Sáng kiến kinh nghiệm: Nâng cao tư duy sáng tạo thông qua một số bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Trường THCS Phước Sơn Sáng kiến kinh nghiệmPHỊNG GIÁO DỤC TUY PHƯỚC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ PHƯỚC SƠN ------SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: NÂNG CAO TƯ DUY VÀ SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH

Trường THCS Phước Sơn Sáng kiến kinh nghiệm

PHỊNG GIÁO DỤC TUY PHƯỚC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ PHƯỚC SƠN

- -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài: NÂNG CAO TƯ DUY VÀ SÁNG TẠO

CỦA HỌC SINH THƠNG QUA HỆ THỐNG

BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH

NGHIỆM NGUYÊN.

Người viết: TRẦN THIỆN TÀI

Tổ: TOÁN – LÍ – CÔNG NGHỆ

Năm học 2006 - 2007

Trường THCS Phước Sơn Sáng kiến kinh nghiệm

I MỞ ĐẦU:

Toán học là môn học đòi hỏi ở người học rất nhiều yếu tố Một trong những yếu tố giúp cho học sinh học tốt môn Toán là khả năng tư duy và sáng tạo Điều này không những giúp giáo viên nâng cao khả năng học tập của học sinh mà đây còn là một trong những phương pháp có hiệu quả nhằm chọn ra những học sinh có chất lượng để bồi dưỡng học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh cho Nhà Trường

Để thực hiện được mục tiêu này, nhiệm vụ đặt ra cho mỗi giáo viên là phải đổi mới phương pháp, hình thức tổ chức dạy học Cùng với việc đổi mới phương pháp giảng dạy trên lớp, việc hướng dẫn học sinh học tập ở nhà cũng rất quan trọng, giúp cho học sinh có suy nghĩ cẩn thận, chắc chắn hơn và tìm được rất nhiều điều thú vị từ những bài tập về nhà, từ các tài liệu

mà giáo viên đã hướng dẫn, giúp cho học sinh hứng thú trong học toán

Trong lớp học thường có đầy đủ các loại đối tượng học sinh Các học sinh khá, giỏi có khả năng tư duy sáng tạo tốt trong giải toán và khả năng lập luận là tương đối chặt chẽ Các đối tượng học sinh còn lại kĩ năng giải toán chưa hoàn thiện, tư duy sáng tạo còn rất hạn chế Làm thế nào để hoàn thiện dần khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh, giúp các em hứng thú trong học tập môn toán, đó là một bài toán khó đối với một giáo viên trẻ như tôi

Hôm nay, tôi muốn đề cập đến một khía cạnh của vấn đề này Đó là việc nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo của những học sinh khá, giỏi, nhằm tạo nguồn cho đội tuyển học sinh giỏi toán khối 8, khối 9 và các lớp cấp III Tuy qua 4 năm công tác ít ỏi nhưng bản thân cũng rút ra được một số kinh nghiệm có hiệu quả tích cực giúp học sinh nói chung và học sinh giỏi nói riêng, nâng cao dần khả năng tư duy và sáng tạo trong giải toán Xin được trình bày cùng bạn bè

CỦA

HỌC SINH THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ”

Bản thân chân thành cảm ơn khi nhận được những ý kiến đóng góp của tất cả bạn đọc để bài viết được hoàn thiện hơn và có giá trị hơn nữa

II NỘI DUNG:

1 THỰC TRẠNG TÌNH HÌNH HỌC TẬP CỦA HỌC SINH:

Trong công tác giảng dạy môn Toán ở Trường trung học cở sở Phước Sơn có một số thuận lợi và khó khăn sau:

a) Thuận lợi:

- Nhà trường đầu tư đầy đủ cơ sơ vật chất, thiết bị dạy học phục vụ tốt cho công tác giảng dạy học sinh

- Được sự lãnh đạo sáng suốt, sự quan tâm của chi bộ Đảng, ban giám hiệu nhà trường, tạo mọi điều kiện để bồi dưỡng cho học sinh kiến thức, kĩ năng, tư duy và sáng tạo trong giải toán

- Đội ngũ giáo viên giảng dạy được đào tạo chuẩn hoá, bên cạnh các giáo viên có bề dày kinh nghiệm, lớp giáo viên mới có tinh thần trách nhiệm, sức trẻ và lòng nhiệt tình

- Phụ huynh học sinh cũng có quan tâm đến học tập môn Toán của học sinh

- Học sinh hầu hết là con em nông dân, có ý thức, xác định đúng động cơ và thái độ học tập, nhất là các môn thi tuyển vào 10, trong đó có môn Toán

- Trong lực lượng HS giỏi khả năng tư duy và sáng tạo vẫn còn những hạn chế nhất định b)Khó khăn:

- Đa phần học sinh là con em nông dân, đời sống còn khó khăn, điều kiện để học sinh học tập chưa thật tốt

- Trường ở địa bàn rộng, học sinh ở xa trường rất khó khăn trong việc đi lại vào mùa lũ Học sinh thường nghỉ lụt kéo dài, phải dạy bù phần nào ảnh hưởng đến chất lượng của học sinh

Trường THCS Phước Sơn Sỏng kiến kinh nghiệm

- Sự phỏt triển của trường lớp quỏ nhanh, cơ sở vật chất chưa đỏp ứng kịp thời Số học sinh trờn một lớp cũn đụng, khú khăn cho việc tổ chức dạy và học

- Một bộ phận học sinh lười biếng, ham chơi, xỏc định động cơ và thỏi độ học tập khụng đỳng, mất kiến thức căn bản từ lớp dưới, một số ảnh hưởng cỏc trào lưu xấu của xó hội

Từ những thuận lợi và khú khăn trờn, những năm gần đõy tỉ lệ học sinh giải tốt cỏc bài toỏn nõng cao trong cỏc đề thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh vào 10 của Nhà trường là chưa cao:

Năm 2003 – 2004: 5 %

Năm 2004 – 2005: 6 %

Năm 2005 – 2006: 4 %

Kết quả trờn là cũn thấp so với tiềm năng và khả năng của học sinh Vỡ vậy với sỏng kiến kinh nghiệm này bản thõn mong muốn sẽ mang lại hiệu quả tớch cực trong chất lượng HS khỏ giỏi của Nhà trường

2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRèNH NGHIỆM NGUYấN:

Phương phỏp 1: Phương phỏp đưa về phương trỡnh “tớch”(hay cũn gọi là phương phỏp phõn tớch thành thừa số một vế của phương trỡnh)

Đưa phương trỡnh đó cho về dạng một vế là tớch cỏc biểu thức nguyờn và cú giỏ trị nguyờn chứa ẩn cũn vế kia là một số nguyờn Xột mọi trường hợp cú thể xảy ra để tỡm nghiệm thớch hợp.

1

x - 1 y 1 1

x - 1 = 1

y - 1 = 1

Tìm nghiệm nguyên của ph ơng trình sau:

+

Giải:

TH1:

Bài 1:

a) x y = x.y









2

x 2

y 2

1

Vì p là số nguyên tố, nên chỉ có thể phân tích p thành tích hai số nguyên

d ới dạng













2 2

2

do đó ta có các tr ờng hợp sau:

4)









2



Trường THCS Phước Sơn Sáng kiến kinh nghiệm

 

 

Gi¶i c¸c ph ¬ng tr×nh sau trªn tËp sè nguyªn:

Bµi 2 :

 

2 2

Gi¶i:

x y 1

TH2:

y 1











 





TH4:











 





2x 2y 1 1

















TH3 :

x y 1

VËy ph ¬ng tr×nh cã ng





















 





 





 





 

Trường THCS Phước Sơn Sỏng kiến kinh nghiệm

Tìm hình chữ nhật có các cạnh nguyên sao cho số đo diện tích bằng số đo chu vi

Gọi x, y là hai kích th ớc của hình chữ nhật x, y: nguyên d ơng

Theo đề bài, hình chữ nhật có số đo diện tích

Bài 3:

Giải:

bằng số đo chu vi nên ta có ph ơng trình:

Từ đây suy ra hai kích th ớc của hình chữ nhật là: 3 và 6 hoặc 4 và 4

Phương phỏp 2: Phương phỏp đưa về phương trỡnh “tổng”:

Đưa phương trỡnh nghiệm nguyờn về dạng:

,

f x, y, f x, y, f x,y, a a a a ,a , ,a

f x, y, ,f x, y, , ,f x, y, Từ đó tìm nghiệm thích hợp







x = 0

y = 0

Bài 1:



 

2

2

2

28

5

Với



x = 1, ta suy ra y = 2

Với x = - 1, ta suy ra y = 3

-Bài 2:

Giải:



Do vậy y = 1, khi đó x = 2 Vậy ph ơng trình có nghiệm



duy nhất 2;1 : T ìm nghiệm nguyên d ơng của ph ơng trình:

