2 1 CUC TRI

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC Khái niệm cực trị hàm số : Giả sử hàm số xác định tập hợp D ( D ⊂ ¡ ) x0 ∈ D x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn ( a;b) ⊂ D khoảng ( a;b) chứa điểm x0 cho: f  f(x) < f(x0) ∀x ∈ ( a;b) \ { x0} Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số f x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn ( a;b) ⊂ D khoảng ( a;b) chứa điểm x0 cho:  f(x) > f(x0) ∀x ∈ ( a;b) \ { x0} Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Nếu x0 điểm cực trị hàm số f ngư=ời ta nói hàm số f đạt cực trị điểm x0 Như : Điểm cực trị phải điểm tập hợp D Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số , f(x ) giá trị cực trị (hay cực trị ) hàm số Chú ý a)Giá trị cực đại (cực tiểu ) f(x0) hàm số f chưa GTLN (GTNN) hàm số f tập xác định D mà f(x0) GTLN (GTNN) hàm số f khoảng (a,b) ⊂ D (a;b) chứa x0 b)Nếu f’(x) không đổi dấu tập xác định D hàm số f hàm số f khơng có cực trị Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi , f có đạo hàm điểm x0 f '( x0 ) = Chú ý : • Đạo hàm f ' triệt tiêu điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 • Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm • Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số 0, hàm số khơng có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục khoảng ( a;b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng ( a;x0 ) ( x0;b) Khi : 48 f '( x0 ) < 0,x ∈ ( a;x0 ) Nếu  hàm số đạt cực tiểu điểm x0 f '( x0 ) > 0,x ∈ ( x0;b) f '( x0 ) > 0,x ∈ ( a;x0 ) Nếu  hàm số đạt cực đại điểm x0 f '( x0 ) < 0,x ∈ ( x0;b) Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng ( a;b) chứa điểm x0 , f '( x0 ) = f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Nếu f ''( x0 ) < hàm số f đạt cực đại điểm x0 Nếu f ''( x0 ) > hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 Chú ý : Nếu x0 điểm cực trị hàm số f điểm (x0;f(x0)) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f f '(x0 ) = định lý f ''(x0 ) = Trong trường hợp f '(x0 ) = không tồn  không dùng B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài tốn 01: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp giải Tìm tập xác định D hàm số f Tính f’(x) Tìm nghiệm phương trình f’(x) = (nếu có) tìm điểm x0 ∈ D mà hàm f liên tục f’(x0) khơng tồn Vận dụng định lý (lập bảng xét dấu f’(x) ) hay định lý (tính f’’(x)) để xác định điểm cực trị hàm số Chú ý: Cho hàm số y = f(x) xác định D Điểm x = x0 ∈ D điểm cực trị hàm số hai điều kiện sau thảo mãn: • Tại x = x0 đạo hàm triệt tiêu khơng tồn • Đạo hàm đổi dấu x qua x0 Các ví dụ Ví dụ : Tìm cực trị hàm số sau: y = 1− x2 x −x2 + x + 2x − Lời giải y= 49 1 Tập xác định : D = ¡ \ { 0} Ta có: y' = −1− < ∀x ∈ D , suy hàm số nghịch biến khoảng x2 xác định điểm cực trị Giới hạn : lim y = −∞ , lim y = +∞; lim y = +∞ , lim y = −∞ x→0− x→0+ x→−∞ x→+∞ Bảng biến thiên x -∞ - y' y +∞ +∞ +∞ -∞ -∞ Tập xác định : D = ¡ \ { 2}  x = , y = − Ta có: y' = , ∀x ∈ D: y' = ⇔  (x − 2)2 x = , y = −  lim y = +∞ , lim y = −∞ Giới hạn : lim− y = +∞ , lim+ y = −∞; −2x2 + 8x − x→2 x→−∞ x→2 x→+∞ Bảng biến thiên x -∞ - y' y + + +∞ - +∞ +∞ -1/2 CT CÑ -5/2 -∞ Hàm số đạt cực đại x = ,yCĐ = − x = ,yCT = − -∞ ,hàm số đạt cực tiểu 50 Ví dụ : Tìm cực trị hàm số sau: y = − x3 + 2x2 − 3x + y = ( x – 2) – 3x + Lời giải Tập xác định : D = ¡  x = , y(1) = −  Ta có: y' = −x + 4x − , ∀x ∈ D:y' = ⇔   x = , y(3) = 1 3 Giới hạn : lim y = lim x  − + − + ÷ = +∞ ; x→−∞ x→−∞  x x x   1 lim y = lim x3  − + − + ÷ = −∞ x→+∞ x→+∞  x x x3  Bảng biến thiên x -∞ - y' y + +∞ yCÑ -1/3 yCT Hàm số đạt cực tiểu x = 1và yCT = − -∞ ,hàm số đạt cực đại x = yCĐ = Tập xác định : D = ¡ Ta có: y' = 3( x – 2) – 3 , ∀x ∈ D:  x = 1,y(1) = y' = ⇔ 3(x − 2)2 = ⇔ (x − 2)2 = ⇔   x = 3,y(3) = −4 Giới hạn : lim y = +∞ , lim y = −∞ x→+∞ Bảng biến thiên 51 x→−∞ - +∞ x -∞ + y' y - +∞ + +∞ yCÑ yCT -4 -∞ Hàm số đạt cực tiểu x = yCT = −4 ,hàm số đạt cực đại x = 1và yCĐ = Ví dụ 3: Tìm cực trị hàm số sau: y = − x4 − x2 + 4 Lời giải Tập xác định : D = ¡ y = 2x3 + 3x + Ta có: y' = −x3 − 2x = −x(x2 + 2) , ∀x ∈ D: y' = ⇔ x = 0,y(0) = Giới hạn :  1  lim y = lim x4  − − + ÷ = −∞; x→−∞  x 4x4  x→−∞  1  lim y = lim x4  − − + ÷ = −∞ x→+∞ x→+∞  x 4x4  Bảng biến thiên x -∞ + y' +∞ - CÑ y -∞ -∞ Hàm số đạt cực đại điểm x = , yCĐ = Tập xác định : D = ¡ Ta có: y' = 6x2 + > ∀x ∈ D , suy hàm số đồng biến ¡ 1 1 3 3 Giới hạn : lim y = lim x  + + ÷ = −∞; lim y = lim x  + + ÷ = +∞ x→−∞ x→−∞ x→+∞ x→+∞  x x   x x  Bảng biến thiên 52 x -∞ +∞ + y' +∞ y -∞ Ví dụ 4: Tìm cực trị hàm số sau: y = −x4 + 2x2 + y = x4 – 2x2 −  3 Lời giải Tập xác định : D = ¡  x = , y(0) = Ta có: y' = −4x3 + 4x = −4x(x2 − 1), ∀x ∈ D: y' = ⇔   x = ±1 , y(±1) = Giới hạn : lim y = −∞; lim y = −∞ x→−∞ x→+∞ Bảng biến thiên x -1 -∞ + y' - CÑ y + +∞ - CÑ CT -∞ -∞ Hàm số đạt cực tiểu điểm x = , yCT = Hàm số đạt cực đại hai điểm x = ±1, yCĐ = Tập xác định : D = ¡  x = , y(0) = −3 Ta có: y' = 4x3 − 4x = 4x(x2 − 1), ∀x ∈ D: y' = ⇔   x = ±1 , y(±1) = −4  3  3 lim y = lim x4  1− − = +∞ ; lim y = lim x4  1− − ÷ ÷ = +∞ x→−∞ x→−∞ x→+∞ x→+∞  x x   x x4  Bảng biến thiên Giới hạn : 53 x -1 -∞ - y' y + 0 - +∞ + +∞ +∞ CÑ -3 -4 -4 CT CT Hàm số đạt cực đại điểm x = , yCĐ = −3 Hàm số đạt cực tiểu hai điểm x = ±1 , yCT = −4 Ví dụ 5: Tìm cực trị hàm số sau: y = x3 − 3x2 − 6x + 2 x −6 Lời giải Tập xác định : D = ¡ y = −x3 +  13 x = −1,y(−1) =  Ta có: y' = 3x – 3x – , ∀x ∈ D: y' = ⇔  x = 2,y(2) = −  3 3 − + Giới hạn : lim y = lim x  1− ÷ = −∞ x→−∞ x→−∞ 2x x  x3   3 lim y = lim x3  1− − + ÷ = +∞ x→+∞ x→+∞ 2x x  x3  Bảng biến thiên x -∞ -1 + y' y - -∞ + +∞ yCÑ 13/2 +∞ yCT -7 Hàm số đạt cực tiểu x = ,yCT = −7 ,hàm số đạt cực đại 13 2 Tập xác định : D = ¡ x = −1, yCĐ = 54 Ta có: y' = −3x + 9x ,  x = , y(0) = −6  y' = ⇔ ∀x ∈ D:  x = , y(3) = 15   6 lim y = lim x3  −1+ − ÷ = +∞ ; x→−∞ 2x  x3  Giới hạn : x→−∞  6 lim y = lim x3  −1+ − ÷ = −∞ x→+∞ 2x x3   Bảng biến thiên x→+∞ x - y' y -∞ +∞ + - +∞ yCÑ 15/2 -6 yCT -∞ Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = −6, hàm số đạt cực đại 15 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP x = ,yCĐ = Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: y = x2 − x + x−1 Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: y = −x3 − 1,5x2 + 6x + y = x3 + 3x2 + 3x + x3 x2 − + 2x + Bài 3: Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: y = −x4 + 2x2 + y = −x4 + 2x2 + y = y = −0,25.x4 + x3 − 4x + y = −x4 + 6x2 − 8x + Bài tốn 02: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC Các ví dụ Ví dụ Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: 4− x y = 4+ x y = x+ + 55 x+1 Lời giải TXĐ: D = ¡ Nếu x ∈ [0; +∞) y = Nếu x ∈ (−∞;0] 4− x ⇒ y' = − < , ∀x ∈ [0; +∞) 4+ x (4 + x)2 y= 4+ x ⇒ y' = > , ∀x ∈ (−∞;0] 4− x (4 − x)2 1 , y'(0− ) = Vì y'(0+ ) ≠ y'(0− ) nên y'(0) không tồn 2 Vậy hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = Tại x = y'(0+ ) = −  x + + x + x ≥ −3 = y = x + + x+1  −(x + 3) + x < −3  x+ TXĐ: D = ¡ \ { −1} (x + 1)2 − 1 = Nếu x ≥ −3 y = x + + , ta có: y' = 1− x+ (x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 = x + = ±1  x = ⇔ ⇔ Và y' = ⇔  x > −3  x > −3  x = −2 + = ,y'(−3− ) = −1− =− Tại x = −3 , ta có: y'(−3 ) = 1− 2 4 (−3 + 1) (−3 + 1) Vì y'(−3+ ) ≠ y'(−3− ) nên y'(−3) không tồn Nếu x < −3 y = −(x + 3) + 1 < , ∀x < −3 , ta có: y' = −1− x+1 (x + 1)2 Bảng biến thiên: x y' -∞ -3 - -2 + -1 - +∞ - + CÑ y CT CT Suy điểm cực tiểu hàm số x = −3 , yCT = − x = 0, yCT = ; x = − 2, y = điểm cực đại hàm số CĐ Ví dụ 2: Tìm cực trị hàm số sau: y = x + x2 − x + 56 Lời giải Hàm số xác định ⇔ x + x2 − x + ≥ ⇔ x2 − x + ≥ −x ∀x ∈ ¡ x ≤ x2 − x + 1≥ − x ≥ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔ x ≥ 0∨ x ≤ ⇔ x∈ ¡ x ≥ x ≤ −x ≤ x − x + ≥ (−x) Vậy tập xác định hàm số : D = ¡ 2x −  x + x2 − x + 1 ' 1+  ÷ x2 − x + + 2x −  = x2 − x + = y' =  x + x2 − x + x + x2 − x + x2 − x + x + x2 − x +  1− 2x ≥ x ≤ y' = ⇔ x2 − x + = 1− 2x ⇔  ⇔  4 = 4(x − x + 1) = (1− 2x)  Vậy phương trình y' = vơ nghiệm, lại có y' ln tồn ,suy hàm số khơng có điểm cực trị Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: y = 1+ x − y = x ( x − 3) Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: x− x2 + 20 y = y = x2 − 4x + x+ Bài 3: Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: y = x − x2 y = 2x − x2 − Bài 4: Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: y = x ( x − 3) y = ( x + 3) − 2x − x2 Bài 5: Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau:  3 y = x2 − x + + x2 + x + 2 y =  x + ÷ − x + 4x −   Bài toán 03: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Các ví dụ Ví dụ Tìm cực trị (nếu có) hàm số : y = 2sin2x − Lời giải TXĐ: D = ¡ Ta có y' = 4cos2x y' = ⇔ cos2x = ⇔ x = y'' = −8sin2x π π + k ,k ∈ ¢ , π π π  −8 y'' + k ÷ = −8sin  + kπ ÷ =  2 4 2  8 57 khi k = 2n k = 2n + π π 4  Vậy hàm số đạt cực đại điểm x = + nπ;y  + nπ ÷ = −1 đạt cực đại x=  π π π π + ( 2n + 1) ;y  + ( 