chơng đạo hàmo hàm A Kiến thức cần nhớ I Khái niệm đạo hàm Mở đầu Nhiều toán toán học, vật lí, hoá học, sinh học, kĩ thuật đòi hỏi phải tìm giới hạn d¹ng: f (x) f (x ) lim x x x x0 f(x) hàm số đà cho đối số x Qua Đại số Giải tích 11, ta đà biết định nghĩa kí hiệu số gia đối số số gia tơng ứng hàm số: Số gia đối số x x x0 Số gia tơng ứng hàm số yf(x)f(x0) Ta dùng khái niệm kí hiệu để viết giới hạn trên: lim x x f (x) f (x ) y = lim x x x x0 định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y f(x), xác định (a, b) x0 (a, b) Giíi h¹n, nÕu cã, cđa tØ sè số gia hàm số số gia đối số x0, số gia đối số dần tới 0, đợc gọi đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 Đạo hàm hàm số y = f(x) x0 đợc kí hiệu y'(x0) hc f '(x0): f (x ) f (x ) f '(x0) = lim x x0 x x0 y hc y'(x0) = lim x x đạo hàm bên a Đạo hàm bên trái hàm số yf(x) điểm x0, kí hiệu f '( x ), đợc định nghĩa là: f (x) f ( x ) y f '( x 0 ) lim lim x x x x0 x x x x đợc hiểu x x0 nhỏ x0 b Đạo hàm bên phải hàm số yf(x) điểm x0, kí hiệu f '( x ), đợc định nghĩa là: f (x) f (x ) y f '( x lim ) lim x x0 x x0 x x x x đợc hiểu x x0 lớn x0 Định lí: Hàm số yf(x) có đạo hàm điểm x0 thuộc tập xác định nó, f '( x 0 ) vµ f '( x ) tån Khi đó, ta có: f '(x0)f '( x 0 )f '( x ) đạo hàm khoảng Định nghĩa: a Hàm số y f(x) đợc gọi có đạo hàm khoảng (a, b) có đạo hàm điểm khoảng b Hàm số y f(x) đợc gọi có đạo hàm đoạn a, b có đạo hàm khoảng (a, b) có đạo hàm bên phải a, đạo hàm bên trái b Quy ớc: Từ ta nói hàm số y f(x) có đạo hàm, mà không nói rõ khoảng nào, điều có nghĩa đạo hàm tồn với giá trị thuộc tập xác định hàm số đà cho Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số Định lí: Nếu hàm số y f(x) có đạo hàm điểm x0 liên tục điểm Chú ý: Đảo lại không đúng, nghĩa hàm số liên tục điểm x đạo hàm điểm Để minh hoạ ta xét hàm số : yf(x)x điểm x0 0, ta có : lim f (x ) lim x0 f(0)0 vµ x x Vậy, hàm số đà cho liên tục điểm x0 Mặt khác, ta có : y | x | y f(0 + x)f(0)x x x x x Do ®ã lim x y 1 vµ x lim x y y lim không tồn x x x hàm số yx đạo hàm x00 Nh vậy, hàm số không liên tục x đạo hàm điểm ý nghĩa đạo hàm 6.1 ý nghĩa hình học a Tiếp tuyến đờng cong phẳng: Cho đờng cong phẳng (C) điểm cố định M0 (C), M điểm di động (C) Khi M 0M cát tuyến (C) Định nghĩa: Nếu cát tuyến M0M có vị trí giới hạn M0T điểm M di chuyển (C) dần tới điểm M0 đờng thẳng M0T đợc gọi tiếp tuyến đờng cong (C) điểm M0 Điểm M0 đợc gọi tiếp điểm M ( C ) M T Sau ta không xét trờng hợp tiếp tuyến song song trùng với Oy b ý nghĩa hình học đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a, b) có đạo hàm x0 (a, b), gọi (C) đồ thị hàm số Định lí 1: Đạo hàm hàm số f(x) điểm x0 lµ hƯ sè gãc cđa tiÕp tun M0T cđa (C) điểm M0(x0, f(x y 0)) ( C c Phơng trình tiếpf(x tuyến: ) M Định lí 2: Phơng trình + tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) điểm M0(x0, f(x0)) lµ: T x) y yy0 f'(x0)(x x0 ) M f ( 6.2 ý nghÜa vËt lÝ x x a Vận tốc tức thời: Xét chuyển O động thẳng trình: x xác định x phơng x s = f(t), với f(t) là0) hàm số có 0đạo hàm.0 Khi ®ã, vËn tèc tøc thêi cđa chÊt ®iĨm t¹i thêi điểm t0 đạo hàm hàm số + s = f(t) t¹i t0 v(t0) = s'(t0) = f'(t0) b Cờng độ tức thời: Điện lợng Q truyền dây dẫn x xác định phơng trình: Q = f(t), với f(t) hàm số có đạo hàm Khi đó, cờng độ tức thời dòng điện thời điểm t0 đạo hàm hàm số Q = f(t) t0 I(t0) = Q'(t0) = f'(t0) II Các quy tắc tính đạo hàm bảng tóm tắt (u + v w)' = u' + v' w' (ku)' = ku', k lµ h»ng sè (u.v)' = u'v + u.v' u v ' = u' v uv' ; v2 1 v ' = v' v2 y'x = y'u.u'x Bảng đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ Đạo hàm hàm số hợp cấp (u = u(x)) 1 (x )' x (u )'.u'.u1 ' 1 x x ( x )' x (C)'0 (C lµ h»ng sè) (sinx)'cosx (cosx)'sinx (tanx)' 1 cos x tan2x (cotx)' (lnx)' ' u' 1 u u ( u )' u' u (ku)'k.u' (sinu)'u'.cosu (cosu)'u'.sinu u' + (tanu)' u'.(1 cos2 u tan2u) u' (1+cot2 (cotu)' u'(1 sin u sin x x) cot2u) x (logax)' (lnu)' x ln a (ex)' ex (ax)' ax.lna + + u' u (logau)' u' u ln a (eu)' u'.eu (au)' u'.au.lna x sin x = lim = e; lim(1 x) x = e x x x x x lim IV Vi phân định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a, b) có đạo hàm x (a, b) Cho sè gia x t¹i x cho x + x (a, b) Ta gäi tÝch f '(x)x (hoặc y'x) vi phân hàm số y = f(x) x ứng với số gia x ký hiệu dy df(x) Nh vậy, ta có : dy = y'x, (1) hc df(x) = f'(x) x (1') áp dụng định nghĩa hàm số y = x, ta đợc: dx = (x)'x = 1.x = x (2) VËy, ta cã: dy = y'dx (3) hc df(x) = f'(x)dx (3') ứng dụng vi phân vào phép tính gần Theo định nghĩa đạo hàm ta cã: y f '(x0) = lim x x Do đó, với x đủ nhỏ : f '(x0) y y f '(x0)x f(x0 + x) f(x0) f '(x0)x x f(x0 + x) f(x0) + f '(x0)x Đó công thức tính gần đơn giản V đạo hàm cấp cao định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f '(x) Đạo hàm hàm số f '(x), có, đợc gọi đạo hàm cấp hai hàm số f(x), kí hiệu y'' hay f ''(x) Tơng tự, đạo hàm hàm số f ''(x), có, đợc gọi đạo hµm cÊp ba cđa hµm sè f(x), kÝ hiƯu lµ y''' hay f '''(x) Đạo hàm hàm số f '''(x), có, đợc gọi đạo hàm cấp bốn cđa hµm sè f(x), kÝ hiƯu lµ y'''' hay f(4)(x) Tổng quát, đạo hàm đạo hàm cấp (n1) đợc gọi đạo hàm cấp n hàm số y = f(x), kÝ hiƯu lµ y(n) hay f(n) (x) VËy, ta cã: f(n)(x) = [ f(n -1)(x)]', víi n Z, n 2 ý nghÜa c¥ häc đạo hàm cấp hai Xét chuyển động thẳng xác định phơng trình: s = f(t), với f(t) hàm số có đạo hàm Khi đó, gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai hàm số s = f(t) t (t) = f "(t) B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 Đạo hàmo hàm Dạng toán 1: Tính đạo hàm hàm số điểm dạng Phơng pháp áp dụng Cho hàm số: y = f(x) Để tính đạo hàm hàm số điểm x0, ta xác định: f (x ) f (x ) f '(xO) = lim x x0 x x0 ThÝ dơ T×m sè gia hàm số y = x2 điểm x0 = øng víi sè gia x, biÕt: a x = b x = 0,1 Gi¶i Ta cã: yf(x0 + x)f(x0) a Víi x0 = 1; x = th×: f(x0) = f(1) = 0, f(x0 + x) = f(1 + 1) = f(2) = 3, tõ ®ã suy ra: yf(x0 + x)f(x0) = = b Víi x0 = 1; x = 0,1 th×: yf(x0 + x)f(x0) = f(1 0,1)f(1) = 0,92 = 0,19 Thí dụ Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số điểm x0 a y = 2x + t¹i x0 = b y = x2 + x t¹i x0 = Giải a Ta trình bày theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta cã: f ( x ) f (2) 2x y'(2) lim lim . x x x x Cách 2: Ta lần lợt có: yf(x0 + x)f(x0)f(2 + x)f(2) = [2(2 + x) + 1] = 2x, y y'(2) lim lim (2x). x x x b Ta cã thĨ tr×nh bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta có: f ( x ) f (1) ( x 2) = 3. y'(1) lim lim x x xlim 1 x x x x Cách 2: Ta lần lợt có: yf(x0 + x)f(x0)f(1 + x)f(1) = [(1 + x)2 + (1 + x)] = (x)2 + 3x, y y'(1) lim lim (x + 3)3. x x x Nhận xét: Nh vậy, việc tìm đạo hàm định nghĩa liên quan mật thiết với toán tính giới hạn hàm số Do đo, em học sinh cần ôn lại phớng pháp tính giới hạn với dạng giới hạn Thí dụ Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số: a y = x điểm x0 = x b y 2x điểm x01 Gi¶i a Ta cã: x 1 f (x ) f (0) 1 lim = 2. x lim x x x x x x y'(0) lim b Ta cã: f ( x) f (1) x x y'(1) lim lim x 2x (x 1)( x 3) lim x lim x x x 2x Dạng toán 2: Tính đạo hàm hàm số điểm dạng Phơng pháp áp dụng Cho hµm sè: f ( x ) x x f(x) = f ( x ) x x Để tính đạo hàm hàm số điểm x0, ta xác định: f (x) f ( x ) f ( x ) f2 ( x ) f '(xO) = lim lim x x0 x x0 x x0 x x0 ThÝ dô Cho hµm sè: sin x x 0 f(x) = x t¹i x0 = 0 x Gi¶i a Chøng minh r»ng f(x) liên tục x0 b Tính đạo hàm, có, f(x) điểm x0 a Nhận xét hàm số f(x) liên tục x0 = 0, bởi: lim f(x) = lim sin x = lim ( sin x sinx) = = f(0) x x x x x b Ta cã: f (x) f (0) sin x f'(0) = lim = lim = x x x x2 Thí dụ Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hµm sè: x f(x) 0 cos x x điểm x00 x Giải Hàm số f(x) xác định lân cận x 00 Ta có: f (x ) f (0) f '(0) lim lim x cos x x x x Ta cã: Víi mäi x thuộc lân cận điểm có: x.cos x x x.cos x x x Mặt khác lim (x) lim x0 x x Suy ra: lim x cos x f '(0) x Dạng toán 3: Tính đạo hàm hàm số điểm dạng Phơng pháp áp dụng Cho hàm số: f ( x ) x x f(x) = f ( x ) x x Tính đạo hàm xác định giá trị