Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh file word có lời giải chi tiết

Tuyển tập cơng thức thủ thuật tính nhanh – mơn Tốn CƠNG THỨC VÀ THỦ THUẬT TÍNH NHANH BÀI TỐN CỰC TRỊ SỐ PHỨC Bài tốn bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn z Phương pháp chung + Bước 1: Tìm tập hợp ( H ) điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*) + Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ∈ ( H ) cho khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Mơđun lớn số phức z A z max = B z max = C z max = D z max = 2 Lời giải zmax nửa độ dài đường chéo hình vng cạnh ⇒ Chọn đáp án C Ví dụ 2: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Môđun nhỏ số phức z A z = B z = −1 C z = D z = 2 Lời giải zmin = , điểm biểu diễn điểm O ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Mơđun nhỏ số http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word phức z A z max = B z max = C z max = D z max = Lời giải Tam giác OAB có góc OAB góc tù nên OZ < OB ⇒ z ≤ OB = Vậy z max = ⇒ Chọn đáp án C Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Mơđun nhỏ số phức z A z = C z = B z = D z = Lời giải Tam giác OAB có góc OBA góc tù nên OA > OB ⇒ z ≥ OB = Vậy z = ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường elip hình vẽ bên Mơđun nhỏ số phức z A z = B z = C z = D z = Lời giải Elip có độ dài trục nhỏ 2b = ⇒ z = ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word phẳng tọa độ hình elip tơ đậm hình vẽ bên Môđun lớn số phức z A z max = B z max = C z max = D z max = Lời giải Elip có độ dài trục lớn 2a = ⇒ z max = ⇒ Chọn đáp án B Ví dụ : Tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức z đường thẳng ∆ hình vẽ Khi đó, z có giá trị nhỏ A B 1 C D Lời giải Phường trình d : x + y − =  M ∈ d Gọi M điểm biểu diễn hình học số phức z ⇒   z = OM Vì M ∈ d : x + y − = ⇒ M ( t ;1 − t ) Suy z = t + ( − t ) Vậy z = 2 1 1   1 = 2t − 2t + =  t − t + ÷+ =  t − ÷ + ≥ 4 2   2 2 ⇒ Chọn đáp án D MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN TRỌNG THƯỜNG GẶP Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z − ( a + bi ) = c , ( c > ) , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn z Lời giải z − ( a + bi ) = c, ( c > ) ⇒ Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I ( a; b ) bán kính R = c  max z = OM = OI + R = a + b + c  Khi : →   z = OM = OI − R = a + b − c z =OM Tìm tọa độ điểm M , M (tức là, tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn nhất) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word + Phương trình đường trịn ( C ) quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z là: ( C ) : ( x − a) + ( y − b ) = c2 + Phương trình đường thẳng d qua hai điểm O, I d : Ax + By + C = Khi đó, M , M giao điểm ( C ) d 2 ( x − a ) + ( y − b ) = c ⇒ hai nghiệm ⇒ tọa độ hai điểm Giải hệ phương trình:   Ax + By + C = So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm tới O , khoảng cách nhỏ điểm ứng với điểm M điểm lại điểm M Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z + z2 = r , ( r > ) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn z   max z =  Giải   z =   z2 r + z1 z1 z2 r − z1 z1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Nếu số phức z thỏa mãn z − − 4i = z có giá trị lớn A B C D 13 Lời giải Tập hợp điểm M ( z ) đường trịn có tâm I ( 2; ) bán kính R= Vậy max z = OM = OI + R = 2 + + = ⇒ Chọn đáp án A Câu hỏi bổ sung 1: z có giá trị nhỏ bao nhiêu? Trả lời: z = ON = OI − R = 2 + − = Câu hỏi bổ sung 2: Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn Trả lời: Phương trình đường thẳng