Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh phú thọ năm học 2016 2017(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 03 trang Thí s

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016-2017 Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có 03 trang)

Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi.

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)

Câu 1 Biểu thức 5 32

6

x



  có nghĩa khi nào?

A 3  x 2 B 5 2

3x C x   hoặc 3 x 2. D

5 3

3

x

  

Câu 2 Cho biểu thức 4 4 45 2

Q

   (x0;x25)

Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.

A 2

7

Câu 3 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y2m 3 x4m 3 Gọi h là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d) Tìm giá trị lớn nhất của h.

A 2 3 B 13 C 15. D 5.

Câu 4 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A2;3 ; B4; 4 ;  C5; 1  Tính diện tích

tam giác ABC

A 30,5 B 28,5 C 42 D 38.

Câu 5 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng  1

:

 2

:

d y x ;   d3 : 2m3x 3my0 Tìm m để ba đường thẳng đã cho đồng quy.

A 1

2



B 1

3



Câu 6 Cho Parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d) có phương trình y2m 2 x5m 16

Tìm giá trị của m để (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.

A 16

5

5

m

C.m   hoặc 4 16

5

5

m 

Câu 7 Gọi x y0; 0 là nghiệm của phương trình x2 9y2 4x 7 2 3y x  7 sao cho y0

đạt giá trị lớn nhất Tính tổng x0y0

A 4 B 5

2



C 3 2



D 5

Câu 8 Tìm m để phương trình 2

x  m x m   có hai nghiệm x x là độ dài hai1; 2

cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 26

A m  hoặc 8 m  2 B m  2

Trang 1/3

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 9 Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB2,5cm AD; 3,5cm BD; 5cm và

DBCDAB Tính tổng BC+DC.

A 17 (cm) B 19 (cm) C 20 (cm) D 22 (cm).

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại A đường phân giác AD, D BC  Đẳng thức nào sau đây đúng ?

AB  AC AD B 1 1 2

ABAC AD C 1 1 1

AB AC AD D 1 1 2

AB AC AD

Câu 11 Cho tam giác nhọn ABC có  BAC 300, kẻ hai đường cao BD, CE

DAC E; AB Gọi S S; ' lần lượt là diện tích ABC,ADE Tính tỉ số S'

S

A 3

4 B

1

1

3 2

Câu 12 Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ AH  BC , HDAB, HEAC

HBC D, AB E, AC Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A.AD AB AE AC . B.BD BA CE CA  C.

2

BD BAAH

Câu 13 Cho tam giác nhọn ABC có  ABC ACB , kẻ đường cao AH, trung tuyến AM

M H, BC Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A.tan cot - cot

2

2

HAM 

C.tan tan - tan

2

2

HAM 

Câu 14 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB =2R Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

OA, OB Qua M kẻ dây cung CD, qua N kẻ dây cung EF sao cho CD//EF (C, F cùng thuộc nửa đường tròn đường kính AB) và  CMO 300 Tính diện tích tứ giác CDEF theo R

A 2 15

8

R

B 2 13

4

R

C 2 15

4

R

D 3 2 15

8

R

Câu 15 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2R Điểm M thuộc tia đối của tia AB, qua

M kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) ( C là tiếp điểm), kẻ CH vuông góc với AB HAB biết MA a MC ; 3a(a  0).Tính CH theo a.

A 12

5

a

B 9

5

a

C 8

5

a

D.14

5

a

Câu 16 Một ngọn hải đăng ở vị trí A cách bờ biển (là đường thẳng) một khoảng

3 ( )

AH  km Một người gác hải đăng muốn từ vị trí A trở về vị trí B trên bờ biển (HB = 24 (km)), bằng cách chèo thuyền với vận tốc 3 (km/h) tới vị trí M trên bờ (M nằm giữa H và B) sau đó từ M chạy bộ dọc theo bờ biển đến B với vận tốc gấp bốn lần vận tốc chèo thuyền Biết tổng thời gian di chuyển từ A về đến B hết 3 giờ 20 phút Tính khoảng cách MB ?

HB=24km

3km

H A

A 12 (km) B 16 (km) C 18 (km) D 20 (km).

B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

Trang 2/3

a) Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn ab bc ca  1 Chứng minh rằng

b) Chứng minh rằng nếu a b  thì hai phương trình sau: 3 3 2 4

(a a x a y a)    1 0;

(b b x b y b)    1 0 (a,b là các tham số) không có nghiệm nguyên chung.

