SỐ PHỨC FILE WORD TRẦN ĐÌNH cư

Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)Đề kiềm tra chương 3 đai so 9 (MTĐÊDA)

Chuyên Đề Số Phức Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức MỤC LỤC MỤC LỤC .1 (BỘ CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BAO GỒM CHỦ ĐỀ) (SẼ UPDATE TRONG THOI GIAN TỚI)CHỦ ĐỀ CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN (BỘ CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BAO GỒM CHỦ ĐỀ) (SẼ UPDATE TRONG THOI GIAN TỚI) Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức CHỦ ĐỀ CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN Phương pháp Cho hai số phức z  a  bi, z'  a' b'i,  a,b,a',b' �� ta cần nhớ định nghĩa phép tính sau: � a  a' z  z' � � �b  b' z  z'   a  a'   b  b' i; z  z'   a  a'   b  b' i z.z'   a  bi   a' b'i   aa' bb'  ab' a'b i z' z'.z  a' b'i   a  bi  aa' bb'  ab' a'b i    z z a2  b2 a2  b2 Vận dụng tính tính chất ta dễ dàng giải toán sau Ta cần ý kết sau: Với i n , n��   k  Nếu n  4k  k �� i n  i 4k  i  Nếu n  4k   k �� i n  i 4k i  1.i  i  Nếu n  4k   k �� i n  i 4k i  1. 1  1  Nếu n  4k   k �� i n  i 4k i  1. i   i 1 I CÁC VÍ DỤ MẪU 3  i Tính số phức sau: z; z ; (z) ;1 z  z 2 Ví dụ Tìm phần thực phần ảo số phức: Ví dụ Cho số phức: z  a) z    5i    1 2i  ; c) z    i  b) z    3i    5i  ; 2i i1 d) z  ; Ví dụ Thực phép tính sau: a) A   1 i    3i  ; d) D  5  6i b) B  ;  3i c) C 1  i 2 2026  2i ; i �1 7i � e) � � �4  3i � Ví dụ Viết số phức sau dạng a  bi, a,b �R  : a) z    i    1 2i     i    i  ; 3 1 i  i 1 2i b) z    ; 1 i  i 1 i d) z   2 i    i   1 i  ; z 2 1 i   3 1 i  c)  1 2i  ; e) z   1 i    2i  Ví dụ Tìm nghịch đảo số phức sau: Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức a)z  3 4i; b) z  3 2i; c)z   1 i ; 3 2i  d)z  3 i Ví dụ Cho z   2a  1   3b  5 i, a,b �� Tìm số a,b để a) z số thực Ví dụ Tìm m �R để: b) z số ảo a) Số phức z  1  1 mi    1 mi  b) Số phức z  số ảo m  1 2 m  1 i số thực 1 mi Ví dụ Tìm số thực x, y cho z  z' , với trường hợp a)z   3x  9  3i, z'  12   5y  7 i; b)z   2x  3   3y  1 i, z'   2y  1   3x  7 i c) (x2  2y  i)  i   y  x  1  1 i   26  14i  d) x2  y2   2i   3i  1   y  2x 3 i  1 i  Ví dụ Chứng minh : 3 1 i  100   320  896i  4i  1 i  98  4 1 i  96 Ví dụ 10 a) Tính mơ-đun số phức z biết z  3i   i   2i b) Cho số phức z thỏa mãn  1 3i  z 1 i Ví dụ 11 Xét số phức: z  Tìm mơđun số phức z  iz im Tìm m để z.z  1 m m  2i  Ví dụ 12 Tính S  1 i  i  i   i 2012 Ví dụ 13 Số phức z  x  2yi  x,y �� thay đổi thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: P  x  y Ví dụ 14 Cho số phức z  cos2   sin   cos  i , với số  thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn z Ví dụ 15 (Đề Minh họa bộ) Cho số phức z = – 2i Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực –3 Phần ảo –2i –2 C Phần thực Phần ảo 2i B Phần thực –3 Phần ảo D Phần thực Phần ảo Ví dụ 16 (Đề Minh Họa Bộ) Cho hai số phức z1   i z2   3i Tính mơđun số phức z1  z2 A z1  z2  13 B z1  z2  C z1  z2  D z1  z2  Ví dụ 17 (Đề minh họa bộ) Cho số phức z   5i Tìm số phức w  iz  z A w   3i B w  3  3i C w   7i D w  7  7i Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức Ví dụ 17 (Đề thử nghiệm lần Bộ) Tìm số phức liên hợp số phức z  i (3i  1) A z   i B z  3  i C z   i D z  3  i Ví dụ 18: (Đề thử nghiệm lần Bộ) Tính mơđun số phức z