cực trị của hàm số

GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 CỰC TRỊ HÀM SỐ LÝ THUYẾT VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ A = I ĐỊNH NGHĨA Giả sử hàm số f xác định tập K x0  K Ta nói: o x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng ( a; b ) chứa x0 cho ( a; b )  K f ( x )  f ( x0 ) , x  ( a; b ) \x0  Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f o x0 điểm cực đại hàm số f tồn khoảng ( a; b ) chứa x0 cho ( a; b )  K f ( x )  f ( x0 ) , x  ( a; b ) \x0  Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số f  Chú ý: Bảng sau tóm tắt khái niệm sử dụng phần này: ( x ; f ( x )) f ( x0 ) x0 0 Điểm cực đại f Giá trị cực đại (cực đại) f Điểm cực đại đồ thị hàm số f Điểm cực tiểu f Giá trị cực tiểu (cực tiểu) f Điểm cực tiểu đồ thị hàm số f Điểm cực trị f Cực trị f Điểm cực trị đồ thị hàm số f ( ) Nếu x0 điểm cực trị hàm số điểm x0 ; f ( x0 ) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f  Nhận xét: o Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x0 ) nói chung khơng phải giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập D ; f ( x0 ) giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng ( a; b ) chứa x hay nói cách khác x0 điểm cực đại (cực tiểu) tồn khoảng a; b chứa x0 cho f ( x0 ) giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng ( a; b ) o Hàm số f đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập K Hàm số khơng có cực trị tập cho trước Trang 62 https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 II ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ  Định lí 1: Giả sử hàm số y = f ( x ) đạt cực trị điểm x0 Khi đó, y = f ( x ) có đạo hàm điểm x0 f  ( x0 ) =  Chú ý: o Đạo hàm f  ( x ) điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 o Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Như vậy: Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm III ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ  Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục ( a; b ) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng ( a; x ) ( x ; b ) Khi đó: Nếu f  ( x )  khoảng ( a; x ) f  ( x )  khoảng ( x ; b ) x đại hàm số f ( x ) khoảng ( a; x ) f  ( x )  khoảng ( x ; b ) x Nếu f x tiểu hàm số f ( x ) o o 0 0 điểm cực 0 điểm cực  Nói cách khác: Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực tiểu điểm x0 Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực tiểu điểm x0 Minh họa bảng biến thiến: x x0 a f ( x) f ( x) b − + fCD x x0 a f ( x) f ( x) − b + fCT Minh họa đồ thị: Giả sử hàm số f xác định khoảng ( a; b ) chứa điểm c https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH Trang 63 GV: Phạm Hùng Hải chuyên LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Hàm số f đạt cực đại x = c Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 Hàm số f đạt cực tiểu x = c IV QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  Quy tắc 1: Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Tính f  ( x ) Tìm điểm f  ( x ) = f  ( x ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị  Quy tắc 2: Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Tính f  ( x ) Giải phương trình f  ( x ) ký hiệu x i ( i = 1, 2, 3, ) nghiệm Bước Tính f  ( x ) f  ( xi ) Bước Dựa vào dấu f  ( xi ) suy tính chất cực trị điểm x i B = CÁC DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ I TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM SỐ  Phương pháp: Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Tính f  ( x ) Tìm điểm f  ( x ) = f  ( x ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Trang 