OI y = x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tọa độ hai điểm M , N nghiệm hệ phương trình:  y = x  y = x ⇔   2 2 ( x − ) + ( y − ) ( x − ) + ( x − )  x = ⇒ N ( 1; )  y =  y = 2x  ⇔ ⇔  x = =5 x − 4x + =  ⇒ M ( 3;6 )   y = + Số phức z có mơđun lớn z = + 6i ứng với điểm M ( 3;6 ) + Số phức z có mơđun nhỏ z = + 2i ứng với điểm N ( 1; ) Ví dụ 2[Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 1]: Nếu số phức z thỏa mãn ( + i ) z + − 7i = z có giá trị lớn A B C D Lời giải  − 7i  Ta có: ( + i ) z + − 7i = ⇔ ( + i )  z + ÷= 1+ i   ⇔ + i z − ( + 4i ) = z − ( + 4i ) = ⇔ z − ( + 4i ) = Tập hợp điểm M ( z ) đường trịn có tâm I ( 3; ) bán kính R = Vậy max z = OI + R = 32 + 42 + = ⇒ Chọn đáp án D −2 − 3i z + = z có giá trị nhỏ − 2i D Lời giải Ví dụ 3: Nếu số phức z thỏa mãn A Ta có: B C −2 − 3i z + = ⇔ −iz + = ⇔ −i z + = ⇔ z + i = ⇔ z − ( −i ) = − 2i −i Tập hợp điểm M ( z ) đường trịn có tâm I ( 0; −1) bán kính R = Vậy max z = OI + R = + ( −1) + = ⇒ Chọn đáp án B Bài toán 2: Trong số phức z thỏa mãn z − z1 = r1 , ( r1 > ) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P = z − z2 Lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọi I ( z1 ) , A ( z2 ) , M ( z ) max P = AM = r1 + r2 Khi đó: IA = z1 − z2 = r2 ⇒  min P = AM = r1 − r2 Muốn tìm số phức cho Pmax , Pmin ta tìm hai giao điểm M , M đường tròn ( I , r1 ) với đường thẳng AI Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z − z2 = r1 , ( r1 > ) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P = z − z3 Giải: max P = z2 r z r − z3 + P = − z3 − z1 z1 z1 z1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Giá trị nhỏ z + − i A B C D Lời giải    Ta có: z − + 2i = z − ( − 2i ) ÷ = = r1 z + − i = z − ( −1 + i ) 123 1 ÷ z2  z1  ⇒ z1 − z2 = ( − 2i ) − ( −1 + i ) = = r2 ⇒ z + − i = − = ⇒ Chọn đáp án B Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn z − 5i ≤ , số phức có z nhỏ có phần ảo bao nhiêu? A B C D Lời giải Tập hợp điểm M ( z ) đường trịn có tâm I ( 0;5 ) bán kính R = Vì z = OM nên số phức z có mơđun nhỏ z = 2i ứng với điểm M ( 0; ) ⇒ Chọn đáp án C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ [ Trích đề thi HK – THPT Phan Đình Phùng – HN]: Trong tất số phức z thỏa mãn z − + 2i = ,gọi z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) số phức có z + 4i đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P = a ( b + 2) A P = − B P = − − C P = + 2 D P = − 2 Lời giải −4i ) ⇒ A ( 0; −4 ) Ta có: z − + 2i = z − ( − 2i ) = ⇒ I ( 2; −2 ) z + 4i = z − ({ 14 43 z2 z1 Tập hợp điểm M ( z ) đường trịn có tâm I ( 2; −2 ) bán kính r1 = Phương trình đường thẳng IA là: x − y − = Tọa độ hai điểm M , N nghiệm hệ phương trình: y = x −  x − y − =  y = x −  ⇔ ⇔  2 2 ( x − ) + ( y + ) = ( x − ) + ( x − + ) = ( x − ) =  1   x = 2+ x = 2− y = x −   1  1       ⇔ ∨ ⇒ M1  + ; −2 + ;M2 2− ; −2 − ⇔ ÷ ÷ 2 2   x − = ±  y = −2 +  y = −2 −     uuuur   AM =  +   Khi  uuuu r  u AM =  −   1  ;2 + ÷ 2 ⇒ AM > AM ⇒ M điểm biểu diễn số phức cần tìm 1  ;2 − ÷ 2  a = 2−     z = a + bi ⇒ z = 2− +  −2 − ⇒ P = a ( b + ) = − ⇒ Chọn đáp án A ÷i →  2  2 b = −2 −  Bài toán 3: Trong số phức z thỏa mãn z − z1 + z − z2 = k , ( k > ) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P= z Lời giải Gọi M ( z ) , M ( z1 ) , M ( z2 ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khi : z − z1 + z − z2 = k ⇔ MM + MM = k ⇔ M elip ( E ) nhận M , M làm tiêu điểm có độ dài trục lớn k = 2a Vì chương trình Tốn lớp 10, học elip có hai tiêu điểm F1 ( −c; ) , F1 ( c;0 ) nên thường đề cho dạng: z − c + z − c = k , ( < c, k ∈ ¡ ) ⇒ M ∈ elip ( E ) nhận F1 ( −c;0 ) , F1 ( c; ) làm tiêu điểm có độ dài trục lớn k = 2a k   z max = a = ⇒  2  z = b = k − 4c  Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z + z2 + z1.z − z2 = k , Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P = z k − z2 k Giải: max z = z = z1 z1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ: Trong tất số phức z thỏa mãn z + + z − = 10 , gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Khi đó, giá trị biểu thức P = M − m A P = −6 B P = −13 C P = −5 D P = −4 Lời giải 10   M = z max = = ⇒ P = M − m = − 32 = − Áp dụng công thức trên, ta có:  2  m = z = 10 − 4.4 =  ⇒ Chọn đáp án D Bài toán 4: Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1 + z2 = m + ni z1 − z2 = p > Tìm giá trị lớn P = z1 + z2 Lời giải  z1 = a + bi a + c = m ⇒ z1 + z2 = a + c + ( b + d ) i = m + ni ⇒  Giả sử:  c + d = n  z2 = c + di http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta có: z1 − z2 = a − c + ( b − d ) i ⇒ z1 − z2 = ( a − c ) + ( b − d ) = p 2 (1 Khi đó: P = z1 + z2 = a + b + c + d ≤ Mà a + b + c + d 2 2 ( a + c) = 2 + 12 ) ( a + b ) + ( c + d )  = ( a + b + c + d ) + ( b + d ) + ( a − c) + ( b − d ) m + n2 + p = 2 2 Suy ra: ( a + b + c + d ) = m + n + p ⇒ P ≤ m + n + p ⇒ max P = m + n + p VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ [Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 4]: Với hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = + 6i z1 − z2 = Tìm giá trị lớn P = z1 + z2 B + A D 34 + C 26 Lời giải Áp dụng công thức ta : P = z1 + z2 ≤ 82 + 62 + 22 = 26 ⇒ Chọn đáp án C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN Câu Cho số phức z thỏa mãn z + − 2i = Giá trị lớn giá trị nhỏ z A 2 + 1; 2 − B C 2;1 D + 1; − + 1; − Câu 2.Cho số phức z thỏa mãn z + + 2i = Giá trị nhỏ z A B C 5 D Câu Trong số phức z thỏa mãn z − + 4i = z số phức z có môđun nhỏ A z = 11 +i B z = − 2i C z = −5 − i 2 D z = −3 + i Câu Trong số phức z thỏa mãn z − − 4i = z − 2i số phức z có mơđun nhỏ A z = −2 + 2i B z = −2 − 2i C z = − 2i D z = + 2i Câu Trong số phức z thỏa mãn z − + 4i = z , biết số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ nhỏ Khi đó, giá trị P = a − b A P = B P = C P = − D P = − ) có mơđun http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word Câu Trong số phức z thỏa mãn z + − 5i = z + − i , biết số phức z = a + bi , ( a, b ∈ ¡ a môđun nhỏ Khi đó, tỉ số b A B C 3 ) có D P = − Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − − i = Giá trị lớn z − A +1 B −1 C D Câu Cho số phức z thỏa mãn z + − 2i = Tích giá trị lớn giá trị nhỏ z − i A B C D Câu Cho số phức z thỏa mãn ( + i ) z + = Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z − A B 2 C D Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = 10 Giá trị lớn z + − 4i A> 10 B 10 C 10 D 10 Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn z − − 2i = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z + + i Giá trị T = M + m A T = 50 B T = 64 C T = 68 D T = 16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10 ... = D z = Lời giải Elip có độ dài trục nhỏ 2b = ⇒ z = ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word phẳng... z max = Lời giải Elip có độ dài trục lớn 2a = ⇒ z max = ⇒ Chọn đáp án B Ví dụ : Tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức z đường thẳng ∆ hình vẽ Khi đó, z có giá trị nhỏ A B 1 C D Lời giải Phường... thỏa mãn z − 5i ≤ , số phức có z nhỏ có phần ảo bao nhiêu? A B C D Lời giải Tập hợp điểm M ( z ) đường trịn có tâm I ( 0;5 ) bán kính R = Vì z = OM nên số phức z có môđun nhỏ z = 2i ứng với điểm