thoả mãn z(2  i)  13i  B z  34 A z  34 C z  34 Ví dụ 19: ( Đề Thử nghiệm lần 1-Bộ Giáo dục) Xét số phức (1  2i) z  34 D z  z thoả mãn 10   i Mệnh đề sau đúng? z  z 2 B z  C z  2 II CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN A D  z  2 Câu Cho z1  1 3i,z2   i,z3   4i Tính: 1.1 Tính z1  2z2  z3 A 1 4i B  4i C  5i D  6i B  3i C  5i D 1 6i B 20  33i C 20  35i D 11 61i C 22006i D 22006 i C  19i D  12i 1.2 Tính z1z2  z2 z3 A 1 4i 1.3 Tính z1z2z3  z22z3 A 11 45i Câu Tính lũy thừa  1 i  A 21003i 2006 B 21003i Câu Tính lũy thừa   3i  A 46  9i B 4  9i Câu Tính lũy thừa �   5i     3i  � � � A 32i B 9i C 19i Câu Tính lũy thừa A 4  3i   D 12i 2  i B 1 6i C 3  3i D  3i C D �1 3� Câu Tính lũy thừa �  i �bằng �2 � � � B 4 A Câu Viết số phức z  A i  4 B 1 i 5 i i  4  2i 3 i dạng a  bi ,  a,b�� C i  3 D 2i  3 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức   8i  z 11   7i  10 Câu Viết số phức A  7i  133 133 Câu Tính A  B  dạng a  bi ,  a,b�� 7i  113 113 C  7i  23 23 D  5i  123 123 �7 � i  � � 2i � i � A i C i B i D 1 33 10 �1 i � Câu 10 Tính B  � �   1 i     3i    3i   ;  i i � � A 13  3i B 33  31i C 13  32i Câu 11 Tính C  1  1 i    1 i    1 i     1 i  D  32i 20 Câu 12 Cặp số thực x, y thỏa mãn 2x  1  1 2y  i   x   3y  2 i là: A x  ,y  B x  1 ,y  5 C x  1 ,y  D x   ,y   Câu 13 Cặp số thực x, y thỏa mãn 4x    3y  2 i  y  1  x  3 i là: A x  ,y  11 11 B x   ,y  11 11 C x  ,y   11 11 D x   ,y   11 11 Câu 14 Cặp số thực x, y thỏa mãn x  5i   y  1– 2i    32i là: A x  6;y  B x  6;y  1 C x  6;y  x y 1 là:  1 i 1 i A x  1;y  1 B x  1;y  1 338 61 C x  ;y  49 49 y Câu 16 Các cặp số thực x, y thỏa mãn    3i là: x  i  3i D x  6;y  1 Câu 15 Cặp số thực x, y thỏa mãn   C  x,y     10;2 ; 10;5  A  x,y    0;12 ; 1;15 Câu 17 Các cặp số thực x, y thỏa mãn  A  x,y    1;1 ; 1;2  D x  1;y    D  x,y     1;2 ; 1;15  B  x,y    0;2 ; 1;5  x  i   1 yi     2i  x  1 4i là: � � �5 �  1; 2 ;� ;4�� B  x,y   � � � � � � �1 � ; 1; 3 � C  x,y   � � ;2� �2 � � � � � �� � 1; �� ; 2; � D  x,y   � � � � �� � � Câu 18 Tìm điều kiện cho số thưc x, y để  x  iy  số thực � x1 A � y  1 � �x  B � �y  � x C � y0 � �x  D � �y  Câu 19 Tìm điều kiện cho số thưc x, y để  x  iy  số ảo � x A � 3x  y � � x B � 3x  y2 � � x C � x  3y � � x D �2 x  3y2 � Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức m  3i số thực 1 i A m  �2 C m  �4 B m  �3 D m  Câu 21 Cho số phức z   2i Tìm phần thực phần ảo số phức w  iz  z Câu 20 Tìm số thực m để bình phương số phức z  z3  z Câu 22 Cho z   3i, x,y �� Hãy viết dạng đại số w   z z z1 A z  B z  6 C z  6  i D z  6  i 2012 Câu 23 Tính tổng S  i  2i  3i   2012.i   A 1006  1006i B 1006  1006i C 1006  1006i D 1006  1006i  Câu 24 Cho  , hai số phức liên hiệp thỏa mãn �R     Tính   A B 3 C D Câu 25 Tìm c biết a,b c số nguyên dương thỏa mãn: c   a  bi   107i A 400 B 312 C 198 D 123 Câu 26 Cho số phức z có phần ảo 164 với số nguyên dương n thỏa mãn z  4i Tìm n zn A n  14 B n  149 C 697 Câu 27 Cho số phức z thỏa mãn z  A B 1 i Tìm mơ đun số phức z  iz C Câu 28 Tìm số thực m biết: z  � m  1 A � m1 �  1 3i  D 789 D im 2 m zz  ( i đơn vị ảo) 1 m m  2i  � m0 B � m  1 � � m0 C � m1 � � m D � m1 � Câu 29 Tìm phần thực số phức: z   1 i  ,n �� thỏa mãn phương trình: n log4  n  3  log4  n  9  B 8 C D m  3i Câu 30 Cho số phức z   m �� Tìm m, biết số