64 https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 ax + b ( a, c  0, ad − bc  ) khơng có cực trị, hàm số đồng biến cx + d ln nghịch biến khoảng xác định  Nhận xét: Hàm số y = MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA Tìm cực trị hàm bậc 3: y = ax + bx + cx + d ( a  ) Bài toán 1: Tìm cực trị hàm số y = x − x + Lời giải Tập xác định D = Ta có: y = x − Cho y =  x − =  x = 1 Bảng biến thiên: x y y − −1 + − − + + + −2 Vậy hàm số đạt cực đại x = −1, y = hàm số đạt cực tiểu x = 1, y = −2 Bài toán 2: Tìm cực trị hàm số y = − x + 3x − Lời giải Tập xác định D = x = Ta có: y = −3x + x Cho y =  −3x + x =   x = Bảng biến thiên: − x y − + + y + − 0 −4 − Vậy hàm số đạt cực tiểu x = 0, y = −4 hàm số đạt cực đại x = 2, y = Bài tốn 3: Tìm cực trị hàm số y = − x + 3x − 3x + Lời giải Tập xác định D = Ta có: y = −3x + x − Cho y =  −3x + x − =  x = Bảng biến thiên: x y − + − https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH − Trang 65 GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng y Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 + − Vậy hàm số cho khơng có cực trị Bài toán 4: Gọi A , B hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − 3x − 12 x + Tìm tọa độ A , B phương trình đường thẳng qua hai điểm Lời giải Tập xác định D =  x = −1 Ta có: y = x − x − 12 Cho y =   x = Bảng biến thiên: x y y − −1 + + − + + − Suy tọa độ hai điểm cực trị A ( −1; ) , B ( 2; −19 ) −19 Vậy phương trình đường thẳng AB x + y + = Bài toán 5: Cho hàm số y = x − 3x có đồ thị ( C ) Tìm điểm cực đại, cực tiểu đồ thị ( C ) khoảng cách hai điểm cực trị Lời giải Tập xác định D = x = Ta có: y = 3x − x Cho y =   x = Bảng biến thiên: x y y − + + − + + − −4 Vậy tọa độ hai điểm cực trị A ( −1; ) , B ( 2; −19 ) Khi AB = ( − ) + ( −4 − ) 2 =2 Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M ( −1;1) vng góc với đường thẳng qua điểm cực trị ( C ) : y = x − x + x − Lời giải Tập xác định D = Trang 66 https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH GV: Phạm Hùng Hải chuyên LTTHPTQG Môn Toán & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 x = Ta có: y = 3x − 12 x + Cho y =   x = Bảng biến thiên: x − y y + + − + + − −2 Vậy tọa độ hai điểm cực trị A ( 1; ) , B ( 3; −2 ) Suy AB = ( 2; −4 ) y = −2 x + Ta có phương trình đường thẳng d qua M ( −1;1) vng góc với AB có phương trình d : 2x + y + = Tìm cực trị hàm trùng phương: y = ax + bx + c ( a  ) Bài toán 1: Tìm cực trị hàm số y = x − x + Lời giải Tập xác định D = x = Ta có: y = x − x Cho y =  x3 − x =    x = 1 Bảng biến thiên: x − y y −1 − 0 + + + − + + 1 Vậy hàm số đạt cực tiểu x = 1 , y = hàm số đạt cực đại x = , y = Bài tốn 2: Tìm cực trị hàm số y = x4 − x2 + Lời giải Tập xác định D = x = Ta có: y = x − x Cho y =  x3 − x =    x = 1 Bảng biến thiên: x y − −1 − 0 + + y − https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH + + + Trang 67 GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 hàm số đạt cực đại x = , y = Vậy hàm số đạt cực tiểu x = 1 , y = Bài toán 3: Tìm cực trị hàm số y = x + 3x − Lời giải Tập xác định D = Ta có: y = x + x Cho y =  x + x =  x = Bảng biến thiên: − x y + − + − + y −6 Vậy hàm số đạt cực tiểu x = , y = −6 Bài tốn 4: Tìm cực trị hàm số y = − x − 5x + Lời giải Tập xác định D = Tính y = −4 x − 10 x Cho y =  −4 x − 10 x =  x = Bảng biến thiên: − x y + + − y − − Vậy hàm số đạt cực đại x = , y = Tìm cực trị hàm số y = ax + b cx + d Bài tốn 1: Tìm cực trị hàm số y = 2x − x−2 Lời giải Tập xác định D = Ta có: y = −1 ( x − 2) \2  y  x  D Bảng biến thiên: x y Trang 68 − + − − https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng + y Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 − Vậy hàm số cho khơng có cực trị Bài tốn 2: Tìm cực trị hàm số y = −x − x+1 Lời giải \−1 Tập xác định D = Ta có: y = ( x + 1)  y  x  D Ta có bảng biến thiên sau đây: − x y −1 + + + −1 + y − −1 Vậy hàm số cho khơng có cực trị Tìm cực trị hàm số y = ax + bx + c dx + e x2 − x + Bài tốn 1: Tìm cực trị hàm số y = x+1 Lời giải \−1 Tập xác định D = Ta có: y = x2 + 2x − ( x + 1) x = Cho y =  x2 + x − =    x = −3 Bảng biến thiên: x y y −3 − + −1 − − −7 − + − + + + Vậy hàm số đạt cực đại x = −3 , y = −7 đạt cực tiểu x = , y = −x2 + x − Bài tốn 2: Tìm cực trị hàm số y = x+1 Lời giải Tập xác định D = \−1 https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH Trang 69 GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Ta có: y = −x2 − 2x + ( x + 1) Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 x = Cho y =  − x − x + =    x = −3 Bảng biến thiên: −3 − x y − −1 + + y + + + − − − Vậy hàm số đạt cực tiểu x = −3 , y = đạt cực đại x = , y = Bài tốn 3: Tìm cực trị hàm số y = x2 − x − 15 x−3 Lời giải \3 Tập xác định D = Tính y = x − x + 21 ( x − 3)  y  x  D Bảng biến thiên: x − y + + + + y + − − Vậy hàm số cho khơng có cực trị Tìm cực trị hàm số khác Bài tốn 1: Tìm cực trị hàm số y = 4x2 + 2x − x2 + x − Lời giải   \ − ;1   −10 x − Ta có: y = ; Cho y =  x = − 2 2x + x − Tập xác định D = ( ) Ta có: lim y = ; lim − y = + ; lim + y = − ; lim− y = − ; lim+ y = + x →  3 x → −   2 x →1  3 x → −   2 x →1 Bảng biến thiên: x Trang 70 − − − + https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng y + + + − − + y − Vậy hàm số đạt cực đại x = − Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 − 1 , y= Bài tốn 2: Tìm cực trị hàm số y = x − x + Lời giải Tập xác định D = Ta có: y = x −1 x2 − 2x + Cho y =  x − =  x = Bảng biến thiên: x − y y + − + + + Vậy hàm số đạt cực tiểu x = , y = Bài toán 3: Tìm cực trị hàm số y = x + x − x Lời giải Tập xác định D = 0;  Ta có: y = +  x −  Cho y =  x − x = x −    x = 1+ 2 2x − x 2 x − x = ( x − 1) 1− x Bảng biến thiên: x 1+ y + 2 − 1+ y Vậy hàm số đạt cực đại x = + , y = 1+ Bài toán 4: Tìm cực trị hàm số y = x ( x + ) Lời giải Cách 1: https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH Trang 71 GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng x = m y =    x = − m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị B ( Suy BC = −2 m ; 4m m ( Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 ) ( ) m ; −2m m + , C − m ; 2m m + ) Gọi M trung điểm BC M (0;1) , nên AM = ( −2; −2) Vậy tam giác ABC tam giác cân ( ) ( ) AM ⊥ BC  AM.BC =  ( −2) −2 m + ( −2) 4m m =  m = ( ) Bài toán 15: Tìm m để hàm số ( Cm ) : y = x − 3mx + m2 − x − m3 + m có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến O ( O gốc tọa độ) Lời giải Ta có y = 3x − 6mx + 3( m2 − 1) Để hàm số có cực trị PT y = có nghiệm phân biệt  x − 2mx + m2 − = có nghiệm phân biệt   =  0, m Cực đại đồ thị hàm số A ( m − 1; − 2m ) cực tiểu đồ thị hàm số B ( m + 1; −2 − 2m )  m = −3 + 2 Theo giả thiết ta có OA = 2OB  m + 6m + =    m = −3 − 2 Vậy có hai giá trị m m = −3 − 2 m = −3 + 2 x − mx + ( 2m − 1) x + Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục tung Bài toán 16: Cho hàm số y = Lời giải Ta có y = x − 2mx + 2m − Hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung  y = có hai nghiệm trái dấu  m −   m  Bài tốn 17: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 3m3 có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 Lời giải x = Ta có y = 