Chứng minh rằng 4S 1 là số chính phương.. a Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp và APMQ là hình chữ nhật.. Chứng minh rằng K là trung điểm MP.. Tìm vị trí của M trên đường tròn O đ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
-KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Cho S = 1 2 3 2 3 4 n(n 1 )(n 2 ) với n là số tự nhiên khác 0
Chứng minh rằng 4S 1 là số chính phương.
b) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn 2 2 2 2 2
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức P =
11 2 3
9 17 4
2 4
3 5
x x x
x x
4
1 1
x x
x
b) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc 5 và a b c 3
Chứng minh rằng 2 2 2 ( 2)( 42)( 2)
c b
b a
a
.
Câu 3 (4,0 điểm)
2
3 5 1 2 1
b) Giải hệ phương trình
0 4
0 2 5 2
2 2 2 2
y x y x
x y xy y x
.
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) (M khác A, khác B) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại
A và M cắt nhau ở E Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB) Vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE).
a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp và APMQ là hình chữ nhật.
b) Chứng minh rằng PQ, OE, MA đồng qui.
c) Gọi K là giao điểm của EB và MP Chứng minh rằng K là trung điểm MP.
d) Đặt AP = x , tính MP theo R và x Tìm vị trí của M trên đường tròn (O) để
hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất.
Câu 5 (2,0 điểm) Cho các số thực phân biệt a,b,c Chứng minh rằng
2
9 ) (
1 )
(
1 )
(
1
2 2
2 2
2 2
a c c b b a c b
HẾT
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2-ĐỀ CHÍNH THỨC Hướng dẫn chấm môn: TOÁN(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
I Một số chú ý khi chấm bài
Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm
Thí sinh làm bài theo cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của Hướng dẫn chấm
Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số
II Đáp án và biểu điểm
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Cho S = 1 2 3 2 3 4 n(n 1 )(n 2 ) với n là số tự nhiên khác 0
Chứng minh rằng 4S 1 là số chính phương.
b) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn 2 2 2 2 2
a) (1,5 điểm) Ta có
4S = 1 2 3 4 2 3 4 ( 5 1 ) 3 4 5 ( 6 2 ) n(n 1 )(n 2 )(n 3 ) (n 1 ) 0,25
=
) 2 )(
1 ( ) 1 ( ) 3 )(
2 )(
1 (
5 4 3 2 6 5 4 3 4 3 2 1 5 4
3
.
2
4
.
3
.
2
.
Do đó 4S 1 = n(n 1 )(n 2 )(n 3 ) 1= n2 3nn2 3n 2 1 0,25 = 2 3 2 2 2 3 1
= 2 2
1
3
n
b) (1,5 điểm) Ta có
x y y y x y y y
y xy
y
Do x y2 0 , x,y
nên 1 y2 y 0 1 y 2 Suy ra y 1 ; 0 ; 1 ; 2 0,25
Với y 2, PT trở thành x2 4x 4 0 x 2 Z
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức P =
11 2 3
9 17 4
2 4
3 5
x x x
x x
x
1
x x
x
b) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc 5 và a b c 3
Chứng minh rằng 2 2 2 ( 2)( 42)( 2)
c b
b a
a
.
a) (2,0 điểm).
4
1 1
2 2
x
x
4 3 8 3 8 2 3 83 1 3 21 8
5 4 21 8 21 2 8 213 1 8 55 21
Trang 3Suy ra P =
11 2 3
9 17 4
2 4
3 5
x x x
x x
9 17 3 8 4 21 55
x x
x
x x
x
0,25
16
3 32
6
x
x
( do x 0 ) Vậy P =
16
3
b) (2,0 điểm) Ta có
2
b 2 b ab bc ca b c b a 0,25
c 2 c ab bc ca c a c b 0,25
c a
b c b
b c
a b a
a c
c b
b a
a
b a c a c b c b a
) 2 )(
2 )(
2 (
2
c b a
ca bc ab
( 2)( 42)( 2)
c b a
Vậy 2 2 2 ( 2)( 4 2)( 2)
c b
b a
a
.
0,25
Câu 3 (4,0 điểm)
2
3 5 1 2 1
b) Giải hệ phương trình
0 4
0 2 5 2
2 2 2 2
y x y x
x y xy y x
.
a) (2,0 điểm).
Điều kiện
2
1
42 2 1 23 1 2 2 1 2 2 3 2 0
Đặt 2x2 1 t ( t 0 ), ta được 4 2 23 1 2 2 3 2 0
3 9
6 2
3 2 4 1 3
nên PT
4
3 1
3 4
3 1
3
x x
t
x x
t
2
1 2 2 2
x t
x t
0,25
Với
2
2
x
0 8 4 7
2 2 1 2
2 2
2 1
x x
x x x
x x x
7
60 2 7 60
x x
0,25
Với
2
1
2
x
0 5 4 4 2 1
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2
2
x x
x x x
x x x
2
6 1 2 6 1 2 1
x
x
0,25
Kết hợp điều kiện
2
1
x ta được nghiệm của PT là
2 6 1
; 7 60 2
b) (2,0 điểm).