phức w  z2 có mơđun 1 i A � m  1 A � m1 � � m � m � m B � C � D � m  1 m1 m  3 � � � im ,m �� Tìm giá trị nhỏ số thực k cho Câu 31 Cho số phức z  1 m m  2i  tồn m để z  �k A k  5 B k  5 2 C k  51 D k  Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế 5 2 Page Chuyên Đề Số Phức CHỦ ĐỀ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨC Phương pháp  Trong mặt phẳng phức, số phức z  x  yi, (x,y ��) biểu diễn :  Điểm M  x;y  , kí hiệu M  z  uuuur  Vectơ OM   x;y  r  Vectơ u  (x;y) Biểu diễn hình học z,z, z  M  z  M   z  đối xứng với qua gốc tọa độ M  z  M(z) đối xứng với qua trục Ox   Biểu diễn hình học z  z' ,z  z' ,kz  k �� r r Gọi M, u biểu diễn số phức z; M ' ,v biểu biểu diễn số phức z’ Ta có: uuuur uuuuu r r r OM  OM ' u  v biểu diễn số phức z  z’ ; uuuur uuuuu r uuuuuu r r r OM  OM '  M 'M u  v biểu diễn số phức z  z’ ; uuuur r kOM , ku biểu diễn số phức kz Với M, A, B biểu diễn số phức z, a, b : OM  z ;AB  b  a I CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng biểu diễn số phức a,b,c Gọi M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ABC D điểm đối xứng A qua G Các điểm M,G,D biểu diễn số phức m,g,d a) Tính số phức m, g, d theo a, b, c b) Nếu thêm giả thiết a  b  c , chứng minh tam giác ABC tam giác a  b  c  Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Ba đỉnh A, B ,C biểu diễn số phức a   2i,b  1 i,c   mi  m �R  a) Tìm số phức d (biểu diễn điểm D); b) Định m cho ABCD hình chữ nhật Ví dụ Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M, A, B biểu diễn số phức : �3  i � i z z � z, � � � � � Chứng minh rằng: a) z �C, tam giác OMA vuông M; b) z �C, tam giác MAB tam giác vng; c) z �C, tứ giác OMAB hình chữ nhật Ví dụ Gọi A, B, C ba điểm biểu diễn số phức a  1 i, b  i, c  1 ki, k �� a) Định k để ba điểm A, B, C thẳng hàng; b) Xét hàm số w  f  z   z2 Đặt a'  f  a ,b'  f  b ,c'  f  c Tính a’, b’,c’ Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức c) Gọi A’, B’, C’ điểm biểu diễn số phức a’, b’, c’ Định k để A’, B’, C’ ba điểm thẳng hàng; ur u r ur u r z d) Nếu u,v biểu diễn số phức z, z’ Chứng minh u  v � số ảo z' Áp dụng: Tính k để tam giác A’B’C’ vng A’ Ví dụ Cho số phức z  m   m  3 i,m �� a) Tìm m để biểu diễn số phức nằm đường phân giác góc phần tư thứ hai y  x x c) Tìm m để khoảng cách điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ nhỏ Ví dụ Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biễu diễn số b) Tìm m để biểu diễn số phức nằm Hyperbol y   4i  6i ;  1 i   1 2i  ; i 1 3 i a) Chứng minh ABC tam giác vng cân b) Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình vng Ví dụ Trong mặt phẳng phức cho điểm: O (gốc tọa độ), A điểm biểu diễn số 1, B điểm biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z' �0 B’ biểu diễn số phức zz' Chứng minh rằng: Tam giác OAB tam giác OA 'B' đồng dạng Ví dụ Biết A, B, C, D bốn điểm mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự số: 1 i,  1 i, 2i,  2i uuur uuuu r uuur uuur a) Tìm số z1,z2 ,z3 ,z4 theo thứ tự biểu diễn vectơ AC,AD,BC,BD b) Tính z1 z3 , từ suy A, B, C, D nằm đường tròn Tâm đường tròn z2 z4 biểu diễn số phức nào? II CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Gọi A, B theo thứ tự điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z khác z '  1 i z Lúc đó, tam giác OAB tam giác A Tam giác cân B Tam giác C Tam giác vuông D Tam giác vuông cân Câu Các điểm A, B, C A’, B’, C’ tương ứng biểu diễn số phức z1,z2 ,z3 z'1,z'2 ,z'3 ( A, B, C A’, B’ , C’ khơng thẳng hàng) Hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm A z1  z2  z3  z1'  z'2  z'3 ' ' ' B z1  z2  z3  z1  z2  z3 ' ' ' C z1  z2  z3  z1  z2  z3 '2 D z12  z22  z23  z'12  z'2  z3 Câu Cho A, B, C, D bốn điểm mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số     i;    3 i; 1 3i;  i Chọn khẳng định A ABCD hình bình hành B AD  2CB C D trọng tâm tam giác ABC D Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Câu Cho ba điểm A ,B, C biểu diễn số phức a  1,b  1 i c  b2 Câu 4.1 Xác định  cho A,B,C ba đỉnh tam giác A  �1 B  �1 C   �1 D  �0 Câu Khi A, B, C ba đỉnh tam giác Hỏi tam giác ABC tam giác gì? Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức A Tam giác cân B Tam giác C Tam giác vuông D Tam giác vuông cân Câu 4.3 Tìm số phức d biểu biễn D cho ABCD hình chữ nhật A d  1   i B d  1   i C d  1   i D d  1   i Câu Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức z1,z2 ,z2 Hỏi trọng tâm tam giác ABC biểu diễn số phức nào? A z1  z2  z2 B  z1  z2  z2 1 D   z1  z2  z2  z1  z2  z2   3 Câu Xét ba điểm A, B,C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân C biệt z1,z2 ,z2 thỏa mãn z1  z2  z3 Ba điểm A, B, C ba đỉnh tam giác z1  z2  z3  A z1  z2  z3 B z1  z2  z3  C z1z2  z2z3  z3z1  D z12  z22  z32 Câu Cho M, N hai điểm mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự số phức z1 , z khác thỏa mãn đẳng thức z12  z 22  z1z Tam giác OMN tam giác gì? A Tam giác cân C Tam giác vuông B Tam giác D Tam giác vuông cân Câu Cho ba điểm A, B, C biểu diễn số phức a  1 i,b  a2 c  x  i, x �� Tìm x cho Câu 8.1 Tam giác ABC vng B A x  1 B x  2 C x  3 D x  5 Câu 8.2 Tam giác ABC cân C A x  7 B x  2 C x  3 D x  5 ur u r r Câu Cho u,v biểu diễn hai số phức 1 3i  2i Gọi x biểu diễn số ur u r r phức  4i Hãy phân tích x qua u,v r r r 24 ur 14 u r r 24 ur 14 u r r r 24 ur 14 u 24 ur 14 u A x   u  v B x  C x  D x   u  v u v u v 11 11 11 11 11 11 11 11 Câu 10 Tìm điểm biểu diễn số phức z biết điểm biểu diễn số phức z,z2 ,z3 lập thành Câu 10.1.Tam giác vuông A A Quỷ tích z đường thẳng x  1 C Quỷ tích z đường elip x Câu 10.2.Tam giác vuông B A Quỷ tích z đường thẳng B Quỷ tích z đường thẳng C Quỷ tích z đường thẳng D Quỷ tích z đường thẳng Câu 10.3 Tam giác vuông C A Quỷ tích z đường thẳng B Quỷ tích z đường thẳng  y2  B Quỷ tích z đường trịn x2  y2  D Quỷ tích z Parabol y  x x  y0 x  0, trừ gốc tọa độ y  0, trừ gốc tọa độ x y1 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 10 Chuyên Đề Số Phức Vì thế: x2  y2  z2   x  y  z   2 xy  yz  zx     x  y  z   2xyz x  y  z   x  y  z   2xyz x  y  z   2 Do x5  y5  z5  �  cosa  i sina   cosb  i sinb   cosc  i sinc  5 � cos5a  cos5b  cos5c  i  sin5a  sin5b  sin5c  Vậy nên cos5a  cos5b  cos5c  sin5a  sin5b  sin5c  Bài tập Chứng minh rằng: cos6   sin24 sin48 Giải  sin120 Xét số phức z  cos60  i sin60 , có z15  cos900  i sin900  i z2  z4  z8  z16  0 ,sin120  ,sin24  ,sin48  2z 2iz2 2iz4 2iz8 Đẳng thức cần chứng minh trở thành Ta có cos60  2z  2iz2  2iz4 2iz8  z2  z4  z8  z16  0   16 14 Rút gọn ý z �0 ta có z  1 iz z   Hay: z15z  1 iz15  iz  � iz  1 i  iz  (đúng) Vậy đẳng thức chứng minh Bài tập Giả