ĐỀ I Câu (3 điểm) a) Tồn hay khơng hai tứ giác có chu vi tứ giác có diện tích gấp 20 lần tứ giác kia? b) Hãy nêu cách phân hoạch tứ diện ABCD cho thành bốn tứ diện, kể tứ diện Từ đó, phân hoạch tứ diện thành 18 tứ diện số mặt phẳng cắt c) Thế đa diện loại {p; q}, loại đa diện Chứng minh số cạnh c đa diện loại {p; q} tính theo cơng thức 1 1 = + − c p q Câu (2 điểm) Gọi AH, BI, CK đường cao tam giác ABC Chứng minh cặp đường thẳng BC IK, CA HK, AB HI cắt ba giao điểm chúng thẳng hàng Câu (2 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a Hai nửa đường thẳng Ax By nằm phía AB vng góc AB Hai điểm M, N di động lần lược Ax By cho diện tích hình thang ABN M khơng đổi Tìm quỹ tích hình chiếu H trung điểm AB lên đoạn M N Câu (3 điểm) Cho ∆ABC(AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O, R) Gọi AD, BE, CF đường cao tam giác ABC vẽ đường kính AK Gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng: a) ∆ABD, ∆AKC đồng dạng với Từ suy S = AB.BC.CA 4R b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh EF DM nội tiếp đường tròn ĐỀ II Câu (3 điểm) a) Chứng minh hình chữ nhật đồng phân với tam giác ngược lại tam giác đồng phân với hình chữ nhật b) Cho đa diện loại {p; q} Chứng minh số đỉnh d số mặt m đa diện tính theo cơng thức: d= 4p 2p + 2q − pq m= 4q 2p + 2q − pq c) Hãy phân hoạch hình hộp thành tứ diện Câu (2 điểm) Cho (O; R), (I, r) đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh OI = R2 − 2Rr Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC có hai điểm A, B cố định điểm C di động cho ACB = 110o Trên tia đối tia CA lấy M cho CM = CB Tìm quỹ tích điểm M C di động Câu (3 điểm) Cho tam giac ABC Gọi O trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm di động M, N cho M ON = 60o Chứng minh rằng: a) Hai tam giac OM B, N OC đồng dạng Từ suy BM, CN khơng đổi b) Các tia M O, N O tia phân giác góc BM N , CN M ĐỀ III Câu (3 điểm) a) Chứng minh tồn hình chữ nhật đồng phân với tam giác cho b) Thế đa diện loại {p; q} Kể tên loại đa diện c) Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Câu (2 điểm) Gọi AH, BI, CK ba đường cao tam giác ABC Chứng minh cặp đường thẳng BC IK, CA KH, AB HI cắt ba giao điềm thằng hàng Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC có A, B cố định điểm C di động cho góc ACB = 60o Tìm quỹ tích tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC C di động Câu (2 điểm) Xét toán “Cho tam giác ABC, , hb , hc đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh h1a + h1b + h1c = 1r ” Bằng cách sử dụng suy luận có lý đề xuất tốn giải tốn ĐỀ IV Câu (3 điểm) a) Chứng minh đường trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai tam giác đồng phân b) Cho khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 19, 20, 37, chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng đáy.Tính thể tích khối lăng trụ cho c) Bằng số mặt phẳng phân hoạch tứ diện thành 12 hình tứ diện Câu (2 điểm) Cho phép đảo cực O phương tích k Gọi M , N ảnh hai điểm M, N qua phép đảo cực cho Chứng minh MN = |k|M N OM.ON Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có hai điểm A, B cố định điểm di động C (O) Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác ABC C di động (O) Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC cân A, BC = a, AC = b Vẽ đường phân giác BD, CE a) Chứng minh DE b) Chứng minh DE BC = a + b ĐỀ V Câu (3 điểm) a) Dựng hình bình hành đồng phân với tam giác cho ngược lại dựng tam giác đồng phân với hình bình hành cho b) Chứng minh tam giác có diện tích lớn tam giác có chu vi 2P Tính diện tích tam giác theo P c) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng o A D với AB = 2a, √ DC = a, ABC = 60 SA vng góc đáy (ABCD) SA = a Tính thể tích khối chóp cho Câu (2 điểm) Cho đường tròn (O; R) hai điểm P, Q không thuộc đường tròn (O) Một đường thẳng d thay đổi qua P cắt (O) M, M a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác QMM’ qua điểm cố định b) Một cát tuyến ∆ qua Q cắt (O) A, B (khác M, N ) Xác định ảnh đường thẳng ∆ qua phép nghịch đảo tâm P tỉ số k = OP − R2 Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích M mặt phẳng cho M A2 + M B = M C Câu (3 đểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi P, Q, R theo thứ tự điểm cung bị chắn BC, CA, AB a) Chứng minh AP ⊥QR b) Giả sử AP cắt CR I Chứng minh CP I tam giác cân ... (3 điểm) Cho tam giác ABC cân A, BC = a, AC = b Vẽ đường phân giác BD, CE a) Chứng minh DE b) Chứng minh DE BC = a + b ĐỀ V Câu (3 điểm) a) Dựng hình bình hành đồng phân với tam giác cho ngược