1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

bài tập chuơng 5 đạo hàm

30 812 9

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 30
Dung lượng 1,27 MB

Nội dung

Traàn Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóa GIAÛI TÍCH 11 www.saosangsong.com.vn Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 2 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM §1 . Đạo h ïo hàm . àm & ý nghóa hình học của đa A . Tóm tắt giáo kh Cho hàm số y = f ( x ) xác đònh trên khỏang (a,b) và x o thuộc o o õa oa . tại một điểm : 1 . Đạo hàm của hàm số khỏang ( a , b ) . Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x , ký hiệu là f’ ( x ) , là giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số giư số gia của hàm số yΔ và số gia của biến số x Δ tại điểm x o khi số gia của biến số dần tới 0 : x 0 0 () ( ) ( ) ( ) '( lim im lim ooo ) l x o o xxx o f xfx fx xfx y fx −+Δ− xxx →Δ→Δ→ Δ === −Δ Δ Chú ý : Nếu hàm i số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x o thì hàm số này liên tục tại đ ểm x o 2 . Đạo hàm của hàm số trên một khoảng : ) . D là một khoảng ( hay hợp của nhiều khoảng Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên D khi nó có đạo hàm tại mọi điểm x o thuộc D . ược gọi là đạo Khi đó ta có một hàm số xác đònh trên D : y’ = f’( x ) với mọi x thuộc D . Hàm số này đ hàm của hàm số y = f ( x ) . Đạo hàm của một số hàm số thường gặp : 1 0 , () '() 1 , () ( , 2) '() , 1 () '() , 2 nn () '() f xC fx xR f xx fx xR f xxnNn fxnx xR xx fx xR x − + =⇒=∀∈ =⇒=∀∈ =∈≥⇒ = ∀∈ =⇒=∀∈ f (C là một hằng số) của đạo hàm : Cho hàm số y = . Ý nghóa hình học 3 M x 0 f(x 0 ) ϕ Hệ số góc của tiếp f ( x ) có đạo hàm tại điểm x o , đồ thò của hàm số là ( C ) . Đònh lý : Đạo hàm của hàm số tại điểm x là hệ số góc tuyến tanϕ = f’(x 0 ) o o o 0 của tiếp tuyến với đồ thò ( C ) tại điểm M o ( x o , f(x o )) thuộc ( C ) Như thế , phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại M ( x o , y o ) thuộc ( C ) có dạng : ( t ) : y = f’( x o ) ( x – x ) + f(x ) . B . Giải tóan . Dạng 1 : Tính đạo hàm của hàm số tại x 0 . Ta thường thực hiện các bước sau :  Cho x o một số gia x Δ và tinh số gia y Δ .  Lập tỉ số y () () ( o ) () o o o f x Δ = Δ x xfx xx x +− −Δ và tìm giới hạn của tỉ số này khi . o ). Giới hạn này, nếu có, là đạo hàm f’(x Ví dụ : Tính đạo của các hàm số sau tại x o o fx fx− Δ = 0xΔ→ (hay x → x o ) của hàm số tại điểm x o . tương ứng : f ( x) = x 2 a) y = + 3x – 1 tại x = 2 Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 3 b) y = f ( x ) = 21 2 x x + + tại x o = 1 Giải : a) Cho x o = 2 một số gia x Δ , ta có : () () 22 22 ( ) ( ) (2 ) 3(2 ) 1 2 3.2 1 [4 4 6 3 1] 9 7 oo yfx x fx x x xx x x x ⎡⎤⎡ Δ = +Δ − = +Δ + +Δ − − + − ⎣⎦⎣ =+Δ+Δ ++Δ−−=Δ +Δ ⎤ ⎦ Suy ra: x0 (x)7 lim =7 x x yy Δ→ ΔΔ =Δ +=> ΔΔ . Vậy f’(2) = 7. Cách trình bày khác: Ta có: 22 (x) - f(2) (x + 3 x 1) - 9 x +3x - 10 x 2 x 2 x 2 (x 2)(x +5) x 5 x 2 f − == −− − ==+ − − Suy ra: x 2 (x) - f(2) lim 2 5 7 x 2 f → =+= − . Vậy đạo hàm f’(2) = 7. b) Cho x o một số gia , ta có : () o x saocho x xΔ+Δ2≠− 2(1 ) 1 (1 ) (1) 1 (1 ) 2 [2(1 x) +1] [(1 x)+2] x (1 ) 2 3 x 1 x 3+ x x yf x f x x y +Δ + Δ= +Δ − = − +Δ + +Δ − +Δ Δ == +Δ + +Δ Δ => = ΔΔ Trình bày khác: 1 21 1 () (1) 1 2 11(1)( () (1) 1 1 lim 1123 x x fx f x x Suy ra: x 0 1 lim x3 y Δ→ Δ = Δ . Vậy f’(1) = 1/3 . Dạng tóan 2 : Tính đạo hàm của hàm số . Ta thường thực hiện các bước sau : Gọi x 0 là một giá trò thuộc tập xác đònh của f.  Tính đạo hàm f’(x 0 ) theo x o .  Thay x bằng x o ta được đạo hàm f’(x). Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau : a) y = x 3 + 3x – 2 . b) y = 2 1 x x + + . c) 1 ()yfx x == . Giải : a) Cho x o một số trò bất kì của x, ta có : 33 33 2 2 22 ( ) ( ) ( 3 2) ( 3 2) ( ) 3( ) ( )[( ) 3] () ( ) 3 ooo ooooo o oo o yfx fx x x x x x x xx xx x xx x fx fx y xxxx xxx Δ= − = + − − + − =− +−=− ++ + − Δ => = = + + + Δ− 22 0 '( ) lim 3 3 3 ooooo x y fx x xx x x 2 o x Δ→ Δ ==+++= Δ + . Vậy f’( x ) = 3 x 2 + 3 . b) Ta có : x xxx fx f x → + − − − + == − −− + − => = = −+ Vậy f’(1) = 1/3. Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 4 2 0 2() 2 () ( ) 11(1)(1) 1 (1)( 1) 11 '( ) lim lim (1)( 1) ( 1) o oo o oo o o xxx oo xxx x yfx fx xx xx y xxx y fx xxx x Δ→ → +−− + Δ= − = − = ++++ Δ => = − Δ++ ⎛⎞ Δ => = = − = − ⎜⎟ Δ++ ⎝⎠ + Vậy f’(x) = 2 1 (1)x − + c) Ta có : 00 11 ()() . .( ) 11 '( ) lim lim .( )2 1 '( ) 2 oo oo oooo oo o o o xx oo o o oo xxx yhx x hx xxx xxx x xx xx x x y yx x x xxx xx xx hay y x xx Δ→ Δ→ −+Δ Δ= +Δ − = − = +Δ +Δ −Δ = +Δ + +Δ Δ−− == = Δ +Δ + +Δ − = Dạng toán 3 : Tiếp tuyến với đồ thò của hàm số y = f ( x ) tại điểm M. Sử dụng công thức : Phương trình của tiếp tuyến tại M là: y = f’ (x o ) (x – x o ) + f(x o ) . Ta thường gặp các trường hợp sau: a) Cho hoành độ x 0 (hay tung độ f(x 0 ) của điểm M) : ta phải tìm f(x 0 ) (hay x 0 ) và f’(x 0 ), rồi áp dụng công thức . b) Cho biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng k : Giải phương trình f’(x o ) = k ta tìm được x o , suy ra f(x o ). Rồi áp dụng công thức. M x 0 f(x 0 ) A c) Cho biết tiếp tuyến với ( C ) qua một điểm cho trước A ( x A , y A ) : Ta thực hiện các bước sau :  Viết phương trình của tiếp tuyến tại điểm M ( x 0 ; f(x 0 )) bất kì theo ẩn x 0 là (t ) : y = f’(x o ) ( x – x o ) + f(x 0 ) .  Tiếp tuyến này qua A nên : y A – y o = f’(x o ) (x A – x o ) .  Giải phương trình này ( ẩn là x o ) ta tìm được x o . Suy ra PT tiếp tuyến cần tìm. Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò ( C ) của hàm số y = f ( x ) = x 2 biết a) Tiếp điểm có hòanh độ bằng – 3 b) Tiếp tuyến này song song với đường thẳng d : y = 2x + 3 . c) Tiếp tuyến này đi qua điểm A (- 1 , - 3) Giải : a)Ta có : y’ = f’(x) = 2x . x o = - 3 , suy ra y o = (- 3) 2 = 9 ; f’(x o ) = 2(-3) = -6 . Vậy phương trình của tiếp tuyến này là : y = - 6( x + 3) + 9 hay y = - 6x - 9 . Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 5 b) Phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm (x o , y o ) thuộc ( C ) có dạng : y = 2x o (x –x o ) + x 0 2 . Tiếp tuyến này song song với d : y = 2x + 3 nên : 2x o = 2 (hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau) hay x o = 1 . Vậy phương trình của tiếp tuyến này là : y = 2( x – 1) + 1 hay y = 2x – 1 . c)Phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm (x o , y o ) thuộc ( C ) có dạng : y = 2x o (x – x o ) + x 0 2 Ù y = 2 x o x – x 0 2 (1) Tiếp tuyến này qua A(-1, -3) nên : - 3 = 2x o ( -1) – x 0 2 Ù x o 2 +2x o - 3 = 0 . Ù x o = 1 hay x o = - 3 . Thế vào (1), ta được y = 2x – 1 hay y = -6x – 9 . Có 2 tiếp tuyến của (C) đều qua điểm A. Ví dụ 2 : ( C ) là đồ thò của hàm số 1 2 x y x + = − và cho biết : 2 3 ' (2) y x − = − a) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp điểm có tung độ bằng 4 . b) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng d : 3y – x + 1 = 0 . c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x 0 dưới dạng y = ax + b p dụng: tìm trên O x những điểm A sao cho không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua. Giải : Ta có : hàm số xác đònh khi và 2x ≠ 2 3 ' (2) y x − = − . a) 0 1 ()4 4 4 8 1 3 2 o ooo o x fx x x x x + =⇔ =⇔ −= +⇔ = − . Tiếp điểm là T(3, 4) , hệ số góc của tiếp tuyến tại T là : y’(3) = - 3 . Vậy phương trình của tiếp tuyến tại T là : y = - 3( x – 3) + 4 Ù y = - 3x + 13 . b) d: y = 11 33 x − => hệ số góc của đường thẳng d là 1 3 . Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến phải tìm , ta có : 1 .1 3 3 kk=− ⇔ =− ( vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau khi tích số 2 hệ số góc bằng -1 ) . Gọi x o là hòanh độ tiếp điểm của tiếp tuyến này , ta có : y’(x o ) = - 3 () 2 2 3()4 3 321 1()2 (2) oo o oo o xfx x xfx x = => = ⎡ − ⇔=−⇔−=⇔ ⎢ = => = − − ⎣ Vậy phương trình tiếp tuyến là : y = - 3(x – 3) + 4 Ù y = - 3x + 13 Hay : y = - 3(x –1) – 2 Ù y = -3x + 1 . c) Phương trình tiếp tuyến tại M : y = f’(x o )(x – x 0 ) + f(x o ) = 2 1 3 () (2) o o oo x xx xx + −−+ 2 − − Ù y = 22 3(1)(2 3 (2) (2) oo o oo xx x x xx ++ − −+ −− ) Ù y = - 2 3 (2) o x x − + 2 2 2 (2) oo o xx x +− − 2 (1) * Gọi A(a, 0) là điểm trên trục Ox. Tiếp tuyên qua A Ù (1) thỏa với x = a và y = 0 Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 6 Ù 0 = 2 2 322 (2) oo o ax x x −+ + − − 2 2230(2)( 2) oo o xx a x+−−= ≠ Ù Không có tiếp tuyến nào qua A Ù (2) VN hay (2) có nghiệm kép bằng 2 Ù 2 '33 0 1 '33 0 1 1 2 2423 0 a a a a a a a Δ= + < <− ⎡ ⎡ ⎢ ⎢ Δ= + = <=> <=> < − =− ⎧ ⎧ ⎢ ⎢ ⎨⎨ ⎢ ⎢ = +−− = ⎩ ⎩ ⎣ ⎣ C . Bài tập rèn luyện . 