sử   nghiệm phương trình x2  2x   cot   y  Chứng minh  y   n   y   n sinn    sinn  Giải Ta có x2  2x   � x  1�i Khơng tính tổng qt, lấy   1 i,  1 i Theo giả thiết cot   y  1� y  cot   Lúc :  y      cot   1 1 i  n n n �cos � �  i�  cosn  i sinn  �sin  � sinn  Tương tự :  y   n   cot   1 1 i  n Do  y      y     n Từ ta có : n �cos � �  i�  cosn  i sinn  �sin  � sinn  n sinn   y   n 2i sinn Mặt khác :     2i   y     n  sinn sinn  Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 225 Chuyên Đề Số Phức Bài toán 3: Ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức Cho số phức z  a  bi;a,b �� Lúc mơđun số phức z  a2  b2 Cho số phức z1;z2;z3 Ta có bất đẳng thức thường dùng sau : z1  z2 �z1  z2 ; z1  z2  z3 �z1  z2  z3 I Các ví dụ điển hình thường gặp Ví dụ Chứng minh với a,b,c�� ta ln có : a2  b2  c2  2ac  a2  b2  c2  2ac �2 a2  b2 Giải Bất đẳng thức tương đương với  a  c  a  c  b2   b2 �2 a2  b2 Xét z1   a  c  bi; z2   a  c  bi Ta có z1   a  c  b2 ; z2   a  c  b2   Mặt khác : z1  z2  2a  2bi � z1  z2  a2  b2  a2  b2 Áp dụng : z1  z2  �z1  z2 ta a2  b2  c2  2ac  a2  b2  c2  2ac �2 a2  b2 Ví dụ Chứng minh với  , ta có : cos4  cos4  sin2   sin2  � Giải Xét z1  cos2  cos2.i; z2  sin2  ; z3  sin2 .i Ta có : z1  cos4  cos4 ; z2  sin2  ; z3  sin2 ; z1  z2  z3  cos2  cos2.i  sin2   sin2 .i  1 i � z1  z2  z3  Áp dụng : z1  z2  z3 �z1  z2  z3 ta cos4  cos4  sin2   sin2  � Ví dụ Cho a,b,c  thỏa mãn ab  bc  ac  abc Chứng minh rằng: b2  2a2 c2  2b2 a2  2c2   �  * ab cb ac Giải 2 � 2� � 2� � 2� bñt  * � � �  � �  � �� �b � �c � � a � � b � � c � �a � Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 226 Chuyên Đề Số Phức Xeùt z1  2  i; z2   i; z1   i a b b c c a 2 � 2� � 2� � 2� Ta coù: z1   � �; z   � �; z   � � �b � 2 �c � � a � � b � � c � �a � �1 1� �1 1� Mặt khác: z1  z2  z3  �   � �   � i �a b c � �a b c � �1 1� � z1  z2  z  3�   � �a b c � Theo giả thiết: ab  bc  ac  abc � 1    Do đó: z1  z2  z  a b c Áp dụng : z1  z2  z3 �z1  z2  z3 ta b2  2a2 c2  2b2 a2  2c2   � ab cb ac Ví dụ Cho a, b, c, d bốn số thực thỏa mãn điều kiện : a2  b2   2 a  b ; c2  d2  36  12 c  d    Chứng minh :  a  c   b  d  �  2 Giải Từ giả thiết ta có :  a  1   b  1  1;  c  1   d  1  36 2 Xét z1  1 a   1 b i; z2  c    d  6 i; z3   5i Ta có : z1  z2  z3   c  a   d  b i Vì z1  z2  z �z1  z  z3 nên   1  �  c  a   d  b �  a  c   b  d  �  2 2 II Bài tập áp dụng Bài tập Chứng minh với x ��, ta ln có : x2  2x   x2  2x  �2 Hướng dẫn giải Bất đẳng thức cho tương đương với  x  1  22   1 x  22 �2 Xét số phức : z1  x  1 2i; z2  1 x  2i Lúc : z1  z2   4i Vì z1  z2 �z1  z2 �  x  1  22   1 x  22 � 22  42   ÑPCM  Bài tập Chứng minh với x,y,z �� ta ln có x2  xy  y2  x2  xz  z2 � y2  yz  z2 Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 227 Chuyên Đề Số Phức Bất đẳng thức cho tương đương với 2 2 � y � �y � � z � �z � 2 x     x  � � � � y  yz  z � � � � � � � � � 2 2 � � � � � � � � Xét z1  x  y y z z 3  i; z2   x   i � z1  z2   y  z    y  z i 2 2 2 2 2 � y � �y � � z � �z � z1  z2 �z1  z2 � � x  � � x  � � � � � � � 2� � � � 2� � �2 � �2 � Vì 2 � � � �3 � �  y  z  �  �  y  z  �  y2  yz  z2 � � �2 � Bài tập Chứng minh với x�� , ta ln có : 2 16 32 2 x  2 x  x  x  4x  10  x  x  �4  2 2 5 2 5 Hướng dẫn giải Bất đẳng thức cho tương đương với 32 64 16 x  x  x2  8x  20  x2  x  �4  5 5 2 2� � 8� �4 � �8 �� � 2 � � � 16 � � � � x     x  � � x  � � �  �  x� � � � � � � � �5 � �5 � �5 �� � � x2   �4  Xét z1  x  2i; z2   x  2i; z3  x  � z1  z2   4i; z3  z4   4i 16  8i; z4   x  i 5 Ta có : z1  z2  z3  z4 �z1  z2  z3  z4 � � � x2   � 2 2� � 8� �4 � �8 �� � � � 16 � �  x   x     x    � � �� � � � � �5 � � �� � �� �5 � �5 �� � 2 �12 � �16 � �   � �  � �    ÑPCM  �5 � �5 � 2 Bài tập Chứng minh với x,y,z �� ta ln có x2  xy  y2  y2  yz  z2  x2  xz  z2 �  x  y  z  Hướng dẫn giải Bất đẳng thức cho tương đương với Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 228 Chuyên Đề Số Phức 2 2 2 � y � �y � � z � �z � � x � �x � x    y    z  � � � � � � � � � � � � � � �2 � � 2 2 � � � � � 2� � � � � � � � � 3 x  y  z  Xét z1  x  y y z z x x  i; z2  y   i; z3  z   i 2 2 2 Ta có : z1  z2  z3  3  x  y  z   x  y  z  i Vì z1  z2  z �z1  z  z3 nên 2 2 2 � y � �y � � z � �z � � x � �x � x  � � �  �y  �  � �  �z  �  � � � � � � � 2� � � 2� � � 2� � �2 � �2 � �2 � � x  y  z    x  y  z   3 x  y  z   4 Bài toán Ứng dụng giải toán khai triển hay tính tổng nhị thức Niutơn Phương pháp Ta nhắc lại công thức khai triển nhị thức Niutơn  a  b n  n �Cknank bk  Conan  C1nan1b  C1nan2b2   C nn1abn1  C nnbn k 0 Ta lưu ý : m ��* i 4m  1; i 4m1  i; i 4m  1; i 4m  i I Các ví dụ điển hình thường gặp Ví dụ Tính tổng a) S1  1 C n2  C 4n  Cn6  b)S2  C1n  C n3  C n5  C7n  Giải Ta có:  1 i  n  1 C1ni  C 2ni   C nni n      1 C 2n  C4n  C6n   i C1n  C n3  C n5  C7n  (1) n n  i 2n sin (2) 4 n Từ (1) vaø (2) suy ra: S1  2n cos ;  1 i  n  2n cos S2  2n sin n 4 98 100 Ví dụ Chứng minh C100  C100  C100  C100   C100  C100  250 Lời giải  1 i  100 2 100  C100  C100 i  C100 i   C100 100i     99  C100  C100  C100   C100 100  C 100  C100  C100   C100 i  1 i   2i �  1 i  100   2i  50  250 50 Vaäy: C100  C100  C100   C100 100  2 Ví dụ Tính tổng sau Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 229 Chuyên Đề Số Phức 12 14 A  C15  3C15  5C15  7C15   13C15  15C15 ; 13 15 B  2C115  4C15  6C15  8C15   14C15  16C15 Giải Xét khai triển  1 x 15 2 3 12 13 13 14 14 15 15  C15  C115x  C15 x  C15 x   C12 15x  C15x  C15x  C15x � x 1 x 15 2 3 12 13 13 14 15 15 16 Lấy đạo hàm hai  C15 x  C15 x  C15 x  C15 x   C15 x  C15 x  C14 15x  C15x vế  1 x 15  15x 1 x 14 2 3 12 13 13  C15  2C115x  3C15 x  4C15 x   13C12 15x  14C15x 14 15 15  15C14 15x  16C15x Thay x i ta  1 i  15  15i  1 i  14 2 3 12 13 13  C15  2C115i  3C15 i  4C15 i   13C12 15i  14C15i  14 15 15  15C14 15i  16C15i  14  C15  3C15  5C15  7C15   13C12 15  15C15   2C 13 15 15  4C15  6C15  8C15   14C15  16C15 i Mặt khác:  1 i  15  15i  1 i  14 15 14  � �  �  � cos  i sin �  15i 214 � cos  i sin � 4� 4� � � 15 � �2 �  215 �  i � 15i.27  i   27  27 i  15.27  16.27  27 i  211  27 i �2 � � � Vậy 12 14 A  C15  3C15  5C15  7C15   13C15  15C15  211 15 B  2C115  4C15  6C15  8C15   14C13 15  16C15  2 II Bài tập rèn luyên Bài tập Chứng minh rằng:  2    2 S1  C0n  C n2  C n4  Cn6  C n8   S2  C1n  Cn3  C n5  C7n  C 9n n n n sin n cos Giải Xét khai triển nhị thức Newton:  1 i  n  C0n  iC1n  i 2C n2  i 3C 3n  i 4C 4n   i n1C nn1  i nC nn � 1,(k  4m) � i,(k  4m  1) � k Vì i  � �1,(k  4m  2) � �i,(k  4m  3)  1 i  n m �  nên ta có:    C 0n  C 2n  C 4n   i C1n  C 3n  C 5n  (1) Mặt khác, theo công thức Moivre thì: Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 230 Chuyên Đề Số Phức   n   � � cos  i sin �  4� �  2 n n � cos  i sin �(2) � 4� � Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh  1 i  n n� n� 1 Bài tập Tính tổng S  C12n  C 2n  C 2n  C 2n  Hướng dẫn giải 2k1 C 2n  C 2k nên: 2k 2n  2n1 Chú ý 1 S  C12n  C 2n  C 2n  C72n  1 1  C 22n1  C2n C 62n1  C82n1  1  2n  2n  2n  2n  1 C  C 2n1  C 2n1  C 2n1  2n  2n1  Vì  1 i   2n1  1 i       C 02n1  C 2n 1  C 2n1   i C 2n1  C 2n1  C 2n1  2n1   2 2n1 � cos � � 2n  2n  �   i sin  �nên: 4 � C02n1  C 2n 1  C 2n1  C 2n1   Vậy ta có S  � 1 2n  1� �  2 2n1  2 cos 2n1 cos 2n   2n  � � � Bài tập Tính tổng n �  A  C0n cosa  C1n cos2a  C 2n cos3a   C nn1 cosna  C nn cos(n  1)a B  C0n sina  C1n sin2a  C n2 sin3a   Cnn1 sinna  C nn sin(n  1)a Giải Đặt z  cosa  i sina zn  cosna  i sinna Do ta có: A  iB  C 0n  cosa  i sina  C1n  cos2a  i sin2a  C n2  cos3a  i sin3a   C nn1  cosna  i sinna  C nn  cos(n  1)a  i sin(n  1)a    z C0n  C1n z  C 2nz2  C 3nz3   C nnzn  z  1 z  n a� a a� cos  i sin �nên: Vì 1 z  1 cosa  i sina  2cos � 2� 2� n � � a� a a� A  iB   cosa  i sina � 2cos � cos  i sin � � 2� 2� � � a � na na �  2n cosn  cosa  i sina � cos  i sin � 2� � a� n  n �  2n cosn � cos a  i sin a� 2� 2 � a n a n Vậy A  2n cosn cos a, B  2n cosn sin a 2 2 Nhận xét: Cho n giá trị cụ thể, suy nhiều biểu thức lượng giác đẹp Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 231 Chuyên Đề Số Phức a 7a cosa  5cos2a  10cos3a  10cos4a  5cos5a  cos6a  25 cos5 cos 2 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 232 Chuyên Đề Số Phức Bài toán Ứng dụng giải toán đa thức phép chia đa thức Phương pháp I Các ví dụ điển hình thường gặp Ví dụ Chứng minh đa thức  x  1 4n   x  1 4n chia hết cho đa thức x2  với số tự nhiên n Vì x2   �  x  i   x  i   nên x2  có nghiệm �i Đặt f  x   x  1 4n fi   i  1   fi  1 4n fi    fi   1 4n   x  1 4n 4n Ta có:  (2i)2n1   2i   (i  1)4n   2i  2n1 2n1   2i  0 2n1 0 Giải Trong toán phép chia đa thức, muốn chứng minh f  x chia hết cho g  x , ta chứng minh nghiệm đa thức g  x nghiệm đa thức f  x Cách làm gặp phải khó khăn nế g  x khơng có nghiệm thực, nhiên số phức giáp ta giải vấn đề Vậy �i nghiệm f  x , f  x chia hết cho x2  Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n lớn số thực  thỏa mãn sin  �0 , đa thức xn sin   xsinn  sin  n  1  chia hết cho đa thức x2  2xcos  Giải Xét phương trình x2  2xcos  1 0, '  cos2   1 i sin2  nên có nghiệm x1  cos  i sin  ,x2  cos  i sin  hai số phức liên hợp Đặt P  x  x2 sin   xsinn  sin  n  1  ta có: P  x1    cosn  i sinn  sin    cos  i sin   sinn  sin  n  1   cosn sin   cos  sinn  sin  n  1     Suy P x1  hay P  x2   Vậy P  x chia hết x2  2xcos  Ví dụ Tìm số ngun dương n cho đa thức x2n  xn  chia hết cho đa thức x2  x  Lời giải Các nghiệm cuả đa thức x2  x  là: x1  1 3i 1 3i ,x2  2 Đặt f  x  x2n  xn  Vì x1,x2 hai số phức liên hợp, nên cần tìm n cho f  x1   (khi f  x2  khơng) Ta có: x1  1 3i 2 2 nên  cos  i sin 3 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 233 Chuyên Đề Số Phức 2n n � 2 2 � � 2 2 � f  x1   � cos  i sin �  � cos  i sin �  3� � 3� � 4n 2n � 4n 2n � f  x1   cos  cos  1 i � sin  sin � 3 3 � � � 2n � 2n � � 4n 2n cos  1� cos  cos  1 � �2cos � � � � � 3 f  x1   � � �� 4n 2n � 2n � 2n � � sin  sin 0 sin 2cos  1� � � � 3 � � � � 2cos 2n  1 � n  3k �1, k �  Vậy đa thức x2n  xn  chia hết cho đa thức x2  x  n số ngun dương khơng chia hết cho Ví dụ Tìm số nguyên dương n cho đa thức  x  1  xn  chia hết cho đa thức n x2  x  Lời giải Các nghiệm đa thức x2  x  là: x1  1 3i 1 3i ,x2  2 Đặt f  x   x  1  xn  n Vì x1  1 3i   1 3i 2 2 đo  cos  i sin � x1  1  cos  i sin 3 3 2n 2n n n  i sin  cos  i sin  3 3 � n � n � � 2n n cos � 2cos  1� � cos  cos   � � � 3� � 3 f  x1   � � �� 2n  n  n � n � � � sin  sin 0 sin � 2cos  1� � 3 � 3 � � � f  x1   cos n  1 � n  6k �1 Vậy giá trị cần tìm n số nguyên dương chia cho dư chia dư Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên: � 2cos   b)  x  1  x2  x  a) x4  ; Giải   4 2 a) Ta có x   x   2i   x  2i x  2i 2  �2 � x2  1 i  � x   1 i  �  x  1 i   x  1 i   x  1 i   x  1 i  �  �� � � � � � Mà:  x  1 i   x  1 i    x  1  i  x2  2x  2  x  1 i   x  1 i    x  1  i  x2  2x  2    2 Nên x   x  2x  x  2x  b) Ta có: Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 234 Chuyên Đề Số Phức     (x  1)4  x2  x    x  1  i x2  x      2 � � x  1  i x2  x  � �x  1  i x2  x  �  � � � � �� � Bằng cách giải phương trình bậc hai , ta phân tích thành tích:   x  1   x  1   i x   x  1  �  1 i  x  i �  x  1 i  � �  i x2  x   �  1 i  x  i �  x  1 i  � � Mặt khác:  x  1 i   x  1 i    x  1  2  1 i  x  i �  1 i  x  i ��  i  x2  2x  � � �� � 2x  2x      Vậy  x  1  x2  x   x2  2x  2x2  2x  II Bài tập áp dụng Bài tập Có tồn hay không số nguyên dương n cho đa thức  x  1 2n   x  1 2n  2x2n chia hết cho đa thưc x4  Hướng dẫn giải Các nghiệm đa thức x4  là: �1,�i Đặt f  x   x  1 fi     i  1 2n 2n   x  1   i  1 2n  2n  2x2n , ta có f  1  f  1  ,  2i 2n   2i    2i   2 1 n   Nếu n  2m, m � fi    Nếu n  2m  1, m � fi n   22m1  1 m n  �0 m �    �0  x  1 Vậy không tồn số nguyên dương n để đa thức 2n   x  1 2n  2x2n chia hết chho đa thức x4  Bài tập Phân tích đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên:    a) x2    x  3 ;  b) 3x2  5x    5x  3 2 Hướng dẫn giải a) Ta có:  x  1 2     2 2   x  3  x2   i  x  3  x  ix  1 3i x  3x  1 3i  Vì  x2  ix  1 3i   x  1 i   x  1 2i   x2  ix  1 3i   x  1 i   x  1 2i    x  1 i   x  1 i    x  1   x  1 2i   x  1 2i    x  1   2   i  x2  2x  2  4i  x2  2x    Vậy x2    x  3  x2  2x  x2  2x      b) 3x2  5x    5x  3  3x2  5x   i  5x  3 2 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 235 Chuyên Đề Số Phức � 3x2  5 1 i  x   3i � � 3x2  5 1 i  x   3i � � �� � Ta có:  3x2  5 1 i  x   3i   x   i   3x  1 2i   3x2  5 1 i  x   3i   x   i   3x  1 2i    x   i   x   i    x  2   i  x2  4x   3x  1 2i   3x  1 2i    3x  1     4i  9x2  6x    Vì 3x2  5x    5x  3  x2  4x  9x2  6x  Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 236 ... cô chưa nhận vui lịng gọi điện trực tiếp cho Thầy cư SĐT: 01234332133 NGÂN HÀNG TÊN TÀI KHOẢN SỐ TÀI KHOẢN TRẦN ĐÌNH CƯ TRẦN ĐÌNH CƯ TRẦN ĐÌNH CƯ 401020502524 016100038152 551100002329 24 CHI... minh: Số phức z số thực z  z Vận dụng: Cho hai số phức z1,z2 có mođun 1, z1.z2 �1 Chứng minh z z1  z2 số thực 1 z1z2 b) Chứng minh: Số phức z số ảo z  z Vận dụng: Chứng minh hai số phức. .. Ví dụ a) Tìm số phức z thỏa mãn z  z2 số thuẩn ảo b) Tìm số phức z thỏa mãn z  z số ảo c) Tìm số phức z thỏa mãn z  phần thực lần phần ảo d) Cho số phức z thỏa mãn  1 3i  z số thực z  