tham số để hàm số có đạo hàm điểm x0, ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: XÐt tính liên tục hàm số điểm x0 Bớc 2: (Đạo hàm bên trái) Tính: f (x) f ( x ) f '( x 0 ) = lim x x x x0 Bíc 3: (Đạo hàm bên phải) Tính: f (x) f (x ) lim f '( x )= x x0 x x0 Bớc 4: Đánh giá giải f'( x ) = f'( x ), tõ ®ã ®a lêi kÕt luËn ThÝ dơ Chøng minh r»ng hµm sè: nÕu x 0 ( x 1) f(x) = nÕu x x kh«ng có đạo hàm điểm x = nhng có đạo hàm điểm x = Giải a Tại điểm x = 0, ta thấy: lim f(x) = lim (x 1)2 = 1, lim f(x) = lim (x2) = 0, 2 x x x x suy ra: lim f(x) lim f(x) Hàm số gián đoạn x = x 0 x Hµm số đạo hàm điểm x = b Tại điểm x = 2, ta có: f ( x ) f (2 ) x( x ) lim x = lim ( x 1) lim x lim x x x x x x tøc lµ f'(2) = ThÝ dụ (Đề111): Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số f(x) = x | x | điểm x0 = Giải Viết lại hàm số díi d¹ng: x x 0 f(x) = 1 x x x x Hàm số f(x) xác định l©n cËn cđa x = Ta cã: Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = x f (x) f (0) lim f'(0 ) = lim = x x = xlim = x x x x Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = x f (x) f (0) f'(0 + ) = lim = xlim = xlim = 0 1 x 0 x x 1 x x NhËn xÐt r»ng f'(0) = f'(0 + ) = VËy, hµm sè y = f(x) có đạo hàm điểm x0 = vµ f'(0) = Chó ý: Chóng ta cã thĨ tÝnh mét c¸ch trùc tiÕp, nh sau: x f (x) f (0) f'(0) = lim = lim = lim = 1 | x | x x x 1 | x | x x ThÝ dơ (§HHH 1997): Chøng minh r»ng hµm sè y = x | x | liên tục 3x Giải x = đạo hàm điểm Viết lại hàm số dới dạng: x 2x x f(x) = 3x x 2x x 3x f (x) = lim x | x | = = f(3) Ta cã: xlim 3 x 10 3x Do hàm số liên tục x = Mặt khác: Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = f (x) f ( 3) 13 = x x 100 Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = f (x) f ( 3) 53 f'(3 + ) = lim = x x 3 100 NhËn xÐt r»ng f'(3) f'(3 + ) VËy, hµm số đạo hàm x = f'(3) = lim ThÝ dơ Cho hµm sè: x x 1 f(x) x ax b Tìm a, b để f(x) có đạo hàm điểm x1 Giải Để hàm số f(x) có đạo hàm điểm x1, trớc hết f(x) phải liên tục x1, đó: lim f(x) lim f(x)f(1) a + b1 b1a x 1 x (1) Đạo hàm bên trái hàm số yf(x) điểm x1: f ( x) f (1) f '(1) lim lim x 2 x x x 1 x Đạo hàm bên phải hàm số yf(x) điểm x1: f (x ) f (1) ax b f '(1+) lim lim lim x x x x x ax a a x Hàm số yf(x) có đạo hàm điểm x1 f '(1)f '(1 + ) a2 (2) Thay (2) vào (1), ta đợc b1 Vậy, hàm số có đạo hàm điểm x1, vµ chØ nÕu a2, b1 ThÝ dơ Cho hµm sè: f(x) Chøng tá r»ng víi mäi c¸ch chän p, q hàm f(x) có đạo hàm điểm x0 Giải Để hàm số f(x) có đạo hàm điểm x0 f(x) phải liên tục ®iÓm x0, ®ã: lim f(x) lim f(x)f(0) pq + qp1 x 0 x 0 (1) Khi đó, hàm số f(x) có dạng: p cos x ( p 1) sin x x f(x) x px p p cos x q sin x px q 10 x x