SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Lớp 9 THCS năm học 2014-2015
Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
-Câu 1 (3,0 điểm)
a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 2 2 2
y xy x y
b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn
ta luôn có abc3 ab c3 bc a3 a bc3 Chia hết cho 96
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có
2 1 1 1 2 1 1 1
2
n n n
n
2016
1 2014
1 1
5
1 3
1 1 4
1 2
1 1 3
1 1
S
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
2x2 x 2x x2
b) Giải hệ phương trình
0 6 2
4
1 2
1 1
2 2
2 2
y x y
x
xy x
y y x
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R) ,( BC<2R),A là điểm di động trên cung lớn BC,( A không trùng B,C) Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC;EF cắt BC tại P ,qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại Q và cắt AB tại R
a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp
b) Gọi M là trung điểm cạnh BC Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM là hai tam giác đồng dạng
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn 2 2 2 3
y z x
xy
z xz
y yz
x
3 3 3
- Hết
-Hướng dẫn Câu 1 (3,0 điểm)
a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 2 2 2
y xy x y
b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn
ta luôn có 3 3 3 3
c b a a c b c b a c b
a Chia hết cho 96
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Hướng dẫn
a)
6 ) 1 ( ) 1 ( ) (
6 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2
2
y x
y x
y x xy y x y
x xy y
x
PT có 6 nghiệm (x;y) 2 ; 0 ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 và 3 hoán vị
Đặt a+b-c =z; b+c-a=x; a+c-b=y thì x+y+z=a+b+c
Ta có xyz3 x3 y3 z3 3 (xy)(yz)(xz)
Câu 2 (4,0 điểm)
c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có
2 1 1 1 2 1 1 1
2
n n n
n
2016
1 2014
1 1
5
1 3
1 1 4
1 2
1 1 3
1 1
S
Hướng dẫn a)
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
1 1 1 ) 2 (
2 2
2 2 ) 2 (
1 1
1 2
1 1
1
) 2 (
2 ) 2 (
4 )
2 (
1 1
1 ) 2 (
2 )
2 (
1 1
1 2
1 1
1
n n n
n n
n n
n n
n
n n n
n n
n n
n n
n n
n
Nên
2
1 1 1 2
1 1 1
2
n n n
n
2016
1 2004
1 1
5
1 3
1 1 4
1 2
1 1 3
1 1
S
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
2 2
2
2x x x x
b) Giải hệ phương trình
0 6 2
4
1 2
1 1
2 2
2 2
y x y
x
xy x
y y x
Hướng dẫn
2 2 0 0
) 2 (
0 ) 1 2 (
x x x
x x x
1 2
2 0
1 2
2
0 ) 1 ( 2
1 2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
x x
x
x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
Giải ra x=1 hoặc x=1
) 2 (
; 0 6 2
4
) 1 (
; 1 2
1 1
2 2
2 2
y x y
x
xy x
y y x
từ PT (1) ta có :
1
2 0
) 1 )(
2 (
0 ) 1 ( 2 ) 1 )(
( 0 ) 1 ( 2 ) (
2 2
xy
x y
xy y
x
xy xy
y x xy
y x xy y x
thay vào PT (2) giải ra có 5 nghiệm
5
14
; 5
4
; 3 1
; 2
1 3
; 1 3
; 2
1 3
; 2
; 5 , 0
; 1
; 1
)
(xy
Trang 3M R
Q
D P
E
F
O
B
C A
a) Do tứ giác BCEF nội tiếp suy ra AFE BCQmà AFE BRQ ( so le )
Suy ra BCQ BRQ nên tứ giác BQCR nội tiếp
b) EM là trung tuyến tam giác vuông BEC nên tam giác ECM cân tại M suy ra
ACB
2 mà tứ giác BCEF; ACDF nội tiếp nên ACB AFE BFDsuy ra
0 180
EMD ACB AFE BFD EMD DFE suy ra tứ giác DMEF nội tiếp suy
ra BDF PEM mà BDF BAC MDE nên tam giác EPM,và DEM đồng dạng (g.g)
c)do DMEF nội tiếp suy ra PFD EMD mà PDF EDM nên tam giác PFD đồng dạng tam giác EMD (g.g) suy ra ;
MD
ED DF
PD
do RED AEF FRD nên tam giác FDR cân tại D suy ra FD=DR;tương tự tam giác DEQ cân tại D nên DE=DQ
mà FD=DR; DE=DQ suy ra ;
MD
DQ DR
PD
suy ra tam giác PDR đồng dang tam giác QDM ( c.g.c) suy ra PRQ PMQ suy ra tứ giác PRMQ nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua điểm M cố định
Câu 5 ( 2.0 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z thảo mãn 2 2 2 3
y z x
xy
z xz
y yz
x
3 3 3
Hướng dẫn
3 3 3
3 3
3 3
3
z z xyz
y y xyz
x x xy
z xz
y
yz
x
Ta có 3 2 2 2 3 3 2 2 2 1
Nên Ax3 xy3 yz3 z
Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 dãy dãy 1 : 3 x2 ; 3 y2 ; 3 z2
Dãy 2 : 3 x;3 y; 3 z
x3 xy3 yz3 z3 x2 3 y2 3 z2xyz2 3xyyzxz(*)
Trang 4Ấp dụng Côsi
3
1 1 1
1
2
x
3
1 1 1
1
2
y
3
1 1 1
1
2
z z
3
6
2 2 2
3 2
3 2
3 2 x y z
z y
x
Thay Vào (*) Ta có
xz yz xy z z y y
x
x
A 3 3 3
xy
z xz
y yz
x
3 3
3
3 1 2 2 2
3 3 3
2 2 2
z y x z
y x
z y x
z y x
Cách khác
3
1 1
.
y z
x z
y x yx
Nên
3
; 3
9 ) (
3 )
(
:
3 ) (
) (
3 )
( 2
) (
3 )
(
2
) (
3
3 1 1
1 3
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 3
3
3
z y x xz
yz
xy
z y x z y x z
y x z
y
x
do
xz yz xy z
y x
z y x z y x xz yz xy
z y x z
y x xz yz
xy
z y x
B
B z xz yz
z y
yz xy
y x
xz xy
x x
y
z z
x
y z
y
x xy
z xz
y
yz
x
A
Có thể còn cách khác hoặc cách giải chưa chính xác mong các bạn bổ sung nhé
GV Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao