới hạn sau a c lim ( n − n +1 lim n (  n + − n3  lim  ÷  n2 +1 − n ÷   b ) n +1 − n ) d lim ( n − 3n + − n + 4n ) Bài 4: Tính giới hạn sau a c lim n −2 n + n +1 lim n +2 n +2 +3 b n +1 n +1 lim n2 +1 lim 2n + d Bài 5: Tính giới hạn sau lim n3 + − n +1 − a b ( 2n n ) ( + n ) lim ( n + 1) ( n + ) c 2n − − n 3n + lim 2n n + n lim 3n + 2n + d Bài 6: Tính giơi hạn sau n2 + n3 +1 + n n lim n n2 +1 + a c lim ( n +1 + n ) n + 2n − lim 5n + b d lim ( n2 + n3 + n ) Bài 7: Tính giới hạn sau:  1 lim  + + +  1.3 3.5 ( 2n − 1) ( 2n + 1)  a   1 lim  + + + ÷  1.3 2.4 n ( n + ) ÷   b  ÷ ÷  Bài 8: Tính giới hạn sau:  1    lim 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷     n  a Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới hạn-  1 lim  + + +  1.2 2.3 n ( n + 1)  b  ÷ ÷  Bài 9: Tính giới hạn sau: a b lim + + + n n + 3n lim + + 2 + + n + + 32 + + 3n  1    u ( n ) =  − ÷ − ÷ 1 − ÷ u n     n  với n ≥ Bài 10: Cho dãy sớ ( ) với a rút gọn un b tính lim un 1 = − ∀n ∈ N * n n + + ( n + 1) n n n +1 ( Bài 11: a chứng minh un = b.Rút gọn ) 1 + + + +2 +3 n n + + ( n + 1) n c Tính lim un u1 =   un +1 = un + 2n ( n ≥ 1) u ( n) Bài 12: Cho dãy số được xác định bởi a Đặt = un +1 − un Tính v1 + v2 + + theo n b Tính un theo n c Tính lim un u1 = 0; u2 =  2u = u + u ( n ≥ 1) u ( n) Bài 13: Cho dãy số được xác định bởi  n + n +1 n un +1 = − un + 1, ∀n ≥ a Chứng minh rằng = un − Tính theo n Từ tìm lim un b Đặt Bài 1: Tính giới hạn sau a lim ( Trang | n + 4n − n ) b lim ( n +1 − n ) Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 c ( lim n2 + n − n2 +1 ) Chuyên đề : Giới hạn- d lim ( n + 5n + − n − n ) Lời giải ) (  n2 + 4n − n2    4n 1 n2 + 4n − n = lim  = lim = 4lim = =2 ÷  ÷ ÷  ÷ 2 n + n + n n + n + n     1+ + n (   n + − n = lim  ÷=  n + 1+ n  (  n2 + n − n2 −    n− n2 + n − n2 + = lim  = lim  ÷ ÷ ÷ ÷ 2 2  n + n + n + 1  n + n + n + 1 lim a lim b lim c ) ) 1− = lim 1+ lim d n 1 + 1+ n n = ( ) ( )  n2 + 5n + − n2 − n  6n + ÷ = lim n + 5n + − n − n = lim   n2 + 5n + + n2 − n ÷ n2 + 5n + + n2 − n   ( 2 6+ = lim n 1 1+ + + 1− n n n ) =3 Bài 2: Tính giới hạn sau a c ) ( lim lim n − n2 + lim ( b ) n3 − 2n2 − n d ( lim n − 1 n2 + − n2 + n+ 1− n ) Lời giải ) (  n2 − n2 −  lim n − n2 + = lim  = −3lim =0 ÷ ÷ 2 n + n + n + n +   a lim b Trang 10 | n2 + − n2 + = lim n2 + + n2 + = −∞ −2 Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 lim ( ) n3 − 2n2 − n = lim ( Chuyên đề : Giới hạn- )  n3 − 2n2 − n  n3 − 2n2  c −2n2 = lim ( n − 2n ) ( lim n − d ( ( n − 2n )  − n3 n3 − 2n2 + n2 ÷  − n3 n3 − 2n2 + n2 −2 = lim − n3 n3 − 2n2 + n2 )  2  1− n ÷ − 1− n +   = n =1 n + − n = lim = lim n+ 1+ n 1+ + n ) 1− n− Bài 3: Tính giới hạn sau a c lim (  n + 1− n3  ÷ lim   n2 + − n ÷   b ) n − n+ lim n ( n+ 1− n ) d lim ( n3 − 3n2 + − n2 + 4n ) Lời giải lim ( ) n − n + = lim ( a = lim ) 2  n − n +  n2 + n( n + 1) + ( n + 1) ÷   2 3 3  n + n( n + 1) + ( n + 1) ÷   −1 2 3 3  n + n( n + 1) + ( n + 1) ÷   =0 ) )( ( ( ) ( 2  n + 1− n3  n2 − n3 1− n3 + 1− n3 ÷ n2 + + n  n + 1− n3    ÷= lim lim   n2 + − n ÷ 2    n2 + − n n2 + + n  n2 − n3 1− n3 + 1− n3 ÷   b = lim n2 + 1+ n  3 3  n − n 1− n + 1− n  ( ( lim n − c Trang 11 | ) ) n + − n = lim  ÷  = lim ( ) ) ( 1 + + n2 n4 