3 chương 1 đạo hàm phan 3

CHƯƠNG 1: (TIẾP THEO) BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỦ ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HAI HÀM SỐ GIAO NHAU THỎA MÃN CÁC YẾU TỐ ĐẶC BIỆT Để biện luận theo m số giao điểm cuatr hai hàm số thỏa mãn điều kiện tính chất hình học phẳng Oxy ta làm bước sau: Bước 1: TXĐ: f x, m   g  x, m   F  x, m  0 Bước 2: Phương trình hồnh độ giao điểm đưa dạng:  Sử dụng biệt thức  , đưa phương trình tích để biện luận số giao điểm hai hàm số Bước 3: Dựa theo yêu cầu đề mà ta sử dụng công thức biến đổi hình học phẳng như: vectơ, tích vơ hướng, khoảng cách, hình chiếu, điểm đối xứng,… Bước 4: Giải kết luận giá trị tham só m Bài tập vận dụng y m x  Hm  x2 đường Bài 1: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số thẳng d : x  y  0 giao hai điểm với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích S A m 3 Giải: m B C m 2 Hoành độ giao điểm A, B d D m 1  Hm   xm  x   x  x   m  1 0, x  2,  1 x2 Phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác -2:  17  16m    2.      m  1 0 17  m  16  m  Ta có: nghiệm phương trình: AB   x2  x1    y2  y1   2   x2  x1   x1 x2   x2  x1  2 17  16m h Khoảng cách từ gốc tọa độ đến d 2 1 SOAB  h AB  17  16m   m  2 2 (thỏa mãn) Suy Chọn A y 2x H x đường Bài 2: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số thẳng d : y  x  m giao hai điểm phân biệt thuộc nhánh khác đồ thị cho khoảng cách hai điểm nhỏ Tìm giá trị nhỏ m 31 A m 4 30 B C m 0 32 D m  33 Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x  x  m  x   m   x  2m 0,  1 x Để d cắt (H) điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác  m  16  , m  0 Giả sử  2 A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  hai giao điểm x1 , x2 nghiệm phương trình (1)  x1  x2 4  m  3   x1.x2  2m Thei viet ta có: y1  x1  m, y2 x2  m Để A, B thuộc nhánh khác đồ thị A B nằm khác phía đường thẳng x  0 x    x2    A B nằm khác phía đường thẳng x  0  hay x1.x2   x1  x2    0,   Tahy (3) vào (4) ta   (5) Mặt khác ta lại có AB   x1  2 x2    y1  y2    x1  x2   x1 x2  6 m 0 Tahy (3) vào (6) ta được: AB  2m  32  32 AB  32 nhỏ  7 Từ (1), (5), (7) ta có m 0 AB  32 thỏa mãn Chọn C Nhận xét: Đối với khoảng cách 2, có cách tính khoảng cách AB nhanh khơng? Chúng ta khẳng định có ax  b y cx  d đường thẳng y mx  n,  m 0  Thật vậy, ta có tổng quát: Cho hàm số A x ; y ,B x ; y Gọi A, B hai điểm mà đường thẳng cắt hàm số Giả sử  1   2  giao điểm, f x mx  n,  1 x1 , x2 nghiệm phương trình:   AB   x1  2 x2    y1  y2    x1  2 x2    m  x1  x2      m   x1  x2  1  m2    m Với  tính từ phương trình (1) +Nếu AB nhỏ  nhỏ Ta xét tập sau đây:  1  m  x  x  2   x1 x2  y x 1 H x đường Bài 3: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số thẳng d : y  x  m x  m giao hai điểm phân biệt A, B thuộc nhánh khác Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn A m 5 B m  C m 0 D m  Giải: Để đường thẳng d cắt (H) hai điểm phân biệt phương trình hồnh độ giao điểm x 1 2 x  m x có hai nghiệm phân biệt với m x1   x2  x   x  1  x  m    x 1 có hai nghiệm phân biệt x1   x2 2 x   m  3 x  m  0  *   x 1 có hai nghiệm phân biệt x1   x2  m  1  16  0, m   f  1 2   m  3  m    Vậy với giá trị m