Giải Tích Chương 5: Đạo hàm 11: CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) x0 (a; b): f ( x ) f ( x0 ) y f '( x0 ) lim = lim (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)) x x0 x 0 x x x0 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục điểm Ý nghĩa đạo hàm Ý nghĩa hình học: + f (x0) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M x0 ; f ( x0 ) + Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M x0 ; y0 là: y – y0 = f (x0).(x – x0) Ý nghĩa vật lí: + Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình s = s(t) thời điểm t0 v(t0) = s(t0) + Cường độ tức thời điện lượng Q = Q(t) thời điểm t0 I(t0) = Q(t0) Qui tắc tính đạo hàm n N x (C) = (x) = (xn) = n.xn–1 n 1 x u uv vu (u v) u v (uv) uv vu (v 0) v v2 v (ku) ku v v Đạo hàm hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm x ux hàm số y = f(u) có đạo hàm u yu hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm x là: y x yu.u x Đạo hàm hàm số lượng giác sin x sin u( x ) lim 1; lim (với lim u( x ) ) x 0 x x x0 u( x ) x x0 (sinx) = cosx (cosx) = – sinx Vi phân dy df ( x ) f ( x ). x Đạo hàm cấp cao tan x cos2 x cot x sin2 x f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ). x f ''( x ) f '( x ) ; f '''( x ) f ''( x ) ; f ( n) ( x ) f ( n1) ( x ) (n N, n 4) Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t0 a(t0) = f(t0) VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghĩa ta thực bước: B1: Giả sử x số gia đối số x0 Tính y = f(x0 + x) – f(x0) y B2: Tính lim x 0 x BT soan 2015 Trang ThuVienDeThi.com Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Baøi 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y f ( x ) x x x0 c) y f ( x ) e) y f ( x ) b) y f ( x ) x x0 = –3 2x x0 = x 1 d) y f ( x ) sin x f) y f ( x ) x x0 = x0 = x x 1 x0 = x 1 Baøi 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: a) f ( x ) x x d) f ( x ) 2x b) f ( x ) x x c) f ( x ) e) f ( x ) sin x f) f ( x ) x 1, ( x 1) cos x VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm cơng thức Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) công thức ta sử dụng qui tắc tính đạo hàm Chú ý qui tắc tính đạo hàm hàm số hợp Bài 1: Tính đạo hàm hàm số sau: x x x a) y x x x b) y 3 x d) y ( x 1)( x 4)( x 9) e) y ( x x )(2 x ) g) y 2x h) y 2x 1 3x k) y x 3x x 1 l) y 2x2 4x x 3 c) y ( x 2)(1 x ) f) y x 1 1 x i) y x x2 x x2 2x2 m) y x2 2x Baøi 2: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y ( x x 1)4 b) y (1 x )5 d) y ( x x)5 e) y 3 x g) y c) y ( x3 x 1)11 ( x 1)2 2x h) y x 1 ( x 1)3 f) y ( x x 5)2 3 i) y x Baøi 3: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y x x b) y d) y ( x 2) x e) y ( x 2)3 g) y x3 x 1 h) y x3 x 4x x2 c) y x x f) y 1 x i) y x2 x Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau: sin x a) y cos x b) y x.cos x Trang ThuVienDeThi.com c) y sin3 (2 x 1) Giải Tích d) y Chương 5: Đạo hàm 11: cot x g) y (2 sin2 x )3 e) y sin x f) y sin x x h) y sin cos2 x tan2 x i) y 2sin2 x 3cos3 x x 1 k) y cos2 l) y tan x tan3 x tan5 x x 1 Baøi 5: Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng: a) (sin n x.cos nx )' n sin n1 x.cos(n 1) x b) (sin n x.sin nx )' n.sin n1 x.sin(n 1) x c) (cosn x.sin nx )' n.cosn1 x.cos(n 1) x d) (cosn x.cos nx )' n.cosn1 x.sin(n 1) x VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) Phương trình tiếp tuyến điểm M(x0, y0) (C ) là: y y0 f '( x0 )( x x0 ) (*) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: + Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm Ta có: f ( x0 ) k (ý nghĩa hình học đạo hàm) + Giải phương trình tìm x0, tìm y0 f ( x0 ) + Viết phương trình tiếp tuyến theo cơng thức (*) Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) qua điểm A(x1, y1) cho trước: + Gọi (x0 , y0) tiếp điểm (với y0 = f(x0)) + Phương trình tiếp tuyến (d): y y0 f '( x0 )( x x0 ) (d) qua A ( x1 , y1 ) y1 y0 f '( x0 ) ( x1 x0 ) (1) + Giải phương trình (1) với ẩn x0, tìm y0 f ( x0 ) f '( x0 ) + Từ viết phương trình (d) theo cơng thức (*) Nhắc lại: Cho (): y = ax + b Khi đó: + (d ) () kd a + ( d ) ( ) kd a Baøi 1: Cho hàm số (C): y f ( x ) x x Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm thuộc (C) có hồnh độ x0 = b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + = c) Vng góc với đường thẳng x + 4y = d) Vng góc với đường phân giác thứ góc hợp trục tọa độ x x2 (C) x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(2; 4) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 3x Baøi 3: Cho hàm số y f ( x ) (C) 1 x a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(2; –7) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y x 100 e) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : 2x + 2y – = Baøi 2: Cho hàm số y f ( x ) BT soan 2015 Trang ThuVienDeThi.com Đại số 11 Baøi 4: Cho hàm số (C): y x x a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm I(1, –2) b) Chứng minh tiếp tuyến khác đồ thị (C) khơng qua I Bài 5: Cho hàm số (C): y Trần Sĩ Tùng x x Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hồnh độ x0 = b) Song song với đường thẳng x + 2y = VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao / Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dùng công thức: y ( n) y ( n1) Để tính đạo hàm cấp n: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh cơng thức Bài 1: Cho hàm số f ( x ) 3( x 1) cos x b) Tính f ''( ), f '' , f ''(1) 2 Baøi 2: Tính đạo hàm hàm số đến cấp ra: x 3 , y '' a) y cos x , y ''' b) y x x x x 7, y '' c) y x4 a) Tính f '( x ), f ''( x ) d) y x x , y '' e) y x sin x , y '' f) y x tan x , y '' g) y ( x 1)3 , y '' h) y x x 4, y (4) i) y , y (5) 1 x Baøi 3: Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng: (n) n. n. (1)n n! a) b) (sin x )( n) sin x c) (cos x )( n) cos x (1 x )n1 1 x Bài 4: Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: x 1 a) y b) y c) y x2 x2 x 3x 1 x e) y sin2 x 1 x Baøi 5: Chứng minh hệ thức sau với hàm số ra: y x sin x a) b) y x x xy '' 2( y ' sin x ) xy y y '' x 3 y x tan x y c) d) x4 2 x y '' 2( x y )(1 y ) 2 y2 ( y 1) y '' d) y f) y sin x cos4 x sin u( x ) x x0 u( x ) Ta sử dụng công thức lượng giác để biến đổi sử dụng cơng thức Trang VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng lim ThuVienDeThi.com Giải Tích Chương 5: Đạo hàm 11: sin u( x ) (với lim u( x ) ) x x0 u( x ) x x0 lim Bài 1: Tính giới hạn sau: sin x cos x a) lim b) lim x 0 sin x x 0 x2 sin x cos x e) lim x 0 sin x cos x f) lim x tan x x 0 sin x c) lim sin x x 2 d) lim x cos x sin x cos x sin x 6 cos x g) lim x tan x h) lim 2 x x VẤN ĐỀ 6: Các tốn khác Bài 1: Giải phương trình f '( x ) với: a) f ( x ) 3cos x 4sin x x b) f ( x ) cos x sin x x c) f ( x ) sin2 x cos x d) f ( x ) sin x cos x cos x 3 x f) f ( x ) sin x cos3 x 3(cos x sin x ) Baøi 2: Giải phương trình f '( x ) g( x ) với: e) f ( x ) sin( x ) cos a) f ( x ) sin x g( x ) sin x b) f ( x ) sin x g( x ) cos x 5sin x x x f ( x ) x cos f ( x ) x cos2 c) d) g( x ) x x sin x g( x ) 8cos x x sin x Baøi 3: Giải bất phương trình f '( x ) g '( x ) với: a) f ( x ) x x 2, g( x ) x x b) f ( x) x x 8, g ( x) x x2 c) f ( x ) x x 3, g( x ) x d) f ( x ) , g( x ) x x x Baøi 4: Xác định m để bất phương trình sau nghiệm với x R: a) f '( x ) với f ( x ) mx x mx mx mx (m 1) x 15 Baøi 5: Cho hàm số y x3 x mx Tìm m để: a) f '( x) bình phương nhị thức bậc b) f '( x) với x b) f '( x ) với f ( x ) Bài 6: Cho hàm số f ( x) mx mx (3 m) x Tìm m để: a) f '( x) với x b) f '( x) có hai nghiệm phân biệt dấu BT soan 2015 Trang ThuVienDeThi.com Đại số 11 Trần Sĩ Tùng c) Trong trường hợp f '( x) có hai nghiệm, tìm hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào m BÀI TẬP ƠN CHƯỜNG V Bài 1: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y x ( x 4) b) y ( x 3)( x 1) c) y x x d) y x (2 x 1) e) y (2 x 1)(4 x x ) f) y x 3x h) y 2x x 2x Bài 2: Tính đạo hàm hàm số sau: i) y (3 x )2 g) y a) y x x d) y b) y x 1 x e) y 1 x Bài 3: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y sin( x x 2) d) y sin x cos x sin x cos x 9x x 1 c) y x x x f) y x2 x 3 x sin x x x sin x b) y tan (cos x ) c) y e) y x cot( x 1) f) y cos2 ( x x 2) g) y cos x h) y cot x i) y tan2 (3 x x ) Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số, với: a) (C ) : y x x điểm M(1, 2) x2 4x b) (C ) : y điểm có hồnh độ x0 x2 c) (C ) : y x biết hệ số góc tiếp tuyến k Bài 5: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) cho tiếp tuyến đó: a) Song song với đường thẳng y 3 x b) Vng góc với đường thẳng y c) Đi qua điểm A(0;2) x cos x Tính giá trị f ' f ' cos x 6 3 b) Cho hai hàm số f ( x ) sin x cos4 x g( x ) cos x So sánh f '( x ) g '( x ) Bài 7: Tìm m để f ( x ) 0, x R , với: Bài 6: a) Cho hàm số f ( x ) b) f ( x ) sin x m sin x sin x 2mx a) f ( x ) x (m 1) x x Bài 8: Chứng minh f ( x ) 0, x R , với: a) f ( x ) x sin x b) f ( x ) Trang ThuVienDeThi.com x x x x x a) ... sử dụng cơng thức Trang VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng lim ThuVienDeThi.com Giải Tích Chương 5: Đạo hàm 11: sin u( x ) (với lim u( x ) ) x x0 u( x ) x x0 lim Bài 1: Tính giới hạn sau: sin... cos x b) y x.cos x Trang ThuVienDeThi.com c) y sin3 (2 x 1) Giải Tích d) y Chương 5: Đạo hàm 11: cot x g) y (2 sin2 x )3 e) y sin x f) y sin x x h) y sin cos2... VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao / Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dùng công thức: y ( n) y ( n1) Để tính đạo hàm cấp n: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n