Logarit

HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT I.Kiến thức 1. Lũy thừa: thua so a . . n n a a a a= 14 2 43 0 1 a 1; n n a a − = = m n a m n a= ;a>0 2. Lôgarít : Cho 0<a ≠ 1 và x 1; x 2 >0 ta có; a. 1 2 1 2 log ( ) log log a a a x x x x= + b. 1 1 2 2 2 log log log ; 0 a a a x x x x x = − ≠ c. log log ; a a x x x o α α = > d. log log log a b a x x b = Hệ quả: 1 log log a b b a = 1 log log a a x x α α = 3. Đạo hàm của hàm số mũ và lôgarít Hàm số thường gặp Hàm số hợp 1 1 2 2 1.( )' 2.( )' ln 1 3.(ln )' 1 4.(log )' ln 5.( )' 1 1 6.( )' ;( ) 2 7.(sinx)'=cosx 8.(cosx)'=-sinx 1 9.(tanx)'= cos -1 10.(cotx)'= sin x x x x a n n n e e a a a x x x x a x x x x x n x x x α α α − − = = = = = = = 1 1 2 2 1.( )' ' 2.( )' ' ln ' 3.(ln )' ' 4.(log )' ln 5.( )' ' ' ' 6.( )' ;( ) 2 7.(sinu)'=u'cosu 8.(cosu)'=-u'sinx u 9.(tanu)'= cos -u' 10.(cotu)'= sin u u u u a n n n e u e a u a a u u u u u u a u u u u u u u u n u u u α α α − − = = = = = = = 4. Phương trình và bất phương trình mũ và lôgarít a. Phương trình 1 ( ) ( ) a ( ) ( ) (0<a 1) ( ) ( ) log ( ) log ( ) ( ) 0 hoac ( ) 0 f x g x a a a f x g x f x g x f x g x f x g x = ⇔ = ≠ =  = ⇔  > >  b. Bất phương trình Nếu a>1 thì ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x> ⇔ > Nếu 0<a<1 thì ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x> ⇔ < Nếu a>1 thì a ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) ( ) a g x f x g x f x g x >  > ⇔  >  Nếu 0<a<1 thì a f ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) ( ) a x f x g x f x g x >  > ⇔  <  II BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Đơn giản biểu thức . a. 4 4 1 4 3 3 4 4 1 3 3 3 2 a-1 b.B= . . 1 1 a a b ab a a A a a b a a + + = + + + + c. 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 ( ax )( ) 4 a x a x C xa a x a x − − − − − − − − − − + = − + + − Bài 2: Tính giá trị biểu thức a. 2 7 1 1 log 4 log 2 4 2 (81 25).49A − = + b. 2 5 4 1 log 3 3log 25 1 log 5 2 16 4B + + = + c. 3 8 6 log 6.log 9.log 2C = Bài 3 Rút gọn biểu thức a. 3 5 2 5 4 16 64 log 2 A = b. 3 1 log a B a a a = c. 5 3 b a b C a b a = Bài 4: Tìm tập xác định các hàm số sau a. 3 1 ln( 1) 2 x y x − = + − b. 2 2 3 1 1 x x y e − + = − c. 2 2 log ( 2 ) 1y x x= − − Bài 5. a Biết 5 5 log 2 ;log 3a b= = . Tính theo a, b các lôgarít sau 5 30 log 27;log 5 b.Biết 3 3 log 392 ;log 112x y= = .Tính theo x, y các lôgarít sau 3 3 log 7;log 2 Bài 6: Tính đạo hàm các hàm số sau a. 2 ( 2 3) x y x x e= − + b. ln x y x = 2 c. x x x x e e y e e − − − = + d. 2 2 ln 1y x x= + Bài 7 Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn hệ thức đã cho a sinx ' osx-ysinx-y''=0y e y c= ⇒ b. osx 2y'-2y-y''=0 x y e c= ⇒ Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất các hàm số sau a. [ ] 2 4 2 2 ; 3;1 x x y + + = − b. [ ] 1 3 2 2 ; 1;3 x x y − − = + − c. 2 2 sin os 5 5 x c x y = + d. 2 2 1 2 x x y + = Bài 9: Giải các phương trình sau a. 1 1 4 6.2 8 0 x x+ + − + = b. 1 3 5 5 26 x x− − + = c. ( 7 48 ) ( 7 48) 14 x x − + + = d. 9 6 2.4 x x x + = Bài 10 Giải bất phương trình sau. a. 6.4 13.6 6.9 0 x x x − + ≥ b. 1 1 2 4 2 2 12 x x x+ + + + > + c. 9 2.3 3 x x − < Bài 11: giải các phương trình sau a. 2 2 log ( 5) log ( 2) 3x x− + + = b. 4 8 2 log 4log log 13x x x+ + = c 1 2 1 5 lg 1 lgx x + = − + Bài 12: Giải phương trình a. 2 2 3 2 2 log ( 1) log ( 1) 7x x− + − = b. 16 2 3log 16 4log 2log x x x− = c. 2 2 log 5log 6 0x x+ + = d. 4 7 log 2 log 0 6 x x− + = III . ĐÁP ÁN Bài 1: a. 1 1 3 3 1 1 3 3 ( )ab a b A ab a b + = = + 3 1 1 4 4 2 4 4 4 1 1 3 3 2 2 a-1 ( 1)( 1)( ) b.B= . . 1 1 1 a ( )( 1) ( 1) 1 a a a a a a a a a a a a a a + − + + + = + + + + + = − + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) . ( )( ) ( ) 4 ax 4 ax 1 2( ) 4 ax 2ax x a x a x a x a x a x a c C x a x a x a x a x a − − + − − + + = + = + − − + + = = Bài 2: 3 a. 2 7 1 1 log 4 log 2 4 2 (81 25).49A − = + 2 2 7 1 1 log 2 log 2 2 4 2 (81 25).(7 ) − = + = 1 3 1 2 4 4 (81 25).2 (81 25).4 − − + = + 1 2704 25 .4 27 27   = + =  ÷   b. 2 5 4 1 log 3 3log 25 1 log 5 2 16 4B + + = + 2 4 1 log 3 6 log 5 2 16.16 4 + = + = 2 4 1 log 3 log 5 2 6 2 6 2 16(4 ) 4 .4 16.5 4 .3 12688+ = + = c. 3 8 6 log 6.log 9.log 2C = 3 2 3 6 2 log 6.log 2.log 3= 2 2 2 log 3. log 3 3 = 3 2 2 2 log 2.log 3 3 3 = = Bài 3: a. 3 5 2 5 4 16 64 log 2 A = 4 6 2 4 6 2 3 5 3 5 1 2 2 5 5 2 2 2 2 .2 .2 log log 2 2 = = 4 6 1 2 3 5 5 2 log 2 + + − = 13 3 2 13 log 2 3 = = b. 3 1 log a B a a a = 1 1 1 3 6 12 1 log ( .( ) . ) a a a a = 1 1 1 1 3 6 12 4 1 log ( . . ) log 4 a a a a a a − = = = c. 5 3 b a b C a b a = 1 1 1 5 15 30 . b a b a b a       =  ÷  ÷  ÷       = 1 1 1 1 5 15 30 6 . b b b b a a a a −         =  ÷  ÷  ÷  ÷         Bài 4: a.Đk 3 1 2 1 1 1 0 0 2 2 2 2 x x x x x − + + > ⇔ > ⇔ − < < − − Vậy Txđ 1 ;2 2 D   = −  ÷   b.ĐK 2 2 2 3 1 2 3 1 1 0 1 x x x x e e − + − + − > ⇔ > 2 1 2 3 1 0 2 1 x x x x  <  ⇔ − + > ⇔  >  Vậy Txđ ( ) 1 ; 1; 2 D   = −∞ +∞  ÷   U 4 c.ĐK 2 2 2 2 2 log ( 2 ) 1 0 log ( 2 ) 1 log 2x x x x− − > ⇔ − > = 2 2 2 1 3 2 2 2 2 0 2 2 0 1 3 x x x x x x x x  < − ⇔ − > ⇔ − + + < ⇔ − − > ⇔  > +   Vậy Txđ ( ) ( ) ;1 3 1 3;D = −∞ − ∪ + +∞ Bài 5 a.Ta có 3 5 5 5 log 27 log 3 3log 3 3b= = = 30 5 5 5 5 1 1 1 log 5 log 30 log (6.5) log 6 log 5 = = = + 5 5 1 1 log 2 log 3 1 1a b = = + + + + b.Ta có 3 2 3 3 3 3 log 392 log (2 .7 ) 3log 2 2log 7 x= = + = 4 3 3 3 3 log 112 log (2 .7) 4log 2 log 7 y= = + = Từ đó ta có hệ 3 3 3 3 3log 2 2log 7 4log 2 log 7 x y + =   + =  3 3 2 log 2 5 4 3 log 7 5 y x x y −  =   ⇔  −  =   Bài 6 2 ( 2 3) x y x x e= − + 2 2 ' (2 2) ( 2 3) ( 1) x x x y x e x x e x e⇒ = − + − + = + b. ln x y x = 2 2 1 1.ln 1 ln ' x x x x y x x − − ⇒ = = c. x x x x e e y e e − − − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' x x x x x x x x x x e e e e e e e e y e e − − − − − + − − − − ⇒ = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 x x x x x x x x e e e e e e e e − − − − + − − = = + + d. 2 2 ln 1y x x= + 2 2 2 2 ( 1)' ' 2 ln 1 1 x y x x x x + ⇒ = + + + 3 2 2 2 ln 1 1 x x x x = + + + Bài 7 sinx sinx . ' osx a y e y c e= ⇒ = sinx 2 sinx '' sinx e os .y c x e⇒ = − + 5 Ta có 2 sinx sinx sinx 2 sinx ' osx-ysinx-y''=cos . sinx.e sinx.e os . 0y c x e c x e− + − = Vậy ' osx-ysinx-y''=0y c b. osx x y e c= x ' . osx-sinx.e x y e c⇒ = x x x x '' . osx-sinx.e osx.e sinx.e 2sinx.e x y e c c ⇒ = − − = − Ta có 2y'-2y-y'' x x x 2( . osx-sinx.e ) 2 osx.e 2sinx.e 0 x e c c= − + = Vậy 2y'-2y-y'' =0 Bài 8 a. [ ] 2 4 2 2 ; 3;1 x x y + + = − Ta có 2 4 2 ' (2 4)2 ln2 x x y x + + = + ' 0 2y x⇒ = ⇔ = − Ta có ( ) 1 1 (1) 128; ( 3) ; 2 2 4 f f f= − = − = [ ] ( ) [ ] ( ) 3;1 3;1 1 axf(x) 1 128; f(x) 2 4 x x M f Min f ∈ − ∈ − = = = − = b. [ ] 1 3 2 2 ; 1;3 x x y − − = + − Ta có D=R ; ( ) 1 3 ' 2 2 ln 2 x x y − − = − 1 3 ' 0 2 2 2 x x y x − − ⇒ = ⇔ = ⇔ = 65 ( 1) ; (2) 4; (3) 5 24 f f f− = = = Vậy [ ] ( ) [ ] ( ) 1;3 1;3 65 axf(x) 1 ; f(x) 2 4 4 x x M f Min f ∈ − ∈ − = − = = = c. 2 2 sin os 5 5 x c x y = + 2 2 sin 1-sin 5 5 x x = + Đặt 2 sin (0 t 1)t x= ≤ ≤ [ ] 1 1 ( ) 5 5 ; 0;1 '( ) (5 5 )ln5 t t t t g t t g t − − = + ∈ ⇒ = − 1 '( ) 0 2 g t t⇒ = ⇔ = ( ) 1 0 6; (1) 6; ( ) 2 5 2 g g g= = = 2 2 sin 0 axf(x)=6 khi 2 sin 1 2 x k x k M x x k x π π π π =   =  ⇔ ⇔ =   = + =    2 1 f(x) 25 khi sin os2x=0 x= 2 4 2 x R k Min x c π π ∈ = ⇔ = ⇔ ⇔ + d. 2 2 1 2 x x y + = Txđ D=R 6 2 2 2 1 2 2 1 ' 2 ln 2 2 1 x x x y x + − + = + 2 2 2 1 ' 0 0 2 1 x y x − + ⇒ = ⇔ = + 1 2 x⇔ = ± lim 1; lim 1 x x y y →−∞ →+∞ = = Bảng biến thiên: x −∞ 1 2 − 1 2 +∞ y’ - 0 + 0 - y 1 2 4 2 2 4 2 − 1 2 4 1 Max ( ) 2 2 x R y f ∈ = = ; 2 4 1 Min ( ) 2 2 x R y f − ∈ − = = Bài 9 a. 1 1 4 6.2 8 0 x x+ + − + = 1 2 1 (2 ) 6.2 8 0 x x+ + ⇔ − + = Đặt t= 1 2 x+ đk t>0 Ta có 2 6 8 0t t− + = 2 4 t t =  ⇔  =  Với t=2 ta có 1 2 x+ =2 0x⇔ = Với t=4 ta có 1 2 x+ =4 1x⇔ = b. 1 3 5 5 26 x x− − + = 5 125 26 0 5 5 x x ⇔ + − = Đặt 5 ; 0 x t t= > Ta có 2 125 26 0 26 125 0 5 5 t t t t + − = ⇔ − + = 125 5 t t =  ⇔  =  Với t=125 ta có 5 125 3 x x= ⇔ = Với t=5 ta có 5 5 1 x x= ⇔ = c. ( 7 48 ) ( 7 48) 14 x x − + + = Ta có ( 7 48) ( 7 48) 1 x x − + = Đặt 1 ( 7 48) ;( 0) ( 7 48 ) x x t t t = + > ⇒ − = 7 Pttt 1 14t t + = 2 7 48 14 1 0 7 48 t t t t  = − ⇒ − + = ⇔  = +   Vớt 7 48t = − ( 7 48 ) 7 48 2 x x⇒ + = − ⇔ = − Vớt 7 48t = + ( 7 48) 7 48 2 x x ⇒ + = + ⇔ = d. 9 6 2.4 x x x + = 9 6 ( ) 2 0 4 4 x x   ⇔ + − =  ÷   2 3 3 ( ) 2 0 2 2 x x   ⇔ + − =  ÷   3 1 2 0 3 2( ) 2 x x x l    =   ÷    ⇔ =     = −  ÷     Bài 10. a. 6.4 13.6 6.9 0 x x x − + ≥ 2 2 2 3 3 2 2 6. 13 6 0 3 3 2 3 3 2 x x x x    ≤   ÷        ⇔ − + ≥ ⇔  ÷  ÷         ≥  ÷     1; 1x x⇔ ≥ ≤ − b. 1 1 2 4 2 2 12 x x x+ + + + > + 2 4.2 2.2 12 0 x x ⇔ − − > 3 2 ( );2 2 1 2 x x l x − ⇔ < > ⇔ > Bài 11 a. 2 2 log ( 5) log ( 2) 3x x− + + = (1) ĐK 5x > Pt(1) ( ) ( ) 2 2 log 5 2 3 log 9x x⇔ − + = =     ( ) ( ) 2 5 2 9 3 19 0x x x x− + = ⇔ − − = 3 85 2 x − ⇔ = (loại); 3 85 2 x + = Vậy phương trình có nghiệm 3 85 2 x + = b.