Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh có lời giải chi tiết

Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiết

Tuyển tập cơng thức thủ thuật tính nhanh – mơn Tốn CƠNG THỨC VÀ THỦ THUẬT TÍNH NHANH BÀI TỐN CỰC TRỊ SỐ PHỨC Bài tốn bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn z Phương pháp chung + Bước 1: Tìm tập hợp  H  điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*) + Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M   H  cho khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Mơđun lớn số phức z A z max  B z max  C z max  D z max  2 Lời giải zmax nửa độ dài đường chéo hình vng cạnh  Chọn đáp án C Ví dụ 2: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Môđun nhỏ số phức z A z  B z  1 C z  D z  2 Lời giải zmin  , điểm biểu diễn điểm O  Chọn đáp án A Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Mơđun nhỏ số phức z A z max  B z max  C z max  D z max  Lời giải Tam giác OAB có góc OAB góc tù nên OZ  OB  z  OB  Vậy z max   Chọn đáp án C Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Mơđun nhỏ số phức z A z  C z  B z  D z  Lời giải Tam giác OAB có góc OBA góc tù nên OA  OB  z  OB  Vậy z   Chọn đáp án A Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường elip hình vẽ bên Mơđun nhỏ số phức z A z  B z  C z  D z  Lời giải Elip có độ dài trục nhỏ 2b   z   Chọn đáp án A Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình elip tơ đậm hình vẽ bên Mơđun lớn số phức z A z max  B z max  C z max  Lời giải D z max  Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 Elip có độ dài trục lớn 2a   z max   Chọn đáp án B Ví dụ : Tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức z đường thẳng  hình vẽ Khi đó, z có giá trị nhỏ A B 1 C D Lời giải Phường trình d : x  y    M  d Gọi M điểm biểu diễn hình học số phức z    z  OM Vì M  d : x  y    M  t;1  t  1 1   1 Suy z  t  1  t   2t  2t    t  t      t     4 2   2 Vậy z   Chọn đáp án D MỘT SỐ BÀI TỐN QUAN TRỌNG THƯỜNG GẶP Bài tốn 1: Cho số phức z thỏa mãn z   a  bi   c ,  c   , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn z Lời giải z   a  bi   c,  c    Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn có tâm I  a; b  bán kính R  c max z  OM  OI  R  a  b  c  Khi :   min z  OM1  OI  R  a  b  c z OM Tìm tọa độ điểm M1 , M (tức là, tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn nhất) + Phương trình đường tròn  C  quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z là: C  :  x  a    y  b 2  c2 + Phương trình đường thẳng d qua hai điểm O, I d : Ax  By  C  Khi đó, M1 , M giao điểm  C  d  x  a 2   y  b 2  c  hai nghiệm  tọa độ hai điểm Giải hệ phương trình:   Ax  By  C  So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm tới O , khoảng cách nhỏ điểm ứng với điểm M điểm lại điểm M Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z  z2  r ,  r   Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn z  max z   Giải  min z    z2 r  z1 z1 z2 r  z1 z1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Nếu số phức z thỏa mãn z   4i  z có giá trị lớn A B C D 13 Lời giải Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  2;  bán kính R Vậy max z  OM  OI  R  22  42    Chọn đáp án A Câu hỏi bổ sung 1: z có giá trị nhỏ bao nhiêu? Trả lời: z  ON  OI  R  22  42   Câu hỏi bổ sung 2: Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn Trả lời: Phương trình đường thẳng OI y  x Tọa độ hai điểm M , N nghiệm hệ phương trình:  y  x  y  x    2 2  x     y    x     x    x   N 1;   y   y  2x     x    x2  x     M  3;6    y  + Số phức z có mơđun lớn z   6i ứng với điểm M  3;6  + Số phức z có mơđun nhỏ z   2i ứng với điểm N 1;  Ví dụ 2[Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 1]: Nếu số phức z thỏa mãn 1  i  z   7i  z có giá trị lớn A B C D Lời giải   7i  Ta có: 1  i  z   7i   1  i   z   1 i     i z    4i   z    4i    z    4i   Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  3;  bán kính R  Vậy max z  OI  R  32  42    Chọn đáp án D Ví dụ 3: Nếu số phức z thỏa mãn A 2  3i z   z có giá trị nhỏ  2i B C D Lời giải Ta có: 2  3i z    iz    i z    z  i   z   i    2i i Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  0; 1 bán kính R  Vậy max z  OI  R  02   1    Chọn đáp án B Bài toán 2: Trong số phức z thỏa mãn z  z1  r1 ,  r1   Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P  z  z2 Lời giải Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 Gọi I  z1  , A  z2  , M  z   max P  AM1  r1  r2 Khi đó: IA  z1  z2  r2    min P  AM  r1  r2 Muốn tìm số phức cho Pmax , Pmin ta tìm hai giao điểm M1 , M đường tròn  I , r1  với đường thẳng AI Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z  z2  r1 ,  r1   Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P  z  z3 Giải: max P  z2 r z r  z3  P   z3  z1 z1 z1 z1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Giá trị nhỏ z   i A B C D Lời giải   Ta có: z   2i  z     2i     r1 z   i  z   1  i  1  z2  z1   z1  z2    2i    1  i    r2  z   i     Chọn đáp án B Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn z  5i  , số phức có z nhỏ có phần ảo bao nhiêu? A B C D Lời giải Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  0;5 bán kính R  Vì z  OM nên số phức z có mơđun nhỏ z  2i ứng với điểm M1  0;   Chọn đáp án C Ví dụ [ Trích đề thi HK – THPT Phan Đình Phùng – HN]: Trong tất số phức z thỏa mãn z   2i  ,gọi z  a  bi,  a, b  ¡  số phức có z  4i đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P  a b  2 A P   1 C P   2 Lời giải B P    D P   2 Ta có: z   2i  z    2i    I  2; 2  z  4i  z   4i   A  0; 4  { 14 43 z1 z2 Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  2; 2  bán kính r1  Phương trình đường thẳng IA là: x  y   Tọa độ hai điểm M , N nghiệm hệ phương trình: y  x   x  y    y  x      2 2  x  2    x     y      x     x       1   x   x   y  x  1  1          M1   ; 2  ; M2   ; 2     2 2   x     y  2   y  2        uuuur   AM      Khi  uuuuur   AM      1  ;2   2  AM  AM  M điểm biểu diễn số phức cần tìm 1  ;2   2  a  2     z  a  bi  z  2   2   P  a  b      Chọn đáp án A  i   2  2 b  2    Bài toán 3: Trong số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2  k ,  k   Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P z Lời giải Gọi M  z  , M1  z1  , M  z2  Khi : z  z1  z  z2  k  MM1  MM  k  M elip  E  nhận M1 , M làm tiêu điểm có độ dài trục lớn k  2a Vì chương trình Tốn lớp 10, học elip có hai tiêu điểm F1  c;0  , F1  c;0  nên thường đề cho dạng: z  c  z  c  k ,   c, k ¡   M  elip  E  nhận F1  c;0  , F1  c;0  làm tiêu điểm có độ dài trục lớn k  2a k  z  a  max    2  z  b  k  4c  Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z  z2  z1.z  z2  k , Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P  z k  z2 k Giải: max z  z  z1 z1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ: Trong tất số phức z thỏa mãn z   z   10 , gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Khi đó, giá trị biểu thức P  M  m2 B P  13 A P  6 C P  5 D P  4 Lời giải 10   M  z max   Áp dụng cơng thức trên, ta có:   P  M  m2   32  4 2 m  z  10  4.4    Chọn đáp án D Bài toán 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  m  ni z1  z2  p  Tìm giá trị lớn P  z1  z2 Lời giải  z1  a  bi a  c  m  z1  z2  a  c   b  d  i  m  ni   Giả sử:  c  d  n  z2  c  di Ta có: z1  z2  a  c   b  d  i  z1  z2   a  c    b  d   p Khi đó: P  z1  z2  a  b2  c  d  Mà a  b  c  d 2 1 2 2  12   a  b    c  d    a  b  c  d   a  c   b  d    a  c   b  d   2 2  m2  n  p 2 Suy ra:  a  b2  c  d   m2  n2  p  P  m2  n2  p  max P  m2  n2  p Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: VÍ DỤ MINH HỌA HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 Ví dụ [Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 4]: Với hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2   6i z1  z2  Tìm giá trị lớn P  z1  z2 B  A C 26 D 34  Lời giải Áp dụng công thức ta : P  z1  z2  82  62  22  26  Chọn đáp án C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN Câu Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Giá trị lớn giá trị nhỏ z A 2  1;2  B  1;  C 2;1 D  1;  Câu 2.Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Giá trị nhỏ z A B C 5 D Câu Trong số phức z thỏa mãn z   4i  z số phức z có mơđun nhỏ A z  11 i B z   2i C z  5  i D z  3  i Câu Trong số phức z thỏa mãn z   4i  z  2i số phức z có mơđun nhỏ A z  2  2i B z  2  2i C z   2i D z   2i 10 Câu Trong số phức z thỏa mãn z   4i  z , biết số phức z  a  bi,  a, b  ¡  có mơđun nhỏ Khi đó, giá trị P  a  b A P  B P  C P   D P   Câu Trong số phức z thỏa mãn z   5i  z   i , biết số phức z  a  bi ,  a, b  ¡ mơđun nhỏ Khi đó, tỉ số A  có a b B C D P   Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  Giá trị lớn z  A 1 B 1 C D Câu Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tích giá trị lớn giá trị nhỏ z  i A B C D Câu Cho số phức z thỏa mãn   i  z   Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z  A B 2 C D Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn z   2i  10 Giá trị lớn z   4i A> 10 B 10 C 10 D 10 Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z   i Giá trị T  M  m2 A T  50 B T  64 C T  68 D T  16 11 12 ... z thỏa mãn z  5i  , số phức có z nhỏ có phần ảo bao nhiêu? A B C D Lời giải Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  0;5 bán kính R  Vì z  OM nên số phức z có mơđun nhỏ z  2i ứng với điểm...  z có giá trị lớn A B C D Lời giải   7i  Ta có: 1  i  z   7i   1  i   z   1 i     i z    4i   z    4i    z    4i   Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm... thỏa mãn A 2  3i z   z có giá trị nhỏ  2i B C D Lời giải Ta có: 2  3i z    iz    i z    z  i   z   i    2i i Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  0; 1 bán kính