Bài 3

Giải:

+

2

1;2 ; 2;1 và n;n với n

7

3





Trường THCS Phước Sơn Sỏng kiến kinh nghiệm

2 2

Do đó ta có các khả năng sau:

y 13

Bài 4

Giải:













y = -13





































2

2

Từ

Giải:

B ài 5



đó tìm đ ợc nghiệm của ph ơng trình là 0;0 và 1;1

Dễ thấy x = y = 0 là một nghiệm của ph ơng trình

Bài 6:

Giải: Cách 1:

2 2

2

28

3





ách 2:

Trường THCS Phước Sơn Sỏng kiến kinh nghiệm



2

Với x = -2 và x = 2: ' không chính ph ơng nên ph ơng trình không có nghiệm nguyên

Với x = 0: ' = 196 = 14 là số chính ph ơng







2

2

28

3 Với x = 1: ' = 169 = 13 là số chính ph ơng

-2

3 Với x = -1: ' = 169 = 13 là số chính ph ơng





3

     

196

27

Từ đây thực hiện t ơng tự nh cách 2

ách 3:

C



2

2

Cách 4:

nguyên nh các cách trên

Phương phỏp 3: Phương phỏp vận dụng tớnh chia hết của số nguyờn.

Vận dụng tớnh chia hết của số nguyờn để thu hẹp miền xỏc định của nghiệm Trong nhiều trường hợp cú thể trực tiếp để tỡm nghiệm Phương phỏp này thường dựng để chứng minh phương trỡnh vụ nghiệm nguyờn.

Vậy ph ơng

Bài 1:

Giải:

trình đã cho không có nghiệm nguyên

2 2 2

Bài 2:

Giải:

Ta thấy vế trái là số chẵn vì tích hai số nguyên liên tiếp là số chẵn , mà vế phải là số lẻ

Vậy ph ơng trình không có nghiệm nguyên

ài 3:

Trường THCS Phước Sơn Sỏng kiến kinh nghiệm

x y x z x 5

y x 3

z-y

là:x = 5, y = 8, z = 11



chia hết cho 6 còn vế phải của ph ơng trình không chia hết cho 6

Do đó ph ơng trình vô nghiệm Vậy ph ơng trình b

ài 4:





an đầu vô nghiệm

Phương phỏp 4: Phương phỏp vận dụng tớnh chất của số nguyờn tố, số vụ tỉ:

Cú thể sử dụng (chứng minh rồi vận dụng) một số tớnh chất của số nguyờn tố, số vụ tỉ để giải phương trỡnh nghiệm nguyờn.

- Cho p nguyờn tố dạng 4k + 3; a, b  , khi đú nếu a 2 + b 2  p thỡ a p à b p v  .

 

2 3

2

2 2

Bài 1:

Giải:







2

2

uyên tố dạng đó vì tích các số dạng 4k +1 sẽ có dạng 4k +1

Do vậy x + 1 có ớc nguyên tố dạng 4k + 3 vô lí

Vậy ph ơng trình đã cho không có nghiệm nguyên

Giải ph ơng trình trên tập số nguyên: x

Bài 2:

2

Vậy ph ơng trình không có nghiệm nguyên

Giải ph ơng trình nghiệm nguyên

Giải:

ài 3:

B



ải:

Gi





r







 

2

Vì 1820 13và 13y 13nên 7x 13

Bài 4:  

Trường THCS Phước Sơn Sỏng kiến kinh nghiệm

2





 

 

 

mãn 1 Vậy ph ơng trình 1 có 4 nghiệm:

m = 1 m = 1 m = -1 m = -1

 

T ơng ứng với 4 nghiệm của ph ơng trình 1 ta đ ợc 4 nghiệm của

Phương phỏp 5: Phương phỏp vận dụng vai trũ bỡnh đẳng của ẩn: (Phương phỏp cực hạn)

Nếu phương trỡnh nghiệm nguyờn mà cỏc ẩn x, y, z, … cú vai trũ bỡnh đẳng như nhau, ta

cú thể giả sử x  y z hoặc 1 x y z     để thu hẹp miền xỏc định của ẩn Từ đo tỡm được nghiệm của phương trỡnh đó cho.(Phương phỏp này thường dựng cho những phương trỡnh đối xứng)

 

 

+

2 2

Vì x, y, z có vai trò bình đẳng nh nhau, do đó không mất tính tổng quát

ài 1:

Giải:

Cách 1:

  



 

x 1 Thay x 1vào ph ơng trình 1 ta đ ợc 1 + y + z = yz

Vậy ph ơng trình 1 có 6 nghiệm là các hoán vị của 1,2,3



 

 

Ph ơng trình đã cho trở thành:

Vậy l = 0, thay

Cách 2:

 

Vậy ta đ ợc x = 1, y = 2, z = 3 là nghiệm Vì vai trò x, y, z

là bình đẳng nên các bộ 3 số là hoán vị của x = 1, y = 2, z = 3 cũng là nghiệm của ph ơng trình

Trường THCS Phước Sơn Sỏng kiến kinh nghiệm

T ìm nghiệm nguyên d ơng của ph ơng trình:(bằng ph ơng pháp cực hạn) a)x + y + z + t = xyzt

b) x + y + z + 9 = xyz

c) x + y + 1 = xyz

Bài tập tự luyện:

x

Với vai trò bình đẳng của x, y, z, t ta có thể giả sử:

ài 2:



y-x z x t x

t-x

z-x

y-x

z-x t x

Vì t > x nên 2 là bội của 2

Vì z > x nên 2 là bội của 2

Vậy ph ơng trình



có nghiệm x = k, y = k, z = k + 1, t = k + 2 , với k là số nguyên d ơng

Phương phỏp 6: Phương phỏp khử ẩn: Sử dụng tớnh chất, luỹ thừa cựng bậc của số nguyờn liờn tiếp hoặc tớch cỏc số nguyờn liờn tiếp… để đưa phương trỡnh về về dạng phương trỡnh khỏc cú ớt ẩn hơn và quen thuộc hơn Từ đú tỡm nghiệm của phương trỡnh đó cho Thường vận dụng cỏc nhận xột sau:

n

n n

n

Nếu X Y X a (a )

Y X i với i = 0, 1, , a

Và X Y X 1 thì không tồn tại số nguyên Y



   

  

  



2

2

2 2

2

2 2

2

:

Từ đó tìm đ ợc các nghiệm của p

Bài 1:

Giải:





h ơng trình là:

Giải ph ơng trình nghiệm nguyên:

:

Giải:

Bài 2

4







Trường THCS Phước Sơn Sỏng kiến kinh nghiệm

4

Vậy ph ơng trình đã cho có hai nghiệm nguyên 0;1 và 0;-1

 

1 1

1

 

1

3

1

3) Nếu x= -1 thì *

y 0

Vậy ph ơng trình có nghiệm duy nhất

y 0























 4

4 4

c) Ta thấy rằng x = 0, y = 1 và x = -1, y = 1 nghiệm đúng ph ơng trình

Ta chứng minh ngoài các nghiệm trên, ph ơng trình không có nghiệm nào khác

Thật vậy:

1) Nếu x > 0: Ta có x <y < x+1 x < y x 1, đ

iều này không thể xảy ra vì x và y nguyên 2) Nếu x < -1: Đặt x = - 1 - u u nguyên d ơng , suy ra u 3u 4u 2u 1 y 

 4

Phương phỏp 7: Phương phỏp chứng minh phản chứng.

Để chứng minh một phương trỡnh khụng cú nghiệm nguyờn cú thể dựng phương phỏp phản chứng: giả sử phương trỡnh cú nghiệm nguyờn x y z0, 0, , 0  rồi xõy dựng một dóy vụ số nghiệm từ đú đi đến mõu thuẫn hoặc giả sử phương trỡnh cú nghiệm nguyờn x y z0, 0, , 0  với

x 0 cú giỏ trị nhỏ nhất trong cỏc giỏ trị cú thể của nú rồi chứng minh phương trỡnh cú nghiệm nguyờn x y z1, , , 1 1  mà x 0 > x 1

2 2

Giả sử ph ơng trình có nghiệm nguyên Khi đó một trong hai số x và y là số chẵn, số kia

là số lẻ vì tổng bình ph ơng của chúng bằ

Bài 1:

Giải:

ng số lẻ là 1987

Vậy ph ơng trình không có nghiệm nguyên







0 0 0 0

Chứng minh rằng ph ơng trình sau đây không có nghiệm nguyên d ơng: 8x 4y 2z t Giả sử ph ơng trình có nghiệm và theo tiên đề thứ tự trong tập số tự nhiên thì có một nghiệm

x ;y ;z ;t v

Bài 2:

Giải:

0

ới x nhỏ nhất

Từ ph ơng trình đã cho ta thấy: t là số chẵn t 2t Thay vào ph ơng trình và giản ớc cho 2,

ta đ ợc: 4x 2y z 8t

Trường THCS Phước Sơn Sỏng kiến kinh nghiệm

Cuối cùng ta có x 2x , suy ra 8x 4y 2z t

Vậy x ;y ;z ;t là một nghiệm của ph ơng trình đã cho mà x x

 0

Điều này vô lí với cách chọn x là nhỏ nhất

Vậy ph ơng trình không có nghiệm nguyên d ơng

1 2

Ph ơng pháp 8: Dùng bất đẳng thức

1) Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm a ,a , ,a thì:

a a a

a a a Dấu bằng xảy ra a a a n

2) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho 2n số thực a ,a ,

  

.,a ;b , b , , b ta có:

a b a b a b a a a b b b

Dấu bằng xảy ra a kb với i = 1, 2, , n (k )

         

 

 

 

2 2 2 2 2 2 3 4 4 4 3

xyz 1 vì x, y, z nguyên d ơng nên x = y = z =1

Vậy ph ơng trình 1 có nghiệm nguyên d

Bài 1:

Giải: Cách 1:

3

xy yz zx

3 xyz 3

D

ơng là 1;1;1 Vì x, y, z là các số nguyên d ơng nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho

ba số d ơng, ta có:

Vậy ph ơng trình có nghiệm duy nhất

Cách 2:



x = y = z = 1

 2  2 2   

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

Giải:

 2  2 2 2  2 2 2  2 2 

 

ậy ph ơng trình có nghiệm nguyên là 1;1

V

Cách 2:



 

 

1) Nếu a, b nguyên tố cùng nhau thì ph ơng trình 1 bao giờ cũng có nghiệm nguyên

2) Nếu a, b có một ớc số chung không phải là ớc số của c thì p

1

Ph ơng trình dạng ax + by = c (a, b, c là các số nguyên):

 

h ơng trình 1 không

có nghiệm nguyên

Một vài ph ơng pháp để tìm nghiệm nguyên của ph ơng trình bậc nhất:

Trường THCS Phước Sơn Sỏng kiến kinh nghiệm

 

1) Muốn tìm các nghiệm nguyên của 1 , ta phải tách đ ợc phần nguyên

ra khi biểu diễn x theo y hoặc y theo x.

Tìm nghiệm nguyên và nghiệm nguyên d ơng của ph ơng trình:

a) 3x + 4y = 29

b) 7x 23y 120

Bài 1:

2 - y

3

Giải:



y = 2 - 3t

x = 7 + 4t t





2 t

x = 7 + 4t > 0

t 4













 Vì t nguyên nên t = -1 hoặc t = 0

Với t = -1 thì x = 3, y = 5 là nghiệm nguyên d ơng của ph ơng trình

Với t = 0 thì x = 2, y = 7 là nghiệm nguyên d ơng của ph ơng trình

120 23y

7



1 2y

7

1 t

2





x = 27 - 23k

y = 7k - 3 k













27 k

k 7











x = 4 Khi đó nghiệm duy nhất của ph ơng trình là

y = 4







Chứng minh ph ơng trình sau không có nghiệm nguyên: 2x + 14y = 73

Giải: Ta có 2x + 14y = 2 x + 7y 2 còn

2) Dùng tính chất chia hết hoặc tính chất phép chia có d trong tập số nguyên để tìm nghiệm Bài 1:

 73 không chia hết cho 2, do vậy ph ơng trình đã cho không

có nghiệm nguyên

Bài tập t ơng tự: Chứng minh các ph ơng trình sau vô nghiệm:

a) 3x + 15y = 52

b) 21x + 12y = 16

Trường THCS Phước Sơn Sỏng kiến kinh nghiệm

1 2

Khi đó:

1

x x x

Ph ơng pháp tìm nghiệm nguyên d ơng của ph ơng trình:





n

2

2

2

1 x

Phân tích

Cách 1:











 



 

tìm nghiệm nguyên

Dùng ph ơng pháp cực hạn

Giả sử 1 x y

Cách 2:

 

T ìm nghiệm nguyên d ơng của ph ơng trình sau:

Ví dụ:

Ta đ ợc 3 hệ ph ơng trình sau:

3y - 2 = 52 3y - 2 = 26 3y - 2 = 13

Giải ra ta đ ợc các nghiệm 1;18 , 18;1 , 2,5 , 5,2

2 Trường hợp n > 2:

n 1

1

na b

x

c









Vớ dụ: Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh: 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt (1)

3

2 2