chơng đạo hàm A Kiến thức cần nhớ I Khái niệm đạo hàm Mở đầu Nhiều to¸n cđa to¸n häc, vËt lÝ, ho¸ häc, sinh häc, kĩ thuật đòi hỏi phải tìm giới hạn dạng: f (x) − f (x0) lim x→ x0 x − x0 f(x) hàm số cho đối số x Qua Đại số Giải tích 11, ta biết định nghĩa kí hiệu số gia đối số số gia tơng ứng hàm số: Số gia đối số x = x x0 Số gia tơng ứng hàm sè lµ ∆y = f(x) − f(x0) Ta sÏ dïng khái niệm kí hiệu để viết giới hạn trên: f (x) f (x0) y = lim x→ x0 ∆x→ ∆x x − x0 lim định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f(x), xác định (a, b) x0 (a, b) Giới hạn, có, tỉ số số gia hàm số số gia đối số x0, số gia đối số dần tới 0, đợc gọi đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 Đạo hàm hàm số y = f(x) x0 đợc kí hiệu y'(x0) f '(x0): f (x) − f (x0) f '(x0) = xlim → x0 x − x0 ∆y hc y'(x0) = lim x x đạo hàm bên a Đạo hàm bên trái hàm số y = f(x) điểm x0, kí hiệu f '( x0 ), đợc định nghĩa là: f (x) f (x0) ∆y f '( x−0 ) = lim− = lim− x→ x0 x − x0 ∆x→ ∆x 251 ®ã x x0 đợc hiểu x x0 nhỏ x0 b Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm x0, kí hiệu f '( x+0 ), đợc định nghĩa là: f (x) − f (x0) ∆y f '( x+0 ) = lim+ = lim+ x→ x0 x − x0 ∆x→ ∆x x x+0 đợc hiểu x x0 lớn x0 Định lí: Hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x0 thuộc tập xác định nó, f '( x0 ) f '( x+0 ) tồn b»ng Khi ®ã, ta cã: f '(x0) = f '( x0 ) = f '( x+0 ) đạo hàm khoảng Định nghĩa: a Hàm số y = f(x) đợc gọi có đạo hàm khoảng (a, b) có đạo hàm điểm khoảng b Hàm số y = f(x) đợc gọi có đạo hàm đoạn [a, b] có đạo hàm khoảng (a, b) có đạo hàm bên phải a, đạo hàm bên trái b Quy ớc: Từ ta nói hàm số y = f(x) có đạo hàm, mà không nói rõ khoảng nào, điều có nghĩa đạo hàm tồn với giá trị thuộc tập xác định hàm số cho Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số Định lí: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x0 liên tục điểm Chú ý: Đảo lại không đúng, nghĩa hàm số liên tục điểm x0 đạo hàm điểm Để minh hoạ ta xét hàm số : y = f(x) = | x| điểm x0 = 0, ta cã : lim f (x) = f(0) = vµ x→ lim x→ | x| = Vậy, hàm số cho liên tục điểm x0 = Mặt khác, ta có : y = f(0 + ∆x) − f(0) = | ∆x| ⇒ Do ®ã 252 ∆y = ∆x | ∆x | = ∆x ∆x > − ∆x < lim + ∆x→ ∆y = ∆x vµ lim − ∆x→ ∆y ∆y = lim không tồn x x x hàm số y = | x| đạo hàm x0 = Nh vậy, hàm số không liên tục x đạo hàm điểm ý nghĩa đạo hàm 6.1 ý nghĩa hình học a Tiếp tuyến đờng cong phẳng: Cho đờng cong phẳng (C) điểm cố định M0 (C), M điểm di động (C) Khi M0M cát tuyến (C) Định nghĩa: Nếu cát tuyến M0M có vị trí giới hạn M0T điểm M di chuyển (C) dần tới điểm M0 đờng thẳng M0T đợc gọi tiếp tuyến đờng cong (C) điểm M0 Điểm M0 đợc gọi tiếp điểm Sau ta không xét trờng hợp tiếp tuyến song song trùng với Oy b ý nghĩa hình học đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác M (C) định khoảng (a, b) có đạo hàm x (a, b), gọi đồ thị hàm số y ( C M f(x Định lí 1: Đạo hàm hàm số f(x) )tại điểm x0 lµ hƯ sè gãc + ∆ cđa tiÕp tuyến Mx) 0T (C) điểm M0(x0,Tf(x0)) yM f tuyến: c Phơng trình tiếp ( Định lí 2: Phơng trình tiếp tuyến x xcủa đồ thị (C) cđa hµm x x x sè y = f(x) điểm M0O (x0, f(x0)) là: 6.2 y y0 = f'(x0))(x − x0) ý nghÜa vËt lÝ + a VËn tèc tøc thêi: XÐt chun ®éng thẳng xác định ph ơng trình: x 253 ( C M ) T s = f(t), víi f(t) lµ hàm số có đạo hàm Khi đó, vận tốc tức thời chất điểm thời điểm t0 đạo hàm hàm số s = f(t) t0 v(t0) = s'(t0) = f'(t0) b Cờng độ tức thời: Điện lợng Q truyền dây dẫn xác định phơng trình: Q = f(t), với f(t) hàm số có đạo hàm Khi đó, cờng độ tức thời dòng điện thời điểm t0 đạo hàm hàm sè Q = f(t) t¹i t0 I(t0) = Q'(t0) = f'(t0) II Các quy tắc tính đạo hàm bảng tóm t¾t (u + v − w)' = u' + v' − w' (ku)' = ku', k lµ h»ng sè (u.v)' = u'v + u.v' ' u' v − uv' u ; = v2 v ' 1 v = − v' v2 y'x = y'u.u'x Bảng đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (x )' = α x α α− ' 1 = − x2 x ( x )' = 254 x (u )' = α.u'.uα − α ' u' 1 =− u u ( u )' = u' u (C)' = (C lµ h»ng sè) (ku)' = k.u' (sinx)' = cosx (sinu)' = u'.cosu (cosx)' = − sinx (cosu)' = − u'.sinu (tanx)' = = cos2 x + tan2x (tanu)' = u' = u'.(1 cos2 u + tan2u) (cotx)' = − (ln| x| )' = (loga| x| )' = u' = − (1+c (cotu)' = − = − u'(1 + sin x sin2 u ot2x) cot2u) x (ln| u| )' = x lna (loga| u| )' = u' u u' ulna (ex)' = ex (eu)' = u'.eu (ax)' = ax.lna (au)' = u'.au.lna x sinx 1 lim = lim 1+ = e; x→ x x→ ∞ x lim(1+ x) x = e x→ IV Vi ph©n định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a, b) có đạo hàm x ∈ (a, b) Cho sè gia ∆x t¹i x cho x + ∆x ∈ (a, b) Ta gäi tÝch f '(x)x (hoặc y'x) vi phân hàm số y = f(x) t¹i x øng víi sè gia ∆x ký hiệu dy df(x) Nh vậy, ta cã : dy = y'∆x, (1) hc df(x) = f'(x) x (1') áp dụng định nghĩa hàm số y = x, ta đợc: dx = (x)'x = 1.x = ∆x (2) VËy, ta cã: dy = y'dx (3) hc df(x) = f'(x)dx (3') øng dơng cđa vi phân vào phép tính gần Theo định nghĩa đạo hµm ta cã: ∆y f '(x0) = lim ∆x→ x Do đó, với x đủ nhỏ : 255 ∆y ⇔ ∆y ≈ f '(x0)∆x ⇔ f(x0 + ∆x) − f(x0) ≈ f '(x0)∆x ∆x ⇔ f(x0 + x) f(x0) + f '(x0)x Đó công thức tính gần đơn giản f '(x0) V đạo hàm cấp cao định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f '(x) Đạo hàm hàm số f '(x), có, đợc gọi đạo hàm cấp hai hàm số f(x), kí hiệu y'' hay f ''(x) Tơng tự, đạo hàm hàm số f ''(x), có, đợc gọi đạo hàm cấp ba hàm số f(x), kí hiệu y''' hay f '''(x) Đạo hàm hàm số f '''(x), có, đợc gọi đạo hàm cấp cđa hµm sè f(x), kÝ hiƯu lµ y'''' hay f(4)(x) Tổng quát, đạo hàm đạo hàm cấp (n 1) đợc gọi đạo hàm cấp n cđa hµm sè y = f(x), kÝ hiƯu lµ y(n) hay f(n) (x) VËy, ta cã: f(n)(x) = [ f(n -1)(x)]', víi n ∈ Z, n ≥ 2 ý nghĩa cƠ học đạo hàm cấp hai Xét chuyển động thẳng xác định phơng trình: s = f(t), với f(t) hàm số có đạo hàm Khi đó, gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai hàm số s = f(t) t¹i t γ (t) = f "(t) B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 Đạo hàm Dạng toán 1: Tính đạo hàm hàm số điểm dạng Phơng pháp áp dụng Cho hàm số: y = f(x) Để tính đạo hàm hàm số điểm x0, ta xác định: f (x) − f (x0) x − x0 f '(xO) = xlim →x 256 ThÝ dơ T×m sè gia hàm số y = x2 ®iĨm x0 = øng víi sè gia ∆x, biÕt: a ∆x = b ∆x = −0,1 Gi¶i Ta cã: ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) a Víi x0 = 1; ∆x = th×: f(x0) = f(1) = 0, f(x0 + ∆x) = f(1 + 1) = f(2) = 3, tõ ®ã suy ra: ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) = − = b Víi x0 = 1; ∆x = −0,1 th×: ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) = f(1 −0,1) − f(1) = 0,92 − = −0,19 ThÝ dô Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số điểm x0: a y = 2x + t¹i x0 = b y = x2 + x x0 = Giải a Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta có: f (x) − f (2) 2x + 1− y'(2) = lim = lim = x→2 x→2 x− x Cách 2: Ta lần lợt có: y = f(x0 + ∆x) − f(x0) = f(2 + ∆x) − f(2) = [2(2 + ∆x) + 1] − = 2∆x, ∆y y'(2) = ∆lim = ∆lim (2∆x) = x→ x→ ∆x b Ta cã thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta cã: f (x) − f (1) y'(1) = lim = lim x + x − = x→1 x−1 x→1 x−1 lim(x + 2) = x→1 C¸ch 2: Ta lần lợt có: y = f(x0 + x) f(x0) = f(1 + ∆x) − f(1) = [(1 + ∆x)2 + (1 + ∆x)] − = (∆x)2 + 3∆x, ∆y y'(1) = ∆lim = ∆lim (∆x + 3) = x→ x→ ∆x 257 NhËn xét: Nh vậy, việc tìm đạo hàm định nghĩa liên quan mật thiết với toán tính giới hạn hàm số Do đo, em học sinh cần ôn lại phớng pháp tính giới hạn với dạng giới hạn Thí dụ Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số: a y = điểm x0 = x+1 điểm x0 = x1 y= b 2x + Giải a Ta cã: y'(0) = x+1 f (x) − f (0) +1 = = x−1 lim x→ x− x→ x lim lim x→ x − = −2 b Ta cã: y'(1) = = f (x) − f (1) = x→1 x−1 lim lim x→1 2x + + = lim x→1 2x + − = x−1 2x + − lim x→1 (x − 1)( 2x + + 3) Dạng toán 2: Tính đạo hàm hàm số điểm dạng Phơng pháp áp dụng Cho hàm số: f1(x) x x0 f2(x) x = x0 f(x) = Để tính đạo hàm hàm số điểm x0, ta xác định: f (x) f (x0) f1(x) f2(x0) − xlim → x x − x0 x − x0 0 f '(xO) = xlim →x ThÝ dơ Cho hµm sè: sin x x ≠ f(x) = x t¹i x0 = 0 x = a Chøng minh f(x) liên tục x = b Tính đạo hàm, có, f(x) điểm x = 258 Giải a Nhận xét hàm số f(x) liên tục x0 = 0, bởi: lim f(x) = lim sin x = lim ( sin x sinx) = = f(0) x →0 x →0 x →0 x x b Ta cã: f (x) − f (0) sin x f'(0) = lim = lim = x →0 x →0 x−0 x2 ThÝ dô Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số: f(x) = x cos x ≠ điểm x0 = x x = Giải Hàm số f(x) xác định mét l©n cËn cđa x0 = Ta cã: f (x) − f (0) = x→ x− f '(0) = lim limx cos x→ x Ta cã: Víi mäi x ≠ thc l©n cận điểm có: x | x.cos | ≤ | x| ⇔ − | x| ≤ x.cos Mặt khác lim ( | x| ) = x→ ≤ x | x| lim | x| = x→ Suy ra: limx cos = ⇒ f '(0) = x x→ 0 Dạng toán 3: Tính đạo hàm hàm số điểm dạng Phơng pháp áp dụng Cho hàm số: t¹i mét f1(x) x < x0 f2(x) x x0 f(x) = Tính đạo hàm xác định giá trị tham số để hàm số có đạo hàm điểm x0, ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Xét tính liên tục hàm số điểm x0 259 (Đạo hàm bên trái) TÝnh: Bíc 2: f (x) − f (x0) x→ x0 x − x0 f '( x−0 ) = lim− (Đạo hàm bên phải) Tính: Bớc 3: f (x) f (x0) x→ x0 x − x0 f '( x+0 ) = lim+ Đánh giá giải f'( x0 ) = f'( x+0 ), tõ ®ã ®a lêi kÕt ln Bíc 4: ThÝ dơ Chøng minh r»ng hµm sè: (x − 1)2 nÕux ≥ f(x) = x2 nếux < đạo hàm điểm x = nhng có đạo hàm điểm x = Giải a Tại điểm x = 0, ta thÊy: lim f(x) = lim (x − 1)2 = 1, x→0+ x→0+ lim f(x) = lim (−x2) = 0, x→0− x→0− suy ra: lim f(x) ≠ x→0+ lim f(x) Hàm số gián đoạn x = x0 Hàm số đạo hàm ®iĨm x = b T¹i ®iĨm x = 2, ta cã: f (x) − f (2) x(x − 2) lim x = lim = lim (x − 1) − = lim = x→ x→ x→ x − x− x→ x− tức f'(2) = Thí dụ (Đề 111): Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số f(x) = x điểm x0 = 1+ | x | Giải Viết lại hàm số dới d¹ng: x 1 + x x ≥ f(x) = x x < x Hàm số f(x) xác định l©n cËn cđa x0 = Ta cã: 260 π π sin x + ÷ x+ ÷ =− π y= = − tan x + ÷ ⇒ y ' = − π 2 cos x + ÷ π 4 π − 2cos x + ÷ 4 cos x + ÷ 4 4 b Ta cã ngay: ' sin2x(1+ tan2x) − (1+ tan2 2x).sin2 x y' = (1+ tan2x)2 Ví dụ 5: Tìm đạo hàm hàm số sau: a b y = y= cos x2 + x2 + π , x ≠ + kπ, k ∈ Z cos x Gi¶i a Ta cã ngay: y' = = − sin x2 + x x2 + − x.cos x2 + x2 + x2 + x2 + − x( x2 + 1sin x2 + − cos x2 + 1) (x2 + 1) x2 + b Ta viÐt l¹i: y= cos x ' ⇒ y' = ÷ =− cos x ( ) cos x ' cos x =− −2sin x cos x cos x.cos x = tan x cos x = tan x cos x Ví dụ 6: Giải phơng trình: a f(x) = g(x) víi f(x) = sin 32x vµ g(x) = 4cos2x – 5sin4x b f’(x) = víi f(x) = 20cos3x + 12cos5x 15cos4x Giải a Trớc tiên, ta cã: f'(x) = 6sin22x.cos2x Tõ ®ã: f’(x) = g(x) ⇔ 6sin22x.cos2x = 4cos2x – 5sin4x 306 ⇔ 6sin22x.cos2x = 4cos2x – 10sin2x.cos2x cos2x = ⇔ (3sin22x + 5sin2x − 2).cos2x = ⇔ 3sin 2x + 5sin2x − = π π kπ 2x = + kπ x= + cos2x = 1 1 ⇔ sin2x = ⇔ 2x = arcsin + 2kπ ⇔ x = arcsin + kπ 3 sin2x = −2 lo¹ i 2x = π − arcsin1 + 2kπ x = π − arcsin1 + kπ 2 Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm b Tríc tiªn, ta cã: f'(x) = −60sin3x − 60sin5x + 60sin4x Tõ ®ã: f’(x) = ⇔ −60sin3x − 60sin5x + 60sin4x = ⇔ sin5x + sin3x − sin4x = ⇔ 2sin4x.cosx − sin4x = cosx = ⇔ (2cosx − 1)sin4x = ⇔ sin4x = π x = ± + 2kπ π x = ± + 2kπ ⇔ ⇔ , k ∈ Z x = kπ x = k π Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm Ví dụ 7: Cho hàm số f(x) = trình sau có nghiệm: 2f 2(x) = (3− 2x)f '(x) − x2 + 3x Tìm m để phơng 2m+ x x2 (1) Gi¶i Ta cã f'(x) = − 2x + − x2 + 3x − Khi đó, phơng trình (1) có dạng: 307 2( x2 + 3x − 2)(−2x + 3) 2(3− 2x) − x2 + 3x − x≠ ⇔ − x2 + 3x − = = 2m+ x − x2 2m+ x − x2 x≠ ⇔ − x2 + 3x − = 2m + x − x2 ≥ − x2 + 3x − ≥ 1 ≤ x ≤ ⇔ x ≠ ⇔ x = m+ ≠ x = m+ Do ®ã, để phơng trình có nghiệm, điều kiện là: m+ ≤ 0 ≤ m ≤ ⇔ m + ≠ m≠ 2 VËy, víi m ∈ [0; 1]\ , ph¬ng trình có nghiệm Ví dụ 8: Cho hàm sè f(x) = f'(x) ≤ f(x) x − 2x Hãy giải bất phơng trình Giải Trớc tiên, ta cã: x−1 f'(x) = x2 − 2x Khi đó, bất phơng trình có dạng: x1 x2 2x ≤ x2 − 2x > x2 − 2x > ⇔ ⇔ x − 2x x − 1≤ x2 − 2x x − 3x + 1≥ x< x > hc 3+ ⇔ 3+ − ⇔ x < hc x ≥ hc x≤ x ≥ 2 Vậy, bất phơng trình có nghiệm x < hc x ≥ 3+ Ví dụ 9: Tìm m để phơng trình sau nghiệm ®óng víi mäi x: sinmx + cosmx = 308 Giải Đặt f(x) = sinmx + cosmx, yêu cầu toán đợc phát biểu dới dạng: f '(x) = 0, ∀x (1) f(x) = 1, ∀x ⇔ π (2) f = Giải (1): Ta đợc: m.cosx