ĐK 0x > 4 8 2 log 4log log 13x x x+ + = 1 2 3 2 2 2 2 log 4log log 13x x x⇔ + + = 2 2 2 1 2log 2log log 13 3 x x x⇔ + + = 2 2 13 log 13 log 3 8 3 x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = 8 c 1 2 1 5 lg 1 lgx x + = − + Đặt lgt x= đk 5t ≠ và 1t ≠ − Pttt 1 2 1 5 1t t + = − + ( ) ( ) 2 11 1 11 5 4 5 1 t t t t t t − + ⇔ = ⇒ − + = − − − + 2 5 6 0 2; 3t t t t⇔ − + = ⇔ = = Với t=2 ta có lg 2 100x x= ⇔ = Với t=3 ta có lg 3 1000x x= ⇔ = Bài 12 a. ĐK 1x > 2 2 3 2 2 log ( 1) log ( 1) 7x x− + − = ( ) ( ) 2 2 2 4log 1 3log 1 7 0x x⇔ − + − − = Đặt ( ) 2 log 1t x= − Pttt 2 7 4 3 7 0 1; 4 t t t t − + − = ⇔ = = Với t=1 ta có ( ) 2 log 1 1 1 2 3x x x− = ⇔ − = ⇔ = Với 7 4 t − = ta có ( ) 7 7 4 4 2 7 log 1 1 2 1 2 4 x x x − − − − = ⇔ − = ⇔ = + b. ĐK 0 1x< ≠ 16 2 3log 16 4log 2log x x x− = 2 2 12log 2 log 2log x x x⇔ − = 2 2 12 3log 0 log x x ⇔ − = Đặt 2 logt x= ( 0)t ≠ Pttt 2 12 3 0 4 2t t t t − = ⇔ = ⇔ = ± Với 2 2 log 2 4t x x= ⇒ = ⇔ = Với 2 1 2 log 2 4 t x x= − ⇒ = − ⇔ = c. 2 2 log 5log 6 0x x+ + = Đặt 2 5log 6 (t>0)t x= + 2 2 2 2 6 5log 6 log 5 t t x x − ⇒ = + ⇔ = Pttt 2 2 6 0 5 6 0 5 t t t t − + = ⇔ + − = 1; 6t t⇔ = = − (loại) Với t=1 ta có 2 2 1 5log 6 1 log 1 2 x x x+ = ⇔ = − ⇔ = III Bài tập Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:    ÷   log 36 25 A = log 16 + log 27 .5 8 3 9 ( ) log log log − = 34 17 6 6 B 2 5 .Bài 2: a Cho hàm số 2 ( 1) x y x e = + . CMR ''' '' ' 4 x y y y y e − − + = . bTính đạo hàm của hàm số y = e 2x+1 .sin2x c. Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số y = x 2 .lnx trên đoạn [ ] 1; e Bài 3: Giải phương trình a. 5.4 2.25 7.10 x x x + = b. 2 2 log 10log 6 9x x + + = :c. log log    ÷   + + = 2 x 1 3 7 4 2 2 Bài 4 : Giải phương trình sau a. 2 2 2 log 5log 6 0x x − + = b.3 2 + x + 3 2 – x = 30 c. 2 1 3 9.3 6 0 x x + − + = d. 5 3 3 log ( 2)log 2log ( 2)x x x− = − Bài 5:Giải các phương trình và bất phương trình sau a. sin 2 2 log 4 3 1 x x − + > b. 3 1 2 log log 0x   ≥  ÷  ÷   d. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 log 1 3log 1 log 32 0x x+ − + + = 10 . HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT I.Kiến thức 1. Lũy thừa: thua so a . . n n a a a a= 14 2 43 0