Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh phú thọ năm học 2016 2017(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) Thí sinh làm (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu Biểu thức − 3x − x2 − x có nghĩa nào? 5 < x < C x < −3 hoặc x > D −3 < x ≤ 3 x x − x + x − 45 x +2 − Câu Cho biểu thức Q = ( x ≥ 0; x ≠ 25 ) x − x − 15 x +3 Tìm giá trị nhỏ nhất của Q A B C D 3 Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = ( 2m − 3) x + 4m − Gọi h là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d) Tìm giá trị lớn nhất của h A B 13 C 15 D Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A ( −2;3 ) ; B ( −4; −4 ) ; C ( 5; −1) Tính diện tích tam giác ABC A 30,5 B 28,5 C 42 D 38 2 Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng ( d1 ) : x − y = ; 3 −1 ( d ) : y = x − ; ( d3 ) : ( 2m + 3) x − 3my = Tìm m để ba đường thẳng đã cho đồng quy −1 −2 A B C D 2 Câu Cho Parabol (P): y = x đường thẳng (d) có phương trình y = ( m − ) x + 5m − 16 Tìm giá trị m để (d) cắt (P) điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung 16 16 A m < B < m < 5 16 16 C m < −4 hoặc m > D m > 5 2 Câu Gọi ( x0 ; y0 ) là nghiệm của phương trình x + y − x + = y ( x − ) cho y0 đạt giá trị lớn Tính tổng x0 + y0 −5 −3 A −4 B C D −5 2 Câu Tìm m để phương trình x − (m + 4) x + m + = có hai nghiệm x1 ; x2 độ dài hai cạnh góc vuông một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 26 A m = −8 m = B m = C m = −8 D m = hoặc m = −2 A −3 ≤ x ≤ B Trang 1/3 Câu Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 2,5 cm; AD = 3,5 cm; BD = cm · · Tính tổng BC+DC DBC = DAB A 17 (cm) B 19 (cm) C 20 (cm) D 22 (cm) Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A đường phân giác AD, ( D ∈ BC ) Đẳng thức nào sau đúng ? A AB + AC = AD B Câu 11 Cho tam giác ( D ∈ AC ; E ∈ AB ) Gọi AB + AC = AD C AB + AC = AD · nhọn ABC có BAC = 300 , kẻ D AB + AC = AD hai đường cao BD, CE S ; S ' lần lượt là diện tích ∆ABC , ∆ADE Tính tỉ số S' S 1 B C D 4 2 Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH ⊥ BC , HD ⊥ AB, HE ⊥ AC ( H ∈ BC , D ∈ AB, E ∈ AC ) Đẳng thức nào sau đúng ? A AD AB = AE AC B BD.BA = CE.CA C D BD.BA = AH AD.DB + AE.EC = AH Câu 13 Cho tam giác nhọn ABC có ·ABC > ·ACB , kẻ đường cao AH, trung tuyến AM ( M , H ∈ BC ) Đẳng thức nào sau đúng ? cot C - cot B cot B - cot C · · = = A tan HAM B tan HAM 2 tan C - tan B cos C - cos B · · = = C tan HAM D tan HAM 2 Câu 14 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB =2R Gọi M, N trung điểm OA, OB Qua M kẻ dây cung CD, qua N kẻ dây cung EF cho CD//EF (C, F thuộc · nửa đường tròn đường kính AB) CMO = 300 Tính diện tích tứ giác CDEF theo R A 2 R 15 R 13 R 15 3R 15 A B C D 4 Câu 15 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2R Điểm M thuộc tia đối tia AB, qua M kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) ( C tiếp điểm), kẻ CH vuông góc với AB ( H ∈ AB ) biết MA = a; MC = 3a ( a > 0) Tính CH theo a 12a 9a 8a 14a A B C D 5 5 Câu 16 Một ngọn hải đăng ở vị trí A cách bờ biển (là đường thẳng) một khoảng AH = (km) Một người gác hải đăng muốn từ vị trí A trở về vị trí B bờ biển (HB = 24 (km)), cách chèo thuyền với vận tốc (km/h) tới vị trí M bờ (M nằm giữa H và B) sau đó từ M chạy dọc theo bờ biển đến B với vận tốc gấp bốn lần vận tốc chèo thuyền Biết tổng thời gian di chuyển từ A đến B hết 20 phút Tính khoảng cách MB ? A 3km M H B HB=24km A 12 (km) B 16 (km) B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,0 