5.1 . Tính đạo hàm các hàm số sau tại giá trò x o tương ứng a) y = 2x 2 + 3x tại x o = 2 . b) y = 4x 3 + x 2 – 2x tại x o = 1. c) y = 2 1 x x + tại x 0 = 1 d) y = 1 4x + tại x o = 0 5.2 . Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (x – 3) 2 b) y = 25 3 x x − + c) y = x 1 x − 5.3 .Cho biết hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = a là f’(a) , tìm các giới hạn sau : 00 (4) () (2) (3) )lim )lim hh f ahfa fahfah ab hh →→ +− +− − ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ c) 22 () () lim( ) xa x fa afx xa → − − 5.4 . ( C ) là đô thò của hàm số y = x . a) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm M thuộc ( C ) có hòanh độ bằng 1 . b) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm N thuộc ( C ) có tung độ bằng 2 . c) Viết ph ương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến qua điểm 5.5 . ( C ) là đồ thò của hàm số : 2 3 3 xx y x ++ = + a) Chứng minh đạo hàm: 2 2 6 ' (3) x x y x + = + b) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại giao điểm của ( C ) với đường thẳng d : y = 5. c)* Gọi M , N là 2 điểm trên ( C ) sao cho tiếp tuyến với ( C ) tại M , N song song với nhau . Hai điểm M , N sẽ đối xứng với nhau qua điểm cố đònh nào ? D . Hướng dẫn – Đáp số . 5.1. a) f’(2) = 11 b) f’(1) = 12 c) f’(1) = - 3 3 d) f’(0) = - 1/16 5.2. a) y’ = 2(x – 3) b) y’ = 2 11 (3)x + c) y’ 32 21 x x − = − [] 00 0 (4) () ( ) () 5.3. ) lim lim 4 4 '( )( 4 ) (2) () (3) () )lim 2 '() 3 '() 5 '() xx h fa h fa fa x fa afaxh hx fa h fa fa h fa bfafafa h Δ→ Δ→ → +− ⎡ +Δ− ⎤ ⎛⎞⎛⎞ ==Δ= ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥ Δ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ ⎡⎤ +− − −− =+= ⎢⎥ ⎣⎦ Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 7 [ ] () 22 2 22 22 ( ) () () () () () )lim lim () () lim ( ) lim . 2 ( ) '( ) xa xa xa xa x afa afx fa xfa afx c xa xa fx fa x afa a afa af a xa →→ →→ ⎡⎤ −−− ⎡⎤ − = ⎢⎥ ⎢⎥ −− ⎣⎦ ⎣⎦ − ⎡⎤ =+ − =− ⎡⎤ ⎣⎦ ⎢⎥ − ⎣⎦ 5.4 . 11 )(1)) 24 ay x by x=+ =+ 1 tiếp tuyến tại điểm (x 0 ; x o ) của © là : y = 1 (x x )+ x 2x oo o − c) Ph ương trình Ù y = x x 2 2x o o + Tiếp tuyến qua điểm (8 ; 3) Ù 3 = x 8 x- 6 x+8=0 2 2x o oo o + <=> Ù x2 x o hay= 4 o = Ù x 0 = 4 hay x o = 16. Vậy có hai tiếp tuyến y = 1 1 4 x + hay y = 1 2 8 x + 5.5 . a) Phương trình hòanh độ giao điểm của d và ( C ) : 2 2 2 3 54120 6 3 x xx xx x x =− ⎡ ++ =⇔ − − =⇔ ⎢ = + ⎣ Với x = - 2 : y’ = - 8 => Phương trình tiếp tuyến là : y = - 8x – 11 . Với x = 6: Phương trình tiếp tuyến là : 81 93 yx = − () . b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại M , N và x 1 , x 2 là hòanh độ tiếp điểm M , N , ta có : () 22 1122 22 12 66 33 xxxx k xx ++ == ++ () hay x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình 2 2 12 2 66(1) (1) 6(1)9 0 3 22(1) 3 xx xx k kkx kxk k x + +−− =⇔ − + − + =⇒ = =− − + (*) Vậy hòanh độ trung điểm I của MN bằng – 3 . Tung độ trung điểm I là : ()( ) () 22 