Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh phú thọ năm học 2013 2014(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN: TOÁN - THCS Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình tập số nguyên x + y − xy + x − y − 12 = b) Cho P ( x ) = x − 3x + 14 x − Tìm số số tự nhiên x nhỏ 100 mà P ( x ) chia hết cho 11 Câu (4,0 điểm) a − 3a + a) Tính giá trị biểu thức P = , biết a = 55 + 3024 + 55 − 3024 a − 4a + 5a − b) Cho số thực x, y, z đôi khác thỏa mãn x = 3x − 1, y = y − z = 3z − Chứng minh x + y + z = Câu (4,0 điểm) x −1 = x + 4x 3 x + y − xy + x + y − = b) Giải hệ phương trình  2  x − y + x + y − = Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC không qua tâm Gọi A là điểm chính giữa a) Giải phương trình x − + · cung nhỏ BC Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo bằng α không đổi cho E, F khác phía với điểm A so với BC; AF và AE cắt đường thẳng BC lần lượt M và N Lấy điểm D cho tứ giác MNED là hình bình hành a) Chứng minh MNEF là tứ giác nội tiếp b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh rằng góc nội tiếp · quay quanh điểm A thì I chuyển động một đường thẳng cố định EAF c) Khi α = 600 BC = R , tính theo R độ dài nhỏ đoạn thẳng OI Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x2 + y + z 2 y + z + x2 2z + x2 + y + + ≥ xyz − yz − zx − xy -Hết Họ tên thí sinh:……………………………………… Số báo danh:……………………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN - THCS (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) I Một số ý chấm • Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lô-gic chia nhỏ đến 0,25 điểm • Thí sinh làm cách khác với Đáp án mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm Đáp án • Điểm thi tổng điểm câu không làm tròn số II Đáp án-thang điểm Câu ( 3,0 điểm) a) Giải phương trình sau tập số nguyên x + y − xy + x − y − 12 = b) Cho P ( x ) = x − 3x + 14 x − Tìm số số tự nhiên x nhỏ 100 mà P ( x ) chia hết cho 11 Nội dung a) Phương trình tương đương với (x + y − xy ) + ( x − y ) + = 16 − y ⇔ ( x − y + ) = 16 − y ; mà x, y ∈ ¢ nên ( x − y + ) = 16, y = (1) x − y + = 0, y = 16 (2) Ta có (1) ⇔ x = 2, y = x = −6, y = (2) ⇔ y = 4, x = y = −4, x = −10 Vậy phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 2; ) , ( −6; ) , ( 6; ) , ( −10; − ) } Điểm 0,5 0,5 0,5 b) Bổ đề: Cho x, y số tự nhiên số nguyên tố p có dạng p = 3k + x ≡ y ( mod p ) ⇔ x ≡ y ( mod p ) 3 Thật vậy, x ≡ y ( mod p ) ⇒ x ≡ y ( mod p ) , 3 3k 3k Với x ≡ y ( mod p ) ⇒ x ≡ y ( mod p ) Với x, y chia hết cho p hiển nhiên p −1 p −1 k +1 ≡ y k +1 ( mod p ) Với ( x, p ) = 1, ( y , p ) = ta có x ≡ y ≡ 1( mod p ) ⇒ x ⇒ x.x3k ≡ y y 3k ( mod p ) ⇒ x ≡ y ( mod p ) x 3k ≡ y 3k ( mod p ) Áp dụng Bổ đề, ta có 3 P ( x ) ≡ P ( y ) ( mod 11) ⇔ ( x − 1) + 11( x − 1) + 10 ≡ ( y − 1) + 11( y − 1) + 10 ( mod 11) ⇔ ( x − 1) ≡ ( y − 1) ( mod 11) ⇔ x − ≡ y − 1( mod 11) ⇔ x ≡ y ( mod 11) Do đó, P ( x ) ≡ P ( y ) ( mod 11) ⇔ x ≡ y ( mod 11) 3 Suy với n ∈ ¥ , 11 giá trị P ( n ) , P ( n + 1) ,K , P ( n + 10 ) , có giá trị chia hết cho 11 Do đó, số P ( 1) , P ( ) ,K , P ( 99 ) có số chia hết 0,5 0,5 0,5 cho 11, P ( ) = −2 không chia hết cho 11 Vậy có số thỏa mãn yêu cầu toán Câu ( 4,0 điểm) a − 3a + a) Tính giá trị biểu thức P = , biết a = 55 + 3024 + 55 − 3024 a − 4a + 5a − b) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x = 3x − 1, y = y − 1, z = 3z − Chứng minh x + y + z = Nội dung a − 3a + ( a − 1) ( a + ) = a + = a) Ta có P = ; a − 4a + 5a − ( a − 1) ( a − ) a − Điểm 3 mà a = 110 + 55 − 3024 ( 0,5 ) 55 − 3024 + 55 + 3024 0,5 ⇒ a = 110 + 3a ⇔ a − 3a − 110 = ⇔ ( a − ) ( a + 5a + 22 ) = ⇔ a = Suy P = b) Ta có x = x − 1(1), y = y − (2), z = z − (3)  x3 − y = ( x − y )  x + xy + y = (4)   Từ (1), (2) (3) suy  y − z = ( y − z ) ⇔  y + yz + z = (5)   2  z + zx + x = (6)  z − x = 3( z − x ) Từ (4) (5) suy x − z + xy − yz = ⇔ ( x − y ) ( x + y + z ) = ⇔ x + y + z = , (vì x, y, z đôi phân biệt) Cộng (4), (5) (6) theo vế với vế ta có 2 x + y + z ) + ( x + y + z ) = ⇒ x2 + y + z = ( 2 Câu ( 4,0 điểm) x −1 a) Giải phương trình x − + x = 3x + 3 x + y − xy + x + y − = b) Giải hệ phương trình  x − y + x + y − =  Nội dung x≥− ,x≠0 a) Điều kiện xác định: Phương trình tương2đương với 12 x − ( x + 1) = x x + Đặt a = x, b = x + ta a − b = 2ab ⇔ ( b − a ) ( b + 3a ) = ⇔ b = a b = −3a Khi có phương trình x + = x x + = −6 x +) Với x + = x , điều kiện x > , ta có x + = x ⇔ x + = x ⇔ x − x − = ⇔ x = x = − (loại) − ≤ x S ANN ' ⇒ MM ' > NN ' ⇒ M ' N ' > MN ( ) R 2− Với α = 60o ; BC = R suy AQ = R − R = , 2 MN = ( R 2− ) = ( R −3 ) ⇒ OI = R ( −3 1,0 ) 3 Câu ( 2,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x2 + y + z 2 y + z + x2 2z + x2 + y + + ≥ xyz − yz − zx − xy Nội dung Điểm 2 Chứng minh được: x + y + z ≥ x ( y + z ) 2 2 2 Tương tự ta có y + z + x ≥ y ( z + x ) , z + x + y ≥ z ( x + y ) x ( y + z) y ( z + x) z ( x + y) + + ≥ xyz − yz − zx − xy y+z z+x x+y + + ≥ Bất đẳng thức tương đương với ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy Do ta chứng minh yz y+z = Ta có − yz yz ≥ ( ) − yz + yz yz − yz ( ( < − yz ) yz = − )( ( ) ) xy − + ≤ nên ( (2− yz ) ) 1 0,5 ( yz + yz ( 0,5 yz + yz ) ≥ ) , dễ có + yz y+z z+x ≥ ≥ , tương tự có ( − yz ) yz + yz ( − zx ) zx + zx x+ y ≥ ( − xy ) xy + xy y+z z+x x+y 1 + + ≥ + + Do ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy + xy + yz + zx Vậy nên Với a, b, c>0 có 1 a b b c c a ( a + b + c )  + + ÷ = +  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ + + + = nên a b c b a c b a c 1 + + ≥ (*) a b c a+b+c 1 + + ≥ ≥ 1; Áp dụng (*) ta có + xy + yz + zx + xy + yz + zx x+ y y+z z+x + + = x + y + z = ) (Vì xy + yz + zx ≤ 2 y+z z+x x+y + + ≥1 Vậy ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy x2 + y + z 2 y + z + x2 2z + x2 + y + + ≥ xyz Do ta có − yz − zx − xy Đẳng thức xảy x = y = z = HẾT 1,0 ... thí sinh: ……………………………………… Số báo danh:……………………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH. .. THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013- 2014 Môn: TOÁN - THCS (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) I Một số ý chấm • Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi, giám khảo cần... = x = −5, y = −3 M T H N B −13 + 1 09 x = 2y + y + 13 y + =Q0 ⇔ y = C +) Với , vào (2) rút gọn ta có −13 − 1 09 K y= O −7 + 1 09 −13 + 1 09 −7 − 1 09 −S13 − 1 09 x= ,y= x= , y =I Suy 6 F Vậy hệ có