3x − 6mx = 3x ( x − 2m ) , y =    x = 2m ( 1) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị m   m  ( ) ( ) Khi đó, điểm cực trị đồ thị hàm số A 0; 3m3 , B 2m; −m3 https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH Trang 81 GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng ( Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 ) (2) ( 3) Ta có: OA = 0; 3m3  OA = m3 Ta thấy A  Oy  OA  Oy  d ( B, OA ) = d ( B, Oy ) = m Từ ( ) ( ) suy SOAB = OA.d ( B, OA ) = 3m4 Do SOAB = 48  3m4 = 48  m = 2 thỏa mãn ( 1) Vậy m = 2 Bài toán 18: Cho hàm số y = x − 3x ( C ) Tìm m để đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị (C ) tạo với đường thẳng  : x + my + = góc  biết cos  = Lời giải Tập xác định D = x = Ta có: y = 3x − x Cho y =   x =  Bảng biến thiên: x y − + + − + + y − −4 Vậy tọa độ điểm cực đại ( C ) ( 0; ) tọa độ điểm cực tiểu ( 2; −4 ) Đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu 1 : x + y =  VTPT n1 = ( 2;1) Đường thẳng cho  : x + my + = có VTPT n2 = ( 1; m ) ( ) Yêu cầu toán  cos ( ; 1 ) = cos n1 ; n2 = ( ) (  25 m2 + 4m + = 5.16 m2 + ) m+2 m2 + = m =  11m − 20 m − =   m = −  11 Bài toán 19: Xác định tọa độ điểm cực trị viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − 3x − x + ( C ) Lời giải Cách Tập xác định D = ( ) Ta có: y = 3x − x − = x − x − Cho y =  x =  Bảng biến thiên: Trang 82 https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng − x y 1− + Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 1+ − 0 + + y + −6 − ( ) ( ) Vậy tọa độ điểm cực đại ( C ) − 3; tọa độ điểm cực tiểu + 3; −6 Suy ra, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = −6 x + Cách ( ) Ta có y = 3x − x − = x − x − Vì t ( x ) = x − x − có  =  nên t ( x ) có hai nghiệm phân biệt, suy y  có hai nghiệm phân biệt Do ( C ) có hai điểm cực trị ( C ) M ( x1 ; y1 ) N ( x2 ; y2 ) Thực phép chia y cho t ( x ) ta y = ( x + 1) t ( x ) − x + Ta có y ( x1 ) = −6 x1 + y ( x2 ) = −6 x2 + (do t ( x1 ) = t ( x2 ) = ) Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = −6 x + Bài toán 20: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số ( ) y = − x + 3mx + − m2 x + m3 − m2 ( ) ( Lời giải ) Ta có y = −3x + 6mx + − m2 = −3 x − 2mx + m2 − Tam thức bậc hai t ( x ) = x − 2mx + m2 − có  =  nên t ( x ) có hai nghiệm phân biệt đổi dấu liên tiếp x qua hai nghiệm Do hàm cho có cực đại, cực tiểu Thực phép chia y cho t ( x ) ta có y = ( m − x ) t ( x ) + x − m2 + m Giả sử x0 điểm cực trị hàm số, ta có: y ( x0 ) = ( m − x0 ) t ( x0 ) + x0 − m2 + m = x0 − m + m (do t ( x0 ) = ) Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − m + m Bài tốn 21: Gọi d phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − 3x − mx + ( 1) với m tham số thực Tìm m để d với hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân Lời giải Ta có y = 3x − x − m Hàm số có cực trị y = có hai nghiệm phân biệt   = + 3m   m  −3 Chia y cho y  ta được: y = x3 − 3x2 − mx + =  2m  m x − 1) y  +  − − 2x + − ( 3    2m  m Vậy phương trình d : y =  − − 2 x + −   https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH Trang 83 GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921  m−6   6−m Đường thẳng d cắt Ox Oy A  ;  , B  0;    2m +   Suy tam giác OAB cân OA = OB  m−6 6−m =  m = 6m = −  m = − 2m + 2 Với m = A  B  O so với điều kiện ta nhận m = − Bài tốn 22: Gọi d phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − 3x − mx + ( 1) với m tham số thực Tìm m để d song song với đường thẳng  : y = −4 x + Lời giải Ta có y = 3x − x − m Hàm số có cực trị y = có hai nghiệm phân biệt   = + 3m   m  −3 Chia y cho y  ta y = x3 − 3x2 − mx + =  2m  m x − 1) y  +  − − 2x + − ( 3    2m  m Vậy phương trình d : y =  − − 2 x + −     2m  +  = −4 −     m = Vậy m = thỏa Do d song song với đường thẳng  : y = −4 x + nên   m 2 −   Bài toán 23: Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + x + m − ( 1) với m tham số thực Tìm m để hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng qua đường thẳng  : y = x Lời giải Ta có y = 3x − ( m + 1) x + Hàm số có cực trị y  = có hai nghiệm phân biệt:  m  −1 −   = m2 + 18 m − 18     m  −1 + 1 m+1 Chia y cho y  ta được: y = x − ( m + 1) x2 + x + m − =  x −  y − m + 2m − x + m +  3 ( ) Giả sử điểm cực đại cực tiểu A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) I trung điểm AB ( ) ( )  y1 = −2 m2 + 2m − x1 + 4m + 1; y2 = −2 m2 + 2m − x2 + 4m + Và x1 + x2 = 2m + ; x1 x2 = ( ) Vậy đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu y = −2 m2 + 2m − x + 4m + Trang 84 https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng A , B đối xứng qua  : y = Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921  AB ⊥   m = Vậy m = thỏa mãn x  I   HÀM TRÙNG PHƯƠNG : y = ax + bx + c ( a  ) 2.1 SỐ ĐIỂM CỰC TRÌ CỦA HÀM SỐ PHƯƠNG x =   Ta có: y = 4ax + 2bx; y =   x = − b  2a Trường hợp ab  ab  Kết luận a   b  Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu a   b  Hàm số có cực trị cực trị cực đại a   b  Hàm số có hai cực tiểu cực đại a   b  Hàm số có cực tiểu hai cực đại Hàm số có cực trị Hàm số có ba cực trị 2.2 MỘT SỐ CÔNG THỨC VỀ BA ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM TRÙNG PHƯƠNG  b   b  Giả sử hàm số y = ax + bx + c ( C ) ( ab  ) có cực trị: A(0; c), B  − − ; −  , C  − ; −   a a   a a   với  = b2 − ac tạo thành ABC Đặt  = BAC y A O B x C Nhận xét: ABC cân A, hai điểm B C đối xứng qua trục Oy Khi ta có thêm kết sau: ▪ Độ dài cạnh: AB = AC = b4 b b4 − 8ab b − = BC = − 4a 2a 16a 2a https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH Trang 85 GV: Phạm Hùng Hải chuyên LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng ▪ Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 Góc tính chất tam giác: Theo định lý cosin: BC = AB2 − AB2 cos  = AB2 (1 − cos  ) Từ ta có: cos  = Đặc biệt:  ABC  = 60 đó:  cos  = b3 + 8a b3 − 8a b3 + 8a =  b3 = −24a b − 8a  ABC vng cân A thì:  = 900  cos  =  b = −8 a ▪   ABC có trọng tâm G  0; c −  2a   ▪ Diện tích ABC : SABC = b2 b − a 2a Thật vậy: Nếu gọi H giao điểm BC với trục Oy ta dễ thấy điểm H có tọa độ là: 1 b  b2 b   = − H  0; −  Do đó: SABC = BC.AH = − c + 4a  2 2a 4a a 2a  ▪ Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC : R = b3 − 8a Thật vậy: 8ab b4 − ab b − AB.BC.CA AB CA 2a = b − 8a R= = = 16 a2 4S 4S 8ab b b − a 2a Từ tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC ▪  c  Tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC : I  0; + −   b 8a  ▪ Trục hồnh chia ABC thành hai phần có diện tích b2 = ac ▪ ABC có điểm cực trị cách trục hồnh b = ac ▪ ABC có góc nhọn b 8a + b  ▪ Đồ thị hàm số ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng b2 = ▪ Định tham số để hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) trục hồnh có diện tích phần ( phần b2 = ▪ ) 100 ac 36 ac 2   2   Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: x + y −  − + c  y + c  −  =  b 4a   b 4a  Trang 86 https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH GV: Phạm Hùng Hải chuyên LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 2.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Cho hàm số y = x + mx − m − có đồ thị ( Cm ) , m tham số thực Xác định m để đồ thị ( Cm ) hàm số cho có ba điểm cực trị Lời giải Tập xác định D = x = lim Ta có: y = x + 2mx , y =  x + 2mx =  x(2 x + m) =    x = − m x→  3 Để ( Cm ) có cực trị − m   m  Vậy m  thỏa YCBT Bài toán 2: Cho hàm số y = mx + ( m − 1) x + − 2m Tìm tất giá trị m để hàm số có điểm cực trị Lời giải Tập xác định D = Ta có : y = mx + ( m − 1) x + − 2m , y = 4mx + ( m − 1) x x = y =  x 4mx + 2m − =   (I )  4mx + 2m − = Hàm số có điểm cực trị hay phương trình y = có nghiệm phân biệt ( ) Vậy ( I ) có nghiệm phân biệt khác hay  m  ( ) Bài tốn 3: Tìm m để hàm số y = mx + m2 − x + 10 có điểm cực trị Lời giải Tập xác định D = Để hàm số có ba điểm cực trị trước hết hàm số phải hàm bậc , tức m   m2 −  Ta có: y = mx + m2 − x = mx  x +  m   ( ) t( x) Hàm số có điểm cực trị y = có nghiệm phân biệt  t ( x ) = có nghiệm phân biệt khác  m2 − 0 2m 0  m   m m2 −    m  −  ( ) Bài toán 4: Cho hàm số y = mx + ( 2m + 1) x + Tìm tất giá trị m để hàm số có điểm cực tiểu Lời giải Tập xác định D = https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH Trang 87 GV: Phạm Hùng Hải chuyên LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 Ta có y = 4mx + ( 2m + 1) x a  m  Hàm số cho có điểm cực tiểu    m  Vậy m  thỏa YCBT b  2 m +  Bài tốn 5: Tìm m để hàm số y = ( m + 1) x − mx + có cực tiểu mà khơng có cực đại Lời giải Tập xác định D = Ta xét hai trường hợp sau đây: TH1: m + =  m = −1  hàm số có cực tiểu ( x = ) mà khơng có cực đại  m = −1 thỏa mãn u cầu tốn Khi y = x + TH2: m +   m  −1 Khi hàm số cho hàm bậc có y = ( m + 1) x − mx a  m +  Hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại    −1  m  b  −m  Kết hợp giá trị m tìm được, ta có −1  m  Bài tốn 6: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = m − 1) x đạt cực đại x = ( Lời giải Tập xác định D = Ta có: y = ( m − 1) x +) m =  Hàm số khơng có cực trị +) m  ta có bảng biến thiên: − x y + + − 0 y − −  Hàm số đạt cực đại x = +) m  ta có bảng biến thiên: x − y y + – + + + Trang 88 https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH GV: Phạm Hùng Hải chuyên LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921  Hàm số đạt cực tiểu x = Vậy m  thỏa YCBT Bài tốn 7: Tìm m để hàm số y = x − ( m + 1) x − 2m − đạt cực đại x = Lời giải Tập xác định D = Ta có y = x − ( m + 1) x + Để hàm số đạt cực đại x = cần y ( 1) =  − ( m + 1) =  m = + Với m =  y = x − x  y ( 1) = + Lại có y = 12 x −  y (1) =   Hàm số đạt cực tiểu x =  m = khơng thỏa mãn Vậy khơng có giá trị m để hàm số đạt cực đại x = Bài tốn 8: Tìm m để hàm số y = x − ( m − 1)x + đạt cực tiểu x = −1 Lời giải Tập xác định D = Ta có: y = x − 2( m − 1)x Để hàm số đạt cực đại x = −1 y ( −1) =  m = Với m = y ( −1) =  Vậy m = thỏa yêu cầu toán Bài toán 9: Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A , B , C cho OA = BC ; O gốc tọa độ, A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại Lời giải Tập xác định D = Ta có y = x − ( m + 1) x = x  x − ( m + 1)  t( x) Hàm số có điểm cực trị y  có nghiệm phân biệt  t ( x ) có nghiệm phân biệt khác  m +   m  −1 (* )  x =  A ( 0; m )   Khi đó, ta có: y =   x = − m +   B − m + 1; − m − m − ,   x = m + C m + 1; −m − m −  ( ( ) ) (vai trò B , C toán nên giả sử B ( ) ( ) m + 1; −m2 − m − , C − m + 1; −m2 − m − https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH Trang 89 GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng ( Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 ) Ta có OA = ( 0; m )  OA = m ; BC = m + 1;  BC = m + Do OA = BC  m = m +  m2 − 4m − = (  = )  m =  (thỏa mãn ( * ) ) Vậy m =  thỏa YCBT Bài toán 