điểm) C 18 (km) Trang 2/3 D 20 (km) a) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh a −b b−c c −a + + =0 + c + a + b2 b) Chứng minh a.b = hai phương trình sau: (a + a ) x + a y + a + = 0; (b3 + b) x + b y + b + = (a,b tham số) nghiệm nguyên chung Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình x + − x + =  x3 + x y = 3x + xy + y + x + y b) Giải hệ phương trình  3 x − y + = x + Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R ) điểm A cố định (O; R ) Gọi M, N ¼ giao điểm hai đường tròn (O; R ) ( A; R ) ; H điểm thay đổi cung nhỏ MN đường tròn ( A; R ) Đường thẳng qua H vuông góc với AH cắt (O; R ) B, C Kẻ HI ⊥ AB ( I ∈ AB ), HK ⊥ AC ( K ∈ AC ) a) Chứng minh IK vuông góc với đường thẳng cố định AB AC = R b) Tìm giá trị lớn diện tích ∆AIK H thay đổi Câu (1,5 điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2(a 2b + b 2c + c a ) + (a + b + c ) + 4abc HẾT Họ tên thí sinh: SBD: Cán coi thi không giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Trang 3/3 Hướng dẫn chấm có 05 trang I Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu không làm tròn số II Đáp án – thang điểm Phần trắc nghiệm khách quan Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp A, án D C B B A D A B A B A A C A D C Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Phần tự luận Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) a) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh a −b b−c c −a + + =0 + c + a + b2 Ta có + a = ab + bc + ca + a = (a + b)(a + c ) Tương tự + b = ab + bc + ca + b = (b + a )(b + c ); + c = ab + bc + ca + c = (c + a )(c + b) a −b a −b 1 = = − Suy 1+ c (c + a )(c + b) c + b c + a b−c b−c 1 = = − ; 1+ a (a + b)(a + c) a + c a + b c−a c−a 1 = = − 1+ b (b + a )(b + c) b + a b + c a −b b−c c −a 1 1 1 + + = − + − + − = Vậy + c2 + a2 + b2 c + b c + a a + c a + b b + a b + c b) Chứng minh a.b = hai phương trình: (a + a ) x + a y + a + = (1); 0,25 0,25 (b + b) x + b y + b + = (2) (a,b tham số) nghiệm nguyên chung Giả sử (1) (2) có nghiệm nguyên chung ( x0 ; y0 ) , ta có (a + a ) x0 + a y0 + a + = (3) ; (b3 + b) x0 + b y0 + b + = (4) Vì a, b ≠ ta có 1,5 Trang 4/3 0,25 0,25 0,5 1,5 0,25 0,25 Nội dung Điểm (3) ⇔ a + x0 a + y0 a + x0 a + = 2   1 1 1    ⇔  a + ÷+  a + ÷x0 + y0 = ⇔  a + ÷ + x0  a + ÷+ y0 − = 0; a   a a a    (4) ⇔ b + x0b3 + y0b + x0b + = 1  1 1 1    ⇔  b + ÷+  b + ÷x0 + y0 = ⇔  b + ÷ + x0  b + ÷+ y0 − = b   b b b    1 Suy t1 = a + ; t2 = b + hai nghiệm phương trình bậc hai (ẩn t) a b t + x0t + y0 − = Theo định lí Viet: 1  a+b  a + b + = − x0 a + a + b + b = − x0  ab ⇔  1     a + ÷ b + ÷ = y0 −  a + b + ab + = y −  b a  a  b ab Vì a.b = nên    2 a + b + 2ab = 16 x0 a + b = − x0  a + b = x0 − ⇒ ⇒ 16  a b 16 16 2 2  + =y − a + b = ab( y − )  a + b = y − 16 0  3  b a  x0 − = y0 − 16 ⇒ x02 = 48 y0 − 160 (4) Điều vô lí VT(4) chia hết Suy 16 cho VT(4) không chia hết cho Vậy a.b = hai phương trình (1), (2) nghiệm nguyên chung Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình x + − x + = (1) Điều kiện: x ≥ −1 Ta có: (1) ⇔ x + = x + + ⇔ 2x + = x + + x + ⇔ x +1 = x +1  x ≥ −1 ⇔ 4( x + 1) = x + x +  x ≥ −1 ⇔ x − 2x − = x = ⇔  x = −1 Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = −1; x =  x3 + x y = 3x + xy + y + x + y (1) b) Giải hệ phương trình  (2) 3 x − y + = x + Trang 5/3 Điều kiện x ≥ 0; y ≥ −1 Ta có: 0,25 0,25 0,5 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 1,5 0,25 Nội dung (1) ⇔ y − ( x − x − 