Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh file word có lời giải chi tiết

Tuyển tập cơng thức thủ thuật tính nhanh – mơn Tốn CƠNG THỨC VÀ THỦ THUẬT TÍNH NHANH BÀI TỐN CỰC TRỊ SỐ PHỨC Bài tốn bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn z Phương pháp chung + Bước 1: Tìm tập hợp  H  điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*) + Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M � H  cho khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Môđun lớn số phức z A z max  B z max  C z max  D z max  2 Lời giải zmax nửa độ dài đường chéo hình vng cạnh � Chọn đáp án C Ví dụ 2: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Môđun nhỏ số phức z A z  B z  1 C z  D z  2 Lời giải zmin  , điểm biểu diễn điểm O � Chọn đáp án A Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Mơđun nhỏ số http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word phức z A z max  B z max  C z max  D z max  Lời giải Tam giác OAB có góc OAB góc tù nên    OZ OB z OB Vậy z max  � Chọn đáp án C Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Mơđun nhỏ số phức z A z  C z  B z  D z  Lời giải Tam giác OAB có góc OBA góc tù nên    OA OB z OB Vậy z  � Chọn đáp án A Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường elip hình vẽ bên Mơđun nhỏ số phức z A z  B z  C z  D z  Lời giải Elip có độ dài trục nhỏ 2b  � z  � Chọn đáp án A Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word phẳng tọa độ hình elip tơ đậm hình vẽ bên Mơđun lớn số phức z A z max  B z max  C z max  D z max  Lời giải Elip có độ dài trục lớn 2a  � z max  � Chọn đáp án B Ví dụ : Tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức z đường thẳng  hình vẽ Khi đó, z có giá trị nhỏ A B 1 C D Lời giải Phường trình d : x  y   �M �d Gọi M điểm biểu diễn hình học số phức z � � �z  OM Vì M �d : x  y   � M  t ;1  t  Suy z  t    t  Vậy z  2 1� 1 �2 � 1�  2t  2t   � t t  �   2� t  � � 4� 2 � � 2� 2 � Chọn đáp án D MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN TRỌNG THƯỜNG GẶP Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z   a  bi   c ,  c   , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn z Lời giải z   a  bi   c,  c   � Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn có tâm I  a; b  bán kính R  c � max z  OM  OI  R  a  b  c � Khi : ���� � z  OM  OI  R  a  b  c � � z OM Tìm tọa độ điểm M , M (tức là, tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn nhất) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word + Phương trình đường tròn  C  quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z là:  C  :  x  a   y  b  c2 + Phương trình đường thẳng d qua hai điểm O, I d : Ax  By  C  Khi đó, M , M giao điểm  C  d � �  x  a    y  b  c2 � Giải hệ phương trình: � hai nghiệm � tọa độ hai điểm �Ax  By  C  2 So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm tới O , khoảng cách nhỏ điểm ứng với điểm M điểm lại điểm M Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z  z2  r ,  r   Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn z � �max z  � Giải � �min z  � � z2 r  z1 z1 z2 r  z1 z1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Nếu số phức z thỏa mãn z   4i  z có giá trị lớn A B C D 13 Lời giải Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  2;  bán kính R Vậy max z  OM  OI  R  22  42   � Chọn đáp án A Câu hỏi bổ sung 1: z có giá trị nhỏ bao nhiêu? Trả lời: z  ON  OI  R  22  42   Câu hỏi bổ sung 2: Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn Trả lời: Phương trình đường thẳng OI y  x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tọa độ hai điểm M , N nghiệm hệ phương trình: � � �y  x �y  x � � � 2 2  x  2   y  4  x  2   2x  4 � � � �x  � N  1;  � � y  �y  x � � �2 �� � 5 �x  �x  x   � � M  3;6  � � �y  + Số phức z có mơđun lớn z   6i ứng với điểm M  3;  + Số phức z có mơđun nhỏ z   2i ứng với điểm N  1;  Ví dụ 2[Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 1]: Nếu số phức z thỏa mãn   i  z   7i  z có giá trị lớn A B C D Lời giải �  7i � Ta có:   i  z   7i  �   i  �z  � � 1 i � �  i z    4i   z    4i   � z    4i   Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  3;  bán kính R  Vậy max z  OI  R  32  42   � Chọn đáp án D 2  3i z   z có giá trị nhỏ  2i D Lời giải Ví dụ 3: Nếu số phức z thỏa mãn A Ta có: B C 2  3i z   � iz   � i z   � z  i  � z   i    2i i Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  0; 1 bán kính R  Vậy max z  OI  R  02   1   � Chọn đáp án B Bài toán 2: Trong số phức z thỏa mãn z  z1  r1 ,  r1   Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P  z  z2 Lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọi I  z1  , A  z2  , M  z  max P  AM  r1  r2 � Khi đó: IA  z1  z2  r2 � � P  AM  r1  r2 � Muốn tìm số phức cho Pmax , Pmin ta tìm hai giao điểm M , M đường tròn  I , r1  với đường thẳng AI Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z  z2  r1 ,  r1   Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P  z  z3 Giải: max P  z2 r z r  z3  P   z3  z1 z1 z1 z1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Giá trị nhỏ z   i A B C D Lời giải � � � Ta có: z   2i  z    2i  �  r1 z   i  z   1  i  123 �1 � z2 � z1 � � z1  z2    2i    1  i    r2 � z   i    � Chọn đáp án B Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn z  5i �3 , số phức có z nhỏ có phần ảo bao nhiêu? A B C D Lời giải Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  0;5  bán kính R  Vì z  OM nên số phức z có mơđun nhỏ z  2i ứng với điểm M  0;  � Chọn đáp án C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ [ Trích đề thi HK – THPT Phan Đình Phùng – HN]: Trong tất số phức z thỏa mãn z   2i  ,gọi z  a  bi,  a, b �� số phức có z  4i đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P  a  b  2 A P   B P    C P   2 D P   2 Lời giải 4i  � A  0; 4  Ta có: z   2i  z    2i   � I  2; 2  z  4i  z  { 14 43 z2 z1 Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  2; 2  bán kính r1  Phương trình đường thẳng IA là: x  y   Tọa độ hai điểm M , N nghiệm hệ phương trình: �y  x  �x  y   �y  x  � � � �� �� � 2 2  x     y    � x     x     � x    � � 1 � � x  2 x  2 �y  x  � � � � 1 � � � � � �� �� � M1 � 2 ; 2  ; M2 � 2 ; 2  �� � � 2� � 2� � �x   � �y  2  �y  2  � � � � � �uuuur � �AM  �2  � � Khi � uuuu r � �u AM  �2  � � � 1 � ;2  � 2� � AM  AM � M điểm biểu diễn số phức cần tìm 1 � ;2 � 2� � a  2 � � � z  a bi � � z  2 � 2  i ���� � � P  a  b     � Chọn đáp án A � 2 � 2� � b  2  � � Bài toán 3: Trong số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2  k ,  k   Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P z Lời giải Gọi M  z  , M  z1  , M  z2  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khi : z  z1  z  z2  k � MM  MM  k � M elip  E  nhận M , M làm tiêu điểm có độ dài trục lớn k  2a Vì chương trình Tốn lớp 10, học elip có hai tiêu điểm F1  c;  , F1  c;  nên thường đề cho dạng: z  c  z  c  k ,   c, k �� � M �elip  E  nhận F1  c;0  , F1  c;0  làm tiêu điểm có độ dài trục lớn k  2a k � z max  a  � � � � 2 �z  b  k  4c � � Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z  z  z1.z  z2  k , Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P  z k  z2 k Giải: max z  z  z1 z1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ: Trong tất số phức z thỏa mãn z   z   10 , gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Khi đó, giá trị biểu thức P  M  m A P  6 B P  13 C P  5 D P  4 Lời giải 10 � M  z max  5 � � � P  M  m   32  4 Áp dụng công thức trên, ta có: � 2 10  4.4 � m  z  3 � � � Chọn đáp án D Bài toán 4: Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1  z2  m  ni z1  z2  p  Tìm giá trị lớn P  z1  z Lời giải ac m �z1  a  bi � � z1  z2  a  c   b  d  i  m  ni � � Giả sử: � cd  n � �z2  c  di http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta có: z1  z2  a  c   b  d  i � z1  z   a  c    b  d   p 2 2 2 Khi đó: P  z1  z2  a  b  c  d �  12  12  �  a2  b2    c2  d  � � �  a  b  c  d  Mà a  b  c  d 2 2  a  c    b  d    a  c   b  d  m2  n2  p  2 Suy ra:  a  b �c  d  m2 n2 p2 2 m2 n P p2 max P m2 n2 p2 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ [Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 4]: Với hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2   6i z1  z  Tìm giá trị lớn P  z1  z B  A D 34  C 26 Lời giải Áp dụng công thức ta : P  z1  z2 � 82  62  2  26 � Chọn đáp án C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN Câu Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Giá trị lớn giá trị nhỏ z A 2  1; 2  B C 2;1 D  1;   1;  Câu 2.Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Giá trị nhỏ z A B C 5 D Câu Trong số phức z thỏa mãn z   4i  z số phức z có mơđun nhỏ A z  11 i B z   2i C z  5  i 2 D z  3  i Câu Trong số phức z thỏa mãn z   4i  z  2i số phức z có mơđun nhỏ A z  2  2i B z  2  2i C z   2i D z   2i Câu Trong số phức z thỏa mãn z   4i  z , biết số phức z  a  bi,  a, b �� có mơđun nhỏ Khi đó, giá trị P  a  b A P  B P  C P   D P   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu Trong số phức z thỏa mãn z   5i  z   i , biết số phức z  a  bi ,  a, b �� có a mơđun nhỏ Khi đó, tỉ số b A B C 3 D P   Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  Giá trị lớn z  A 1 B 1 C D Câu Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tích giá trị lớn giá trị nhỏ z  i A B C D Câu Cho số phức z thỏa mãn   i  z   Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z  A B 2 C D Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn z   2i  10 Giá trị lớn z   4i A> 10 B 10 C 10 D 10 Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z   i Giá trị T  M  m A T  50 B T  64 C T  68 D T  16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10 ...  D z  Lời giải Elip có độ dài trục nhỏ 2b  � z  � Chọn đáp án A Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word phẳng... z max  Lời giải Elip có độ dài trục lớn 2a  � z max  � Chọn đáp án B Ví dụ : Tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức z đường thẳng  hình vẽ Khi đó, z có giá trị nhỏ A B 1 C D Lời giải Phường... thỏa mãn z  5i �3 , số phức có z nhỏ có phần ảo bao nhiêu? A B C D Lời giải Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  0;5  bán kính R  Vì z  OM nên số phức z có mơđun nhỏ z  2i ứng với điểm