n   1− − +  − 1÷ n n  = ) =0 3 n n + 1+ n = lim 1+ +1 n = Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 d lim ( Chuyên đề : Giới hạn- ) n3 − 3n2 + − n2 + 4n = lim ( ) ( n − 3n + 1) − ( n − 1) ( n − 3n + 1) + ( n − 1) n − 3n + 1+ ( n − 1) = lim 3 2 3 ( n − 3n 3 ) + + ( n − 1) n − 3n + + ( n − 1) 3 ( n − 1) − ( n + lim 2 − 3n = lim ( n3 − 3n2 + − ( n − 1) + lim n − 1− n2 + 4n 2 ) ) + 4n n − 1+ n2 + 4n + lim −6n + n − 1+ n2 + 4n = − = −3 Bài 4: Tính giới hạn sau lim a n−2 lim n+ n + b n+2 lim n+ + c d lim n+ n+1 n2 + 2n + Lời giải Làm tương tự phần ta được kết quả: lim a n−2 n+ n + n+ lim n+1 b =1 n+2 lim n+ + c =0 =2 n2 + 1 lim = 2n + d Bài 5: Tính giới hạn sau lim c lim n + 1− a lim n3 + − ( 2n n 3+ n ( n + 1) ( n + 2) b ) d lim 2n − − n 3n + 2n n2 + n 3n2 + 2n + Lời giải Trang 12 | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 lim a Đặt Chuyên đề : Giới hạn- n3 + − n3 + − ( n + 1) = t Bài 13: Tính giá trị biểu thức sau: 1 = − ∀n ∈ ¥* ) ( n n + + ( n + 1) n n n +1 a Chứng minh: un = b Rút gọn 1 + + + +2 +3 n n + + ( n + 1) n c Tìm lim un Lời giải a) Ta có: = ( n + 1) − n = = n n + + ( n + 1) n n ( n + 1) n + n + ( n +1 − n n ( n + 1) = 1 − n n +1 ) ( n + n +1 n ( n + 1) ( )( n − n +1 n + n +1 ) ) b) Áp dụng đẳng thức đã được chứng minh được ở câu a, ta có: un = 1 1 1 − + − + + − ⇒ un = − 2 n n +1 n +1   lim un = lim 1 − ÷= n +1   c) Ta có: Bài 14: Cho dãy số ( un ) u1 =   un +1 = un + 2n ( n ≥ 1) được xác định bởi: a Đặt = un +1 − un Tính v1 + v2 + + theo n b Tính un theo n c Tìm lim un Lời giải Trang 13 | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 a) Ta có: Khi đó: ⇒ = un+1 − un = Chuyên đề : Giới hạn- 2n A = v1 + v2 + + = 1 A 1 + + + n ⇒ = + + n +1 2 2 2 A 1 1   1  1 =  + + + n ÷−  + + n +1 ÷ = − n +1 ⇒ A = − n 2 2  2  2 b) Từ câu a, suy ra: A = v1 + v2 + + = u2 − u1 + u3 − u2 + + un+1 − un = un+1 − ⇒ A = un + 1 1 − ⇒ − n = un + n − ⇒ u n = − n−1 n 2 2   lim un = lim  − n −1 ÷ = 2   c) Ta có: Bài 15: Cho dãy sớ ( un ) u1 = 0; u2 =  2u = u + u ( n ≥ 1) được xác định bởi:  n + n +1 n un +1 = − un + 1, ∀n ≥ a Chứng minh rằng: b Đặt = un − Tính theo n Từ tìm lim un Lời giải 2un +1 + un = 2un + un−1 = 2un −1 + un− = = 2u2 + u1 = ⇒ un+1 = − un + a) Ta có: = un − ⇒ 3vn = 3un − ⇒ 3vn = 2un + ( un − ) = 2un − 2un +1 = 2un − ( un + un−1 ) = un − un −1 b) 1 1 2 3vn = un − un −1 = − un −1 + − un −1 = − un −1 + ⇒ = − un −1 + = −  un −1 − ÷ = − −1 2 2 3 n −1 n −1  1  1 = − −1 =  − ÷ v1 =  − ÷  2  2 Từ đó, suy ra: Suy ra, Trang 14 | n −1   1  lim un = lim 1 −  − ÷  =     ⇒ un = + n −1 2   1  = 1 −  − ÷  3     Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TOÁN ... − 2n2 − n = lim ( Chuyên đề : Giới hạn- )  n3 − 2n2 − n  n3 − 2n2  c −2n2 = lim ( n − 2n ) ( lim n − d ( ( n − 2n )  − n3 n3 − 2n2 + n2 ÷  − n3 n3 − 2n2 + n2 2 = lim − n3 n3 − 2n2 + n2... lim   n2 + 5n + + n2 − n ÷ n2 + 5n + + n2 − n   ( 2 6+ = lim n 1 1+ + + 1− n n n ) =3 Bài 2: Tính giới hạn sau a c ) ( lim lim n − n2 + lim ( b ) n3 − 2n2 − n d ( lim n − 1 n2 + − n2 + n+ 1−... hạn- 2n A = v1 + v2 + + = 1 A 1 + + + n ⇒ = + + n +1 2 2 2 A 1 1   1  1 =  + + + n ÷−  + + n +1 ÷ = − n +1 ⇒ A = − n 2 2  2  2 b) Từ câu a, suy ra: A = v1 + v2 + + = u2 − u1