b Gọi x1; x2là hai nghiệm của phương trình trên.. c Tìm m để hai nghiệm x1; x2của phương trình là độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.. a Chứng min
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 90 phút (Không tính thời gian phát đề) Bài 1: (3 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x2= 2x+15
b) 4x2 4 x+ 7 = 0
c) 4x4 21x2+ 20 = 0
d)
Bài 2: (2 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = và đường thẳng (d): y = 1 trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) ở câu trên bằng phép tính
Bài 3: (1, 5 điểm)
Cho phương trình
x2– (m+5 ) x + 3m + 6 = 0 (x là ẩn số, m là tham số) a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Gọi x1; x2là hai nghiệm của phương trình trên Tính x1+ x2; x1x2theo m c) Tìm m để hai nghiệm x1; x2của phương trình là độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5
Bài 4: (3, 5 điểm)
Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm) Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt B, C (O không thuộc (d), B nằm giữa A và C)
a) Chứng minh: Tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh: AN2= AB AC
c) Gọi H là trung điểm của BC Chứng minh HA là tia phân giác của d) Lấy điểm E trên MN sao cho BE song song với AM Chứng minh HE song song với CM
HẾT
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN TOÁN KHỐI 9
điểm
Bài 1
( 3
điểm)
a) x2= 2x +15 x2– 2x – 15 = 0 ; a = 1; b = – 2 ; c = – 15
= b2– 4ac = 4+ 60 = 64 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
0, 25
0,25 x2
b) 4x2 4 x + 7 = 0; a = 4; b’ = – 2 ; c = 7
= b’2– ac = (– 2 )2– 4.7 = 28 – 28 = 0; = 0
Phương trình có nghiệm kép: x1= x2= – = =
Học sinh có thể làm cách khác vẫn cho đủ điểm
0, 25
0, 25
c) 4x4 21x2 + 20 = 0
Đặt t = x2(t 0) thiếu điều kiện ban đầu ( t 0) không trừ
Phương trình trở thành : 4t2 21t + 20 = 0
= b2– 4ac = 441 320 = 121 > 0
nên t1= = = 4 (nhận) ;
t= x2= 4 x = 2; x = – 2
t= x2= x = ; x = –
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt là x = 2; x = – 2 ;
x = ; x = –
0, 25
0, 25
0, 25
0, 25
d)
0, 25
0, 25
Trang 3Vậy hệ phương trình có nghiệm
0, 25
Bài 2 Tập xác định của 2 hàm số: R
( P):y=
1 2
2
-2 - 4, 5
(d ): y = 1
0, 25
0, 25
Vẽ đồ thị
Nếu sai 2 giá trị trong bảng giá trị trừ 0, 25; sai trên đồ thị: - 0,
25
Nếu sai 3 giá trị trong bảng giá trị : Không chấm
Bảng giá trị đúng chấm đồ thị
0, 5x2
(P)
(d)
-1
2
-2
Trang 4Bảng giá trị sai không chấm
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và ( d ) :
Giải phương trình ta có (a+b+c = 1+1 2 =0)
Phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = 2
Với x = 1 => y =
x = 2 y = 2
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là A (1; 1
2
), B ( 2; 2) 0, 25
Bài 3
(1,5
điểm)
Cho phương trình
x2 – (m+5) x + 3m + 6 = 0 (1) (x là ẩn số, m là tham số)
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của
m
Ta có a = 1 ; b = [– (m+5)]; c = 3m+ 6
= b2– 4ac = [– (m +5)]2 4 (3m + 6)
= m2+ 10m + 25 – 12m –24 = m2–2m + 1 = ( m – 1)2 0
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
0, 25
0, 25
b) Gọi x1; x2là hai nghiệm của phương trình trên
Áp dụng hệ thức Viét vào phương trình đã cho, ta có :
S= x1+ x2= = m +5; P = x1. x2= = 3m+6 c) Với hai nghiệm x1, x2của phương trình là độ dài 2 cạnh góc
vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 thì
theo định lý Pytago ta có x1> 0; x2> 0
x1
2 + x2 2
= 52= 25 (x1+ x2)2– 2 x1 x2 =25 (m+ 5 )2– 2 (3m+6) =25
m2+ 4m – 12 = 0
0, 25x2
0, 25
Trang 5Thế m vào phương trình, ta chọn m = 2 thỏa mãn điều kiện
Học sinh có thể giải bằng cách khác; kết quả đúng vẫn cho đủ số
điểm
0, 25
Bài 4:
(3, 5
điểm)
1 điểm a) Ta có :
= 900(AM là tiếp tuyến của (O))
= 900 (AN là tiếp tuyến của (O)) + = 900+ 900= 1800
Do đó tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
AO (tứ giác có tổng số đo 2 góc đối bằng 1800)
0, 25
0, 25
0, 25
0, 25
1 điểm b) AN2
= AB AC Xét hai tam giác ANB và CAN có:
là góc chung (1)
= sđ BN (góc tạo bởi tiếp tuyến AN và dây cung BN)
= sđ BN (góc nội tiếp chắn cung BN)
Nên = (2) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BN)
Từ (1) và (2) ta có ANB〜 ACN (g-g) Suy ra = ; do đó : AN2= AB AC Thiếu luận cứ trừ 0, 25
0, 25
0, 25
0, 25
0, 25
0, 75
điểm c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: AM = AN
E
B
H
N
O A
M
C
Trang 6Do H là trung điểm của BC nên ta có:
Chứng minh 900suy ra H thuộc đường tròn đường kính AO
Chứng minh 5 điểm A, M, H, O, N cùng thuộc một đường tròn
= sđ AM (góc nội tiếp chắn cung AM)
= sđ AN ((góc nội tiếp chắn cung AN)
= (góc nội tiếp chắn hai cung AM và AN bằng nhau )
Do đó HA là tia phân giác của
0, 25
0, 25
0, 25
0, 75
điểm
d) Theo giả thiết AM// BE nên = (2 góc đồng vị) (1)
Do 5 điểm A, M, H, O, N cùng thuộc một đường tròn nên:
= (góc nội tiếp chắn cung MH) (2)
Từ (1) và (2) suy ra =
Suy ra tứ giác EBNH nội tiếp
(N và B cùng nhìn EH dưới 2 góc bằng nhau)
Suy ra =
Mà = (góc nội tiếp chắn cung MB)
Suy ra: = ở vị trí đồng vị
Do đó : HE// CM
0, 25
0, 25
0, 25
E
B
H
N
O A
M
C