Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh phú thọ năm học 2015 2016(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (3,0 điểm) a) Cho S = 1.2.3  2.3.4   n(n  1)(n  2) với n số tự nhiên khác Chứng minh S  số phương b) Tìm số nguyên x y thỏa mãn x  y  xy  y  Câu (4,0 điểm) x  x  17 x  x với  x  3x  x  11 x  x 1 b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  a  b  c  a) Tính giá trị biểu thức P = Chứng minh a b c    a2 b2 c2 (a  2)(b  2)(c  2) Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình 3x  1 x   5x  x  2 2 x  y  xy  y  x   b) Giải hệ phương trình  2  x  y  x  y    Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = R Gọi M điểm thuộc đường tròn (O) (M khác A, khác B) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) A M cắt E Vẽ MP vng góc với AB (P thuộc AB) Vẽ MQ vng góc với AE (Q thuộc AE) a) Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp APMQ hình chữ nhật b) Chứng minh PQ, OE, MA đồng qui c) Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh K trung điểm MP d) Đặt AP = x , tính MP theo R x Tìm vị trí M đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Câu (2,0 điểm) Cho số thực phân biệt a, b, c Chứng minh a  1    b  c    2 (b  c) (c  a)   ( a  b)  HẾT -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2015 – 2016 Hướng dẫn chấm mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I Một số ý chấm  Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm  Thí sinh làm theo cách khác với Hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm Hướng dẫn chấm  Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm tròn số II Đáp án biểu điểm Câu (3,0 điểm) a) Cho S = 1.2.3  2.3.4   n(n  1)(n  2) với n số tự nhiên khác Chứng minh S  số phương b) Tìm số nguyên x y thỏa mãn x  y  xy  y  ĐÁP ÁN a) (1,5 điểm) Ta có S = 1.2.3.4  2.3.4.(5  1)  3.4.5.(6  2)   n(n  1)(n  2)(n  3)  (n  1) ĐIỂM 0,25 = 1.2.3.4  2.3.4.5  1.2.3.4  3.4.5.6  2.3.4.5   n(n  1)(n  2)(n  3)  (n  1)n(n  1)(n  2) 0,25 = n(n  1)(n  2)(n  3) 0,25 Do S  = n(n  1)(n  2)(n  3)  = n2  3nn2  3n  2  0,25 = n2  3n  2n2  3n  0,25 = n2  3n  1 Vậy S  số phương 0,25 2 b) (1,5 điểm) Ta có 2 x  y  xy  y   x  y    y  y   x  y   1  y 2  y  0,25 Do x  y   0, x, y nên 1  y 2  y    1  y  Suy y   1;0;1;2 0,25 Với y  1 , PT trở thành x2  x    x  1 Z 0,25 Với y  , PT trở thành x    x  Z 0,25 Với y  , PT trở thành x  x    x  Z 0,25 Với y  , PT trở thành x2  x    x  2  Z Vậy có cặp x; y  thỏa mãn đề 1;1;  2;2 0,25 2 Câu (4,0 điểm) x  x  17 x  x  với x  3x  x  11 x  x 1 b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  a  b  c  a) Tính giá trị biểu thức P = Chứng minh a b c    a2 b2 c2 (a  2)(b  2)(c  2) ĐÁP ÁN a) (2,0 điểm) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ĐIỂM 0,5 x   x  x  x   x  3x  x  x 1 Khi x3  x x  3x  1x  3x  x  33x  1  x  8x  Ta có 0,25 x  x x  8x  3x  8x  3x  83x  1  3x  21x  0,25 x5  x x  21x  8x  21x2  8x  213x  1  8x  55x  21 0,25 x  x  17 x  55x  21  48x  3  17 x   21x  8  33x  1  x  11 x  3x  x  11 6x 3 ( x  ) Vậy P =   32 x 16 16 b) (2,0 điểm) Ta có a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca   ab  bc  ca  Suy P =  0,25 0,5  0,25  a  b  a  c  ca   b  c  b  a  ca   c  a  c  b  Do a   a  ab  bc  ca  0,25 b   b  ab  bc  0,25 c   c  ab  bc  Suy a b c    a2 b2 c2     a    b  c  b  a   a  b  c  b  c  a  c  a  b   a  b  b  c  c  a  2 ab  bc  ca  a b  b  0,25 a c (a  2)(b  2)(c  2) c c a  c b  0,25 0,25 0,25 (a  2)(b  2)(c  2) 0,25 a b c    Vậy a2 b2 c2 (a  2)(b  2)(c  2) Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình 3x  1 x   5x  x  2 2 x  y  xy  y  x   b) Giải hệ phương trình  2  x  y  x  y   ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (2,0 điểm) Điều kiện x  0,25 PT  23x  1 x   10 x  3x   0,25   x   23x  1 x   x  3x   Đặt x 1  t (t  0) , ta 4t  23x  1t  x  3x     Ta có '  3x  1  x  3x   x  x   x  3  3x   x   x2 t  t  nên PT    t  3x   x  t  x    2 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 2 0,25 0,25 0,25 Với t  Với t  x2 2x   x  2  x  2 x2    2 2 7 x  x   4 x   x  2  x  2  60    60  x  x    1   2x  x  x  2 2x     2 4 x   2 x  12 4 x  x     2x2         x  1  x x     Kết hợp điều kiện