sinm − 1x − msinx.cosm − 1x = 0, ∀x ⇔ m.sinx.cosx(sinm − 2x − cosm − 2x) = 0, ∀x m = m = ⇔ m− ⇔ m− m = sin x = cos x, ∀x Ta xÐt tõng trêng hỵp cđa m để giải (2): Với m = 0, ta ®ỵc: 0 2 π + = 2, không thoả mãn f = 4 π Víi m = 2, tơng tự ta đợc f = 1, thoả mãn Vậy, với m = phơng trình nghiƯm ®óng víi mäi x − 2x + + sin x VÝ dơ 10:(§HGTVT − 98): TÝnh giíi h¹n lim x →0 3x + − x Giải Đặt f(x) = f '(x) = Đặt g(x) = g '(x) = 2x + + sinx, ta cã f(0) = 0, + cosx ⇒ f '(0) = 2x + 3x + − − x, ta cã g(0) = 0, − ⇒ g '(0) = − 3x + 4 Khi ®ã: f (x) − f (0) − 2x + + sin x x−0 lim = lim x →0 x → g(x) − g(0) 3x + − − x x−0 = f '(0) = g '(0) Nhận xét: Để xác định giới hạn phơng pháp thông thờng ta phải thực nh sau: 309 − 2x + + sin x − 2x + + sin x 3x + − − x =( ):( ) 3x + − − x x x sin x − 2x + 3x + − + ):( − 1) x x x −2x 3x sin x =( + ):( − 1) x(1 + 2x + 1) x( 3x + + 2) x =( =( −2 sin x + ):( − 1) + 2x + 3x + + x Tõ ®ã: lim − 2x + + sin x = x →0 3x + − − x −2 sin x = lim ( + ):( − 1) = x →0 + 2x + 3x + + x VÝ dơ 11:TÝnh giíi h¹n lim π x→ tan2x.tan( π -x) Gi¶i a ViÕt l¹i giíi h¹n díi d¹ng: π π tan( − x) lim π − x) = x→ x→ 4 cot 2x Sư dơng hai hµm sè f(x) g(x), đó: Đặt f(x) = tan( − x), ta cã: π π f( ) = 0, f’(x) = − π ⇒ f’( ) = −1 cos ( − x ) 4 Đặt g(x) = cot2x, ta có: g( ) = 0, g’(x) = − ⇒ g’( ) = −2 sin 2x Khi ®ã: lim π 310 tan2x.tan( π f (x) − f ( ) π π x− f '( ) π tan( − x) lim 4 π = xlim = = x→ →0 π π g(x) − g( ) g'( ) cot 2x 4 π x− VÝ dơ 12:Cho hµm sè (C): y = − x3 + 3x2 Tìm điểm thuộc đồ thị (C) mà qua kẻ đợc tiếp tuyến với đồ thị (C) Giải Xét ®iÓm A(a, − a3 + 3a2 − 2) thuéc ®å thị hàm số Tiếp tuyến qua A tiếp xúc với đồ thị hàm số M(x 0, y(x0)) có dạng: (d): y = ( − x20 + x0)(x − x0) − x30 + x20 − §iĨm A∈(d) khi: − a3 + 3a2 − = (−3 x20 + x0)(a − x0) − x30 + x20 − ⇔ (−3 x20 + x0)(a − x0) + a3 − 3a2 − x30 + x20 = ⇔ (−3 x20 + 6x0 + a2 + ax0 + x20 − 3a − 3x0)(a − x0) = ⇔ (−2 x20 + 3x0 + a2 + ax0 − 3a)(a − x0) = x0 = a ⇔ (a + 2x0 − 3)(a − x0)(a − x0) = ⇔ 3− a x = Để qua A kẻ đợc tiếp tuyến với (C) ta ph¶i cã: a= 3− a ⇔ a = Vậy, qua điểm A(1; 0) (chính điểm uốn đồ thị (C)) kẻ đợc tiếp tuyến với đồ thị (C) Ví dụ 13:Cho hµm sè y = x3 + 3x2 + 3x + a Chứng minh đồ thị không tồn hai điểm cho hai tiếp tuyến hai điểm đồ thị vuông góc với b Xác định k để đồ thị có điểm mà tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = kx 311 Giải a Ta cã: y' = 3x2 + 6x + Gi¶ sử hai điểm A, B có hoành độ theo thứ tự xA, xB, thuộc đồ thị, ta có: HƯ sè gãc cđa tiÕp tun t¹i A, B cã giá trị y'(xA) y'(xB) Hai tiếp tuyến A B vuông góc với y'(xA) y'(xB) = − ⇔ (3 x2A + 6xA + 3)(3 x2B + 6xb + 3) = ⇔ 9( x2A + 2xA + 1)( x2B + 2xB + 1) = −1 ⇔ 9(xA + 1)2(xB + 1)2 = −1 mâu thuẫn Vậy, đồ thị không tồn hai ®iĨm cho hai tiÕp tun t¹i hai ®iĨm ®ã đồ thị vuông góc với b Điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị, ta có: Hệ số góc tiếp tuyến M có giá trị y'(x0) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = kx ⇔ ky'(x0) = −1 ⇔ k(3 