Xét hệ phương trình
0 4
0 2 5 2
2 2 2 2
y x y x
x y xy y x
((12))
PT ( 1 ) 2 2 2 5 2 0 2 1 2 2 5 2 0
x
0,25
Trang 4Ta có 2 2 2 2
1 9 9 18 9 2 5 2 4 1
Khi đó PT
2
1 3 1 2
1 3 1 )
1
(
x x
y
x x
y
0,25
1 2
2
x y
x y
0,25 Với y x 2, thay vào PT ( 2 ) ta được 2 2 4 2 0 1 1
Với y 2 x 1, thay vào PT ( 2 ) ta được
5 4
1 0
4
x
x x
*) x 1 y 1 *)
5
13 5
4
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1 ; 1 và
5
13
; 5
4
0,25
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) (M khác A, khác B) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và M cắt nhau ở E Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB) Vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE).
a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp và APMQ là hình chữ nhật.
b) Chứng minh rằng PQ, OE, MA đồng qui.
c) Gọi K là giao điểm của EB và MP Chứng minh rằng K là trung điểm MP.
d) Đặt AP = x , tính MP theo R và x Tìm vị trí của M trên đường tròn (O) để hình
chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất.
P
Q
E I A B
O
M
K
a) (2,0 điểm).
Xét tứ giác AEMO có góc OAE = OME = 90 0 nên tứ giác AEMO nội tiếp 1,0 Xét tứ giác APMQ có góc MPA = PAQ = AQM = 90 0nên tứ giác APMQ là hình
b) (2,0 điểm).
Do APMQ là hình chữ nhật nên hai đường chéo PQ và MA cắt nhau tại trung điểm I của mỗi
Do tiếp tuyến tại A và M cắt nhau tại E, I là trung điểm MA nên O, I, E thẳng hàng
Trang 5c) (2,0 điểm).
O là trung điểm AB, I là trung điểm MA nên OI song song với MB MBP = EOA
Do PK song song với AE nên PB : AB = PK : AE PB AE = PK AB (2)
0,5
Từ (1) và (2) suy ra PM AO = PK AB PM 2AO = 2PK AB PM = 2PK
(do 2AO = AB)
Vậy K là trung điểm MP
0,5
d) (1,0 điểm).
Trong tam giác vuông MPO, ta có MP2 = OM2 – OP2 = R2 – (R - x)2 khi P thuộc đoạn OA
MP2 = OM2 – OP2 = R2 – (x - R)2 khi P thuộc đoạn OB
Khi đó MP2 = (2R - x)x Suy ra MP = ( 2R x)x
0,25
Áp dụng BĐT abcd 2 ab 2 cd 4 4 abcd với mọi a,b,c,d 0
hay
4
4
a b c d
4 3
4 3 3 4
3 3 3
2 27 3
3
3 ).
2 ( 27 )
2
x x x x R x
x x x R x
x
2
3 3
M để diện tích hình chữ nhật APMQ lớn nhất
0,25
Câu 5 (2,0 điểm) Cho các số thực phân biệt a,b,c Chứng minh rằng
2
9 ) (
1 )
(
1 )
(
1
2 2
2 2
2 2
a c c b b a c b
1 1
1 1
1 1
a c
a c c b
c b b a
b a a
c
a c c b
c b b
a
b
a
b a
b a a c
a c a c
a c c b
c b c b
c b
b
a
b
2
a c
a c c b
c b b
a
b
a
2 2
2
a c
a c c b
c b b
a
b
b a
b a a c
a c a c
a c c b
c b c b
c b b a
b
Suy ra
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
) (
) ( ) ( )
(
) ( ) ( )
(
) ( ) ( ) ( ) (
)
(
2
a c
a c a c c
b
c b c b b
a
b a b a a
c
a c c b
c b
b
a
b
a
2 2
2
a c
a c c b
c b
b
a
b
a
2
5 ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2
a c
a c c b
c b b a
b
0,5
b a
c a
c
b c
b
a b
a
c a
c
b c
b
a
c b
a b a
c b a
c a c
b a c
b c b
2
c a c
b c
b
a
2 2
2
b a
c a
c
b c
b
a b a
c b a
c a c
b a c
b c b
a
(2)
0,25
Trang 6Từ (1) và (2) suy ra
2
) (
1 )
(
1 )
(
1
a c c b b a c
b
a
2 2 2
2 2 2
2
2
) ( ) (
)
a c c b
c b b
a
b
a
2
9 2 2 5
2 2
2
b a
c a
c
b c
b
0
0
a c c b b a c b a b a c a c b c b a
a c a c c b c b b a b a
Chẳng hạn a 0 ,b 1 ,c 1
0,5
HẾT