2n + 1) ÷ = −5 4 2 Ví dụ Tìm cực trị (nếu có) hàm số : y = − 2cosx − cos2x Lời giải TXĐ: D = ¡ Ta có: y' = 2sinx ( 2cosx + 1) y'' = 2cosx + 4cos2x sinx = ⇔ x = kπ y' = ⇔  cosx = − ⇔ x = ± 2π + k2π  y''( kπ ) = 2cos( kπ ) + 2cos2( kπ ) y''( kπ ) = > k chẵn, suy hàm số đạt cực tiểu điểm x = 2nπ ,n ∈ ¢ y ( 2nπ ) = y''( kπ ) = > k lẻ, suy hàm số đạt cực tiểu điểm x = ( 2n + 1) π ,n ∈ ¢ y ( 2n + 1) π =  2π  2π y'' ± + k2π ÷ < suy hàm số đạt cực đại điểm x = ± + k2π    2π  y ± + k2π ÷ =   CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: y = 2sin2x − y = sin6 x x + cos6 4 Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: 3  π y = cos x + sin x + 3sin2x y = cosx sinx đoạn 0;   2 Bài tốn 04: TÌM ĐIỂM LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA SỐ HÀM SỐ Các ví dụ Ví dụ Tìm giá trị m để hàm số: y = x3 − 3x2 + có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm hai phía khác đường tròn ( Cm ) : x2 + y2 − 2mx − 4my + 5m2 − 1= Lời giải TXĐ: D = ¡  x = ⇒ y = ⇒ A(0;2) Ta có : y' = 3x2 − 6x y' = ⇔   x = ⇒ y = −2 ⇒ B(2; −2) 58 ( Cm ) : ( x − m) + ( y − 2m) = có tâm I ( m;2m) bán kính R = Vì IB = 5m2 + 4m + 5 m + ÷ + 36 ≥ > = R ⇒ điểm A nằm đường 5 5  tròn ( C m ) ⇔ IA < ⇔ < m < Ví dụ Cho đồ thị (C) : y = x4 − 6x2 + 2x Chứng minh (C) có điểm cực trị phân biệt khơng thẳng hàng Viết phương trình đường tròn qua điểm cực trị Lời giải Trước hết ta có y′ = 2(2x3 − 6x + 1) ⇒ y′ = ⇔ 2x3 − 6x + = Xét hàm g(x) = 2x3 − 6x + liên tục ¡ có g(−2).g(−1) = −9 < , g(−1).g(1) = −9 < , g(1).g(2) = −15 < Do phương trình g(x) = có ba nghiệm phân biệt hay hàm số có ba cực trị phân biệt Gọi M(x0;y0) điểm cực trị ⇒ y0 = x04 − 6x02 + 2x0 = −3x02 + x0 Suy ba điểm cực 2 trị nằm Parabol y = −3x2 + x nên khơng thẳng hàng Mặt khác lại có y02 = (−3x02 + x0)2 = 9x04 − 9x03 + x02  1   117 63 = 9x0  3x0 − ÷− 9 3x0 − ÷ + x0 = x0 − x0 + 2 2 4 2   Nên có: x03 = 3x0 − y0  63 121 63 121 x0 − x0 + =  x0 − ÷ − x0 + 2 3 2 2 131 121 ⇔ x02 + y02 + x0 + y0 − = 12 131 121 x+ y − = Vậy điểm cực trị nằm đường tròn x2 + y2 + 12 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 3x2 + Tìm m để đường thẳng nối hai điểm cực Suy x02 + y02 = trị hàm số cho cắt đường tròn (T) : x2 + y2 − 4x − 2y + m = dây cung có độ dài 30 Bài 2: Cho hàm số y = x3 − 3x2 + có đồ thị ( C ) Gọi A ,B điểm cực đại, cực tiểu đồ thị ( C ) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị ( C) 59 điểm M ,N cho tứ giác AMBN hình thoi Bài tốn 06: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ KHÁC Các ví dụ Ví dụ Tính đạo hàm hàm số điểm x = chứng minh hàm số đạt cực tiểu x = 0, biết hàm số f ( x) xác định bởi:  1+ xsin2 x −  ,x≠ f ( x) =  x 0 , x=  Lời giải f '( 0) = lim x→0 f '( 0) = lim f ( x) − f ( 0) x = lim 1+ xsin2 x − x→0 x2 , xsin2 x   x2  1+ xsin2 x + 1+ xsin2 x + 1   sinx f '( 0) = limsinx =0 x→0 x 2 1+ xsin x + 1+ xsin x + x→0 ( ) ( Mặt khác x ≠ 0, ta có : ) sin2 x f ( x) = ( 1+ xsin x) 2 ⇒ f ( x) ≥ = f ( 0) + 1+ xsin x + Vì