SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN: TOÁN - THCS Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình tập số nguyên x + y − xy + x − y − 12 = b) Cho P ( x ) = x − 3x + 14 x − Tìm số số tự nhiên x nhỏ 100 mà P ( x ) chia hết cho 11 Câu (4,0 điểm) a − 3a + a) Tính giá trị biểu thức P = , biết a = 55 + 3024 + 55 − 3024 a − 4a + 5a − b) Cho số thực x, y, z đôi khác thỏa mãn x = 3x − 1, y = y − z = 3z − Chứng minh x + y + z = Câu (4,0 điểm) x −1 = x + 4x 3 x + y − xy + x + y − = b) Giải hệ phương trình 2 x − y + x + y − = Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC không qua tâm Gọi A là điểm chính giữa a) Giải phương trình x − + · cung nhỏ BC Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo bằng α không đổi cho E, F khác phía với điểm A so với BC; AF và AE cắt đường thẳng BC lần lượt M và N Lấy điểm D cho tứ giác MNED là hình bình hành a) Chứng minh MNEF là tứ giác nội tiếp b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh rằng góc nội tiếp · quay quanh điểm A thì I chuyển động một đường thẳng cố định EAF c) Khi α = 600 BC = R , tính theo R độ dài nhỏ đoạn thẳng OI Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x2 + y + z 2 y + z + x2 2z + x2 + y + + ≥ xyz − yz − zx − xy -Hết Họ tên thí sinh:……………………………………… Số báo danh:……………………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN - THCS (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) I Một số ý chấm • Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lô-gic chia nhỏ đến 0,25 điểm • Thí sinh làm cách khác với Đáp án mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm Đáp án • Điểm thi tổng điểm câu không làm tròn số II Đáp án-thang điểm Câu ( 3,0 điểm) a) Giải phương trình sau tập số nguyên x + y − xy + x − y − 12 = b) Cho P ( x ) = x − 3x + 14 x − Tìm số số tự nhiên x nhỏ 100 mà P ( x ) chia hết cho 11 Nội dung a) Phương trình tương đương với (x + y − xy ) + ( x − y ) + = 16 − y ⇔ ( x − y + ) = 16 − y ; mà x, y ∈ ¢ nên ( x − y + ) = 16, y = (1) x − y + = 0, y = 16 (2) Ta có (1) ⇔ x = 2, y = x = −6, y = (2) ⇔ y = 4, x = y = −4, x = −10 Vậy phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 2; ) , ( −6; ) , ( 6; ) , ( −10; − ) } Điểm 0,5 0,5 0,5 b) Bổ đề: Cho x, y số tự nhiên số nguyên tố p có dạng p = 3k + x ≡ y ( mod p ) ⇔ x ≡ y ( mod p ) 3 Thật vậy, x ≡ y ( mod p ) ⇒ x ≡ y ( mod p ) , 3 3k 3k Với x ≡ y ( mod p ) ⇒ x ≡ y ( mod p ) Với x, y chia hết cho p hiển nhiên p −1 p −1 k +1 ≡ y k +1 ( mod p ) Với ( x, p ) = 1, ( y , p ) = ta có x ≡ y ≡ 1( mod p ) ⇒ x ⇒ x.x3k ≡ y y 3k ( mod p ) ⇒ x ≡ y ( mod p ) x 3k ≡ y 3k ( mod p ) Áp dụng Bổ đề, ta có 3 P ( x ) ≡ P ( y ) ( mod 11) ⇔ ( x − 1) + 11( x − 1) + 10 ≡ ( y − 1) + 11( y − 1) + 10 ( mod 11) ⇔ ( x − 1) ≡ ( y − 1) ( mod 11) ⇔ x − ≡ y − 1( mod 11) ⇔ x ≡ y ( mod 11) Do đó, P ( x ) ≡ P ( y ) ( mod 11) ⇔ x ≡ y ( mod 11) 3 Suy với n ∈ ¥ , 11 giá trị P ( n ) , P ( n + 1) ,K , P ( n + 10 ) , có giá trị chia hết cho 11 Do đó, số P ( 1) , P ( ) ,K , P ( 99 ) có số chia hết 0,5 0,5 0,5 cho 11, P ( ) = −2 không chia hết cho 11 Vậy có số thỏa mãn yêu cầu toán Câu ( 4,0 điểm) a − 3a + a) Tính giá trị biểu thức P = , biết a = 55 + 3024 + 55 − 3024 a − 4a + 5a − b) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x = 3x − 1, y = y − 1, z = 3z − Chứng minh x + y + z = Nội dung a − 3a + ( a − 1) ( a + ) = a + = a) Ta có P = ; a − 4a + 5a − ( a − 1) ( a − ) a − Điểm 3 mà a = 110 + 55 − 3024 ( 0,5 ) 55 − 3024 + 55 + 3024 0,5 ⇒ a = 110 + 3a ⇔ a − 3a − 110 = ⇔ ( a − ) ( a + 5a + 22 ) = ⇔ a = Suy P = b) Ta có x = x − 1(1), y = y − (2), z = z − (3) x3 − y = ( x − y ) x + xy + y = (4) Từ (1), (2) (3) suy y − z = ( y − z ) ⇔ y + yz + z = (5) 2 z + zx + x = (6) z − x = 3( z − x ) Từ (4) (5) suy x − z + xy − yz = ⇔ ( x − y ) ( x + y + z ) = ⇔ x + y + z = , (vì x, y, z đôi phân biệt) Cộng (4), (5) (6) theo vế với vế ta có 2 x + y + z ) + ( x + y + z ) = ⇒ x2 + y + z = ( 2 Câu ( 4,0 điểm) x −1 a) Giải phương trình x − + x = 3x + 3 x + y − xy + x + y − = b) Giải hệ phương trình x − y + x + y − = Nội dung x≥− ,x≠0 a) Điều kiện xác định: Phương trình tương2đương với 12 x − ( x + 1) = x x + Đặt a = x, b = x + ta a − b = 2ab ⇔ ( b − a ) ( b + 3a ) = ⇔ b = a b = −3a Khi có phương trình x + = x x + = −6 x +) Với x + = x , điều kiện x > , ta có x + = x ⇔ x + = x ⇔ x − x − = ⇔ x = x = − (loại) − ≤ x S ANN ' ⇒ MM ' > NN ' ⇒ M ' N ' > MN ( ) R 2− Với α = 60o ; BC = R suy AQ = R − R = , 2 MN = ( R 2− ) = ( R −3 ) ⇒ OI = R ( −3 1,0 ) 3 Câu ( 2,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x2 + y + z 2 y + z + x2 2z + x2 + y + + ≥ xyz − yz − zx − xy Nội dung Điểm 2 Chứng minh được: x + y + z ≥ x ( y + z ) 2 2 2 Tương tự ta có y + z + x ≥ y ( z + x ) , z + x + y ≥ z ( x + y ) x ( y + z) y ( z + x) z ( x + y) + + ≥ xyz − yz − zx − xy y+z z+x x+y + + ≥ Bất đẳng thức tương đương với ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy Do ta chứng minh yz y+z = Ta có − yz yz ≥ ( ) − yz + yz yz − yz ( ( < − yz ) yz = − )( ( ) ) xy − + ≤ nên ( (2− yz ) ) 1 0,5 ( yz + yz ( 0,5 yz + yz ) ≥ ) , dễ có + yz y+z z+x ≥ ≥ , tương tự có ( − yz ) yz + yz ( − zx ) zx + zx x+ y ≥ ( − xy ) xy + xy y+z z+x x+y 1 + + ≥ + + Do ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy + xy + yz + zx Vậy nên Với a, b, c>0 có 1 a b b c c a ( a + b + c ) + + ÷ = + + ÷+ + ÷+ + ÷ ≥ + + + = nên a b c b a c b a c 1 + + ≥ (*) a b c a+b+c 1 + + ≥ ≥ 1; Áp dụng (*) ta có + xy + yz + zx + xy + yz + zx x+ y y+z z+x + + = x + y + z = ) (Vì xy + yz + zx ≤ 2 y+z z+x x+y + + ≥1 Vậy ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy x2 + y + z 2 y + z + x2 2z + x2 + y + + ≥ xyz Do ta có − yz − zx − xy Đẳng thức xảy x = y = z = HẾT 1,0 ... thí sinh: ……………………………………… Số báo danh:……………………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH. .. THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013- 2014 Môn: TOÁN - THCS (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) I Một số ý chấm • Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi, giám khảo cần... = x = −5, y = −3 M T H N B −13 + 1 09 x = 2y + y + 13 y + =Q0 ⇔ y = C +) Với , vào (2) rút gọn ta có −13 − 1 09 K y= O −7 + 1 09 −13 + 1 09 −7 − 1 09 −S13 − 1 09 x= ,y= x= , y =I Suy 6 F Vậy hệ có