x20 + 6x0 + 3) = − ⇔ 3k(x0 + 1)2 = (1) Để tồn điểm M thoả mãn điều kiện đầu phơng trình (1) cã nghiÖm ⇔ 3k < ⇔ k < Vậy, với k thoả mãn điều kiện đầu Ví dụ 14:Cho hyperbol (H) có phơng trình y = x a Tìm phơng trình tiếp tuyến (T) (H) tiếp điểm A có hoành ®é a (víi a ≠ 0) b Gi¶ sư (T) cắt trục Ox điểm I cắt trục Oy điểm J Chứng minh A trung điểm đoạn thẳng IJ Từ đó, suy cách vẽ tiÕp tuyÕn (T) c Chøng minh r»ng diÖn tÝch ∆OIJ không phụ thuộc vào vị trí điểm A Giải a Trớc tiên, ta có: y' = x Phơng trình tiếp tuyến (T) điểm A cã d¹ng: 312 (T): y − y(a) = y'(a)(x − a) ⇔ (T): y = − a (x − a) − a b Ta lÇn lợt có: Toạ độ giao điểm I tiếp tuyến (T) trục Ox nghiệm hệ phơng tr×nh: y = x = 2a 1 ⇔ ⇔ I(2a; 0) y = y = − (x − a) − a a Toạ độ giao điểm J tiếp tuyến (T) trục Oy nghiệm hệ phơng trình: x = x = 1 ⇔ ⇔ J(0; ) a y = − (x − a) − a y = a a NhËn xÐt r»ng xI + xJ = 2a = 2xA vµ yI + yJ = = 2yA a suy A trung điểm đoạn thẳng IJ Từ ®ã, suy c¸ch vÏ tiÕp tuyÕn (T) nh sau: Trên Ox lấy điểm I(2a; 0) Trên Oy lÊy ®iĨm J(0; ) a Nèi IJ ta đợc tiếp tuyến (T) c Diện tích tam giác OIJ đợc xác định bởi: 1 S = OI.OJ = | 2a| = − kh«ng phơ thc vµo a 2 | a| VËy, diƯn tÝch ∆OIJ không phụ thuộc vào vị trí điểm A Ví dơ 15:Cho hµm sè (Hm): y = x − 4m 2(mx − 1) a Chøng minh r»ng víi mäi m , đờng cong (Hm) qua hai điểm cố định A B b Chøng minh r»ng tÝch c¸c hƯ sè gãc cđa tiếp tuyến với (Hm) hai điểm A B số m biến thiên Giải a Giả sử M(x0; y0) điểm cố định cđa hä (Hm) Khi ®ã: x0 − 4m y0 = , ∀m ⇔ 2(x0y0 + 2)m − x0 − 2y0 = 0, ∀m 2(mx0 − 1) 313 x0y0 + = x0 = −2y0 A(−2;1) ⇔ ⇔ ⇒ − x0 − 2y0 = (−2y0 )y0 + = B(2;− 1) VËy, họ (Cm) qua hai điểm cố định A(2; 1) M2(2; 1) b Trớc tiên, ta có: 4m2 − y' = 2(mx − 1)2 Khi ®ã, tÝch c¸c hƯ sè gãc cđa c¸c tiÕp tun víi (H m) hai điểm A B đợc cho bëi: kA.kB = y'(−2).y'(2) 4m2 − 4m2 − (4m2 − 1)2 = = 2 = 2(−2m− 1) 2(2m− 1) 4(2m+ 1) (2m− 1) Ví dụ 16:Tìm điểm đồ thị hàm số y = cho x1 tiếp tuyến với trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích Giải Tríc tiªn, ta cã: y' = − (x 1)2 M điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, giả sử M có hoành độ a, M(a; y(a)) phơng trình tiếp tuyến M có d¹ng: 1 (d): y − y(a) = y'(a)(x − a) ⇔ (d): y = − (x − a) − (a 1)2 a Toạ độ giao điểm A tiếp tuyến M trục Oy nghiệm hệ phơng trình: x = x = 2a − ) y = − (x − a) − ⇔ y = 2a − ⇔ A(0; (a − 1)2 2 a− (a − 1) (a − 1) Toạ độ giao điểm B tiếp tuyến M trục Ox nghiệm hệ phơng trình: y = x = 2a − ⇔ B(2a − 1; 0) y = − (x − a) − ⇔ y= a− (a − 1) DiƯn tÝch tam gi¸c OAB đợc xác định bởi: 1 2a 1 (2a − 1)2 S = OA.OB = | 2a − 1| = 2 (a − 1)2 (a 1)2 Để tam giác có diện tích 2, điều kiện là: 314 2a 1= 2(a 1) =2⇔ ⇔a = 2(a − 1) 2a − 1= −2(a − 1) (2a − 1)2 Vậy, điểm cần tìm đồ thị hàm số lµ M( ; −4) VÝ dơ 17:Rót gän biĨu thøc: A = C 0n + C1n + C2n + + n Cnn−1 + (n + 1) Cnn Gi¶i Ta cã: (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + + Cnn−1 xn − + Cnn xn ⇔ x(1 + x)n = x C0n + C1n x2 + C2n x3 + + Cnn−1 xn + Cnn xn (1) + Lấy đạo hàm theo x hai vế (1), ta đợc: (1 + x)n + nx(1 + x)n − = = C0n + C1n x + C2n x2 + + n Cnn−1 xn − + (n + 1) Cnn xn (2) Thay x = vào (2), ta đợc: 2n + n.2n = C0n + C1n + C2n + + n Cnn−1 + (n + 1) Cnn ⇔ B = 2n + n.2n − NhËn xÐt: Nh vậy, lời giải ví dụ trên, em học sinh hiểu cách thụ động ý tởng nhận đợc câu a) thấy lúng túng với thắc mắc " Làm cách để nâng đợcgiá trị hệ số ? " Tuy nhiên, câu trả lời lại đơn giản " Để nâng đợc hệ số ta nâng bậc cho x " thực việc nhân c¶ hai vÕ cđa biĨu thøc víi x tríc lấy đạo hàm Nh vậy, em học sinh tổng quát hoá đợc cho: B* = k C 0n + (k + 1) C1n + (k + 2) C2n + + (k + n) Cn n Nh vậy, biết cách giải cho việc tạo hệ số ứng với C rn câu hỏi đợc đặt tự nhiên từ em học sinh giỏi " Chúng ta 315 biết lấy đạo hàm biết tới khái niệm đạo hàm cấp cao hàm toán xây dựng vị dụ với yêu cầu lấy đạo hàm nhiều lần " Ví dụ 18: Với n số nguyên dơng, chứng minh r»ng: a C0n − C1n + 22 C2n − + ( − 1)n 2n Cnn = ( − 1)n b C1n − C2n + C3n − + ( − 1)k − 1k Ckn + + ( − 1)n − 1n Cn n = Giải Với x, với n số nguyên dơng ta có: (1 x)n = C0n C1n x + C2n x2 − + ( − 1)k Ckn xk + + ( − 1)n Cnn xn (1) a Thay x = vµo (1), ta ®ỵc: ( − 1)n = C0n − C1n + 22 C2n − + ( − 1)n 2n Cnn , đpcm b Lấy đạo hàm theo x hai vế (1), ta đợc: n(1 x)n = − C1n + C2n x + + n( − 1)n C nn xn − (2) Thay x = vào (2), ta đợc: = C1n + C2n + + n( − 1)n C nn ⇔ C1n − C2n + C3n − + ( − 1)n − 1n Cnn = 0, đpcm Ví dụ 19:Với n số nguyên dơng, chøng minh r»ng: a (§HTCKT 2000): C1n + C2n + + (n − 1) Cnn−1 + n Cnn = n.2n − b 2.1 C2n + 3.2 C3n + + n(n − 1) Cnn = n(n − 1).2n Giải Với x, với n số nguyên dơng ta có: (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + + Cnn−1 xn − + Cnn xn (1) LÊy đạo hàm theo x hai vế (1), ta đợc: n(1 + x)n − = C1n + C2n x + + (n − 1) Cnn−1 xn − + n Cnn xn − (2) a Thay x = vào (2), ta đợc: n.2n = C1n + C2n + + (n − 1) Cnn−1 + n Cnn , ®pcm 316 b Lấy đạo hàm theo x hai vế (2), ta ®ỵc: n(n − 1)(1 + x)n − = 2.1 C2n + 3.2 C3n x + + n(n − 1) Cnn xn − (3) Thay x = vào (3), ta đợc: n(n 1).2n = 2.1 C2n + 3.2 C3n + + n(n − 1) Cnn , đpcm Ví dụ 20:Với n số nguyên dơng, chứng minh rằng: (1)r C rr C rn + ( − 1)r + C rr+1 Crn+1 + + ( − 1)n C rn C nn = 0, với r nguyên dơng r n Giải Với x, với n số nguyên d¬ng ta cã: (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + + Cnn−1 xn − + Cnn xn (1) Lấy đạo hàm cấp r theo x hai vế (1), ta đợc: n(n 1) (n − r + 1)(1 + x)n − r = n ∑ k(k − 1) (k − r + 1)Cknxk− r k= r (2) Chia hai vÕ cña (2) cho r!, ta đợc: n(n 1) (n − r + 1)(1 + x)n − r! r k(k − 1) (k − r + 1) k k− r C nx r! k= r n = ∑ n n k! C kn x k− r = ∑ C rk C kn x k− r k= r r!.