22 11 22 11 22 12 11 22 1212 1 2 12 12 111 21122 1 33 3311 22 3 32 3 3 1 5( ) 5 2 3 2( 3) 2( 3) ( (*) : 3 ( 3); 2( 3) 2( 3)) MN I yy xx xx xx xx y xx xx xxxx xx xx xx xxx do cho x x x x x x ⎛⎞⎛⎞ + ++ ++ ++ ++ == + = − ⎜⎟⎜⎟ ++ ++ ⎝⎠⎝⎠ −++ −+− − − == ==− +++ +=− + − =− + = + Hai điểm M , N nhận I ( - 3 , - 5 ) làm trung điểm nên đối xứng qua I cố đònh . Tóm lại , 2 điểm M , N trên ( C ) có tiếp tuyến với ( C ) tại M , N song song với nhau thì luôn đối xứng qua điểm I ( - 3 , - 5 ) . Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 8 §2 . Quy tắc tính đạo hàm . Hàm số Đạo hàm y = u+v-w y ’ = u’+v’- w’ y = uv y ’ = u’v + uv’ y = ku y ’ = ku’ Y = u v y ’ = 2 'uv uv v − A Tóm tắt giáo khoa . 1 . Các quy tắc tính đạo hàm . (u = u(x) , v = v(x) , w = w( x) có đạo hàm và k là một hằng số ) B . Gỉai tóan . Dạng tóan 1 : Tính đạo hàm bằng công thức . Xét xem hàm số cho thuộc dạng nào : y = u + v – w ; y = u.v ; y = u v hoặc y là hàm số hợp [ ] ()yfux= ( u , v , w là những hàm số thường gặp ) và áp dụng các công thức tính đạo hàm . ' Y = k y’ = 2 'kv − v v y = f[u( x)] y ’ = f’[u(x)]u’( x ) Y = u n y ’ = n.u n – 1 . u’ y = u y ‘ = ' 2 u u Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau : a) y = 3x 4 - 2x 3 + 5x - 2 b) y = 2 5 3 x x − c) y= ( 2x 3 —x 2 ) ( 3x + 2 ) d) y = 23 31 x x − + . Giải : a) Hàm số cho có dạng y = u + v – w , do đó : y’ = 3( x 4 )’ – 2( x 3 )’ + 5( x)’ – ( 2 )’ = 12x 3 – 6x 2 + 5 . b) Tương tự , ta có : y’ = 23 3 33310 5( ) ' 10 222 xx x xxx −− −=+=+ c) Hàm số cho có dạng : y = u.v , do đó : y’ = (2x 3 -x 2 )’(3x + 2 ) + (2x 3 -x 2 ) (3x +2)’ = (6x 2 -2x) (3x + 2) +( 2x 3 – x 2 ) .3 = 24x 3 + 3x 2 – 4x . d) Hàm số cho có dạng : u y v = , do đó : y’= ()()()() () ( ) ( ) () () 222 2 3'3 1 2 3 3 1' 23 1 2 3.3 11 31 31 31 xx xx x x xxx −+−−+ +−− == +++ () ( ) Ví dụ 2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau : () 53 232 6 2 2 232 3 5 4 )31 ) 32 ) 1 (2 1) )2 1 )(21)(6) ) 2 ay x x by x x cy x x dy x x x ey x x fy x =++ = ++ = + − =++ =−+ = + Giải : a) Hàm số cho có dạng : y = u 5 , do đó : y’ = 5u 4 u’ = 5( x 2 + 3x + 1) 4 (x 2 +3x + 1 )’= 5(x 2 +3x +1 ) 4 (2x + 3) Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 9 () () ()() () b) Hàm số cho có dạng : 5 432 32 2 5 32 32 32' 53236 ' ' 2 232 232 xx x xxx u yuy u xx xx ⎡⎤ ++ ++ + ⎢⎥ ⎣⎦ =⇒= = = ++ ++ c) Hàm số cho có dạng : () () () () () 6 52 2 12 12 7 2 222 41' 24 1 .2 44' 48 ' 111 x xx vx yy vv xxx ⎡⎤ −+ −+ −− ⎢⎥ ⎣⎦ =⇒ = = = = +++ d) Hàm số cho có dạng : y = u.v , do đó : () ( ) 2 2 32 2 32 32 2 32 32 22 4 3 32 32 62 ''2121'221 22 1 2(2 1) (3 ) 7 3 2 21 21 x x y x xx x xx xxx x xx xx x x x x x x x xx xx + = + ++ + + = + ++ + + +++ + + + == ++ ++ e) y’ = [(2x – 1) 3 ]’ (x + 6) 5 + (2x – 1) 3 [(x + 6) 5 ]’ = 6(2x – 1) 2 (x + 6) 5 + (2x – 1) 3 (x + 6) 4 = (2x – 1) 2 (x + 6) 5 (8x + 35) 2 22 2 1 4(2 1) 2 (2 1) [(2 1) ]' 2 (2 1) .