đường thẳng d ln cắt (H) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác A x ;2 x  m  , B  x2 ;2 x2  m  Gọi  1 giao điểm d (H)      f  1  ( x1 , x2 nghiệm phương trình (*)) Ta có: AB   x2  x1  Theo viet ta có: 2  2    x2  x1     x2  x1    x2  x1   x1 x2 AB     m  1  16  2   ABmin 2  m  Vậy m  giá trị cần tìm Nhận xét: Vậy ta tính theo cơng thức tính nhanh trên: 1  22    5   m  1  16   2 Khi   m  Chọn D  AB   Bài 4: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y x 1 H x đường thẳng d : y  x  m x  m giao hai điểm phân biệt A, Bsao cho AB   m 10  m  A m 4 B m 3 C m 0 D  Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: x  mx  m  0,  x  1 ,  1 (d) cắt (H) điểm phân biệt  phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác -1 m  8m  16      x  A x ;y B x ;y Gọi  1   2  giao điểm d (H) Ta có x1 , x2 nghiệm phương trình (1) 1 AB    22    5   m  8m  16   2  m 10  m  8m  20 0    m  Thỏa mãn (2) Chọn D x C x 1 Bài 5: Tìm tất giá trị thực a b cho đồ thị hàm số đường thẳng d : y ax  b giao hai điểm phân biệt, đối xứng qua đường thẳng  : x  y  0 y a   b  A Giải: B a   b  C a   b  D a   b  y  x 2 Phương trình  viết lại dạng   d  a   a  2 Để giao điểm đối xứng qua  Suy đường thẳng d : y  x  b Phương trình hồnh độ giao điểm d (C ): x  x  b  x   b  3 x   b  1 0  1 x 1 Để d (C ) cắt hai điểm phân biệt A, B (1) có hai nghiệm phân biệt     b  2b  17   b   x A  xB b    xI     y  y A  yB  b  I 2 Goi I trung điểm AB, ta có:  Vì A, B đối xứng qua  nên trung điểm I thuộc vào đường thẳng  , ta có: b xI  yI  0    b    0  b  a   b  Vậy  thỏa ycbt Chọn A y x 1 C x đường thẳng Bài 6: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số d : y mx  giao hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (O gốc tọa độ) A m 3  Giải: B m 3  C m 3  D m 2  2x 1 mx  3,  x 1  mx   m  1 x  0,  1 Pt hoành độ gia điểm: x  (d) cắt đồ thị hàm số (C ) A, B pt (1) có nghiệm phân biệt khác 1, nên:  2x 1 mx  3,  x 1  mx   m  1 x  0,  1   x m.12   m  1  0  m 0 m 0        m     g 0       m        OA  OB  OA.OB 0  x A xB   mx A  3  mxB  3 0   m  1  x A xB   3m  x A  xB   0,   m   x A  xB  m ,  3   x x  A B m Theo Viet ta có:  Thay (3) vào (2) ta được: m  6m  0  m 3  Vậy với m 3  thỏa mãn ycbt Chọn A y  x  2mx   m  1 x   C  Bài 7: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số A 0;2  đường thẳng  : y  x  điểm phân biệt  ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M  3;1  m 0  m 1  m 0  m 2  m 3  m 3  m 2  m 3    A B C D  Giải: Pt hoành độ giao điểm đồ thị với  x  2mx   m  1   x   x 0  y 2   x  2mx  3m  0  1 A 0;2  Đường thẳng  cắt đồ thị hàm số (C ) ba điểm phân biệt  , B, C pt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0, khi:  m    '  m  3m     m        g   0 3m  0 m   B x ;y C x ;y Gọi  1   2  , x1 , x2 nghiệm (1); y1  x1  y2  x2  2 Ta có: h d  M ;      1  2  BC  S MBC 2.2  4 h 2 BC  x2  x1    y2  y1  2   x2  x1   x1 x2    Mà 8  m  3m    m 0  m  3m   16    m 3 Suy  m 0  m 3 Vậy  thỏa ycbt Chọn A y  x  mx  x  m   Cm  3 Bài 8: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số 2 cắt trục hoành điểm phân biệt x1; x2 ; x3 thỏa mãn điều kiện x1  x2  x3  15 m   m   m   m 0 m   m 1 m   m 1 A  B  C  D  