Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh phú thọ năm học 2017 2018 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Thí sinh làm (trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi; không làm vào đề thi A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Cho phương trình x + mx + = Tập hợp giá trị tham số m để phương trình có nghiệm kép A { 4; −4} B { 4} C { −4} D { 16} Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo hai đường thẳng có phương trình y = − x y = + x A 70o B 30o C 90o D 45o Câu Cho x = 10 + ( ) Giá trị biểu thức ( x −1 6+2 − − 4x − 2) 2018 D A −22018 B 22018 C Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2018; −1) B (−2018;1) Đường trung trực đoạn thẳng AB có phương trình x x A y = − B y = C y = 2018 x D y = −2018 x 2018 2018 Câu Cho biểu thức P = x − 8x − − x + 8x − , khẳng định ? A P = −2 với x ≥ B P = −2 với x ≥ C P = −2 x − với x ≤ D P = −2 x − với ≤ x ≤ Câu Trong góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M , biết M cách trục tung, trục hoành đường thẳng y = − x Hoành độ điểm M A + B − C D 2 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm M ( 2018; 2018 ) đến đường thẳng y = x − A C D 2  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  m;m - 10 ÷ Khi m thay đổi khẳng định 3  ? A Điểm A thuộc đường thẳng cố định B Điểm A thuộc đường tròn cố định C Điểm A thuộc đoạn thẳng cố định D Điểm A thuộc đường thẳng y = x − 10 B Câu Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm BC = cm Kẻ đường cao AH , gọi I , K tâm đường tròn nội tiếp tam giác HAB tam giác HAC Độ dài đoạn thẳng KI A 1, cm B 2 cm C 1, 45 cm D cm Trang 1/3 Câu 10 Cho AB dây cung đường tròn ( O; cm ) ·AOB = 150o Độ dài đoạn thẳng AB A cm   B + cm C + cm D − cm Câu 11 Cho hai đường tròn ( I ; ) ( O; ) tiếp xúc với A Qua A vẽ hai tia vuông góc với cắt hai đường tròn cho B C Diện tích lớn tam giác ABC A B 12 C 18 D 20 x , y ABCD Câu 12 Cho hình thoi có cạnh Gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp 1 tam giác ABC tam giác ABD Giá trị biểu thức + x y A B C D Câu 13 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O; R ) đường kính AC dây cung BD = R Gọi x, y, z , t khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC , DA Giá trị biểu thức xy + zt   2 2 D R R Câu 14 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I ; cm) nội tiếp đường tròn ( O;6 cm ) Tổng khoảng cách từ điểm O tới cạnh tam giác ABC A cm B 12 cm C 16 cm D 32 cm Câu 15 Nếu tam giác có độ dài đường cao 12,15, 20 bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A B C D 6  Câu 16 Trên khu đất rộng, người ta muốn rào mảnh đất nhỏ hình chữ nhật để trồng rau an tồn, vật liệu cho trước 60m lưới để rào Trên khu đất người ta tận dụng bờ rào AB có sẵn (tham khảo hình vẽ bên) để làm cạnh hàng rào Hỏi mảnh đất để trồng rau an tồn có diện tích lớn ? A 400 m B 450 m C 225 m D 550 m A 2 R B 2R2 C B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) 2 a) Cho a ( b + c ) = b ( c + a ) = 2018 với a, b, c đơi khác khác khơng Tính giá trị biểu thức c ( a + b ) b) Tìm tất