[ 2]' 22 ' 22 8(2 1)( 2) (2 1) (2 1)(6 17) 2( 2) 2) 2( 2) 2 xx x xxxx x y xx xx x x x xx xx −+−− −+−−+ + == ++ −+−− − + == ++ ++ f) Ví dụ 3 : Cho hàm số : ax b y cx d + = + . Chứng minh rằng : 2 ' () ad bc y cx d − = + . Áp dụng công thức này , tính đạo hàm của các hàm số sau : 3 32 3 5 ))) ) 21 2 1 23 xxx ay by cy dy xxxx −− − ⎛⎞ === = ⎜⎟ ++ − + ⎝⎠ ()()()() () Giải : ( ) ( ) () Ta có : () 222 ''. ' axb cxd axbcxd acxd axbc ad bc y cx d cx d cx d + +−+ + +−+ − === +++ () a) a = 3 ; b = -2 ; c = 2 ; d = 1 2 7 ' 21 y x + ⇒= b) a = -1 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 2 () 2 5 ' 2 y x − ⇒= + c) Đặt u = x : a = 1 ; b = 0 ; c = 1 ; d = 1 () 2 1 ' 1 u x − ⇒= x 1− − Và y = u 3 => y’ = 3u 2 u’ = 2 2 24 13 3. x . 1(1) (1) x xx x −− ⎛⎞ = ⎜⎟ −− − ⎝⎠ d) Đặt u = 5 23 x + : a = 0 ; b = 5 ; c = 2 ; d = 3 2 10 ' (2 3) u x − ⇒= + Và y = 2 10 ' (2 3) ' 25 2 23 u x uy u x − + => = = + = - 5 (2 3) 2 3xx − + + Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 10 Dạng tóan 2 : Một số bài tóan có liên quan đến đạo hàm . Ví dụ 1 : Cho hàm số : y = x 3 + 3x 2 +10x – 3 , dồ thò là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất . Giải : Hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại tiếp điểm có hòanh độ x là : y’ = 3x 2 + 6x +10 = 3 ( x + 1) 2 +7 ; dấu “ = “ xảy ra khi x = - 1 . 7≥ Vậy trong tất cả các tiếp tuyến với ( C ) , tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7 là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ứng với x 0 = - 1 => f(x 9 ) = f(- 1) = - 11. Phương trình tiếp tuyến là : y = 7 ( x + 1 ) – 11 hay : y = 7x –4 . Ví dụ 2* : f(x) là một đa thức thỏa hệ thức : f’(x).f(x) = f’(x) + f(x) +2x 3 + 2x 2 – 1 (1) a) Đa thức f(x) có bậc bằng bao nhiêu ? b) Xác đònh đa thức f(x) . Giải : a) (1) thành : f’(x).f(x) – f’(x) – f(x) + 1 = 2x 3 + 2x 2 hay : ( f(x) – 1 ) ( f’(x) – 1 ) = 2x 3 + 2x 2 . Gọi n là bậc của đa thức f(x) thì bậc của ( f(x) - 1 ) cũng là n ; bậc của ( f’(x) – 1 ) là n – 1 . Vậy bậc của đa thức ở vế trái n + n – 1 . Do đó : 2n – 1 = 3 ( bậc của đa thức ở vế phải ) . Suy ra n = 2 . Tóm lại , đa thức f(x) có bậc bằng 2 . b) Như thế f(x) có dạng : f(x) = ax 2 + bx +c . Suy ra : f’(x) = 2ax + b . (1) thành : ( ax 2 + bx + c – 1) ( 2ax + b – 1 ) = 2x 3 + 2x 2 hay 2a 2 x 3 + ( 3ab – a )x 2 + ( 2ac – 2a + b 2 – b )x + ( b – 1 ) ( c – 1 ) = 2x 3 + 2x 2 . Do đó : 2 2 22 1 32 1 22 0 1 (1)(1)0 a a ab a b ac a b b c bc ⎧ = = ⎧ ⎪ −= ⎪⎪ ⇔ = ⎨⎨ −+−= ⎪⎪ = ⎩ ⎪ −−= ⎩ Vậy : f(x) = x 2 + x + 1 . Ví dụ 3 : f(x) là một đa thức có bậc lớn hơn hay bằng 2 . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để f(x) chia hết cho ( x—a ) 2 là : f(a) = f’(a) = 0 . Áp dụng : Chứng minh rằng đa thức f(x) sau chia hết cho ( x – a ) 2 . f(x) = nx n+1 – ( n + 1) ax n +a n+1 . Giải : Điều kiện cần : f(x) chia hết cho ( x – a ) 2 nên : f(x) = ( x – a ) 2 .g(x) . Suy ra : f’(x) = 2( x – a ) g(x) + ( x – a ) 2 . g’(x) . Do đó : f(a) = f’(a) = 0 . Điều kiện đủ : Chia f(x) cho ( x – a ) 2 , ta có : f(x) = ( x – a ) 2 . g(x) + Ax + B . Suy ra : f’(x) = 2( x – a ) .g(x) + ( x – a ) 2 . g’(x) + A . 00 () '() 0 00 Aa B A fa f a AB + == ⎧⎧ ==⇔ ⇔ ⎨⎨ == ⎩⎩ Vậy : f(x) = ( x – a ) 2 g(x) hay f(x) chia hết cho ( x – a ) 2 . Áp dụng : f(a) = na n+1 – ( n + 1 ) a.a n + a n+1 = na n+1 – na n+1 – a n+1 + a n+1 = 0 . f’(x) = n ( n + 1 ) x n – n ( n + 1 )a x n-1 ; f’(a) = n 2 a n + na n - n 2 a n – na n = 0 . Vậy f(x) chia hết cho ( x – a ) 2 . [...]... tan2 x 5. 26 Tính đạo hàm cấp ba của các hàm số sau : a) y = 3 b) y = sin3x x2 5. 27 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau : a) y = 4 x2 b) y = cos2x 5. 28 Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 5. 29 Cho hàm số y = 1 1 Suy ra đạo hàm cấp n của hàm số : y = 2 x+a x + x−2 1 − x 2 Tìm hệ thức giữa y và y” 5. 30 Cho hàm số y = 2sin( ωt + α ) + 3cos( ωt + α ) Chứng minh rằng: y” + ω y = 0 D Hướng dẫn giải 5. 25 a)... Xét hàm số y = f(x) = sinx Nếu x tính bằng radian thì f’(x) = cosx www.saosangsong.com.vn d) f(x) = x2 + 2 x − 3 23 Chương 5 : Đạo hàm π Với x0 = vì 300 = 6 thì ta có f( π 6 + π 54 0 π 6 ) ≈ f( Vậy sin(300 20’) ≈ sin( 20 π π π nên lấy Δ x = × = 60 180 54 0 54 0 và 20’ = π π 6 ) + f’( π π ) + cos( ) 6 π 54 0 π )× = 0 ,5 + 6 6 54 0 ≈ 0 ,5 + 0,8660 × 0,0 058 ≈ 0 ,50 50 C Bài tập rèn luyện 5. 21 Tính vi phân của hàm. .. π ≈ 0 ,5 + 0,8660 × 0,0174 =0 ,51 50 6 180 b) Xét hàm số f(x) = cosx ta có f’(x) = -sinx với x tính bằng radian Với x0 = 600 = π 3 và Δ x = 30’ = Vậy cos60030’ ≈ cos( π 3 ) – sin( π 3 π 360 ) π 360 ≈ 0 ,5 – 0,8660 × 0,0087 www.saosangsong.com.vn d) y = xcos2x 24 Chương 5 : Đạo hàm ≈ 0 ,5 – 0,00 75 = 0,49 25 5 Đạo hàm cấp cao A.Tóm tắt giáo khoa 1.Đònh nghóa Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) Nếu hàm số... 1)2 §3 Đạo hàm của các hàm số lượng giác A.Tóm tắt giáo khoa sin x x →0 x 1.Giới hạn lim www.saosangsong.com.vn 16 Chương 5 : Đạo hàm Đònh lí 1 : Ta có sin x =1 x →0 x lim (với x tính bằng rad) 2 Đạo hàm của các hàm số lượng giác a) Đạo hàm của hàm số y = sinx Đònh lí 2 : Với mọi x ∈ R , ta có (sinx)’ = cosx Hệ quả 1 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì : (sinu)’ = (cosu).u’ b) Đạo hàm của hàm. .. hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), kí hiệu f ”(x) hay f(n+2)(x) Tổng quát : Đạo hàm cấp n ( n ∈ N , n ≥ 2 ) của hàm số y = f(x) ,kí hiệu là f(n)(x) hay y(n) , là đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) của hàm số f(x) Vậy f(n) (x) = [f(n-1) x]’ 2 Ý nghóa cơ học của đạo hàm cấp hai Xét một chất điểm chuyển động có phương trình... tính đạo hàm của các hàm số sau : www.saosangsong.com.vn 13 Chương 5 : Đạo hàm a) y = x +1 x2 + 2 b) y = ⎛ − x2 + 3x + 2 ⎞ d) y = ⎜ ⎟ x +1 ⎝ ⎠ 2 x2 − x + 3 x2 − x + 2 2 c) y = x2 + 1 3x + 5 e) y = 5. 