10: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Lời giải Tập xác định D = Ta có y = x − ( m + 1) x = x  x − ( m + 1)  t( x) Đồ thị hàm số có điểm cực trị y  có nghiệm phân biệt  t ( x ) có nghiệm phân biệt khác  m +   m  −1 x =  Khi đó, ta có: y =   x = − m +  x = m + ) ( ( ) ( Suy điểm cực trị đồ thị hàm số A 0; m2 , B − m + 1; −2m − , C (* ) m + 1; −2m − ) Ta thấy A  Oy , B C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân A Do tam giác vng A ( ) Ta có AB = − m + 1; − ( m + 1) , AC = ( m + 1; − ( m + 1) )  AB.AC = ( m + 1) − ( m + 1) Tam giác ABC vuông ABAC =  ( m + 1) − ( m + 1) =  ( m + 1) ( m + 1) − 1 =  m + =  m = −1     , kết hợp với điều kiện ( * ) ta có m = m + = m =   Bài tốn 11: Tìm m để đồ thị hàm số y = mx − x + có ba điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân Lời giải Tập xác định D = Ta có: y = mx − x Cho y =  x(4mx − 8) = hàm số có cực trị  m   4  4 ;1 −  , C  − ;1 −  Khi ba điểm cực trị A ( 0;1) , B   m m   m m   Gọi I trung điểm BC Trang 90 https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 =2 m=8 m m ABC vuông cân A nên BC = IA  Vậy m = thỏa YCBT Bài tốn 12: Tìm m để đồ thị hàm số y = f ( x ) = x + ( m − ) x + m2 − 5m + có ba điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân Lời giải Tập xác định D = x = Ta có: y = x + ( m − ) x Cho y =   x = − m Hàm số có cực trị  y = có nghiệm phân biệt  m  ) ( ) ( + 4m − ) , AC = ( − − m ; −m + 4m − ) ( Khi ba điểm cực trị A 0; m2 − 5m + , B  AB = ( − m ; −m2 ) − m ;1 − m , C − − m ;1 − m ABC vuông cân A AB = AC  AB AC =  ( m − ) = −1  m = ( n ) Vậy m = thỏa YCBT Bài toán 13: Tìm m để đồ thị hàm số y = f ( x ) = x + ( m − ) x + m2 − 5m + có ba điểm cực trị đỉnh tam giác Lời giải Tập xác định D = x = Ta có: y = x + ( m − ) x Cho y =   x = − m Hàm số có cực trị  y = có nghiệm phân biệt  m  ) ( ) ( + 4m − ) , AC = ( − − m ; −m + 4m − ) ( Khi ba điểm cực trị A 0; m2 − 5m + , B  AB = ( − m ; −m2 ) − m ;1 − m , C − − m ;1 − m Do ABC ln cân A AB = AC Nên ABC cos A = cos 600 =  AB AC =  m = − 3 ( n) AB.AC Vậy m = − 3 thỏa YCBT Bài tốn 14: Tìm m để đồ thị hàm số y = f ( x ) = x + 2mx + m2 + m có ba điểm cực trị đỉnh tam giác có góc 120 Lời giải https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH Trang 91 GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Tập xác định D = Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 x = Ta có: y = x + 4mx Cho y =    x = −m Hàm số có cực trị  y = có nghiệm phân biệt  m  ) ( ( Khi ba điểm cực trị A 0; m2 + m , B  AB = ( ) ( −m ; −m2 , AC = − −m ; −m2 ) ) ( ) −m ; m , C − −m ; m Do ABC ln cân A AB = AC Nên suy cos A = cos1200 = −  AB AC m + m4 1 − − m − m + m4  = −  3m + m = =−  = − 4 AB.AC 2 m −m m −m m = (l)   m=− n) (   Vậy m = − 3 thỏa YCBT Bài tốn 15: Tìm m để đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − 2mx + 2m + m4 có ba điểm cực trị đỉnh tam giác có diện tích Lời giải Tập xác định D = x = Ta có: y = x − mx Cho y =   x = m Hàm số có cực trị  y = có nghiệm phân biệt  m  ) ( ( Khi ba điểm cực trị A 0; 2m + m4 , B ) ( ) m ; m − m + m , C − m ; m − m + 2m Do ABC cân A AB = AC ( ) Gọi H trung điểm BC nên H 0; m4 − m2 + 2m  AH = m Khi SABC = 1 AH.BC = m2 4m =  m5 = 16  m = 16 2 Vậy m = 16 thỏa YCBT Bài tốn 16: Tìm m để đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − 2mx + m − có ba điểm cực trị đỉnh tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp Lời giải Tập xác định D = x = Ta có: y = x − mx Cho y =   x = m Trang 92 https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH GV: Phạm Hùng Hải chuyên LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 Hàm số có cực trị  y = có nghiệm phân biệt  m  ( ) ( Khi ba điểm cực trị A ( 0; m − 1) , B − m ; −m2 + m − , C Ta có AB = AC = m4 + m ; BC = m ( ) m ; −m + m − ) Gọi H trung điểm BC nên H 0; −m2 + m − Suy SABC = AH.BC = m2 m m = m4 + m m AB AC.BC =1 =  m − 2m + =   Khi R = m = − 4S ABC 4m m  ( Vậy m = m = ) −1 thỏa YCBT a2 + bx + c HÀM SỐ DẠNG y = mx + n Đặt: f ( x ) = ax + bx + c Ta có : y ' = amx + 2anx + bn − mc ( mx + n)2 Hàm số có cực trị  amx + 2anx + bn − mc = có hai nghiệm phân biệt khác x0 = −  n m  an2 bn   ' = a n2 − ma ( bn − mc )   a an2 − mbn + m c   a  − + c  m m   n  af  −    af ( x0 )   m ( ) Trường hợp y= Kết luận af ( x0 )  Hàm số có hai điểm cực trị af ( x0 )  Hàm số khơng có cực trị f  ( x ) g ( x ) − u ( x ) g ( x ) ax2 + bx + c f ( x ) = , y = mx + n g ( x)  g ( x )   y =  f  ( x ) g ( x ) − f ( x ) g  ( x ) =  f ( x) g ( x) = f ( x) g ( x ) = 2ax + b m  2axCT + b   2axCD + b  Nên ta có tọa độ cực trị là: ( xCT ; yCT ) =  xCT ;  ; ( xCD ; yCD ) =  xCD ;  m m     ( ax Do phương trình đường thẳng qua điểm cực trị y = + bx + c ( mx + n) ) = 2ax + b m MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH Trang 93 GV: Phạm Hùng Hải chuyên LTTHPTQG Môn Toán & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 x2 − ( m + 2)x + 2m Bài tốn 1: Tìm m để hàm số y = khơng có cực trị x −1 Lời giải Tập xác định D = \1 , f ( x ) = x − ( m + 2)x + 2m Hàm số khơng có cực trị a f ( x0 )   f ( 1)   m  Bài tốn 2: Tìm m để hàm số y = m  A  m  x2 + 2mx − m có cực đại, cực tiểu x+m m  B  m  C  m  D  m  Lời giải Trước hết ta thấy có dấu xảy với đạo hàm bậc ba hàm bậc hai bậc hàm số khơng có cực trị, loại đáp án D Đặt f ( x) = x + 2mx − m , hàm số có cực đại, cực tiểu khi: a f ( x0 )   f ( −m)   −m ( m + 1)   < m < Chọn đáp án C x2 + mx − có cực đại cực tiểu Khi viết x−m phương trình đường thẳng qua điểm cực trị Bài tốn 3: Tìm giá trị thực m để hàm số y = Lời giải Tập xác định D = \m x − 2mx − m2 + Ta có: y ' = ( x − m)2  x − mx − m + = Cho y =    x  m ( 1) Hàm số có cực đại cực tiểu  ( 1) có nghiệm phân biệt x  m  m  −1  = 2m −     −2m +  m  Suy ra, hàm số có cực đại cực tiểu m  −1 m  (x Khi phương trình đường thẳng qua điểm cực trị y = Bài tốn 4: Tìm giá trị thực m để hàm số y = + mx − ( x − m ) x + ( m + ) x + m2 + 4m x+m ) = 2x + m có hai cực trị trái dấu Lời giải Tập xác định D = Trang 94 \−m https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH GV: Phạm Hùng Hải chun LTTHPTQG Mơn Tốn & Vật Lý Đ/C: K82/H10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng Ta có: y = Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm SĐT: 0905958921 x + 2mx + m2 − 3m ( x + m)2  x + mx + m − 3m = Cho y =    x  − m ( 1) Hàm số có hai cực trị trái dấu  ( 1) có nghiệm phân biệt trái dấu x  −m   = 3m  0  m   c  3 3      P = x1 x2 = = m − 3m    Vậy m   0;    ;  thỏa YCBT a  4 4    m  m − 3m   https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH Trang 95 ...  Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu a   b  Hàm số có cực trị cực trị cực đại a   b  Hàm số có hai cực tiểu cực đại a   b  Hàm số có cực tiểu hai cực đại Hàm số có cực trị Hàm số. .. Đạo hàm f  ( x ) điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 o Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Như vậy: Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm III... biến thiên hàm số Kết luận: Hàm số đạt cực đại x = −1 , giá trị cực đại tương ứng y ( −1) = ; hàm số đạt cực tiểu x = , giá trị cực tiểu tương ứng y ( ) = Bài toán 5: Tìm cực trị hàm số y = f