hàm số f ( x) liên tục ¡ nên hàm số f ( x) đạt cực tiểu x =  x sin , x ≠ Ví dụ Cho hàm số f ( x) =  Chứng minh f '( x) = x 0 , x=  hàm số f ( x) không đạt cực trị điểm Lời giải f ( x) − f ( 0) Ta có = xsin với x ≠ x x x = nên lim f ( x) − f ( 0) = Do hàm số Với x ≠ 0: xsin ≤ x xlim →0 x x→0 x f ( x) có đạo hàm x = f '( 0) = Lấy dãy xn = 1 sin2nπ = 0,∀n ∈ ¡ , f ( xn ) = 2nπ ( 2nπ) Giả sử ( a;b) khoảng chứa điểm 60 xn = nên với n đủ lớn x ∈ ( a;b) f ( x ) = = f ( 0) ,∀n ∈ ¡ , theo Vì xlim n n →0 định nghĩa cực trị hàm số , x = điểm cực trị f ( x) Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ Bài tốn 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ HOẶC KHƠNG CĨ CỰC TRỊ Phương pháp Quy tắc 1: Áp dụng định lý • Tìm f '( x) • Tìm điểm xi ( i = 1,2,3 ) đạo hàm hàm số liên tục khơng có đạo hàm • Xét dấu f '( x) Nếu f '( x) đổi dấu x qua điểm x0 hàm số có cực trị điểm x0 Quy tắc 2: Áp dụng định lý • Tìm f '( x) • Tìm nghiệm xi ( i = 1,2,3 ) phương trình f '( x) = • Với xi tính f ''( xi ) − Nếu f ''( xi ) < hàm số đạt cực đại điểm xi − Nếu f ''( xi ) > hàm số đạt cực tiểu điểm xi Các ví dụ Ví dụ : Định m để hàm số y = x2 + mx + cực trị x−1 Cho hàm số: y = ( m − 2) x3 − mx − Với giá trị m đồ thị hàm số khơng có điểm cực đại điểm cực tiểu Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ \ {1}= ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) Ta có: y' = x2 − 2x − m − (x − 1)2 Hàm số khơng có cực trị y' = vô nghiệm có nghiệm kép , tức phải có: ∆ ' ≤ ⇒ 1+ m + ≤ ⇒ m ≤ −3 Vậy, với m ≤ −3 hàm số khơng có cực trị Hàm số cho xác định ¡ Ta có: y′ = 3( m − 2) x2 − m 61 Để hàm số khơng có cực trị phương trình y′ = vơ nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ ⇔ + 4.3m ( m − 2) ≤ ⇔ ≤ m ≤ Ví dụ : Định m để hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx − có cực đại, cực tiểu Tìm m ∈ ¡ để hàm số: y = mx4 + ( m − 1) x2 + 1− 2m có điểm cực trị Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ Ta có: y' = 3(m + 2)x2 + 6x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu y' = có nghiệm phân biệt , tức phải có: m ≠ −2  m ≠ −2  m ≠ −2 m ≠ −2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∆ ' > 9 − 3m(m + 2) > −3m − 6m + > −3 < m < m ≠ −2 Vậy, với  hàm số có cực đại, cực tiểu −3 < m < Hàm số cho xác định D = ¡ x = Ta có y' = 4mx3 − 2( m − 1) x y' = ⇔   2mx + m − = ( *) Hàm số có cực trị phương trình y' = có nghiệm y' đổi dấu x qua nghiệm Khi phương trình 2mx2 + m − = ( *) vô nghiệm hay có nghiệm kép x = m = m = m ≤  ⇔  m ≠ ⇔ ⇔  ∆ ' = −2m ( m − 1) ≤  m < ∨ m ≥  m ≥   Ví dụ 3: Tìm m∈ ¡ để hàm số y = −2x + + m x2 − 4x + có cực đại Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ x− y' = −2 + m ; y" = Ta có: x − 4x + m (x ) − 4x + + Nếu m = y = −2 < ∀x ∈ ¡ nên hàm số khơng có cực trị + m ≠ dấu y'' phụ thuộc vào m nên để hàm có cực đại trước hết y" < ⇔ m < Khi hàm số có cực đại ⇔ Phương trình y' = có nghiệm ( 1) Cách 1: 62 ( 2) Ta có: y' = ⇔ ( x − 2) + = m ( x − 2) Đặt t = x − ( 2) trở thành : t ≤ t ≤   mt = t + ⇔  ⇔ ⇒ ( 1) có nghiệm  m − t = t =  m −4 ( ) ⇔ m2 − > ⇔ m < −2 (Do m < ) Vậy m < −2 hàm số có cực đại Cách 2: Với m < hàm số đạt cực đại x = x0 ⇔ y'( x0 ) = ⇔ m ( x0 − 2) x02 − 4x0 + x02 − 4x0 + = 2⇔ x0 − = m ( 1) Với m < ( 1) ⇒ x0 < Xét hàm số : f ( x0 ) = lim f ( x0 ) = lim x→−∞ x02 − 4x0 + x→−∞ Ta có f '( x0 ) = x0 − = −1, lim f ( x0 ) = lim x→ 2− −2 ( x0 − 2) Bảng biến thiên : x x02 − 4x0 + x→ 2− x0 − ,x0 < x02 − 4x0 + x0 − = −∞ < 0,∀x0 ∈ ( −∞;2) −∞ f '( x) x02 − 4x0 + − −1 f ( x) −∞ Phương trình ( 1) có nghiệm x0 < ⇔ Ví dụ 4: Tìm m∈ ¡ để hàm số y = Parabol ( P ) : y = x2 + x − m < −1 ⇔ m < −2 x2 + mx + có điểm cực tiểu nằm x−1 Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ \ { 1} Ta có y' = x2 − 2x − m − ( x − 1) ,x ≠ Đặt g ( x) = x2 − 2x − m − Hàm số có cực đại , cực tiểu phương trình g ( x) = có hai nghiệm 63 ∆ ' = 1− ( − m − 2) > m + > ⇔ ⇔ m > −3 phân biệt khác ⇔  m ≠ −3 g ( 1) = − m − ≠ ( ) A 1+ m + 3;m + + m + điểm cực tiểu đồ thị hàm số ( A ∈ ( P ) ⇔ m + + m + = 1+ m + ) + 1+ m + − ⇔ m = −2 ( ) 2 Ví dụ 5: Cho hàm số y = x − 3mx + m − x − m + m ( 1) , m tham số Tìm m để hàm số ( 1) có cực đại, cực tiểu đồng thời thời khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị đến O Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ ( ) 2 Ta có: y' = 3x − 6mx + m − ( ) y' = ⇔ 3x2 − 6mx + m2 − = ⇔ x2 − 2mx + m2 − = ⇔ x = m − ∨ x = m + àm số có cực đại, cực tiểu ∀m ∈ ¡ Điểm cực đại đồ thị A ( m − 1;2 − 2m) ; Điểm cực tiểu đồ thị B( m + 1; −2 − 2m) OB = 3OA ⇔ ( m + 1) + ( −2 − 2m) = ( m − 1) + ( − 2m) 2 2 ⇔ ( m + 1) + ( −2 − 2m) = 9( m − 1) + ( − 2m)  ⇔ 2m2 − 5m + =   ⇔ m = m = Ví dụ 6: Tìm m∈ ¡ để hàm số y = x2 − ( m + 1) x − m2 + 4m − x−1 thời tích giá trị cực đại cực tiểu đạt giá trị nhỏ Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ \ { 1} Ta có y' = x2 − 2x + m2 − 3m + ( x − 1) = g ( x) ( x − 1) có cực trị đồng ,x ≠ , g ( x) = x2 − 2x + m2 − 3m + Hàm số có cực đại , cực tiểu phương trình g ( x) = 0,x ≠ ∆  '> ⇔ 1< m < có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khác ⇔  g ( 1) ≠ Gọi A ( x1;y1 ) ,B( x2;y2 ) điểm cực trị đồ thị hàm số x1,x2 64 nghiệm phương trình g ( x) = 0,x ≠  x = 1− − m2 + 3m − ⇒ y = 1− m + − m2 + 3m − 1 Khi y' = ⇔   2  x2 = 1+ − m + 3m − ⇒ y2 = 1− m − − m + 3m − ( ) y1.y2 = ( 1− m) − −m2 + 3m − 2  4 y1.y2 = 5m2 − 14m + = f ( m) f ( m) có đỉnh S ; − ÷  5 Với < m < , xét f ( m) có m = ∈ ( 1;2) ⇒ f ( m) = − m∈( 1;2) 5 m = 5 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để hàm số: y = mx3 + 3mx2 − (m − 1)x − có cực trị ⇒ y1.y2 = − Tìm m∈ ¡ để hàm số: y = mx4 + ( m − 1) x2 + 1− 2m có điểm cực trị x − mx2 + Xác định m để đồ thị hàm số 2 cho có cực tiểu mà khơng có cực đại Bài 3: Tìm m để hàm số sau có cực trị: x2 + (2m − 1)x + m2 + m − 3 y = y = x − 3(m − 1)x + 3(2m − 4)x + m x+ m Bài 2: Cho hàm số y = y = x2 + (m − 1)x + mx − y = x2 + mx − mx − 3 Bài 4: Tìm a để hàm số f ( x) = x − x + ax + 1; g ( x) = x + x2 + 3ax + a có 3 điểm cực trị nằm xen kẽ Bài 5: Cho hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + Tìm m để: Hàm số có ba cực trị Hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại Bài 6: ax2 + bx + ab a,b ( hai tham số ,a ≠ Tìm giá trị ax + b a,b cho hàm số đạt cực trị x = x = 1 Cho hàm số y = Tìm hệ số a,b,c,d hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d  cho điểm A ( 0;2) B( 2; −2) điểm cực tiểu cực đại đồ thị hàm số Bài tốn 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM 65 Phương pháp Trong dạng toán ta xét trường hợp hàm số có đạo hàm x0 Khi để giải toán ,ta tiến hành theo hai bước Bước Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị x0 y'(x0 ) = , từ điều kiện ta tìm giá trị tham số Bước Kiểm lại cách dùng hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị tham số vừa tìm có thỏa mãn u cầu tốn hay khơng? Chú ý: Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng ( a;b) chứa điểm x0 , f '( x0 ) = f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Nếu f ''( x0 ) < hàm số f đạt cực đại điểm x0 Nếu f ''( x0 ) > hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 f '(x0 ) = định lý f ''(x0 ) = Trong trường hợp f '(x0 ) = không tồn  khơng dùng Các ví dụ ( ) x − mx2 + m2 − m + x + Với giá trị m hàm số đạt cực đại điểm x = Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có: y' = x2 − 2mx + m2 − m + 1, y'' = 2x − 2m Ví dụ : Cho hàm số: y = Điều kiện cần: y'( 1) = ⇔ m2 − 3m + = ⇔ m = m = Điều kiện đủ: Với m = y''( 1) = ⇒ hàm số khơng thể có cực trị Với m = y''( 1) = −2 < ⇒ hàm số có cực đại x = Vậy, m = giá trị cần tìm Nhận xét: • Nếu trình bày lời giải theo sơ đồ sau: Hàm số đạt cực đại  y'(1) = x = 1⇔  ( ∗) lời giải chưa xác  y''(1) < Vì dấu hiệu nêu định lí phát biểu y''(x0) ≠ Các bạn thấy điều rõ cách giải tốn sau: Tìm m để hàm số y = x4 + 3mx2 + m2 + m đạt cực tiểu x = Tìm m đề hàm số y = −x3 + 3(m − 2)x2 + (m − 4)x + 2m − đạt cực đại x = −1 66 • Nếu ta khẳng định y''(x0) ≠ ta sử dụng ( ∗) ax2 + bx + ab Ví dụ : Tìm hệ số a,b cho hàm số y = đạt cực trị ax + b điểm x = x = Lời giải b Hàm số cho xác định ∀x ≠ − ,a ≠ a Ta có đạo hàm y' = a2x2 + 2abx + b2 − a2b ( ax + b) • Điều kiện cần : Hàm số đạt cực trị điểm x = x =  b2 − a2b =0   y'( 0) =  b2 a = −2 ⇔ ⇔  2 16a + 8ab + b − a b b=  y'( 4) =  =0   ( 4a + b)  a = −2 x2 − 4x ⇒ y' = • Điều kiện đủ :  b = ( −x + 2) x = y' = ⇔  x = Từ bảng biến thiên : hàm số đạt cực trị điểm x = x = Vậy a = −2,b = giá trị cần tìm Ví dụ : Cho hàm số: y = 2x2 − 3(m + 1)x2 + 6mx + m3 Với giá trị m đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho AB = Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có: y′ = 6(x − 1)(x − m) Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔y′ = có nghiệm phân biệt tức m ≠ Với m ≠ 1, đồ thị hàm số có điểm cực trị A(1;m3 + 3m − 1),B(m;3m2) 2 AB = ⇔(m − 1) + (3m − m − 3m + 1) = ⇔m = 0; m = (thoả điều kiện) Vậy, m = 0; m = giá trị cần tìm Ví dụ : Cho hàm số y = x2 − 2( m + 1) x + m2 + 4m Tìm giá trị tham số x+ thực m cho hàm số có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn: OA + OB2 = 120 Lời giải Hàm số cho xác định lien tục khoảng ( −∞; −2) ∪ ( −2; +∞ ) 67 Ta có: y'( x) = x2 + 4x + − m2 ( x + 2) = g ( x) ( x + 2) Hàm số có hai cực trị y'( x) = có hai nghiệm phân biệt đổi dấu qua nghiệm tức g ( x) = có hai nghiệm phân biệt khác −2 ∆ ' = m2 > ⇒ m ≠ Nghĩa phải có:  g ( −2) = m ≠ Khi hai điểm cực trị A ( −2 − m; −2) , B( −2 + m;4m − 2) uuur r 2 uuu 2 OA = ( −2 − m; −2) ⇒ OA = ( −2 − m) + ( −2) , OB = ( −2 + m;4m − 2) ⇒ OB2 = ( −2 + m) + ( 4m − 2) ⇒ OA + OB2 = 18m2 − 16m + 16 = 120 ⇔ m = −2 m = m ≠ Vậy, m = −2 m = 26 thỏa điều kiện 26 thỏa mãn yêu cầu toán x − mx2 − x + m + Với giá trị m đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho AB nhỏ Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có: y′ = x2 − 2mx − Ví dụ : Cho hàm số: y = Ta có: ∆′ = m2 + > 0,∀m ∈ ¡ ⇒hàm số ln có hai điểm cực trị x1,x2 Giả sử điểm cực trị hàm số A(x1;y1),B(x2;y2) 2 Ta có: y = (x − m).y′ − (m2 + 1)x + m + ( bạn đọc xem thêm toán 03, 3 dạng toán 03 ) 2 2 ⇒y1 = − (m2 + 1)x1 + m + ; y2 = − (m2 + 1)x2 + m + 3 3    4 Suy ra: AB2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = (4m2 + 4) 1+ (m2 + 1)2  ≥ 4 1+ ÷ 9    13 13 Dấu "=" xảy ⇔m = Vậy, minAB = m = 3 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x − m3 − 3m2 + m Chứng minh với giá trị tham số m đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khoảng cách hai điểm không đổi ⇒AB ≥ 68 Gọi (C m ) đồ thị hàm số y = x2 + ( m + 1) x + m + , chứng minh với x+ m , đồ thị (C m ) ln có cực đại, cực tiểu khoảng cách hai điểm 20 Chứng minh với tham số m hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + ln có cực đại cực tiểu đông thời khoảng cách điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số không đổi Bài 2: Tìm m để hàm số: y = x3 + (2m − 1)x2 + (m − 9)x + đạt cực tiểu x = y = mx3 + 2(m − 1)x2 − (m + 2)x + m đạt cực tiểu x = y = x2 + mx + đạt cực tiểu x = x+ m y = x2 + (m − 1)x + − 2m đạt cực đại x = −1 x+ m Bài 3: Cho hàm số y = x4 − 2(m2 − m + 1)x2 + m − 1.Tìm m để đồ thị hàm số có khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn Tìm m để đồ thị hàm số: y = x3 − 3x2 + tiếp xúc với đường tròn: (x − m)2 + (y − m − 1)2 = y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ O Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số: có cực trị, đồng thời khoảng cách cực trị 15 Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số: y = x2 − ( m + 1) x − m2 + 4m − có cực trị x−1 đồng thời tích giá trị cực đại cực tiểu đạt giá trị nhỏ mx2 − Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số: y = có hai điểm cực trị A ,B x đoạn AB ngắn 69 ... xác định D Điểm x = x0 ∈ D điểm cực trị hàm số hai điều kiện sau thảo mãn: • Tại x = x0 đạo hàm tri t tiêu khơng tồn • Đạo hàm đổi dấu x qua x0 Các ví dụ Ví dụ : Tìm cực trị hàm số sau: y = 1−