Điểm A thuộc một đường thẳng cố định.. Điểm A thuộc một đường tròn cố định.. Điểm A thuộc một đoạn thẳng cố định.. Kẻ đường cao AH, gọi I K, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam g
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 03 trang)
Thí sinh làm bài (trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi; không làm
bài vào đề thi.
A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Câu 1 Cho phương trình x2mx 4 0. Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có
nghiệm kép là
Câu 2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi hai đường thẳng có phương trình y 5 x và 5
Câu 3 Cho 310 6 3 3 1
6 2 5 5
Giá trị của biểu thức x3 4x 22018 bằng
Câu 4 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2018; 1) và B ( 2018;1). Đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
2018
x
2018
x
Câu 5 Cho biểu thức P 2x 8x 4 2x 8x 4 , khẳng định nào dưới đây đúng ?
A P 2 với mọi 1
2
x B P 2 với mọi x 1
C P2 2x1 với mọi x 1 D P2 2x1 với mọi 1 1
2 x
Câu 6 Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M, biết rằng M cách đều trục tung, trục hoành và đường thẳng y 2 x Hoành độ của điểm M bằng
Câu 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm M2018; 2018 đến đường thẳng
2
Câu 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm 2 10
3
A m;m -
Khi m thay đổi thì khẳng định nào dưới đây đúng ?
A Điểm A thuộc một đường thẳng cố định B Điểm A thuộc một đường tròn cố định
C Điểm A thuộc một đoạn thẳng cố định D Điểm A thuộc đường thẳng y x 10.
Câu 9 Cho tam giác ABC có AB3 cm AC, 4 cm và BC5 cm. Kẻ đường cao AH, gọi I K, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác HAB và tam giác HAC Độ dài của đoạn thẳng KI
bằng
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2A 1, 4 cm B 2 2 cm C 1, 45 cm D 2 cm.
Câu 10 Cho AB là một dây cung của đường tròn O; 1 cm và AOB 150 o Độ dài của đoạn thẳng
AB bằng
A 2 cm B 2 3 cm. C 1 5 cm. D 2 3 cm.
Câu 11 Cho hai đường tròn I 3; và O;6 tiếp xúc ngoài với nhau tại A Qua A vẽ hai tia vuông góc với nhau cắt hai đường tròn đã cho tại B và C Diện tích lớn nhất của tam giác ABC bằng
Câu 12 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 1 Gọi x y, lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của
tam giác ABC và tam giác ABD Giá trị của biểu thức 12 12
x y bằng
1 4
Câu 13 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O R; đường kính AC và dây cung BD R 2 Gọi , , , x y z t lần lượt là khoảng cách từ điểm O tới AB CD BC DA, , , Giá trị của biểu thức xy zt bằng
2
2
4 R
Câu 14 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I;2 cm) và nội tiếp đường tròn O;6 cm Tổng
khoảng cách từ điểm O tới các cạnh của tam giác ABC bằng
Câu 15 Nếu một tam giác có độ dài các đường cao bằng 12,15, 20 thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng
Câu 16 Trên một khu đất rộng, người ta muốn rào một mảnh đất nhỏ
hình chữ nhật để trồng rau an toàn, vật liệu cho trước là 60m lưới để
rào Trên khu đất đó người ta tận dụng một bờ rào AB có sẵn (tham
khảo hình vẽ bên) để làm một cạnh hàng rào Hỏi mảnh đất để trồng
rau an toàn có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu ?
A.400 m2 B.450 m2 C 225 m2 D.550 m2
B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Cho a b c2 b c a2 2018 với a b c, , đôi một khác nhau và khác không Tính giá trị của biểu thức c a b2
b) Tìm tất cả các số nguyên dương a b c, , thỏa mãn a b c 91 và b2 ca
Câu 2 (3,5 điểm).
a) Giải phương trình x22x x22x2 0.
b) Hai vị trí A và B cách nhau 615 m và cùng nằm về
một phía bờ sông Khoảng cách từ A B, đến bờ sông lần lượt là
118 m và 487 m (tham khảo hình vẽ bên) Một người đi từ A
đến bờ sông để lấy nước mang về B Đoạn đường ngắn nhất
mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến
đơn vị mét).
Câu 3 (4,0 điểm).
Trang 3Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài O Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC, với O
( ,B C là các tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua A cắt O tại D và E AD ( AE). Tiếp tuyến của O tại D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC tại các điểm M và N
a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD Chứng minh rằng bốn điểm M E N I, , , cùng thuộc một đường tròn T
b) Chứng minh rằng hai đường tròn O và T tiếp xúc nhau
c) Chứng minh rằng đường thẳng IT luôn đi qua một điểm cố định
Câu 4 (1,5 điểm).
9
a b c
a ab b bc c ca
với a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác
- HẾT
-Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
HƯỚNG DẪN CHẤM
Trang 4(Đề thi có 03 trang)
A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm:Mỗi câu 0,5 điểm)
B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)
Câu 1
3,0 điểm
a) Cho a b c2 b c a2 2018 với a b c, , đôi một khác nhau và khác không
Tính giá trị của biểu thức c a b2
b) Tìm tất cả các số nguyên dương a b c, , thỏa mãn a b c 91 và b2 ca
Điểm
a)
1.5 điểm
a b c b c a
bc ab ab ca c b a c
Suy ra ab bc ca 0 bca b c abc a b c 2 2018.(1) 0,5
ab bc ca abc a b abc c a b 0,5
Từ (1) và (2) ta được c a b2 2018 0,25
b)
1,5 điểm
Đặt b qa c q a q ; 2 1 thì ta được a 1 q q291 13.7. 0,25
Trường hợp 1: Nếu q là số tự nhiên thì ta được
2
1; 9; 81
9
q
q q
0,25
2
7; 21; 63
3
q
q q
0,25
2
13; 26; 52
2
q
q q
0,25
Trường hợp 2: Nếu q là số hữu tỷ thì giả sử q xx 3;y 2
y
Khi đó a 1 q q2 91 a x 2xy y 2 91y2 x2xy y 219
0,25
Ta có
2
và a25;b30;c36
Vậy có 8 bộ số a b c; ; thỏa mãn1;9;81 , 81;9;1 , 7; 21;63 , 63; 21;7 ;
0,25
Câu 2.
3,5 điểm
a) Giải phương trình x22x x22x2 0.
b) Hai vị trí A và B cách nhau 615m và cùng nằm về một phía bờ sông Khoảng
cách từA B, đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m (tham khảo hình vẽ dưới đây).
Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B Đoạn đường ngắn nhất mà
người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến 1 chữ số thập phân)
2 2
0,25 0,25
Trang 51.5 điểm
x x
0,25 0,25
b)
2,0 điểm
Gọi C D, lần lượt là hình chiếu của A B, lên bờ sông Đặt CEx0x492
Quãng đường di chuyển của người đó bằng AE EB
2
0,25
Ta có với mọi a b c d, , , thì a2b2 c2d2 a c 2b d 2 (1) 0,25
Thật vậy 1 a2b2c2d22 a2b2 c2d2 a c 2b d 2
a2 b2 c2 d2 ac bd (2)
Nếu ac bd 0 thì (2) luôn đúng Nếu ac bd 0bình phương hai vế ta được 0,25
(2) trở thành ad bc 20.Dấu đẳng thức sảy ra khi ad bc 0,25
Áp dụng (1) thì AE EB x492 x2487 118 2 608089 779,8 m 0,25
Dấu đẳng thức xảy ra khi 487x118 492 x x96m 0,25
Câu 3
4,0 điểm Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài O Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC,
với O (B C, là các tiếp điểm), một cát tuyến thay đổi qua A cắt O tại D và
E ADAE Tiếp tuyến của O tại D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC tại
các điểm M và N
a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD, chứng minh rằng bốn điểm , , ,
M E N I cùng thuộc một đường tròn T
b) Chứng minh rằng hai đường tròn O và T tiếp xúc nhau
c) Chứng minh rằng IT luôn đi qua một điểm cố định
Trang 61,5 điểm
Ta có ABO ACO 180o nên tứ giác ABON nội tiếp
0,25
Gọi J là giao điểm của AD với đường tròn ABOC.Suy ra DMA đồng dạng
DNJ
0,25
2
Nên DM DN DI DE DMI đồng dạng DEN 0,25
b)
1,5 điểm Dễ thấy khi MNOAthì O và T tiếp xúc nhau tại E 0,25
Khi MN không vuông góc OA Gọi K là giao điểm của MN với tiếp tuyến của
O tại E
0,25
Trong tam giác OEK KJ KO KE: 2 (1) ( Định lý hình chiếu) 0,25 Trên đường tròn ABOC ta có KJ KO KN KM (2) 0,25
Từ (1) và (2) suy ra KE2 KN KM nên KE tiếp xúc T 0,25 c)
1,0 điểm Ta có
Vì I là trung điểm của AD nên W là trung điểm OA (đpcm) 0,25
9
a b c
a ab b bc c ca
với a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác
Giả sử a b c t và đặt a tx b ty c tz ; ; x y z 1 0,25
Ta chứng minh
9
t x y z
9
0,25
Trang 7Câu 4
9
0,25
Vì a b c, , là ba cạnh của một tam giác nên , , 0;1
2
a b c x y z
Ta có:
2
2
x
x x
2
2
2
5 1
y
y y
2
2
2
z
z z
2
z
0,25
Suy ra 5x 12 5y 1 52 y 21 18x y z 9
9
0,25
-