Giải: Pt hoành độ giao điểm: x  mx  x  m  0  x  3mx  3x  3m  0 3   x  1  x    3m  x  3m   0  1  x 1   x    3m  x  3m  0    Cm  cắt trục Ox ba điểm phân biệt pt (1) có ba nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt khác    3m    3m    3m  2m   0, m   m 0  3  m  g  m      Giả sử x3 1, x1 , x2 nghiệm (2) Ta có: x1  x2 3m  1; x1 x2  3m  Khi đó: x12  x22  x32  15   x1  x2   x1 x2   15 m     3m  1   3m    14   m      4  m 1 m    m 1 Từ (3) (4) ta có giá trị cần tìm là:  Chọn B y  x  x  x  m  Cm  Bài 9: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng A m 11 B m 10 C m 9 D m 8 Giải: x3  x  x  m =0  * Pt hoành độ giao điểm: C x , x , x x  x2  x3  Giả sử  m  cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ  x1 , x2 , x3 nghiệm pt(*) x  x  x  m =  x  x1   x  x2   x  x3  Khi đó: x   x1  x2  x3  x   x1 x2  x2 x3  x3 x1  x  x1 x2 x3  x1  x2  x3 3  1 Ta có: x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng x1  x3 2 x2 Thế (2) vào (1) ta x2 1 , thay vào pt (*) ta được: m 11  2 m 11:  *  x3  x  x  11 0   x  1  x  x  11 0 Với  x1 1     x2 1  x1  x3 2 x2   x3 1  Vậy m=11 thỏa ycbt Chọn A CHỦ ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ THẢO MÃN CÁC YẾU TỐ ĐẶC BIỆT C : y  f  x M x ;y Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến    điểm  0  y  f  x0  Nếu cho x0 tìm f x  y0 Nếu cho y0 tìm x0 nghiệm phương trình   Tính y '  f ' x Suy y '  x0   f '  x0  y  y0  f '  x0   x  x0  Phương trình tiếp tuyến  là: C : y  f  x Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến    biết  có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm tọa độ tiếp điểm f' x M x ;y Gọi  0  tiếp điểm Tính    có hệ số góc k  f '  x0  k  1 y  f  x0  Giải phương trình (1), tìm x0 tính Từ viết phương trình  Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc Phương trình đường thẳng  có dạng y kx  m  f  x  kx  m  *  f ' x  k     tiếp xúc với (C ) hệ phương trình sau có nghiệm:  Giải hệ (*), tìm m Từ viết phương trình  Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến  cho gián tiếp sau: +  tạo với chiều dương trục hồnh góc  k tan  +  song song với đường thẳng d : y ax  b k a k  a d : y ax  b  a 0  +  vng góc với đường thẳng k a tan  d : y  ax  b  ka   + tạo với đường thẳng góc C : y  f  x A x ;y Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến    , biết  qua điểm  A A  Cách 1: Tìm tọa độ tiếp điểm M x ;y y  f  x0  , y0  f '  x0  Gọi  0  tiếp điểm Khi đó: M : y  y0  f '  x0   x  x0  Phương trình tiếp tuyến   qua A  x A ; y A  nên: y A  y0  f '  x0   x A  x0    Giải phương trình (2), tìm x0 từ viết phương trình  Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc A x ;y k : y  y A k  x  x A  Phương trình đường thẳng  qua  A A  có hệ số góc  tiếp xúc với (C ) hệ phương trình sau có nghiệm:  f  x  k  x  x A   y A  *  f ' x  k    Giải hệ (*), tìm x (suy k) Từ viết phương trình tiếp tuyến  Bài tốn 4: Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ 1,2,3,… tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y  f ( x) Giả sử d : ax  by  c 0.M  xM ; y M   d k : y k  x  xM   yM Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc  f  x  k  x  xM   y M   tiếp xúc với (C ) hệ pt sau có