12 Tính đạo hàm của các hàm số sau a) y = x 4 − 2 x 2 + 5 d)y = b) y = x 2 − 3 x + 2 2 x 2 − 3x + 2 2x +1 2 x2 − 3x + 1 2x − 5 x x +1 e) y = 2 2x − 7 3− x x f )y = x +1 c) y = 5. 13 Tính đạo hàm của các hàm. .. Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì : (cosu)’ = (- sinu).u’ c) Đạo hàm của hàm số y = tanx Đònh lí 4 : Với mọi x ≠ π 2 + kπ ( k ∈ Z) , ta có (tanx)’ = 1 =1 + tan2x 2 cos x Hệ quả 3 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x) ≠ ( k ∈ Z) trên J thì: (tanu)’ = π 2 + kπ 1 u ' = [1 + tan2u).u’ cos 2u d) Đạo hàm của hàm số y = cotx 1 = - (1 + cot2x) 2 sin x Hệä quả 4 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm. .. y = 1 − cos x 1 + cos x 5. 20 Tính đạo hàm các hàm số : a) y = sin2x + cos 3x d) y = 1 + tan 4x π b) y = sin33x c) y = cos4 (2x - e) y = (1 – sinx)(1 + tan2 x) f) y = cos2 x( 1 + sin2x) 5. 21 Tính đạo hàm các hàm số sau và giải thích kết quả www.saosangsong.com.vn 3 ) 20 Chương 5 : Đạo hàm a) y = sin6 x + cos6 x + 3sin2 x cos2 x b) y = sin 6 x + cos6 x − 1 sin 4 x + cos 4 x − 1 5. 22 Cho y = cos2x - 2... x + 13 (2 x − 5) 2 ' ⎛ − x 2 + 3x + 2 ⎞⎛ − x 2 + 3x + 2 ⎞ ⎛ − x 2 + 3x + 2 ⎞ − x 2 − 2 x + 1 d ) y ' = 2 ⎜ = 2 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ 2 x +1 x +1 x +1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( x + 1) 2(− x 2 + 3 x + 2)(− x 2 − 2 x + 1) = ( x + 1)3 ' ⎛ x 2 + 1) ⎞ 3x 2 + 10 x − 3 ⎜ ⎟ 3x + 5 ⎠ 3x 2 + 10 x − 3 (3 x + 5) 2 d) y = ⎝ = = 2 ( x 2 + 1)(3x + 5) 3 x2 + 1 x2 + 1 2 2 3x + 5 3x + 5 www.saosangsong.com.vn 15 Chương 5 : Đạo hàm 5. 12.a ) y '... x sin x 2 cos x(cos x + sin x)sin x Vậy y’ = 0 C .Bài tập rèn luyện 5. 17 Tìm giới hạn sau : 1 − cos 2 2 x a) lim x →0 x sin x cos 2 x d) lim π x→ 4 x − π 4 1 − cos x tan x − sin x c) lim 2 x→0 tan x x3 1 − cos x cos 2 x π e) lim f) lim( x sin ) 2 x →0 x →∞ x x b) lim x→0 5. 18 Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của hàm số y = cos2x 5. 19 Tính đạo hàm của các hàm số a) y = xcosx – sinx b) y = cos3x d) y = x . = 5u 4 u’ = 5( x 2 + 3x + 1) 4 (x 2 +3x + 1 )’= 5( x 2 +3x +1 ) 4 (2x + 3) Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 9 () () ()() () b) Hàm số cho có dạng : 5 432 32 2 5 32 32 32' 53 236 ' ' 2 232 232 xx x xxx u yuy u xx xx ⎡⎤ ++ ++. của đạo hàm : Cho hàm số y = . Ý nghóa hình học 3 M x 0 f(x 0 ) ϕ Hệ số góc của tiếp f ( x ) có đạo hàm tại điểm x o , đồ thò của hàm số là ( C ) . Đònh lý : Đạo hàm của hàm số. d) y = 1 4x + tại x o = 0 5. 2 . Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (x – 3) 2 b) y = 25 3 x x − + c) y = x 1 x − 5. 3 .Cho biết hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = a là f’(a) , tìm

Ngày đăng: 23/10/2014, 00:00

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w