(k − r)! k= r = ∑ (3) Thay x = −1 vào (3), ta đợc: n n k= r k= r r k k− r r k k = ∑ CkCn(−1) ⇔ ∑ CkCn(−1) = 0, ®pcm VÝ dơ 21:Víi n số nguyên dơng, chứng minh rằng: C 2n + C3n + + (n − 1) C nn > (n − 2)2n − Gi¶i Ta lần lợt thực hiện: Với x, với n số nguyên dơng ta có: (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + + Cnn−1 xn − (1) + Cnn xn Thay x = vào (1), ta đợc: 317 2n = C0n + C1n + C2n + + Cnn−1 + n Cnn (2) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1), ta đợc: n(1 + x)n = C1n + C2n x + + (n − 1) Cnn−1 xn − + n Cnn xn − (3) Thay x = vµo (3), ta đợc: n.2n = C1n + C2n + + (n − 1) Cnn−1 + n Cnn (4) Lấy (4) (3), ta đợc: n.2n − 2n = − C0n + C2n + + (n − 2) Cnn−1 + (n − 1) Cnn ⇔ C2n + C3n + + (n − 1) C nn = (n − 2)2n − + > (n − 2)2n − 1, ®pcm VÝ dơ 22:Với n số nguyên dơng, chứng minh rằng: C1n + C 2n + + n2n − C nn = = n.4n − C 0n − (n − 1).4n − C1n + (n − 2).4n − C 2n + + (− 1) n − C nn−1 Gi¶i a Víi mäi x, với n số nguyên dơng ta có: (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + + Cnn−1 xn − (1) + Cnn xn Lấy đạo hàm theo x hai vế (1), ta đợc: n(1 + x)n (2) = C1n + C2n x + + (n − 1) Cnn−1 xn − Thay x = vµo (2), ta đợc: n.3n = C1n + C 2n + + n2n − C nn (3) b Víi mäi x, vµ víi n lµ sè nguyên dơng ta có: (x 1)n = C0n xn − C1n xn − + + (− 1)n Cnn (4) Lấy đạo hàm theo x hai vế (4), ta đợc: 318 + n Cnn xn − n(x − 1)n − = n C0n xn − − (n − 1) C1n xn − (5) + + ( − 1)n − C nn−1 Thay x = vµo (5), ta đợc: n.3n = n.4n C 0n − (n − 1).4n − C1n + + (− 1) (6) n− C nn−1 Từ (3) (6), suy điều cần chứng minh Ví dụ 23:Chứng minh đẳng thức: n4n1 C 0n (n − 1)4n− C1n + + (−1)n−1 C nn−1 = C1n + 22 C 2n + + n2n−1 C nn Gi¶i Ta cã: (2x − 1)n = C 0n (2x) n − C1n (2x)n−1 + + (−1)n C nn (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1), ta đợc: 2n(2x 1) n1 = 2nC0n (2x) n−1 − 2(n − 1)C1n (2x) n− + + + (−1) n−1 2C nn−1 (2) Thay x = vào (2), ta đợc: n3n1 = n4n1 C 0n − (n − 1)4n−2 C1n + + (−1) n−1 2C nn1 (3) Mặt khác, ta có: (1+ x)n = C 0n + C1nx + C 2nx2 + C 3nx3 + + C nn xn (4) Lấy đạo hàm theo x hai vế (4), ta đợc: n(1 + x)n−1 = C1n + 2C 2n x + + nCnn x n−1 (5) Thay x = vµo (5), ta đợc: n3n1 = C1n + 4C2n + + n2n1 C nn (6) Tõ (3) vµ (6), suy điều cần chứng minh Ví dụ 24:Với n số nguyên dơng, chứng minh rằng: 1 ( Cn n + C2n + C3n + + n C nn ) < n! Gi¶i Víi mäi x, với n số nguyên dơng ta có: (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + + Cnn−1 xn − + Cnn xn (1) 319 Lấy đạo hàm theo x hai vế (1), ta đợc: n(1 + x)n = C1n + C2n x + + (n − 1) Cnn−1 xn − (2) + n Cnn xn − Thay x = vào (2), ta đợc: n.2n − = C1n + C2n + + (n − 1) Cnn−1 + n Cnn (3) Khi đó, bất đẳng thức đợc chuyển dạng: 2n < n! Ta chứng minh bất đẳng thức phơng pháp qui nạp Bạn đọc tham khảo chủ đề hoán vị 320 ... sau (a b số): a y = (x − x + 1 )5 x − x + x2 − x + a3 b y = Gi¶i a Ta cã ngay: y' = x3 x2 + x b Viết lại hàm sè díi d¹ng: 5( 2x − 1) y = (x2 − x + 1) 5 ⇒ y' = 5( 2x − 1)(x2 − x + 1)−6 = − (x... a y = 2x x −1 b y = 5x − x + x+1 Gi¶i a Ta cã: y' = 2(x2 − 1) − 2x.2x (x2 − 1)2 − 2x2 − = (x2 − 1)2 b Ta cã: y' = 5( x2 + x + 1) − (2x + 1)(5x − 3) (x2 + x + 1)2 = − 5x2 + 6x + (x2 + x +... = cos 2x + b y = sin3x.cos5x Gi¶i a Ta cã ngay: ( ) sin 2x + sin 2x + = − 2x + 2x + b Ta cã c¸c c¸ch thùc hiƯn sau: C¸ch 1: Ta cã y’ = 3cos3x.cos5x − 5sin3x.sin5x C¸ch 2: Ta biÕn ®æi: 1 y