nghiệm:  f '  x  k  1  2 f x  x  xM  f '  x   y M  C  + Thế k từ (2) vào (1) ta    C + Số tiếp tuyến   vẽ từ M = số nghiệm x (C ) Bài toán 5: C : f  f ( x) Tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị   hai tiếp tuyến vng góc với M x ;y Gọi  M M  k : y k  x  xM   yM Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc  f  x  k  x  xM   y M  1   2  tiếp xúc với (C ) hệ pt sau có nghiệm:  f '  x  k f x  x  xM  f '  x   y M + Thế k từ (2) vào (1) ta    C + Qua M vẽ tiếp tuyến với (C )  (C ) có nghiệm phân biệt x1 , x2  f '  x1  f '  x2   Hai tiếp tuyến vng góc với Từ ta tìm M Chú ý: Qua M vẽ tiếp tuyến với (C ) cho hai tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh ¿ Bài tốn 6: Tìm giá trị tham số mà tiếp tuyến hàm số thỏa mãn tính chất hình học Oxy ta sử dụng cách viết phương trình tiếp tuyến dạng  f  x  k  x  xM   y M  1   2  tiếp xúc với (C ) hệ pt sau có nghiệm:  f '  x  k Sử dụng công thức hình học Oxy cơng thức khoảng cách, độ dài, vectơ,… BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  x    m  x    m  x  m  2m   C  có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x  y  0 cos  26 góc  , biết 1 m  m A 1 m  m C B m  1 m  m D m 10   32 m     3 2 m  Vậy với  thỏa ycbt Chọn A ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG I ĐỀ SỐ Bài 1: cho tam giác vuông ABC có độ dài cạnh huyền 5(đơn vị độ dài) Người ta quay tam giác ABC quanh trục cạnh góc vng để sinh hình nón, với kích thước tam giác ABC hình nón sinh tích lớn nhất? B B y x C A x 5 A ,y  3 A C B x 3, y 4 C x  10, y  15 D Một kết khác Giải: 1 Vn  S d h   x y    25  y  y 3 f  y   25  y y  y  25 y  f '  y   y  25 0  y  BBT y f ' y  5 + − Max f  y x 5 Vậy ,y  3 Chọn A 18 Bài 2: Một hộp không nắp làm từ mảnh tơng theo hình mẫu x cm h cm Hộp có đáy hình vng cạnh   , chiều cao     500 cm3 tích Hãy tìm độ dài cạnh hình vng cho hộp làm tốn nhiên liệu nhất: A 5cm C 2cm Giải: h x x B 10cm D 3cm 500 x2 2000 S  x  xh  x  x 2000 f  x  x2  x 2000  f '( x) 2 x  x  0;10 x2 f '  x  0  x 10 V  x h 500  h    X  || 10 10 589 f  x 300  x 10 (thỏa mãn) Chọn B Bài 3: Huyền có bìa hình trịn hình vẽ, Huyền muốn biến hình trịn thành phễu hình nón Khi Huyền phải cắt bỏ hình quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn nhất? r xO h R B A O 19 A,B R    A B C Giải: V   r 2h R h  r const  r R  h  D  V   h  R2  h2   f  h  1 f  h    R h   h3 ; f '  h    R   h 3 R  f '  h  0  h   Vmax  h  R 2.R  r 3 2 r  Chu vi đường trịn đáy hình nón Ta có: 2    2 R 2R 2 R  x   3 Chọn A Bài 4: sau phát dịch bệnh vi rút Zika, chuyên gia y tế TP.HCM ước tính số người x  f' t f t 15t  t nhiễm bệnh kể từ xuất bệnh nhân đến ngày thứ t   Ta xem   tốc độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm t Tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày bao nhiêu? A Ngày thứ 10 B Ngày thứ 15 C Ngày thứ 20 D Ngày thứ 25 Giải: f  t  15t  t f '  t  30t  3t   t    75 75 f '  t  max 75  t 5 Bài 5: Có mảnh đất hình vng ABCD cạnh a Người ta cần làm trại có đáy hình AM  x   x a  thang ABCM với điểm M thuộc cạnh AD Dựng cột vng góc với 2 mp  ABCD  y, y   A Giả sử đỉnh cột S, chiều cao cột  Nếu x  y a , giá trị lớn thể tích trại dạng chóp S.ABCM là: 20