x  0,25   60    ta nghiệm PT x   ;    0,25 0,25 b) (2,0 điểm) 2 x  y  xy  y  x   Xét hệ phương trình  2 (1) ( 2)  x  y  x  y   2 PT (1)  2x  y  xy  y  5x    y  x  1y  x2  5x   Ta có '  x  1  4 x  5x  2  x  18x   9x  1 x   3x  1  y  Khi PT (1)    y  x   3x  1   y  x    y  2x  2 Với y   x  , thay vào PT (2) ta x  x    x   y  x  Với y  x  , thay vào PT (2) ta x  x     x    13 *) x   y  *) x    y   5  13  Vậy nghiệm hệ phương trình 1;1   ;   5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = R Gọi M điểm thuộc đường tròn (O) (M khác A, khác B) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) A M cắt E Vẽ MP vng góc với AB (P thuộc AB) Vẽ MQ vng góc với AE (Q thuộc AE) a) Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp APMQ hình chữ nhật b) Chứng minh PQ, OE, MA đồng qui c) Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh K trung điểm MP d) Đặt AP = x , tính MP theo R x Tìm vị trí M đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ĐÁP ÁN ĐIỂM Q M E K I A B P O a) (2,0 điểm) Xét tứ giác AEMO có góc  OAE =  OME = 900 nên tứ giác AEMO nội tiếp Xét tứ giác APMQ có góc  MPA =  PAQ =  AQM = 900 nên tứ giác APMQ hình chữ nhật b) (2,0 điểm) Do APMQ hình chữ nhật nên hai đường chéo PQ MA cắt trung điểm I đường Do tiếp tuyến A M cắt E, I trung điểm MA nên O, I, E thẳng hàng Vậy PQ, OE, MA đồng qui I c) (2,0 điểm) O trung điểm AB, I trung điểm MA nên OI song song với MB   MBP =  EOA Mà  MPB =  EAO = 900 nên  MPB đồng dạng với  EAO (g.g) Suy PB : AO = PM : AE  PB AE = PM AO (1) Do PK song song với AE nên PB : AB = PK : AE  PB AE = PK AB (2) Từ (1) (2) suy PM AO = PK AB  PM 2AO = 2PK AB  PM = 2PK (do 2AO = AB) Vậy K trung điểm MP d) (1,0 điểm) Trong tam giác vuông MPO, ta có MP2 = OM2 – OP2 = R2 – (R - x )2 P thuộc đoạn OA MP2 = OM2 – OP2 = R2 – ( x - R)2 P thuộc đoạn OB Khi MP2 = (2R - x ) x Suy MP = (2 R  x) x Diện tích hình chữ nhật APMQ S = MP AP = ( R  x) x 1,0 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Áp dụng BĐT a  b  c  d  ab  cd  44 abcd với a, b, c, d  abcd  hay abcd    Dấu “=” xảy  a  b  c  d   0,25 x x x   2R  x     x x x 3   3 R2 S = (2 R  x) x3  27(2 R  x)  27. 3 4       x Dấu “=” xảy  R  x   x  R Suy P trung điểm OB Do ta xác định M để diện tích hình chữ nhật APMQ lớn http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 Câu (2,0 điểm) Cho số thực phân biệt a, b, c Chứng minh a  1    b  c    2 (b  c) (c  a)   ( a  b)  ĐÁP ÁN ĐIỂM  a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a  Ta có   1  1  1    1  1  1  a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a  ab bc bc ca ca ab     1 a b bc bc c a c a a b 0,25 ab bc ca Khi     0 a b bc ca ab bc bc ca ca ab a b bc ca   2        2 a b bc bc c a c a a b a b bc ca Suy  a  b b  c c  a  (a  b)  (a  b) (b  c)  (b  c) (c  a)  (c  a)  2.     (b  c) (c  a)  (a  b) (b  c) (c  a )  ( a  b) 2  a b b c c a  ab bc ca                2  ( a  b ) ( b  c ) ( c  a ) a b bc ca   2 2 2 2 0,25 0,5 (1)  a  b  c   a  b  c  Mặt khác   1  1  1    1  1  1  b  c  c  a  a  b   b  c  c  a  a  b  a b b c c a     1 bc c a c a a b a b bc 0,25 b c   a Khi     0 bc ca a b 2 a b b c c a  a   b   c     (2)        2 bc c a c a a b a b bc bc ca a b Từ (1) (2) suy  1   a  b  c    2 (b  c) (c  a)   ( a  b)  0,25   a2  b2 b2  c2 c2  a2   a   b   c              2 2  (b  c) (c  a )   b  c   c  a   a  b  2  ( a  b) a  b b  c c  a   0  1  a  b b  c c  a   a  b  c    Dấu “=” xảy   0 a b bc ca  a  b  c 0  b  c c  a a  b Chẳng hạn a  0, b  1, c  1 2 HẾT http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,5 ... TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2015 – 2016 Hướng dẫn chấm mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I Một số ý chấm  Hướng dẫn chấm thi. .. http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ĐÁP ÁN ĐIỂM Q M E K I A B P O a) (2,0 điểm) Xét tứ giác AEMO có góc  OAE =  OME = 90 0 nên tứ giác AEMO nội tiếp Xét tứ giác APMQ có góc  MPA =  PAQ =  AQM = 90 0 nên... tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm Hướng dẫn chấm  Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm tròn số II Đáp án biểu điểm Câu (3,0 điểm) a) Cho S = 1.2.3  2.3.4   n(n  1)(n