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình 2x 3 x 1 1

b)Giải hệ phương trình







Câu 3 (4,0 điểm) Cho đường tròn ( ; )O R và điểm A cố định trên ( ; )O R Gọi M, N là các

giao điểm của hai đường tròn ( ; )O R và ( ; )A R ; H là điểm thay đổi trên cung nhỏ MN của

đường tròn ( ; )A R Đường thẳng qua H và vuông góc với AH cắt ( ; )O R tại B, C Kẻ

HI AB IAB HK AC KAC

a) Chứng minh rằng IK luôn vuông góc với một đường thẳng cố định và AB AC 2R2

b) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích AIK khi H thay đổi

Câu 4 (1,5 điểm) Cho các số dương , , a b c thỏa mãn a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

P a b b c c a   a b c  abc

HẾT

Họ và tên thí sinh: SBD:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Hướng dẫn chấm có 05 trang

Trang 3/3

ĐỀ CHÍNH THỨC

I. Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

II Đáp án – thang điểm

1. Phần trắc nghiệm khách quan

Đáp

án

A,

Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

2 Phần tự luận

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn ab bc ca  1 Chứng minh rằng

1,5

Ta có 1a2 ab bc ca a   2 (a b a c )(  ) 0,25 Tương tự

0,25

Suy ra 2

2

2

;

0,25

b) Chứng minh rằng nếu a b  thì hai phương trình:3 (a3a x a y a)  2  4 1 0 (1);

(b b x b y b)    1 0 (2) (a,b là các tham số) không có nghiệm nguyên chung 1,5

Giả sử (1) và (2) có nghiệm nguyên chung ( ; )x y , ta có0 0

(a a x) a y a  1 0 (3) ; (b b x) b y b  1 0 (4) 0,25

Trang 4/3

Nội dung Điểm

2 2

2

2 2

2

a x a y a x a

b x b y b x b

Suy ra 1 2

;

    là hai nghiệm của phương trình bậc hai (ẩn t)

2

t x t y   .

Theo định lí Viet:

a b

a b





0,25

Vì a b  nên 3

0 0

0

9

16

a b

b a









0,25

9

16 x   y   x  y  Điều này vô lí vì VT(4) chia hết

cho 3 nhưng VT(4) không chia hết cho 3

Vậy nếu a b  thì hai phương trình (1), (2) không có nghiệm nguyên chung 3

0,5

Câu 2 (3,5 điểm)

Ta có:

0,5

2

2

1

1

x

x





 







 



0,5

3

1

x x





  

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1;x3

0,5

b) Giải hệ phương trình







Nội dung Điểm

2

2

4

1 0

y x

 

  



Từ (2) 3 x  y    1 x 1 1 x 0 y x  1 0 y x  1 0

4

y x  x vào (1) ta có 3 x x2 4x  1 x 1 (3)

Vì x  không là nghiệm của (3) nên0

x x

0,25

Đặt t x 1 (t 2) x 1 t2 2

x x

       Phương trình trên trở thành:

2

6 (3 )

t







0,25

4

4

x







 



Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: (4;0);( ;1 15)

4 16



Câu 3 Cho đường tròn ( ; )O R và điểm A cố định trên ( ; )O R Gọi M, N là các giao

điểm của hai đường tròn ( ; )O R và ( ; )A R ; H là điểm thay đổi trên cung nhỏ MN của

đường tròn ( ; )A R Đường thẳng qua H và vuông góc với AH cắt ( ; )O R tại B, C Kẻ

HI AB IAB HK AC KAC

4,0

t

N

M

A'

J K

H

C B

A

a) Chứng minh rằng IK luôn vuông góc với một đường thẳng cố định và

2

Ta có AIH 90 ;0 AKH 900 Vì AIH AKH 1800 nên tứ giác AIHK nội tiếp. 0,5

Kẻ tiếp tuyến At của đường tròn ( ; ) O R tại A

Ta có:

0

0

90

(1) 90

ACB HAC

ACB AHK AHK HAC







0,5

Ta lại có: AHKAIK (do tứ giác AIHK nội tiếp) (2)Trang 6/3 0,5

Nội dung Điểm

 

BAtACB(cùng bằng 1

2sđAB) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: BAtAIK At IK

Mặt khác OAAt IK OA Vậy IK luôn vuông góc với đường thẳng cố định OA. 0,5

Gọi J là giao điểm của AO và IK; A’ là điểm đối xứng với A qua O

Ta có:ACH AA B AHC'  ABA' 90 ; 0 ACH AA B'  0,25

2

'

b) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích AIK khi H thay đổi 1,5

Gọi , 'S S lần lượt là diện tích các tam giác ABC và AIK.

2

AJ IK

Suy ra

2

Vậy giá trị lớn nhất của tam giác AIK bằng

2

4

R

Câu 4 Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Ta có:

ab bc ca   a b c ab bc ca     a b b c c a   ab bc ca  abc

Suy ra

0,25

Do đó:

0,25

Không mất tính tổng quát có thể giả sử a b c 

Suy ra

2

0

0,25

Do đó

ab bc ca abc ab ca bc abc a b abc bc abc b a c  0,25

Với các số dương x, y, z ta luôn có:

2

x y x   xyz  x y z  x y  y z  z  x  

Suy ra

3 3

3

x y z

x y z   xyz  xyz   

0,25

Trang 7/3

Nội dung Điểm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  y z

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

3

3

a c a c b

27 27

P  ab bc ca abc   b a c   

27

MinP  P đạt giá trị nhỏ nhất khi 1

3

a b c  

0,25

……….Hết………

Trang 8/3