số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 91 b = ca Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình x + x − x + x + = b) Hai vị trí A B cách 615 m nằm phía bờ sơng Khoảng cách từ A, B đến bờ sông 118 m 487 m (tham khảo hình vẽ bên) Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người mét (làm tròn đến đơn vị mét) Câu (4,0 điểm) Trang 2/3 Cho đường tròn ( O ) điểm A nằm ( O ) Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với ( O ) ( B, C tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua A cắt ( O ) D E ( AD < AE ) Tiếp tuyến ( O ) D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N a) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh bốn điểm M , E , N , I thuộc đường tròn ( T ) b) Chứng minh hai đường tròn ( O ) ( T ) tiếp xúc c) Chứng minh đường thẳng IT qua điểm cố định Câu (1,5 điểm) 3b − c 3c − a   3a − b + + ≤ với a, b, c độ dài ba cạnh Chứng minh ( a + b + c )   a + ab b + bc c + ca  tam giác - HẾT Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang 3/3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm:Mỗi câu 0,5 điểm) Câu A C B C B,D A,B Câu 10 11 12 13 14 D B C A C A B 15 A A 16 B B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) 2 a) Cho a ( b + c ) = b ( c + a ) = 2018 với a, b, c đôi khác khác khơng Câu Tính giá trị biểu thức c ( a + b ) 3,0 điểm b) Tìm tất số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 91 b = ca 2 Ta có a ( b + c ) = b ( c + a ) ⇔ a b a −b = = =− bc + ab ab + ca c ( b − a ) c Điểm 0,25 Suy ab + bc + ca = ⇔ bc = −a ( b + c ) ⇔ −abc = a ( b + c ) = 2018.(1) a) 1.5 điểm ab + bc + ca = ⇔ ab = −c ( a + b ) ⇔ −abc = c ( a + b ) (2) 0,5 0,5 Từ (1) (2) ta c ( a + b ) = 2018 0,25 Đặt b = qa; c = q a ( q > 1) ta a ( + q + q ) = 91 = 13.7 Trường hợp 1: Nếu q số tự nhiên ta a = a = ⇔ ⇒ a = 1; b = 9; c = 81  1 + q + q = 91  q = a = a = ⇔ ⇒ a = 7; b = 21; c = 63  1 + q + q = 13  q = b)  a = 13  a = 13 1,5 điểm  ⇔ ⇒ a = 13; b = 26; c = 52  q = + q + q =   x Trường hợp 2: Nếu q số hữu tỷ giả sử q = ( x ≥ 3; y ≥ ) y 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 2 2 Khi a ( + q + q ) = 91 ⇔ a ( x + xy + y ) = 91y ( x + xy + y ≥ 19 ) ax a ∈ ¥ ⇒ ∈ ¥ ⇒ a = ty ⇒ x + xy + y = 91 ⇒ x = 6; y = y y a = 25; b = 30; c = 36 Vậy có số ( a; b; c ) thỏa mãn ( 1;9;81) , ( 81;9;1) , ( 7; 21; 63 ) , ( 63; 21; ) ; Ta có c = 0,25 a) Giải phương trình x + x − x + x + = b) Hai vị trí A B cách 615m nằm phía bờ sơng Khoảng Câu cách từ A, B đến bờ sông 118m 487m (tham khảo hình vẽ đây) 3,5 điểm Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người mét (làm tròn đến chữ số thập phân) Trang 4/3 a) 1.5 điểm x + x − x + x + = ⇔ ( x + x + ) − x + x + − = 0,25  x + x + = −1( L) ⇔  x + x + = 0,25 ⇔ x2 + x + = ⇔ x2 + 2x − =  x = −1 − ⇔  x = −1 + 0,25 0,25 0,25 0,25 b) 2,0 điểm Gọi C , D hình chiếu A, B lên bờ sơng Đặt CE = x ( < x < 492 ) Ta có CD = 6152 − ( 487 − 118 ) = 492 0,25 Quãng đường di chuyển người AE + EB 0,25 = x + 1182 + ( 492 − x ) + 4872 Ta có với a, b, c, d a + b2 + c2 + d ≥ Thật ( 1) ⇔ a + b + c + d + ⇔ (a (a ( a + c) +(b+d) + b2 ) ( c + d ) ≥ ( a + c ) + ( b + d ) 0,25 (1) + b ) ( c + d ) ≥ ac + bd (2) Nếu ac + bd < (2) ln Nếu ac + bd ≥ bình phương hai vế ta 0,25 0,25 (2) trở thành ( ad − bc ) ≥ Dấu đẳng thức sảy ad = bc ( x + 492 − x ) + ( 487 + 118 ) = 487 x = 118 ( 492 − x ) ⇔ x ≈ 96m Áp dụng (1) AE + EB ≥ 2 0,25 608089 ≈ 779,8m 0,25 Dấu đẳng thức xảy Vậy quãng đường nhỏ 780 m 0,25 Câu Cho đường tròn ( O ) điểm A nằm ( O ) Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC 4,0 điểm với ( O ) ( B, C tiếp điểm), cát tuyến thay đổi qua A cắt ( O ) D E ( AD < AE ) Tiếp tuyến ( O ) D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N a) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AD, chứng minh bốn điểm M , E , N , I thuộc đường tròn ( T ) b) Chứng minh hai đường tròn ( O ) ( T ) tiếp xúc c) Chứng minh IT qua điểm cố định Trang 5/3 a) 1,5 điểm 0,25 · Ta có ·ABO + ACO = 180o nên tứ giác ABON nội tiếp Gọi J giao điểm AD với đường tròn ( ABOC ) Suy ∆DMA đồng dạng ∆DNJ Suy DM DN = DA.DJ Mà DA = DI ; DJ = DE Nên DM DN = DI DE ⇒ ∆DMI đồng dạng ∆DEN Vậy tứ giác MINE nội tiếp hay có đpcm b) Dễ thấy MN ⊥ OA ( O ) ( T ) tiếp xúc E 1,5 điểm Khi MN khơng vng góc OA Gọi K giao điểm MN với tiếp tuyến ( O ) E c) 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có O, J , K thẳng hàng Trong tam giác OEK : KJ KO = KE (1) ( Định lý hình chiếu) 0,25 0,25 Trên đường tròn ( ABOC ) ta có KJ KO = KN KM (2) 0,25 Từ (1) (2) suy KE = KN KM nên KE tiếp xúc ( T ) · · · Ta có OED = ODE = TIE 0,25 0,25 Nên IT POD Gọi W = OA ∩ IT Vì I trung điểm AD nên W trung điểm OA (đpcm) Khi MN ⊥ OA W ∈ IT 3b − c 3c − a   3a − b + + ≤ với a, b, c độ dài ba Chứng minh ( a + b + c )   a + ab b + bc c + ca  cạnh tam giác 0,25 0,25 0,25 Giả sử a + b + c = t đặt a = tx; b = ty; c = tz ⇒ x + y + z =  t ( 3x − y ) t ( 3y − z ) t ( 3z − x )  ≤9 + 2 + 2 Ta chứng minh t ( x + y + z )  2  t ( x + xy ) t ( y + yz ) t ( z + zx )  x − y y − z 3z − x ⇔ + + ≤ x + xy y + yz z + zx 0,25 0,25 Trang 6/3 Câu 1,5 điểm ⇔ 4x − ( x + y ) y − ( y + z ) 4z − ( z + x ) 4 + + ≤9⇔ − + − + − ≤9 x( x + y) y ( y + z) z ( z + x) 1− z x 1− x y 1− y z 5x −1 y −1 y − ⇔ + + ≤9 x − x2 y − y z − z  1 Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên a + b > c ⇒ x, y, z ∈  0; ÷  2 Ta có: 5x −1  1 ≤ 18 x − ⇔ ( 3x − 1) ( x − 1) ≤ ∀x ∈  0; ÷ x−x  2 5y −1 ≤ 18 y − ⇔ ( y − 1) ( y − 1) ≤ ∀y ∈  0; ÷ y− y  2 5z −1  1 ≤ 18 z − ⇔ ( z − 1) ( z − 1) ≤ ∀z ∈  0; ÷ z−z  2 5x − y − y − 5x − y − y − + + ≤ 18 ( x + y + z ) − ⇔ + + ≤9 Suy ⇔ 2 x−x y−y z−z x − x2 y − y z − z - Hết - 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 7/3 ... Họ tên thí sinh: ………………………………Số báo danh:………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang 3/3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017- 2018 Mơn: TỐN... q ) = 91 ⇔ a ( x + xy + y ) = 91 y ( x + xy + y ≥ 19 ) ax a ∈ ¥ ⇒ ∈ ¥ ⇒ a = ty ⇒ x + xy + y = 91 ⇒ x = 6; y = y y a = 25; b = 30; c = 36 Vậy có số ( a; b; c ) thỏa mãn ( 1 ;9; 81) , ( 81 ;9; 1) ,... SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017- 2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm:Mỗi câu 0,5