1) y − ( x − x − x) = 2 Điểm ⇔ ( y + x + 1)( y − x + x) =  y = x2 − 4x ⇔  y + x +1 = Từ (2) ⇒ x = y +1 + x +1 ≥ ⇒ x > ⇒ y + x +1 > y + x +1 > Vậy ta có (1) ⇔ y = x − x Thay y = x − x vào (1) ta có x − x − x + = x + (3) Vì x = không nghiệm (3) nên 1 (3) ⇔ x + + x+ −4 =3 x x 1 (t ≥ 2) ⇒ x + = t − Phương trình trở thành: Đặt t = x + x x t ≤ t + t2 − = ⇔ t2 − = − t ⇔  ⇔ t = 2 t − = (3 − t ) x = 25 17 − ⇔ x − x +1 = ⇔  Suy x + = x = x 4  −15 ) Từ suy hệ phương trình cho có hai nghiệm: (4;0);( ; 16 Câu Cho đường tròn (O; R ) điểm A cố định (O; R ) Gọi M, N giao ¼ điểm hai đường tròn (O; R ) ( A; R ) ; H điểm thay đổi cung nhỏ MN đường tròn ( A; R ) Đường thẳng qua H vuông góc với AH cắt (O; R ) B, C Kẻ HI ⊥ AB ( I ∈ AB), HK ⊥ AC ( K ∈ AC ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4,0 N A K J t I O C M B H A' a) Chứng minh IK vuông góc với đường thẳng cố định AB AC = R Ta có ·AIH = 900 ; ·AKH = 900 Vì ·AIH + ·AKH = 1800 nên tứ giác AIHK nội tiếp Kẻ tiếp tuyến At đường tròn (O; R) A ·  ·ACB + HAC = 900 ⇒ ·ACB = ·AHK (1) Ta có:  · ·  AHK + HAC = 90 Trang 6/3 Ta lại có: ·AHK = ·AIK (do tứ giác AIHK nội tiếp) (2) 2,5 0,5 0,5 0,5 Nội dung Điểm · BAt = ·ACB (cùng sđ »AB ) (3) · Từ (1), (2), (3) suy ra: BAt = ·AIK ⇒ At P IK Mặt khác OA ⊥ At ⇒ IK ⊥ OA Vậy IK vuông góc với đường thẳng cố định OA 0,5 Gọi J giao điểm AO IK; A’ điểm đối xứng với A qua O Ta có: ∆ACH ∼ ∆AA ' B ·AHC = ·ABA ' = 90 ; ·ACH = ·AA ' B ( ) 0,25 AC AH = ⇒ AB AC = AH AA ' = R AH = R AA ' AB b) Tìm giá trị lớn diện tích ∆AIK H thay đổi ⇒ Ta có ∆AKH ∼ ∆AHC ⇒ 0,25 1,5 AK AH = ⇒ AK AC = AH AH AC 0,25 Gọi S , S ' diện tích tam giác ABC AIK Ta có ∆AIK : ∆ACB ⇒ 0,25 AI AK IK AJ = = = , suy ra: AC AB BC AH 2 S ' AJ IK AJ IK  AK   AK AC  AH AH = = = = = ÷ = ÷ = S AH BC AH BC  AB   AB AC  ( AH R ) R 1 R R R2 Suy S ' = S = AH BC = BC ≤ R = 8 R2 Vậy giá trị lớn tam giác AIK , đạt H ≡ O Câu Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2(a 2b + b 2c + c a ) + (a + b + c ) + 4abc Ta có: ab + bc + ca = (a + b + c )(ab + bc + ca ) = (a 2b + b 2c + c a ) + (ab + bc + ca ) + 3abc Suy a + b + c = (a + b + c ) − 2(ab + bc + ca ) = − 2(ab + bc + ca ) 0,5 0,25 0,25 1,5 0,25 = − ( a 2b + b 2c + c a ) + (ab + bc + ca ) + 3abc  Do đó: P = 2(a 2b + b 2c + c a ) + − (a 2b + b 2c + c 2a ) + (ab + bc + ca ) + 3abc  + 4abc 0,25 = − 2(ab + bc + ca + abc) Không tính tổng quát giả sử a ≤ b ≤ c Suy a (a − b)(b − c) ≥ ⇒ (a − ab)(b − c) ≥ 0,25 2 ⇒ a 2b − a 2c − ab + abc ≥ ⇒ ab + ca ≤ a 2b + abc Do ab + bc + ca + abc = (ab + ca ) + bc + abc ≤ (a 2b + abc ) + bc + abc = b(a + c )2 Với số dương x, y, z ta có: 2 x + y + x − 3 xyz = x + y + z  x − y + y − z + z − x  ≥   ( )( ) (  x+ y+z Suy x + y + z ≥ xyz ⇒ xyz ≤  ÷ (*)7/3 Trang   ) ( ) 0,25 0,25 Nội dung Dấu xảy x = y = z Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có a+c a+c   b+ + ÷  a + c  a + c   a+b+c b(a + c) = 4b  ÷ = 4 ÷ ÷≤  ÷ = 3      27  ÷   19 Suy P = − 2(ab + bc + ca + abc) ≥ − 2b(a + c) ≥ − = 27 27 19 Vậy MinP = P đạt giá trị nhỏ a = b = c = 27 ……….Hết……… Trang 8/3 Điểm 0,25 ... thí sinh: SBD: Cán coi thi không giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016- 2017 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN... với đáp mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu không làm tròn số II Đáp án – thang điểm Phần trắc nghiệm khách quan Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp. .. Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo